Trigonometric Ratios of Some Specific Angles Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $A = 30^{\circ}$.
આપણે $\cos 2A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદાવલિમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos 2A = \cos(2 \times 30^{\circ})$
$\cos 2A = \cos 60^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી જવાબ $\frac{1}{2}$ છે.

(B) આપણે કોટિકોણ માટેના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\tan \theta = \cot(90^{\circ} - \theta)$.
આ નિત્યસમમાં $\theta = 15^{\circ}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tan 15^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 15^{\circ})$.
$\tan 15^{\circ} = \cot 75^{\circ}$.
તેથી,$\tan 15^{\circ}$ ની કિંમત $\cot 75^{\circ}$ ની કિંમત જેટલી છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,અને $\cot 90^{\circ} = 0$ છે.
આ મૂલ્યોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin^{2} 60^{\circ} - \tan 45^{\circ} + \cos^{2} 30^{\circ} - \cot 90^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - 1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - 0$
$= \frac{3}{4} - 1 + \frac{3}{4} - 0$
$= \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1$
$= \frac{6}{4} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $8 \sin^{2} 45^{\circ} - 2 \tan^{2} 60^{\circ} + 3 \cot^{2} 30^{\circ} - 2 \cos^{2} 45^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો મૂકતા:
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= 8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} - 2 (\sqrt{3})^{2} + 3 (\sqrt{3})^{2} - 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}$
$= 8 \left( \frac{1}{2} \right) - 2 (3) + 3 (3) - 2 \left( \frac{1}{2} \right)$
$= 4 - 6 + 9 - 1$
$= 6$

(C) આપેલ છે કે $\tan \theta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$ થાય.
હવે,$\theta = 45^{\circ}$ ની કિંમત $\sin \theta \cdot \cos \theta$ માં મૂકતા:
$\sin 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sin^{2} 30^{\circ} - \tan 45^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} - \cot 90^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકતા:
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\cot 90^{\circ} = 0$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (\frac{1}{2})^{2} - 1 + (\frac{1}{2})^{2} - 0$
$= \frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{4}$
$= \frac{2}{4} - 1$
$= \frac{1}{2} - 1$
$= -\frac{1}{2}$

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ લઘુકોણ છે.
કારણ કે $\tan A = 1,$ આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1,$ તેથી $A = 45^{\circ}.$
કારણ કે $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}},$ આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}},$ તેથી $B = 45^{\circ}.$
હવે,આપણે $\cos (A + B)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$A$ અને $B$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos (45^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 90^{\circ}$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0,$ તેથી અંતિમ જવાબ $0$ છે.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુનું માપ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ $= \text{કર્ણ} \times \sin(30^{\circ})$ છે.
અહીં કર્ણ $= 12$ અને $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ આપેલ છે.
તેથી,ખૂણાની સામેની બાજુનું માપ $12 \times \frac{1}{2} = 6$ થાય.

(B) ધારો કે એક કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $\angle C = 60^{\circ}$ છે.
આ ત્રિકોણમાં,$\angle C$ ની સામેની બાજુ $AB$ છે અને કર્ણ $AC$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sin 60^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{AC}$
આમ,$AB = \frac{\sqrt{3}}{2} AC$.
તેથી,$60^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુનું માપ કર્ણના માપના $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ગણું થાય છે.

(C) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે.
અહીં $AC = 16$ (કર્ણ) અને $BC = 8$ ($\angle C$ ની પાસેની બાજુ) આપેલ છે.
કોસાઈન $(cos)$ ના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $m \angle C = 60^{\circ}$ થાય.

(D) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ છે,જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $\angle C = 45^{\circ}$ છે.
$\triangle ABC$ માં,$\angle C$ ની સામેની બાજુ $AB$ છે અને કર્ણ $AC$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 45^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{AB}{AC}$
તેથી,$AB = \frac{1}{\sqrt{2}} AC$.
આમ,$45^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુનું માપ કર્ણના માપના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણું થાય છે.

(D) કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,આપણને કર્ણ $AC = 20$ અને ખૂણો $m\angle C = 30^\circ$ આપેલ છે.
આપણે પાસેની બાજુ $BC$ શોધવાની છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 30^\circ = \frac{BC}{AC}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{20}$
$BC = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$BC = 10\sqrt{3}$
$\sqrt{3} \approx 1.73$ લેતા:
$BC = 10 \times 1.73 = 17.3$

(A) કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,આપણને કર્ણ $AC = 30 \text{ cm}$ અને $\angle C = 30^\circ$ આપેલ છે.
આપણે બાજુ $AB$ શોધવાની છે,જે $\angle C$ ની સામેની બાજુ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 30^\circ = \frac{AB}{AC}$
કારણ કે $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{30}$
$AB = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}$.