निम्नलिखित में से कौन सा वक्र प्रारंभिक मान समस्या $Dy = 100 - y$ का समाधान दर्शाता है,जहाँ $y(0) = 50$ है?

एक फलन $y = f(x)$ शर्त $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $x \rightarrow 0$ होने पर $f(x)$ परिबद्ध (bounded) है। यदि $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$ है,तो:

मान लीजिए कि $b$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है। मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(0)=1$ है। यदि $f$ का अवकलज $f^{\prime}$ समीकरण $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ को संतुष्ट करता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ यदि $b>0$ है,तो $f$ एक वर्धमान फलन है
$(B)$ यदि $b < 0$ है,तो $f$ एक ह्रासमान फलन है
$(C)$ $f(x)f(-x)=1$ सभी $x \in R$ के लिए
$(D)$ $f(x)-f(-x)=0$ सभी $x \in R$ के लिए

अवकल समीकरण $(x^2 - y^2)dx + 2xy\, dy = 0$ द्वारा निरूपित वक्रों के परिवार में से वह वक्र जो $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,है

माना $f:[0, \infty) \rightarrow R$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in[0, \infty)$ के लिए $f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{x-t} f(t) d t$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ वक्र $y=f(x)$ बिंदु $(1,2)$ से गुजरता है
$(B)$ वक्र $y=f(x)$ बिंदु $(2,-1)$ से गुजरता है
$(C)$ क्षेत्र $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ का क्षेत्रफल $\frac{\pi-2}{4}$ है
$(D)$ क्षेत्र $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ का क्षेत्रफल $\frac{\pi-1}{4}$ है

उन सभी वृत्तों के परिवार पर विचार करें जिनके केंद्र सीधी रेखा $y = x$ पर स्थित हैं। यदि वृत्तों के इस परिवार को अवकल समीकरण $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P, Q$ $x, y$ और $y^{\prime}$ के फलन हैं (यहाँ $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$