एक फलन y = f(x) शर्त f'(x) sin x + f(x) cos x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ है। इसे $\frac{d}{dx} (f(x) \sin x) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का $x$ के

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$\frac{\pi}{2} < I < \frac{\pi^2}{4}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ है। इसे $\frac{d}{dx} (f(x) \sin x) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) \sin x = x + C$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = \frac{x + C}{\sin x}$। चूंकि $x ightarrow 0$ होने पर $f(x)$ परिबद्ध है,इसलिए $\lim_{x ightarrow 0} \frac{x + C}{\sin x}$ परिमित होना चाहिए। $\lim_{x ightarrow 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ का उपयोग करने पर,सीमा केवल तभी परिमित होगी यदि $C = 0$ हो। इसलिए,$f(x) = \frac{x}{\sin x}$। हमें $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \, dx$ का मान ज्ञात करना है। $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,हम जानते हैं कि $\sin x इसका अर्थ है कि $\frac{1}{	an x} अतः,$x \in (0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए $f(x) > 1$ है। साथ ही,ग्राफ या टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर,$f(x) = \frac{x}{\sin x}$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2}]$ पर एक वर्धमान फलन है जहाँ $f(0^+) = 1$ और $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ है। चूंकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $1 इससे $\frac{\pi}{2} < I < \frac{\pi^2}{4}$ प्राप्त होता है।

एक फलन $y = f(x)$ शर्त $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $x \rightarrow 0$ होने पर $f(x)$ परिबद्ध (bounded) है। यदि $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$ है,तो:

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