Trigonometric Ratios of Some Specific Angles Questions in Gujarati

(N/A) બાજુ $BC$ ની લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે $BC$ અને આપેલી બાજુ $AB$ ને સમાવતા ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીશું. કારણ કે $BC$ એ ખૂણા $C$ ની પાસેની બાજુ છે અને $AB$ એ ખૂણા $C$ ની સામેની બાજુ છે,તેથી:
$\frac{AB}{BC} = \tan C$
$\frac{5}{BC} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
જેનાથી $BC = 5\sqrt{3} \, cm$ મળે છે.
બાજુ $AC$ ની લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે વિચારીએ:
$\sin 30^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
$\frac{1}{2} = \frac{5}{AC}$
$AC = 10 \, cm$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે ત્રીજી બાજુ નક્કી કરવા માટે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શક્યા હોત:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} \, cm = \sqrt{25 + 75} \, cm = \sqrt{100} \, cm = 10 \, cm$.

(A) આપેલ છે કે $\triangle PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$,$PQ = 3 \, cm$ અને $PR = 6 \, cm$ છે.
$\angle PRQ$ (અથવા $\angle R$) માટે,સામેની બાજુ $PQ$ છે અને કર્ણ $PR$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\sin R = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{PQ}{PR}$.
$\sin R = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $\angle PRQ = 30^{\circ}$.
$\triangle PQR$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle QPR + \angle PQR + \angle PRQ = 180^{\circ}$.
$\angle QPR + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle QPR = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

(A) આપેલ છે કે $\sin ( A - B ) = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $A - B = 30^{\circ}$ ......$(1)$
વળી,આપેલ છે કે $\cos ( A + B ) = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $A + B = 60^{\circ}$ ......$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(A - B) + (A + B) = 30^{\circ} + 60^{\circ}$
$2A = 90^{\circ}$
$A = 45^{\circ}$
સમીકરણ $(2)$ માં $A = 45^{\circ}$ મુકતા:
$45^{\circ} + B = 60^{\circ}$
$B = 60^{\circ} - 45^{\circ}$
$B = 15^{\circ}$
આમ,$A = 45^{\circ}$ અને $B = 15^{\circ}$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\sin 60^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ}$ છે.
પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
આ મૂલ્યોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)$
$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$= \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $2 \tan ^{2} 45^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}-\sin ^{2} 60^{\circ}$
આપણે ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો જાણીએ છીએ:
$\tan 45^{\circ} = 1$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આ મૂલ્યોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= 2(1)^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$
$= 2(1) + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}$
$= 2 + 0 = 2$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}}$
ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો મૂકતા: $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sec 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$,અને $\operatorname{cosec} 30^{\circ} = 2$.
$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}(2+2\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})$ વડે ગુણતા:
$= \frac{\sqrt{3}(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})}{(2\sqrt{6}+2\sqrt{2})(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})}$
$= \frac{2\sqrt{18}-2\sqrt{6}}{(2\sqrt{6})^2-(2\sqrt{2})^2} = \frac{2(3\sqrt{2})-2\sqrt{6}}{24-8} = \frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{16}$
$= \frac{2(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{16} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$

ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકતા:
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\operatorname{cosec} 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$,$\sec 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cot 45^{\circ} = 1$.
$\frac{\frac{1}{2}+1-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}+1} = \frac{\frac{3}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3}{2}+\frac{2}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{3\sqrt{3}-4}{2\sqrt{3}}}{\frac{3\sqrt{3}+4}{2\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}-4}{3\sqrt{3}+4}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \frac{(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}-4)}{(3\sqrt{3}+4)(3\sqrt{3}-4)} = \frac{(3\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2(3\sqrt{3})(4)}{(3\sqrt{3})^2 - 4^2}$
$= \frac{27 + 16 - 24\sqrt{3}}{27 - 16} = \frac{43 - 24\sqrt{3}}{11}$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}$
ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરતા: $\cos 60^{\circ} = 1/2$,$\sec 30^{\circ} = 2/\sqrt{3}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\sin 30^{\circ} = 1/2$,$\cos 30^{\circ} = \sqrt{3}/2$.
આ મૂલ્યો મુકતા:
$= \frac{5(1/2)^{2} + 4(2/\sqrt{3})^{2} - (1)^{2}}{(1/2)^{2} + (\sqrt{3}/2)^{2}}$
$= \frac{5(1/4) + 4(4/3) - 1}{1/4 + 3/4}$
$= \frac{5/4 + 16/3 - 1}{4/4}$
$= \frac{(15 + 64 - 12)/12}{1}$
$= 67/12$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}} = \frac{2(\frac{1}{\sqrt{3}})}{1+(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}$
$= \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$ થાય છે.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}} = \frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}$
$= \frac{1-1}{1+1}$
$= \frac{0}{2}$
$= 0$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપણને સમીકરણ $\sin 2A = 2 \sin A$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$2 \sin A \cos A = 2 \sin A$
$2 \sin A \cos A - 2 \sin A = 0$
$2 \sin A (\cos A - 1) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $\sin A = 0$ અથવા $\cos A = 1$ છે.
$\sin A = 0$ માટે,$A = 0^{\circ}, 180^{\circ}, \dots$
$\cos A = 1$ માટે,$A = 0^{\circ}, 360^{\circ}, \dots$
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$A = 0^{\circ}$ માટે:
ડાબી બાજુ $(LHS)$: $\sin 2(0^{\circ}) = \sin 0^{\circ} = 0$
જમણી બાજુ $(RHS)$: $2 \sin 0^{\circ} = 2(0) = 0$
ડાબી બાજુ = જમણી બાજુ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}} = \frac{2 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}{1 - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}$
$= \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
કારણ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\tan (A + B) = \sqrt{3}$.
કારણ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી $A + B = 60^{\circ} \dots (1)$.
તે જ રીતે,$\tan (A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $A - B = 30^{\circ} \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(A + B) + (A - B) = 60^{\circ} + 30^{\circ}$
$2A = 90^{\circ}$
$A = 45^{\circ}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $A = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$45^{\circ} + B = 60^{\circ}$
$B = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
આમ,$A = 45^{\circ}$ અને $B = 15^{\circ}$ મળે છે.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
$0^{\circ} \le \theta \le 90^{\circ}$ ના અંતરાલમાં જેમ $\theta$ વધે છે તેમ $\sin \theta$ નું મૂલ્ય વધે છે.
આપણે પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો પરથી આ જોઈ શકીએ છીએ:
$\sin 0^{\circ} = 0$
$\sin 30^{\circ} = 0.5$
$\sin 45^{\circ} \approx 0.707$
$\sin 60^{\circ} \approx 0.866$
$\sin 90^{\circ} = 1$
જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી વધીને $90^{\circ}$ થાય છે,તેમ $\sin \theta$ નું મૂલ્ય $0$ થી વધીને $1$ થાય છે.

(B) આ વિધાન સત્ય છે કે અસત્ય તે નક્કી કરવા માટે,ચાલો $0^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}$ ના અંતરાલમાં $\theta$ ના વિવિધ ખૂણાઓ માટે $\cos \theta$ ના મૂલ્યો તપાસીએ:
$\cos 0^{\circ} = 1$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = 0.5$
$\cos 90^{\circ} = 0$
જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\cos \theta$ નું મૂલ્ય $1$ થી ઘટીને $0$ થાય છે.
તેથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$.
$A = 0^{\circ}$ માટે,$\cot 0^{\circ} = \frac{\cos 0^{\circ}}{\sin 0^{\circ}}$ થાય.
અહીં $\cos 0^{\circ} = 1$ અને $\sin 0^{\circ} = 0$ હોવાથી,આપણને $\cot 0^{\circ} = \frac{1}{0}$ મળે છે.
ગણિતમાં શૂન્ય વડે ભાગાકાર અવ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,$\cot 0^{\circ}$ અવ્યાખ્યાયિત છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિને $0^{\circ}$ અને $45^{\circ}$ ની વચ્ચેના ખૂણાઓમાં દર્શાવવા માટે,આપણે કોટિકોણના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું: $\cot(90^{\circ}-\theta) = \tan \theta$ અને $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$.
આપેલ પદાવલિ: $\cot 85^{\circ} + \cos 75^{\circ}$
પગલું $1$: $85^{\circ}$ ને $(90^{\circ}-5^{\circ})$ તરીકે અને $75^{\circ}$ ને $(90^{\circ}-15^{\circ})$ તરીકે લખો.
$\cot(90^{\circ}-5^{\circ}) + \cos(90^{\circ}-15^{\circ})$
પગલું $2$: નિત્યસમનો ઉપયોગ કરો.
$= \tan 5^{\circ} + \sin 15^{\circ}$
અહીં $5^{\circ}$ અને $15^{\circ}$ બંને $0^{\circ}$ અને $45^{\circ}$ ની વચ્ચે હોવાથી,પદાવલિ માંગ્યા મુજબના સ્વરૂપમાં છે.

(C) આપણે કોટિકોણ માટે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}$.
આપણે $18^{\circ}$ ને $(90^{\circ} - 72^{\circ})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\sin 18^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 72^{\circ}) = \cos 72^{\circ}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}} = 1$.

(B) આપેલ છે,$\sin \alpha = \frac{1}{2} = \sin 30^{\circ}$ $\left[\because \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}\right]$
$\Rightarrow \alpha = 30^{\circ}$
અને,$\cos \beta = \frac{1}{2} = \cos 60^{\circ}$ $\left[\because \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}\right]$
$\Rightarrow \beta = 60^{\circ}$
તેથી,$\alpha + \beta = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$

(TRUE) સાચું (True)
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$.
તેથી,$\tan 47^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 43^{\circ}) = \cot 43^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\tan 47^{\circ}}{\cot 43^{\circ}} = \frac{\cot 43^{\circ}}{\cot 43^{\circ}} = 1$.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો: $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,અને $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
પ્રથમ,જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) ની ગણતરી કરીએ:
$\text{R.H.S.} = \tan^{3} 60^{\circ} - 2 \sin 60^{\circ} = (\sqrt{3})^{3} - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
હવે,ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) ની ગણતરી કરીએ:
$\text{L.H.S.} = (\sqrt{3} + 1)(3 - \cot 30^{\circ}) = (\sqrt{3} + 1)(3 - \sqrt{3})$.
બીજા કૌંસમાંથી $\sqrt{3}$ સામાન્ય લેતા:
$\text{L.H.S.} = (\sqrt{3} + 1) \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)$.
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{L.H.S.} = \sqrt{3}((\sqrt{3})^2 - 1^2) = \sqrt{3}(3 - 1) = \sqrt{3}(2) = 2\sqrt{3}$.
આમ,$\text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$ હોવાથી,સાબિત થાય છે.

(B) આપણે કોટિકોણ માટેના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\operatorname{cosec}(90^{\circ} - \theta) = \sec \theta$.
આપેલ પદાવલિ: $\operatorname{cosec} 31^{\circ} - \sec 59^{\circ}$.
આપણે $31^{\circ}$ ને $(90^{\circ} - 59^{\circ})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\operatorname{cosec} 31^{\circ} = \operatorname{cosec}(90^{\circ} - 59^{\circ}) = \sec 59^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sec 59^{\circ} - \sec 59^{\circ} = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan 2A = \cot(A - 18^{\circ})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \cot(90^{\circ} - \theta)$.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cot(90^{\circ} - 2A) = \cot(A - 18^{\circ})$.
બંને બાજુ કોટિ-વિધેય સમાન હોવાથી,તેમના ખૂણાઓ સમાન થશે: $90^{\circ} - 2A = A - 18^{\circ}$.
$A$ માટે પદોને ગોઠવતા: $90^{\circ} + 18^{\circ} = A + 2A$.
$108^{\circ} = 3A$.
$A = \frac{108^{\circ}}{3} = 36^{\circ}$.
આમ,$A$ નું મૂલ્ય $36^{\circ}$ છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિને $0^{\circ}$ અને $45^{\circ}$ ની વચ્ચેના ખૂણાઓના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરોમાં દર્શાવવા માટે,આપણે કોટિકોણના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું:
$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$
$\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$
આપેલ પદાવલિ: $\sin 67^{\circ} + \cos 75^{\circ}$
પગલું $1$: $67^{\circ}$ ને $(90^{\circ} - 23^{\circ})$ તરીકે અને $75^{\circ}$ ને $(90^{\circ} - 15^{\circ})$ તરીકે લખો.
$= \sin(90^{\circ} - 23^{\circ}) + \cos(90^{\circ} - 15^{\circ})$
પગલું $2$: કોટિકોણના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરો.
$= \cos 23^{\circ} + \sin 15^{\circ}$
અહીં $23^{\circ}$ અને $15^{\circ}$ બંને $0^{\circ}$ અને $45^{\circ}$ ની વચ્ચે હોવાથી,પદાવલિ હવે જરૂરી સ્વરૂપમાં છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}$
કોટીકોણના નિત્યસમ $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ અને $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\sin ^{2} 63^{\circ} + \sin ^{2} 27^{\circ} = [\sin(90^{\circ} - 27^{\circ})]^{2} + \sin ^{2} 27^{\circ} = \cos ^{2} 27^{\circ} + \sin ^{2} 27^{\circ} = 1$
છેદ: $\cos ^{2} 17^{\circ} + \cos ^{2} 73^{\circ} = [\cos(90^{\circ} - 73^{\circ})]^{2} + \cos ^{2} 73^{\circ} = \sin ^{2} 73^{\circ} + \cos ^{2} 73^{\circ} = 1$
તેથી,કિંમત $\frac{1}{1} = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$\sqrt{3} \tan \theta = 1$.
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$ મળે.
હવે,$\theta = 30^{\circ}$ ની કિંમત $\sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta$ માં મૂકતા:
$\sin^{2} 30^{\circ} - \cos^{2} 30^{\circ} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$.
$= \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$.
$= \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક મુજબ $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ થાય છે.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\theta = 30^\circ$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\theta = 45^\circ$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan \theta = \sqrt{3}$.
ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ થાય છે.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\theta = 60^\circ$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ત્રિકોણમિતીય પ્રમાણિત મૂલ્યો પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\theta = 60^\circ$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\sec \theta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$.
તેથી,$\frac{1}{\cos \theta} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = 1$.
કારણ કે $\cos 0^{\circ} = 1$ થાય છે,તેથી $\theta = 0^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો જાણીએ છીએ: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$= \frac{(\sqrt{3} + 1) \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો જાણીએ છીએ: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\sin 60^{\circ} + \cos 30^{\circ}}{1 + \sin 30^{\circ} + \cos 60^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$
$= \frac{\frac{2\sqrt{3}}{2}}{1 + 1}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x = \sin 60^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} - \cos 60^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરતા: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin x = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$
$\sin x = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$\sin x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin x = \sin 30^{\circ}$.
આમ,$x = 30^{\circ}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $2 \sin ^{2} 30^{\circ} \cot 30^{\circ}-3 \cos ^{2} 60^{\circ} \sec ^{2} 30^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો મૂકતા: $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sec 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$= 2 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} (\sqrt{3}) - 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}$
$= 2 \times \frac{1}{4} \times \sqrt{3} - 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{4}{3}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$
$= \frac{\sqrt{3}-2}{2}$

(D) આપેલ છે કે $\cos \theta = \sin \theta.$
બંને બાજુ $\cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{\cos \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.$
તેથી,$1 = \tan \theta.$
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\theta = 45^{\circ}.$
હવે,$2 \tan^{2} \theta + \sin^{2} \theta + 1$ માં $\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,
$2 \tan^{2} 45^{\circ} + \sin^{2} 45^{\circ} + 1 = 2(1)^{2} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + 1.$
$= 2(1) + \frac{1}{2} + 1.$
$= 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}.$

(B) $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ ના અંતરાલમાં:
$1$. જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\sin \theta$ નું મૂલ્ય $0$ થી $1$ સુધી વધે છે.
$2$. જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\cos \theta$ નું મૂલ્ય $1$ થી $0$ સુધી ઘટે છે.
$3$. જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\operatorname{cosec} \theta$ નું મૂલ્ય $\infty$ થી $1$ સુધી ઘટે છે.
$4$. જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\cot \theta$ નું મૂલ્ય $\infty$ થી $0$ સુધી ઘટે છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી માત્ર $\sin \theta$ નું મૂલ્ય $\theta$ વધવાની સાથે વધે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\sin 60^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} + \cos 60^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ છે.
આ મૂલ્યોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})$
$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$= \frac{4}{4} = 1$.
વૈકલ્પિક રીતે,નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 60^{\circ}$ અને $B = 30^{\circ}$ છે:
$= \sin(60^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
તેથી,$\sin 80^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 10^{\circ}) = \cos 10^{\circ}$.
આ કિંમતને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\cos 10^{\circ} + \cos 10^{\circ})(\cos 10^{\circ} - \cos 10^{\circ})$
$= (2 \cos 10^{\circ})(0)$
$= 0$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ધારો કે ખૂણાઓ $30^{\circ}$,$60^{\circ}$ અને $90^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર મુજબ,ખૂણા $\theta$ માટે,$\sin(\theta) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$.
અહીં,$\theta = 30^{\circ}$ છે.
તેથી,$\sin(30^{\circ}) = \frac{30^{\circ} \text{ ની સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ થાય છે.
આમ,$\frac{1}{2} = \frac{30^{\circ} \text{ ની સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુ કર્ણ કરતાં $\frac{1}{2}$ ગણી હોય છે.

(B) ધારો કે સીડીની લંબાઈ $L = 4 \, m$ (કર્ણ) છે અને દીવાલથી અંતર $d = 2 \, m$ (પાસેની બાજુ) છે.
ધારો કે સીડી જમીન સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\cos \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી $\theta = 60^\circ$.

(C) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે.
અહીં કર્ણ $AC = 20$ અને $\angle ACB$ ની પાસેની બાજુ $BC = 10$ આપેલ છે.
કોસાઈન (cosine) ના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\angle ACB) = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{AC}$
$\cos(\angle ACB) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ થાય,તેથી $m\angle ACB = 60^{\circ}$ મળે.

(B) $\Delta ABC$ માં,આપણને $m \angle B = 90^{\circ}$ આપેલ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ થાય.
$m \angle B = 90^{\circ}$ મૂકતા,$m \angle A + m \angle C = 90^{\circ}$ મળે.
ગુણોત્તર $m \angle A : m \angle C = 1 : 2$ આપેલ છે,તેથી ધારો કે $m \angle A = x$ અને $m \angle C = 2x$.
આમ,$x + 2x = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $3x = 90^{\circ}$,તેથી $x = 30^{\circ}$.
તેથી,$m \angle A = 30^{\circ}$ અને $m \angle C = 60^{\circ}$ મળે.
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ કર્ણ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં,$BC$ એ $\angle A = 30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ છે,તેથી $BC = \frac{1}{2} AC$.
$BC = 4$ આપેલ હોવાથી,$4 = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 8$.

(B) $\Delta ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
અહીં $m \angle B = 90^{\circ}$ અને $m \angle C = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $m \angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$ મળે.
આ એક $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ માપનો ત્રિકોણ છે.
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુ કર્ણ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં $30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુ $AB$ છે.
કર્ણ $AC = 10$ છે.
તેથી,$AB = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.

(B) $\Delta ABC$ માં,આપણને $m \angle A = 90^{\circ}$ અને $m \angle B = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle C = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
અહીં $\angle B$ $(30^{\circ})$ ની સામેની બાજુ $AC$ છે અને કર્ણ $BC$ છે.
તેથી,$AC = \frac{1}{2} BC$ થાય.

(A) $\Delta ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $m \angle B = 90^{\circ}$ અને $m \angle A = 60^{\circ}$,તેથી $m \angle C = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$ થાય.
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ના ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુનું માપ કર્ણના માપથી અડધું હોય છે.
અહીં,$AB$ એ $\angle C$ $(30^{\circ})$ ની સામેની બાજુ છે અને $AC$ એ કર્ણ છે.
તેથી,$AB = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \theta = \cos 30$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\theta = 60$ મળે.
હવે,પદાવલિ $2 \tan^2 \theta - 1$ માં $\theta = 60$ મૂકતા:
$2 \tan^2 60 - 1 = 2(\sqrt{3})^2 - 1$.
$= 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$.

(D) આપેલ છે કે $\sec \theta = \operatorname{cosec} 60^\circ$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} A = \sec(90^\circ - A)$.
તેથી,$\sec \theta = \sec(90^\circ - 60^\circ) = \sec 30^\circ$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\theta = 30^\circ$ મળે છે.
હવે,$2 \cos^2 \theta - 1$ પદાવલિમાં $\theta = 30^\circ$ મૂકતા:
$2 \cos^2 30^\circ - 1 = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - 1$.
$= 2 \left( \frac{3}{4} \right) - 1$.
$= \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} 45^{\circ} = \sqrt{2}$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
હવે,આપણે $\tan \theta$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\tan \theta = \tan 45^{\circ}$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\tan \theta$ ની કિંમત $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin 5 \theta = \cos 5 \theta$
બંને બાજુ $\cos 5 \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\cos 5 \theta \neq 0$):
$\frac{\sin 5 \theta}{\cos 5 \theta} = 1$
$\tan 5 \theta = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી:
$5 \theta = 45^{\circ}$
$\theta = \frac{45^{\circ}}{5} = 9^{\circ}$
આમ,$\theta$ ની કિંમત $9$ છે.