Trigonometric Ratios Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે આપણે એક કાટકોણ $\Delta ABC$ દોરીએ છીએ જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
હવે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3}$.
તેથી,જો $BC = 4k$ હોય,તો $AB = 3k$ થાય,જ્યાં $k$ એ ધન સંખ્યા છે.
હવે,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2$.
$AC = 5k$.
હવે,આપણે તેમની વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને તમામ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો લખી શકીએ છીએ:
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$.
$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$.
$\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{3}{4}$.
$\operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A} = \frac{5}{4}$.
$\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{5}{3}$.

(N/A) ધારો કે બે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ અને $PQR$ છે જેમાં $\angle C = 90^{\circ}$ અને $\angle R = 90^{\circ}$ છે,જ્યાં $\sin B = \sin Q$ છે.
આપણી પાસે $\sin B = \frac{AC}{AB}$ અને $\sin Q = \frac{PR}{PQ}$ છે.
આપેલ છે કે $\sin B = \sin Q$,તેથી $\frac{AC}{AB} = \frac{PR}{PQ}$.
આને $\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે) તરીકે ફરીથી લખી શકાય .......... $(1)$.
હવે,બંને ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$ અને $QR = \sqrt{PQ^2 - PR^2}$.
ત્રીજી બાજુઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{BC}{QR} = \frac{\sqrt{AB^2 - AC^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}}$.
$(1)$ પરથી $AB = kPQ$ અને $AC = kPR$ મૂકતા:
$\frac{BC}{QR} = \frac{\sqrt{(kPQ)^2 - (kPR)^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = \frac{\sqrt{k^2(PQ^2 - PR^2)}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = \frac{k \sqrt{PQ^2 - PR^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = k$ .......... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણી પાસે $\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = k$ છે.
$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ACB \sim \Delta PRQ$.
ત્રિકોણ સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે. તેથી,$\angle B = \angle Q$.

(N/A) $\triangle ABC$ માં,$\tan A = \frac{BC}{AB} = 1$ (આકૃતિ જુઓ).
એટલે કે,$BC = AB$.
ધારો કે $AB = BC = k$,જ્યાં $k$ એક ધન સંખ્યા છે.
હવે,$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$= \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}$.
તેથી,$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{k\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{k}{k\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
માટે,$2 \sin A \cos A = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 1$,જે જરૂરી મૂલ્ય છે.

(N/A) $\triangle OPQ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,આપણી પાસે છે:
$OQ^2 = OP^2 + PQ^2$
આપેલ છે કે $OQ - PQ = 1\, cm$,તેથી $OQ = 1 + PQ$.
આ કિંમતને પાયથાગોરસના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + PQ)^2 = OP^2 + PQ^2$
$1 + PQ^2 + 2PQ = OP^2 + PQ^2$
$1 + 2PQ = OP^2$
અહીં $OP = 7\, cm$ હોવાથી:
$1 + 2PQ = 7^2$
$1 + 2PQ = 49$
$2PQ = 48$
$PQ = 24\, cm$
હવે,$OQ = 1 + PQ = 1 + 24 = 25\, cm$.
તેથી,$\sin Q = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{OP}{OQ} = \frac{7}{25}$.
અને $\cos Q = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{PQ}{OQ} = \frac{24}{25}$.

(N/A) $\triangle ABC$ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (24 \, cm)^2 + (7 \, cm)^2$
$AC^2 = (576 + 49) \, cm^2 = 625 \, cm^2$
$\therefore AC = \sqrt{625} \, cm = 25 \, cm$
$(i)$ $\sin A = \frac{\angle A \text{ ની સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25}$
$\cos A = \frac{\angle A \text{ ની પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25}$
$(ii)$ $\sin C = \frac{\angle C \text{ ની સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25}$
$\cos C = \frac{\angle C \text{ ની પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25}$

(C) $\triangle PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$,$PQ = 12 \, \text{cm}$,અને $PR = 13 \, \text{cm}$ છે.
પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરતા:
$PR^2 = PQ^2 + QR^2$
$(13)^2 = (12)^2 + QR^2$
$169 = 144 + QR^2$
$QR^2 = 169 - 144 = 25$
$QR = 5 \, \text{cm}$.
હવે,$\tan P = \frac{\angle P \text{ ની સામેની બાજુ}}{\angle P \text{ ની પાસેની બાજુ}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}$.
અને,$\cot R = \frac{\angle R \text{ ની પાસેની બાજુ}}{\angle R \text{ ની સામેની બાજુ}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}$.
તેથી,$\tan P - \cot R = \frac{5}{12} - \frac{5}{12} = 0$.

(N/A) ધારો કે $\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં ખૂણો $B$ કાટખૂણો છે.
આપેલ છે કે,$\sin A = \frac{3}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AC}$,તેથી $\frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $BC = 3k$ અને $AC = 4k$,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
$\triangle ABC$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(4k)^2 = AB^2 + (3k)^2$
$16k^2 = AB^2 + 9k^2$
$AB^2 = 7k^2$
$AB = \sqrt{7}k$
હવે,$\cos A = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{7}k}{4k} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
અને,$\tan A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{\sqrt{7}k} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.

(N/A) કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ ધ્યાનમાં લો,જેમાં $\angle B$ કાટખૂણો છે.
$\cot A = \frac{\angle A \text{ ની પાસેની બાજુ}}{\angle A \text{ ની સામેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
આપેલ છે કે $15 \cot A = 8$,તેથી $\cot A = \frac{8}{15}$.
તેથી,$\frac{AB}{BC} = \frac{8}{15}$.
ધારો કે $AB = 8k$ અને $BC = 15k$,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
$\triangle ABC$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરતા:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (8k)^2 + (15k)^2$
$AC^2 = 64k^2 + 225k^2 = 289k^2$
$AC = 17k$
હવે,$\sin A = \frac{\angle A \text{ ની સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AC} = \frac{15k}{17k} = \frac{15}{17}$.
અને,$\sec A = \frac{\text{કર્ણ}}{\angle A \text{ ની પાસેની બાજુ}} = \frac{AC}{AB} = \frac{17k}{8k} = \frac{17}{8}$.

(N/A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ ધ્યાનમાં લો, જે બિંદુ $B$ પર કાટખૂણો ધરાવે છે।
$\sec \theta = \frac{\text{કર્ણ}}{\text{}}{\angle \theta \text{ની પાસેની બાજુ}} = \frac{AC}{AB} = \frac{13}{12}$
ધારો કે $AC = 13k$ અને $AB = 12k$, જ્યાં $k$ ધન અચળાંક છે।
$\triangle ABC$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$
$(13k)^2 = (12k)^2 + (BC)^2$
$169k^2 = 144k^2 + (BC)^2$
$(BC)^2 = 25k^2$
$BC = 5k$
હવે અન્ય ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો:
$\sin \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{ની સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AC} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13}$
$\cos \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{ની પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AB}{AC} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}$
$\tan \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{ની સામેની બાજુ}}{\text{}}{\angle \theta \text{ની પાસેની બાજુ}} = \frac{BC}{AB} = \frac{5k}{12k} = \frac{5}{12}$
$\cot \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{ની પાસેની બાજુ}}{\text{}}{\angle \theta \text{ની સામેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC} = \frac{12k}{5k} = \frac{12}{5}$
$\operatorname{cosec} \theta = \frac{\text{કર્ણ}}{\text{}}{\angle \theta \text{ની સામેની બાજુ}} = \frac{AC}{BC} = \frac{13k}{5k} = \frac{13}{5}$

(N/A) ધારો કે એક ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં $CD \perp AB$ છે.
આપેલ છે કે,
$\cos A = \cos B$
$\Rightarrow \frac{AD}{AC} = \frac{BD}{BC}$
$\Rightarrow \frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}$
ધારો કે $\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC} = k$
$\Rightarrow AD = k BD \dots(1)$
અને,$AC = k BC \dots(2)$
ત્રિકોણ $CAD$ અને $CBD$ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે
$CD^2 = AC^2 - AD^2 \dots(3)$
અને,$CD^2 = BC^2 - BD^2 \dots(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ પરથી,આપણને મળે છે
$AC^2 - AD^2 = BC^2 - BD^2$
$\Rightarrow (k BC)^2 - (k BD)^2 = BC^2 - BD^2$
$\Rightarrow k^2(BC^2 - BD^2) = BC^2 - BD^2$
$\Rightarrow k^2 = 1$
$\Rightarrow k = 1$
આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે
$AC = BC$
$\Rightarrow \angle A = \angle B$ (ત્રિકોણની સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે).

(N/A) ધારો કે એક કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ છે,જેમાં ખૂણો $B$ કાટખૂણો છે.
$\cot \theta = \frac{\text{ખૂણા } \theta \text{ ની પાસેની બાજુ}}{\text{ખૂણા } \theta \text{ ની સામેની બાજુ}} = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{8}.$
જો $BC = 7k$ હોય,તો $AB = 8k$ થાય,જ્યાં $k$ એક ધન પૂર્ણાંક છે.
$\triangle ABC$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરતા,
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (8k)^2 + (7k)^2 = 64k^2 + 49k^2 = 113k^2.$
$AC = \sqrt{113}k.$
હવે,$\sin \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{8k}{\sqrt{113}k} = \frac{8}{\sqrt{113}}$ અને $\cos \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{7k}{\sqrt{113}k} = \frac{7}{\sqrt{113}}.$
$(i) \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} = \frac{1-\sin^2 \theta}{1-\cos^2 \theta} = \frac{1-(\frac{8}{\sqrt{113}})^2}{1-(\frac{7}{\sqrt{113}})^2} = \frac{1-\frac{64}{113}}{1-\frac{49}{113}} = \frac{\frac{49}{113}}{\frac{64}{113}} = \frac{49}{64}.$
$(ii) \cot^2 \theta = (\cot \theta)^2 = (\frac{7}{8})^2 = \frac{49}{64}.$

(A) આપેલ છે કે $3 \cot A = 4$.
તેથી,$\cot A = \frac{4}{3}$.
એક કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ લો,જેમાં ખૂણો $B$ કાટખૂણો છે.
$\cot A = \frac{\text{ખૂણા } A \text{ ની પાસેની બાજુ}}{\text{ખૂણા } A \text{ ની સામેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3}$.
ધારો કે $AB = 4k$ અને $BC = 3k$,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
$\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 = (4k)^2 + (3k)^2 = 16k^2 + 9k^2 = 25k^2$.
તેથી,$AC = 5k$.
હવે,$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$.
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$.
$\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$.
ડાબી બાજુ $(LHS)$: $\frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 + (3/4)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 + 9/16} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25}$.
જમણી બાજુ $(RHS)$: $\cos^2 A - \sin^2 A = (4/5)^2 - (3/5)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.
અહીં ડાબી બાજુ = જમણી બાજુ હોવાથી,આપેલ સમીકરણ સાચું છે.

(N/A) આપેલ છે કે $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
$\tan A = \frac{\text{$\text{$\angle A$ ની સામેની બાજુ}$}}{\text{$\text{$\angle A$ ની પાસેની બાજુ}$}} = \frac{BC}{AB}$ હોવાથી,
$\frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે.
ધારો કે $BC = k$ અને $AB = \sqrt{3}k,$ જ્યાં $k$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
$\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (\sqrt{3}k)^2 + (k)^2 = 3k^2 + k^2 = 4k^2$
$AC = 2k$
હવે,આપણે ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો શોધીએ:
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$(i)$ $\sin A \cos C + \cos A \sin C = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$(ii)$ $\cos A \cos C - \sin A \sin C = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$

(N/A) આપેલ છે કે, $PR + QR = 25 \, cm$ અને $PQ = 5 \, cm$.
ધારો કે $PR = x \, cm$.
તેથી, $QR = (25 - x) \, cm$.
$\triangle PQR$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા, આપણને મળે છે:
$PR^2 = PQ^2 + QR^2$
$x^2 = 5^2 + (25 - x)^2$
$x^2 = 25 + 625 - 50x + x^2$
$50x = 650$
$x = 13$
તેથી, $PR = 13 \, cm$ અને $QR = 25 - 13 = 12 \, cm$.
હવે, $\angle P$ માટે ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર શોધીએ:
$\sin P = \frac{\text{Side opposite to } \angle P}{\text{Hypotenuse}} = \frac{QR}{PR} = \frac{12}{13}$
$\cos P = \frac{\text{Side adjacent to } \angle P}{\text{Hypotenuse}} = \frac{PQ}{PR} = \frac{5}{13}$
$\tan P = \frac{\text{Side opposite to } \angle P}{\text{Side adjacent to } \angle P} = \frac{QR}{PQ} = \frac{12}{5}$

(A-D) $(i)$ ખોટું.
એવો કાટકોણ ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લો જેમાં $\angle A$ ની સામેની બાજુ $12$ એકમ અને $\angle A$ ની પાસેની બાજુ $5$ એકમ હોય. તો $\tan A = \frac{12}{5} = 2.4$ થાય. કારણ કે $2.4 > 1$,તેથી $\tan A$ હંમેશા $1$ કરતા ઓછું હોય તે વિધાન ખોટું છે.
$(ii)$ સાચું.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec A = \frac{\text{કર્ણ}}{\angle A \text{ ની પાસેની બાજુ}}$.
અહીં $\sec A = \frac{12}{5}$ આપેલ છે,તેથી ધારો કે કર્ણ $AC = 12k$ અને પાસેની બાજુ $AB = 5k$ છે,જ્યાં $k$ એ કોઈ ધન અચળાંક છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BC^2 = AC^2 - AB^2 = (12k)^2 - (5k)^2 = 144k^2 - 25k^2 = 119k^2$.
આમ,$BC = \sqrt{119}k \approx 10.9k$.
ત્રિકોણની બાજુઓ $5k, 10.9k$ અને $12k$ ત્રિકોણની અસમતાનું પાલન કરે છે $(5k + 10.9k > 12k)$,તેથી આવો ત્રિકોણ શક્ય છે. તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(NONE) $(i)$ ખૂણા $A$ ના કોસેકન્ટ માટે વપરાતું સંક્ષિપ્ત રૂપ $\text{cosec } A$ છે। $\cos A$ એ ખૂણા $A$ ના કોસાઇન $(cosine)$ માટે વપરાતું સંક્ષિપ્ત રૂપ છે। તેથી, આ વિધાન અસત્ય છે।
$(ii)$ $\cot A$ એ $\cot$ અને $A$ નો ગુણાકાર નથી। તે ખૂણા $A$ નો કોટેન્જન્ટ $(cotangent)$ દર્શાવે છે। તેથી, આ વિધાન અસત્ય છે।
$(iii)$ આપણે જાણીએ છીએ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં, $\sin \theta = \frac{\text{$\theta$ ની સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$। કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ એ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી, $\sin \theta$ નું મૂલ્ય હંમેશા $1$ કે તેથી ઓછું હોય છે। અહીં $\frac{4}{3} > 1$ હોવાથી, આ મૂલ્ય શક્ય નથી। તેથી, આ વિધાન અસત્ય છે।

(B) વિધાન $\sin (A+B) = \sin A + \sin B$ અસત્ય છે.
આને સાબિત કરવા માટે,ધારો કે $A = 30^{\circ}$ અને $B = 60^{\circ}$ છે.
ડાબી બાજુ $(LHS)$: $\sin (A+B) = \sin (30^{\circ} + 60^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1$.
જમણી બાજુ $(RHS)$: $\sin A + \sin B = \sin 30^{\circ} + \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.
અહીં $1 \neq \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(B) $\theta$ ના તમામ મૂલ્યો માટે $\sin \theta = \cos \theta$ એવું વિધાન અસત્ય છે.
સમર્થન:
$1$. સમીકરણ $\sin \theta = \cos \theta$ માત્ર ત્યારે જ સાચું છે જ્યારે $\theta = 45^{\circ}$ હોય.
$2$. $\theta = 45^{\circ}$ માટે,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
$3$. $\theta$ ના અન્ય મૂલ્યો માટે,આ વિધાન ખોટું છે. ઉદાહરણ તરીકે,$\theta = 30^{\circ}$ માટે,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ છે જ્યારે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
$4$. કારણ કે $\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ: $\cot A = \tan(90^{\circ} - A)$.
છેદ માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cot 25^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 25^{\circ}) = \tan 65^{\circ}$.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}} = \frac{\tan 65^{\circ}}{\tan 65^{\circ}} = 1$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$.
આપેલ પદાવલિ: $\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}$.
આપણે $\tan 26^{\circ}$ ને $\tan(90^{\circ} - 64^{\circ})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $\tan(90^{\circ} - 64^{\circ}) = \cot 64^{\circ}$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{\cot 64^{\circ}}{\cot 64^{\circ}} = 1$.

(A) આપેલ છે કે,$\cos A = \frac{4}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,તેથી $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$.
$\cos A$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
હવે,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$.
$\sin A$ અને $\cos A$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\tan A = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
આમ,$\tan A$ ની જરૂરી કિંમત $\frac{3}{4}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$\sin A = \frac{1}{2}$.
નિત્યસમ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos A$ મળે છે:
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,$\cot A$ ની કિંમત નીચે મુજબ મળે છે:
$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

(D) આપેલ છે,$\sin \theta = \frac{a}{b}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta}$.
$\sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{a}{b}\right)^{2}}$
$\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}}$
$\cos \theta = \sqrt{\frac{b^{2} - a^{2}}{b^{2}}}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}}}{b}$.

(C) આપેલ છે કે,$\cos 9 \alpha = \sin \alpha$ અને $9 \alpha < 90^{\circ},$ જેનો અર્થ છે કે $9 \alpha$ એ લઘુકોણ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos A = \sin(90^{\circ} - A)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$\sin(90^{\circ} - 9 \alpha) = \sin \alpha$
જેથી,
$90^{\circ} - 9 \alpha = \alpha$
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$10 \alpha = 90^{\circ}$
$\alpha = 9^{\circ}$
હવે,$\tan 5 \alpha$ ની કિંમત શોધીએ:
$\tan 5 \alpha = \tan(5 \times 9^{\circ}) = \tan 45^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1,$ તેથી જવાબ $1$ છે.

(D) આપેલ છે,$4 \tan \theta = 3$
$\Rightarrow \tan \theta = \frac{3}{4}$ ..........$(i)$
પદાવલિ $\frac{4 \sin \theta - \cos \theta}{4 \sin \theta + \cos \theta}$ ની કિંમત શોધવા માટે,અંશ અને છેદ બંનેને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$= \frac{\frac{4 \sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{4 \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{4 \tan \theta - 1}{4 \tan \theta + 1}$
હવે,સમીકરણ $(i)$ માંથી $\tan \theta = \frac{3}{4}$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{4(\frac{3}{4}) - 1}{4(\frac{3}{4}) + 1}$
$= \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(A) સાચું.
આકૃતિમાં,બિંદુ $B$ ને રેખાખંડ $BC$ પર $C$ ની નજીક ખસેડવામાં આવે છે. તે અવલોકન કરવામાં આવે છે કે:
$(i)$ ખૂણો $\theta$ વધે છે (જેમ કે $\theta_{1} > \theta, \theta_{2} > \theta_{1}, \dots$) અને
(ii) પાયા $BC$ ની લંબાઈ ઘટે છે (જેમ કે $B_{1}C < BC, B_{2}C < B_{1}C, \dots$)
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AC}{BC}$.
અહીં વેધ (લંબ) $AC$ નિશ્ચિત રહે છે અને જેમ $\theta$ વધે છે તેમ પાયો $BC$ ઘટે છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{AC}{BC}$ વધે છે. આથી,જેમ $\theta$ વધે છે તેમ $\tan \theta$ નું મૂલ્ય વધે છે.

(A) સાચું.
આપણે જાણીએ છીએ કે $0^\circ < \theta < 90^\circ$ ના અંતરાલમાં જેમ $\theta$ વધે છે તેમ $\sin \theta$ વધે છે,પરંતુ $\cos \theta$ ઘટે છે.
આપણી પાસે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ છે.
જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^\circ$ થી $90^\circ$ તરફ વધે છે,તેમ $\sin \theta$ વધે છે (અંશ વધે છે) અને $\cos \theta$ ઘટે છે (છેદ ઘટે છે).
$\tan \theta$ એ વધતી જતી કિંમત અને ઘટતી જતી કિંમતનો ગુણોત્તર હોવાથી,તે $\sin \theta$ ની તુલનામાં ઘણી ઝડપથી વધે છે,કારણ કે $\sin \theta$ ને $\frac{\sin \theta}{1}$ તરીકે જોઈ શકાય છે,જ્યાં છેદ $1$ અચળ રહે છે.
તેથી,જેમ $\theta$ વધે છે તેમ $\tan \theta$ એ $\sin \theta$ કરતા ઝડપથી વધે છે.

(B) આ વિધાન ખોટું (False) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ અંતરાલમાં,$\sin \theta$ એ વધતું વિધેય છે,જ્યારે $\cos \theta$ એ ઘટતું વિધેય છે.
$\theta = 45^{\circ}$ માટે,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
કોઈપણ ખૂણા $\theta$ માટે જ્યાં $45^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ હોય,ત્યાં $\sin \theta > \cos \theta$ થાય છે.
અહીં $80^{\circ}$ એ $(45^{\circ}, 90^{\circ})$ અંતરાલમાં આવેલું હોવાથી,$\sin 80^{\circ} > \cos 80^{\circ}$ થાય.
તેથી,$(\sin 80^{\circ} - \cos 80^{\circ}) > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે આ મૂલ્ય ધન છે,ઋણ નથી.

(B) ખોટું.
આપેલ છે કે $a$ એ ધન સંખ્યા છે અને $a \neq 1,$ તેથી આપણે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $\frac{1}{a}$ માટે,$AM = \frac{a + \frac{1}{a}}{2}$ અને $GM = \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 1$ થાય.
જ્યારે $a \neq 1$ હોય ત્યારે $AM > GM$ હોવાથી,$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} > 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(a + \frac{1}{a}) > 2.$
જો આપણે ધારીએ કે $2 \sin \theta = a + \frac{1}{a},$ તો $2 \sin \theta > 2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta > 1.$
જોકે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\sin \theta$ ની કિંમત ક્યારેય $1$ થી મોટી હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) ખોટું.
આપેલ છે કે $a$ અને $b$ બે ભિન્ન સંખ્યાઓ છે જેથી $ab > 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ માટે,સમાંતર મધ્યક $(AM)$ એ ગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ કરતા હંમેશા મોટો હોય છે.
$AM > GM$
$\frac{a^2 + b^2}{2} > \sqrt{a^2 b^2}$
$\frac{a^2 + b^2}{2} > ab$
બંને બાજુને $ab$ વડે ભાગતા (કારણ કે $ab > 0$):
$\frac{a^2 + b^2}{2ab} > 1$
કારણ કે $\cos \theta = \frac{a^2 + b^2}{2ab}$,આનો અર્થ એ થાય કે $\cos \theta > 1$.
જોકે,$\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta$ ની કિંમત $1$ થી મોટી હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(N/A) આપેલ છે,$\tan A = \frac{3}{4} = \frac{P}{B} = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$.
ધારો કે $P = 3k$ અને $B = 4k$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,
$H^2 = P^2 + B^2 = (3k)^2 + (4k)^2$
$H^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2$
$\Rightarrow H = 5k$ [કારણ કે,બાજુની લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે].
હવે,$\sin A = \frac{P}{H} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$ અને $\cos A = \frac{B}{H} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\sin A \cos A = \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{25}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$.
આપેલ પદાવલિ: $\cos 48^{\circ}-\sin 42^{\circ}$.
આપણે $\cos 48^{\circ}$ ને $\cos(90^{\circ}-42^{\circ})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos(90^{\circ}-42^{\circ}) = \sin 42^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin 42^{\circ} - \sin 42^{\circ} = 0$.

(B) $\Delta ABC$ માં, $AC = 5$ અને કર્ણ $BC = 13$ છે, જ્યાં $m \angle A = 90^\circ$ છે。
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = BC^2 - AC^2$
$AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$
હવે, $\tan B = \frac{\text{$\angle B$ ની સામેની બાજુ}}{\text{$\angle B$ ની પાસેની બાજુ}} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{12}$.

(C) આપેલ છે: $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{BC}{AC}$.
તેથી,$\frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ધારો કે $BC = k$ અને $AC = \sqrt{3}k$,જ્યાં $k > 0$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 = BC^2 + AC^2$.
$AB^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$.
તેથી,$AB = 2k$.
હવે,$\sin A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AB} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,કારણ કે $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$,આપણે જાણીએ છીએ કે $A = 30^{\circ}$.
તેથી,$\sin A = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$m \angle C = 90^{\circ}$ અને $\cos B = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos B = \frac{\angle B \text{ ની પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AB}$.
તેથી,$\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$. ધારો કે $BC = k$ અને $AB = 2k$,જ્યાં $k > 0$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 + BC^2 = AB^2$.
$AC^2 + k^2 = (2k)^2 = 4k^2$.
$AC^2 = 3k^2 \implies AC = k\sqrt{3}$.
હવે,$\operatorname{cosec} A = \frac{\text{કર્ણ}}{\angle A \text{ ની સામેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$.
$\operatorname{cosec} A = \frac{2k}{k} = 2$.

(D) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle A = 90^\circ$ છે:
ખૂણા $C$ માટે,સામેની બાજુ $AB = 5$ છે અને પાસેની બાજુ $AC = 12$ છે. કર્ણ $BC = 13$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$
$\cos C = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}$
તેથી,$\sin C + \cos C = \frac{5}{13} + \frac{12}{13} = \frac{5 + 12}{13} = \frac{17}{13}$.

(A) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$,તેથી $\overline{AC}$ એ કર્ણ છે.
આપેલ છે કે $BC = 3$ અને $AC = 5$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$.
$AB^{2} + 3^{2} = 5^{2}$
$AB^{2} + 9 = 25$
$AB^{2} = 25 - 9 = 16$
$AB = \sqrt{16} = 4$.
હવે,$\tan A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{BC}{AB}$.
$\tan A = \frac{3}{4}$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} A = \sqrt{10}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ મુજબ,$\sin A$ એ $\operatorname{cosec} A$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $\sin A = \frac{1}{\operatorname{cosec} A}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin A = \frac{1}{\sqrt{10}}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $5 \cos A = 4 \sin A$.
$\tan A$ શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$.
સમીકરણની બંને બાજુને $\cos A$ વડે ભાગતા:
$\frac{5 \cos A}{\cos A} = \frac{4 \sin A}{\cos A}$
$5 = 4 \tan A$
હવે,બંને બાજુને $4$ વડે ભાગતા:
$\tan A = \frac{5}{4}$.

(C) આપેલ છે કે,$\tan \theta = \frac{4}{3}$.
પદાવલિ $\frac{5 \sin \theta + 2 \cos \theta}{3 \sin \theta - \cos \theta}$ ની કિંમત શોધવા માટે,અંશ અને છેદ બંનેને $\cos \theta$ વડે ભાગતા (જ્યાં $\cos \theta \neq 0$):
$= \frac{\frac{5 \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{2 \cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{3 \sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{5 \tan \theta + 2}{3 \tan \theta - 1}$
હવે $\tan \theta = \frac{4}{3}$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{5(\frac{4}{3}) + 2}{3(\frac{4}{3}) - 1}$
$= \frac{\frac{20}{3} + 2}{4 - 1}$
$= \frac{\frac{20 + 6}{3}}{3}$
$= \frac{26}{3 \times 3} = \frac{26}{9}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સેકન્ટ અને કોસાઇન માટેનું ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ છે.
આપેલ છે કે $\sec \theta = \frac{13}{5}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે કે $3 \cot \theta = 4$,તેથી $\cot \theta = \frac{4}{3}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$,તેથી $\tan \theta = \frac{3}{4}$ થાય.
હવે,$\tan \theta$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - (\frac{3}{4})^2}{1 + (\frac{3}{4})^2}$
$= \frac{1 - \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}}$
$= \frac{\frac{16 - 9}{16}}{\frac{16 + 9}{16}}$
$= \frac{7}{25}$.

(D) $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ માટે:
$1$. $\cos \theta$ ની કિંમત $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોય છે $(0 < \cos \theta < 1)$. તેથી,$\cos \theta > 1$ ખોટું છે.
$2$. $\operatorname{cosec} \theta$ ની કિંમત હંમેશા $1$ કરતા મોટી હોય છે $(\operatorname{cosec} \theta > 1)$. તેથી,$\operatorname{cosec} \theta < 1$ ખોટું છે.
$3$. પ્રથમ ચરણમાં $\tan \theta$ ની કિંમત હંમેશા ધન હોય છે $(\tan \theta > 0)$. તેથી,$\tan \theta < 0$ ખોટું છે.
$4$. $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ માટે $\sec \theta$ ની કિંમત હંમેશા $1$ કરતા મોટી હોય છે $(\sec \theta > 1)$. તેથી,$\sec \theta > 1$ સાચું છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $\cot \theta = \frac{a}{b}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$,તેથી $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{a}{b}$.
$\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}$ ની કિંમત શોધવા માટે,અંશ અને છેદ બંનેને $\sin \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\sin \theta}} = \frac{\cot \theta - 1}{\cot \theta + 1}$.
$\cot \theta = \frac{a}{b}$ મૂકતા:
$\frac{\frac{a}{b} - 1}{\frac{a}{b} + 1} = \frac{\frac{a-b}{b}}{\frac{a+b}{b}} = \frac{a-b}{a+b}$.

(B) આપણે કોટિકોણ માટે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\cos \theta = \sin(90^{\circ} - \theta)$.
આ નિત્યસમમાં $\theta = 35^{\circ}$ મૂકતા:
$\cos 35^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 35^{\circ})$.
$\cos 35^{\circ} = \sin 55^{\circ}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોટિકોણ માટે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\operatorname{cosec} \theta = \sec(90^{\circ} - \theta)$ છે.
આ નિત્યસમમાં $\theta = 40^{\circ}$ મૂકતા:
$\operatorname{cosec} 40^{\circ} = \sec(90^{\circ} - 40^{\circ})$
$\operatorname{cosec} 40^{\circ} = \sec 50^{\circ}$

(C) આપણે કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sin(90^{\circ} - A) = \cos A$ અને $\cos(90^{\circ} - A) = \sin A$.
આપેલ સમીકરણ: $\sin 70^{\circ} = \cos \theta$.
આપણે $\sin 70^{\circ}$ ને $\cos(90^{\circ} - 70^{\circ})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\cos(90^{\circ} - 70^{\circ}) = \cos \theta$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos 20^{\circ} = \cos \theta$ મળે છે.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,આપણને $\theta = 20^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપણે કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \sin(90^{\circ} - \theta)$ અને $\sin \theta = \cos(90^{\circ} - \theta)$.
પ્રથમ પદ માટે: $\cos 50^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 50^{\circ}) = \sin 40^{\circ}$.
તેથી,$\frac{\cos 50^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 1$.
બીજા પદ માટે: $\cos 75^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 75^{\circ}) = \sin 15^{\circ}$.
તેથી,$\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}} = \frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ}} = 1$.
બંને પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $1 + 1 = 2$.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$ ($c$ સાથે જોડાય છે)
$2$. $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$ ($d$ સાથે જોડાય છે)
$3$. $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ ($a$ સાથે જોડાય છે)
$4$. $\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$ ($b$ સાથે જોડાય છે)
આમ,સાચી જોડી $(1-c), (2-d), (3-a), (4-b)$ છે.

(A) કોટીકોણના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$. તેથી,$1$ એ $b$ સાથે જોડાય છે.
$2$. $\cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta$. તેથી,$2$ એ $d$ સાથે જોડાય છે.
$3$. $\operatorname{cosec}(90^\circ - \theta) = \sec \theta$. તેથી,$3$ એ $a$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-b), (2-d), (3-a)$ છે.