એક વિધેય $y = f(x)$ એ શરત $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ સીમિત છે. જો $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$ હોય,તો:

કૉલમ $I$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓને કૉલમ $II$ માં આપેલા વિવૃત અંતરાલો સાથે જોડો.

કૉલમ $I$	કૉલમ $II$
$(A)$ વિકલ સમીકરણ $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ ના શૂન્યતર ઉકેલોના પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ અંતરાલ	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ સંકલન $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ ની કિંમત ધરાવતો અંતરાલ	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ અંતરાલ જેમાં $\cos^2 x+\sin x$ ના સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓમાંથી ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ આવેલું હોય	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ અંતરાલ જેમાં $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ વધતું વિધેય છે	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

જો $y = \frac{x}{\ln |c x|}$ (જ્યાં $c$ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે) એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ નો વ્યાપક ઉકેલ હોય,તો વિધેય $\phi \left( \frac{x}{y} \right)$ શું છે?

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=1+xe^{y-x}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ અને $y(0)=0$ છે. તો,$x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ માટે $y(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} = \frac{3y}{2x}$ એ અતિવલયના કુળનું નિરૂપણ કરે છે (જ્યારે તે રેખાઓની જોડીનું નિરૂપણ કરે છે તે સિવાય),તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી હશે?

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x+y+2)^2 dx=dy$,$y(0)=-2$ નો ઉકેલ છે. ધારો કે અંતરાલ $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ માં વિધેય $y=y(x)$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો અનુક્રમે $\alpha$ અને $\beta$ છે. જો $(3\alpha+\pi)^2+\beta^2=\gamma+\delta\sqrt{3}$,જ્યાં $\gamma, \delta \in Z$ હોય,તો $\gamma+\delta$ ની કિંમત શોધો.