Trigonometric Ratios Questions in Hindi

(N/A) मान लीजिए कि हम एक समकोण $\Delta ABC$ खींचते हैं जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है।
अब,हम जानते हैं कि $\tan A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3}$ है।
इसलिए,यदि $BC = 4k$ है,तो $AB = 3k$ होगा,जहाँ $k$ एक धनात्मक संख्या है।
अब,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2$.
$AC = 5k$.
अब,हम उनकी परिभाषाओं का उपयोग करके सभी त्रिकोणमितीय अनुपात लिख सकते हैं:
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$.
$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$.
$\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{3}{4}$.
$\operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A} = \frac{5}{4}$.
$\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{5}{3}$.

(N/A) मान लीजिए कि दो समकोण त्रिभुज $ABC$ और $PQR$ हैं जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$ और $\angle R = 90^{\circ}$ है,और $\sin B = \sin Q$ है।
हमारे पास $\sin B = \frac{AC}{AB}$ और $\sin Q = \frac{PR}{PQ}$ है।
चूँकि $\sin B = \sin Q$ दिया गया है,इसलिए $\frac{AC}{AB} = \frac{PR}{PQ}$।
इसे $\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है) के रूप में लिखा जा सकता है .......... $(1)$।
अब,दोनों त्रिभुजों में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$ और $QR = \sqrt{PQ^2 - PR^2}$।
तीसरी भुजाओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{BC}{QR} = \frac{\sqrt{AB^2 - AC^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}}$।
$(1)$ से $AB = kPQ$ और $AC = kPR$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{BC}{QR} = \frac{\sqrt{(kPQ)^2 - (kPR)^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = \frac{\sqrt{k^2(PQ^2 - PR^2)}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = \frac{k \sqrt{PQ^2 - PR^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = k$ .......... $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ से,हमारे पास $\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = k$ है।
$SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ACB \sim \Delta PRQ$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होते हैं। अतः,$\angle B = \angle Q$।

(N/A) $\triangle ABC$ में,$\tan A = \frac{BC}{AB} = 1$ (आकृति देखें)।
अर्थात्,$BC = AB$ है।
माना $AB = BC = k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक संख्या है।
अब,$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$= \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}$ है।
अतः,$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{k\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{k}{k\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,$2 \sin A \cos A = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 1$,जो कि अभीष्ट मान है।

(N/A) $\triangle OPQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,हमारे पास है:
$OQ^2 = OP^2 + PQ^2$
दिया गया है कि $OQ - PQ = 1\, cm$,इसलिए $OQ = 1 + PQ$.
इस मान को पाइथागोरस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + PQ)^2 = OP^2 + PQ^2$
$1 + PQ^2 + 2PQ = OP^2 + PQ^2$
$1 + 2PQ = OP^2$
चूँकि $OP = 7\, cm$,हमारे पास है:
$1 + 2PQ = 7^2$
$1 + 2PQ = 49$
$2PQ = 48$
$PQ = 24\, cm$
अब,$OQ = 1 + PQ = 1 + 24 = 25\, cm$.
अतः,$\sin Q = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{OP}{OQ} = \frac{7}{25}$.
और $\cos Q = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{PQ}{OQ} = \frac{24}{25}$.

(N/A) $\triangle ABC$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (24 \, cm)^2 + (7 \, cm)^2$
$AC^2 = (576 + 49) \, cm^2 = 625 \, cm^2$
$\therefore AC = \sqrt{625} \, cm = 25 \, cm$
$(i)$ $\sin A = \frac{\angle A \text{ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25}$
$\cos A = \frac{\angle A \text{ की संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25}$
$(ii)$ $\sin C = \frac{\angle C \text{ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25}$
$\cos C = \frac{\angle C \text{ की संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25}$

(C) $\triangle PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$,$PQ = 12 \, \text{cm}$,और $PR = 13 \, \text{cm}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$PR^2 = PQ^2 + QR^2$
$(13)^2 = (12)^2 + QR^2$
$169 = 144 + QR^2$
$QR^2 = 169 - 144 = 25$
$QR = 5 \, \text{cm}$।
अब,$\tan P = \frac{\angle P \text{ की सम्मुख भुजा}}{\angle P \text{ की संलग्न भुजा}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}$।
और,$\cot R = \frac{\angle R \text{ की संलग्न भुजा}}{\angle R \text{ की सम्मुख भुजा}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}$।
अतः,$\tan P - \cot R = \frac{5}{12} - \frac{5}{12} = 0$।

(N/A) माना $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें कोण $B$ समकोण है।
दिया गया है कि,$\sin A = \frac{3}{4}$.
हम जानते हैं कि $\sin A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC}$,इसलिए $\frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$.
माना $BC = 3k$ और $AC = 4k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(4k)^2 = AB^2 + (3k)^2$
$16k^2 = AB^2 + 9k^2$
$AB^2 = 7k^2$
$AB = \sqrt{7}k$
अब,$\cos A = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{7}k}{4k} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
और,$\tan A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{\sqrt{7}k} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.

(N/A) एक समकोण त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें,जिसमें $\angle B$ समकोण है।
$\cot A = \frac{\angle A \text{ की संलग्न भुजा}}{\angle A \text{ की सम्मुख भुजा}} = \frac{AB}{BC}$
यह दिया गया है कि $15 \cot A = 8$,इसलिए $\cot A = \frac{8}{15}$।
अतः,$\frac{AB}{BC} = \frac{8}{15}$।
मान लीजिए $AB = 8k$ और $BC = 15k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (8k)^2 + (15k)^2$
$AC^2 = 64k^2 + 225k^2 = 289k^2$
$AC = 17k$
अब,$\sin A = \frac{\angle A \text{ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{15k}{17k} = \frac{15}{17}$।
और,$\sec A = \frac{\text{कर्ण}}{\angle A \text{ की संलग्न भुजा}} = \frac{AC}{AB} = \frac{17k}{8k} = \frac{17}{8}$।

(N/A) एक समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें, जो बिंदु $B$ पर समकोण है।
$\sec \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{}}{\angle \theta \text{की संलग्न भुजा}} = \frac{AC}{AB} = \frac{13}{12}$
मान लीजिए $AC = 13k$ और $AB = 12k$, जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$
$(13k)^2 = (12k)^2 + (BC)^2$
$169k^2 = 144k^2 + (BC)^2$
$(BC)^2 = 25k^2$
$BC = 5k$
अब अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करते हैं:
$\sin \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13}$
$\cos \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{की संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}$
$\tan \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{की सम्मुख भुजा}}{\text{}}{\angle \theta \text{की संलग्न भुजा}} = \frac{BC}{AB} = \frac{5k}{12k} = \frac{5}{12}$
$\cot \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{की संलग्न भुजा}}{\text{}}{\angle \theta \text{की सम्मुख भुजा}} = \frac{AB}{BC} = \frac{12k}{5k} = \frac{12}{5}$
$\operatorname{cosec} \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{}}{\angle \theta \text{की सम्मुख भुजा}} = \frac{AC}{BC} = \frac{13k}{5k} = \frac{13}{5}$

(N/A) मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ है जिसमें $CD \perp AB$ है।
यह दिया गया है कि,
$\cos A = \cos B$
$\Rightarrow \frac{AD}{AC} = \frac{BD}{BC}$
$\Rightarrow \frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}$
मान लीजिए $\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC} = k$
$\Rightarrow AD = k BD \dots(1)$
और,$AC = k BC \dots(2)$
त्रिभुज $CAD$ और $CBD$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है
$CD^2 = AC^2 - AD^2 \dots(3)$
और,$CD^2 = BC^2 - BD^2 \dots(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ से,हमें प्राप्त होता है
$AC^2 - AD^2 = BC^2 - BD^2$
$\Rightarrow (k BC)^2 - (k BD)^2 = BC^2 - BD^2$
$\Rightarrow k^2(BC^2 - BD^2) = BC^2 - BD^2$
$\Rightarrow k^2 = 1$
$\Rightarrow k = 1$
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है
$AC = BC$
$\Rightarrow \angle A = \angle B$ (त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।

(N/A) मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज $ABC$ है,जिसमें कोण $B$ समकोण है।
$\cot \theta = \frac{\text{कोण } \theta \text{ की संलग्न भुजा}}{\text{कोण } \theta \text{ की सम्मुख भुजा}} = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{8}.$
यदि $BC = 7k$ है,तो $AB = 8k$ होगा,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (8k)^2 + (7k)^2 = 64k^2 + 49k^2 = 113k^2.$
$AC = \sqrt{113}k.$
अब,$\sin \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{8k}{\sqrt{113}k} = \frac{8}{\sqrt{113}}$ और $\cos \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{7k}{\sqrt{113}k} = \frac{7}{\sqrt{113}}.$
$(i) \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} = \frac{1-\sin^2 \theta}{1-\cos^2 \theta} = \frac{1-(\frac{8}{\sqrt{113}})^2}{1-(\frac{7}{\sqrt{113}})^2} = \frac{1-\frac{64}{113}}{1-\frac{49}{113}} = \frac{\frac{49}{113}}{\frac{64}{113}} = \frac{49}{64}.$
$(ii) \cot^2 \theta = (\cot \theta)^2 = (\frac{7}{8})^2 = \frac{49}{64}.$

(A) यह दिया गया है कि $3 \cot A = 4$ है।
अतः,$\cot A = \frac{4}{3}$ है।
एक समकोण त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें,जिसमें कोण $B$ समकोण है।
$\cot A = \frac{\text{कोण } A \text{ की संलग्न भुजा}}{\text{कोण } A \text{ की सम्मुख भुजा}} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3}$ है।
माना $AB = 4k$ और $BC = 3k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 = (4k)^2 + (3k)^2 = 16k^2 + 9k^2 = 25k^2$ है।
अतः,$AC = 5k$ है।
अब,$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$ है।
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$ है।
$\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$ है।
बायाँ पक्ष $(LHS)$: $\frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 + (3/4)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 + 9/16} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25}$ है।
दायाँ पक्ष $(RHS)$: $\cos^2 A - \sin^2 A = (4/5)^2 - (3/5)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$ है।
चूँकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष है,इसलिए दिया गया समीकरण सत्य है।

(N/A) दिया गया है कि $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
चूंकि $\tan A = \frac{\text{$\text{$\angle A$ की सम्मुख भुजा}$}}{\text{$\text{$\angle A$ की संलग्न भुजा}$}} = \frac{BC}{AB},$
अतः $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
माना $BC = k$ और $AB = \sqrt{3}k,$ जहाँ $k$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (\sqrt{3}k)^2 + (k)^2 = 3k^2 + k^2 = 4k^2$
$AC = 2k$
अब,हम त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$(i)$ $\sin A \cos C + \cos A \sin C = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$(ii)$ $\cos A \cos C - \sin A \sin C = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$

(N/A) दिया गया है कि, $PR + QR = 25 \, cm$ और $PQ = 5 \, cm$ है।
माना $PR = x \, cm$ है।
तब, $QR = (25 - x) \, cm$ होगा।
$\triangle PQR$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$PR^2 = PQ^2 + QR^2$
$x^2 = 5^2 + (25 - x)^2$
$x^2 = 25 + 625 - 50x + x^2$
$50x = 650$
$x = 13$
अतः, $PR = 13 \, cm$ और $QR = 25 - 13 = 12 \, cm$ है।
अब, $\angle P$ के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\sin P = \frac{\text{Side opposite to } \angle P}{\text{Hypotenuse}} = \frac{QR}{PR} = \frac{12}{13}$
$\cos P = \frac{\text{Side adjacent to } \angle P}{\text{Hypotenuse}} = \frac{PQ}{PR} = \frac{5}{13}$
$\tan P = \frac{\text{Side opposite to } \angle P}{\text{Side adjacent to } \angle P} = \frac{QR}{PQ} = \frac{12}{5}$

(A-D) $(i)$ असत्य।
एक ऐसा समकोण त्रिभुज मानिए जिसमें $\angle A$ की सम्मुख भुजा $12$ इकाई और $\angle A$ की संलग्न भुजा $5$ इकाई है। तब $\tan A = \frac{12}{5} = 2.4$ होगा। चूँकि $2.4 > 1$,इसलिए यह कथन कि $\tan A$ सदैव $1$ से कम होता है,असत्य है।
$(ii)$ सत्य।
हम जानते हैं कि $\sec A = \frac{\text{कर्ण}}{\angle A \text{ की संलग्न भुजा}}$.
यहाँ $\sec A = \frac{12}{5}$ दिया गया है,अतः मान लीजिए कि कर्ण $AC = 12k$ और संलग्न भुजा $AB = 5k$ है,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC^2 = AC^2 - AB^2 = (12k)^2 - (5k)^2 = 144k^2 - 25k^2 = 119k^2$।
अतः,$BC = \sqrt{119}k \approx 10.9k$।
चूँकि भुजाओं $5k, 10.9k$ और $12k$ वाला त्रिभुज त्रिभुज असमिका का पालन करता है $(5k + 10.9k > 12k)$,इसलिए ऐसा त्रिभुज संभव है। अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(NONE) $(i)$ कोण $A$ के कोसेकेंट के लिए प्रयुक्त संक्षिप्त रूप $\text{cosec } A$ है। $\cos A$ का प्रयोग कोण $A$ के कोसाइन $(cosine)$ के लिए किया जाता है। अतः, यह कथन असत्य है।
$(ii)$ $\cot A$, $\cot$ और $A$ का गुणनफल नहीं है। यह कोण $A$ का कोटेनजेंट $(cotangent)$ दर्शाता है। अतः, यह कथन असत्य है।
$(iii)$ हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में, $\sin \theta = \frac{\text{$\theta$ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$। चूंकि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है, इसलिए $\sin \theta$ का मान हमेशा $1$ या उससे कम होना चाहिए। चूंकि $\frac{4}{3} > 1$ है, इसलिए यह मान संभव नहीं है। अतः, यह कथन असत्य है।

(B) कथन $\sin (A+B) = \sin A + \sin B$ असत्य है।
इसका औचित्य देने के लिए,मान लीजिए $A = 30^{\circ}$ और $B = 60^{\circ}$ है।
बायाँ पक्ष $(LHS)$: $\sin (A+B) = \sin (30^{\circ} + 60^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1$.
दायाँ पक्ष $(RHS)$: $\sin A + \sin B = \sin 30^{\circ} + \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $1 \neq \frac{1+\sqrt{3}}{2}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) $\theta$ के सभी मानों के लिए $\sin \theta = \cos \theta$ का कथन असत्य है।
औचित्य:
$1$. समीकरण $\sin \theta = \cos \theta$ केवल तभी सत्य होता है जब $\theta = 45^{\circ}$ हो।
$2$. $\theta = 45^{\circ}$ पर,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।
$3$. $\theta$ के अन्य मानों के लिए,यह कथन गलत है। उदाहरण के लिए,$\theta = 30^{\circ}$ पर,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ है जबकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$4$. चूंकि $\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(D) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\cot A = \tan(90^{\circ} - A)$ होती है।
हर (denominator) के लिए इस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cot 25^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 25^{\circ}) = \tan 65^{\circ}$।
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}} = \frac{\tan 65^{\circ}}{\tan 65^{\circ}} = 1$।

(D) हम जानते हैं कि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$.
दी गई व्यंजक: $\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}$.
हम $\tan 26^{\circ}$ को $\tan(90^{\circ} - 64^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\tan(90^{\circ} - 64^{\circ}) = \cot 64^{\circ}$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{\cot 64^{\circ}}{\cot 64^{\circ}} = 1$.

(A) दिया गया है,$\cos A = \frac{4}{5}$।
हम जानते हैं कि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,इसलिए $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$।
$\cos A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$।
अब,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$।
$\sin A$ और $\cos A$ के मान रखने पर:
$\tan A = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$।
अतः,$\tan A$ का अभीष्ट मान $\frac{3}{4}$ है।

(B) दिया गया है,$\sin A = \frac{1}{2}$।
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos A$ ज्ञात करते हैं:
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अब,$\cot A$ का मान इस प्रकार है:
$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$।

(D) दिया गया है,$\sin \theta = \frac{a}{b}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हम लिख सकते हैं $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta}$.
$\sin \theta$ का मान रखने पर:
$\cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{a}{b}\right)^{2}}$
$\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}}$
$\cos \theta = \sqrt{\frac{b^{2} - a^{2}}{b^{2}}}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}}}{b}$.

(C) दिया गया है,$\cos 9 \alpha = \sin \alpha$ और $9 \alpha < 90^{\circ},$ जिसका अर्थ है कि $9 \alpha$ एक न्यून कोण है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos A = \sin(90^{\circ} - A)$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sin(90^{\circ} - 9 \alpha) = \sin \alpha$
अतः,
$90^{\circ} - 9 \alpha = \alpha$
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$10 \alpha = 90^{\circ}$
$\alpha = 9^{\circ}$
अब,$\tan 5 \alpha$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\tan 5 \alpha = \tan(5 \times 9^{\circ}) = \tan 45^{\circ}$
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1,$ इसलिए अभीष्ट मान $1$ है।

(D) दिया है,$4 \tan \theta = 3$
$\Rightarrow \tan \theta = \frac{3}{4}$ ..........$(i)$
व्यंजक $\frac{4 \sin \theta - \cos \theta}{4 \sin \theta + \cos \theta}$ का मान ज्ञात करने के लिए,अंश और हर दोनों को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{\frac{4 \sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{4 \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{4 \tan \theta - 1}{4 \tan \theta + 1}$
अब,समीकरण $(i)$ से $\tan \theta = \frac{3}{4}$ का मान रखने पर:
$= \frac{4(\frac{3}{4}) - 1}{4(\frac{3}{4}) + 1}$
$= \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(A) सत्य।
आकृति में,बिंदु $B$ को रेखाखंड $BC$ पर $C$ के करीब ले जाया जाता है। यह देखा गया है कि:
$(i)$ कोण $\theta$ बढ़ता है (जैसे $\theta_{1} > \theta, \theta_{2} > \theta_{1}, \dots$) और
(ii) आधार $BC$ की लंबाई घटती है (जैसे $B_{1}C < BC, B_{2}C < B_{1}C, \dots$)
एक समकोण त्रिभुज में,$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AC}{BC}$ होता है।
चूंकि लंब $AC$ स्थिर रहता है और जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,आधार $BC$ घटता जाता है,इसलिए अनुपात $\frac{AC}{BC}$ बढ़ता है। अतः,जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\tan \theta$ का मान बढ़ता है।

(A) सत्य।
हम जानते हैं कि $0^\circ < \theta < 90^\circ$ के अंतराल में जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\sin \theta$ बढ़ता है,लेकिन $\cos \theta$ घटता है।
हमारे पास $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ है।
जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^\circ$ से $90^\circ$ की ओर बढ़ता है,$\sin \theta$ बढ़ता है (अंश बढ़ता है) और $\cos \theta$ घटता है (हर घटता है)।
चूंकि $\tan \theta$ एक बढ़ती हुई संख्या और एक घटती हुई संख्या का अनुपात है,इसलिए यह $\sin \theta$ की तुलना में काफी तेजी से बढ़ता है,जिसे $\frac{\sin \theta}{1}$ के रूप में देखा जा सकता है,जहाँ हर $1$ स्थिर रहता है।
अतः,जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\tan \theta$,$\sin \theta$ की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

(B) यह कथन असत्य (False) है।
हम जानते हैं कि $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ के अंतराल में,$\sin \theta$ एक वर्धमान फलन है,जबकि $\cos \theta$ एक ह्रासमान फलन है।
$\theta = 45^{\circ}$ पर,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।
किसी भी कोण $\theta$ के लिए जहाँ $45^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ हो,$\sin \theta > \cos \theta$ होता है।
चूँकि $80^{\circ}$ कोण $(45^{\circ}, 90^{\circ})$ के अंतराल में स्थित है,इसलिए $\sin 80^{\circ} > \cos 80^{\circ}$ होगा।
अतः,$(\sin 80^{\circ} - \cos 80^{\circ}) > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि यह मान धनात्मक है,ऋणात्मक नहीं।

(B) असत्य।
दिया गया है कि $a$ एक धनात्मक संख्या है और $a \neq 1,$ इसलिए हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं।
किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $\frac{1}{a}$ के लिए,$AM = \frac{a + \frac{1}{a}}{2}$ और $GM = \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 1$ होता है।
चूंकि $a \neq 1$ के लिए $AM > GM$ होता है,इसलिए $\frac{a + \frac{1}{a}}{2} > 1,$ जिसका अर्थ है कि $(a + \frac{1}{a}) > 2.$
यदि हम मान लें कि $2 \sin \theta = a + \frac{1}{a},$ तो $2 \sin \theta > 2$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\sin \theta > 1.$
हालाँकि,हम जानते हैं कि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए $\sin \theta$ का मान कभी भी $1$ से अधिक नहीं हो सकता।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(B) असत्य।
दिया गया है कि $a$ और $b$ दो भिन्न संख्याएँ हैं ताकि $ab > 0$ हो।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो भिन्न धनात्मक संख्याओं के लिए,समांतर माध्य $(AM)$,गुणोत्तर माध्य $(GM)$ से सदैव बड़ा होता है।
$AM > GM$
$\frac{a^2 + b^2}{2} > \sqrt{a^2 b^2}$
$\frac{a^2 + b^2}{2} > ab$
दोनों पक्षों को $ab$ से विभाजित करने पर (चूंकि $ab > 0$):
$\frac{a^2 + b^2}{2ab} > 1$
चूंकि $\cos \theta = \frac{a^2 + b^2}{2ab}$,इसका अर्थ है कि $\cos \theta > 1$ है।
हालाँकि,$\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(N/A) दिया है,$\tan A = \frac{3}{4} = \frac{P}{B} = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$.
माना $P = 3k$ और $B = 4k$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
$H^2 = P^2 + B^2 = (3k)^2 + (4k)^2$
$H^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2$
$\Rightarrow H = 5k$ [चूंकि,भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती]।
अब,$\sin A = \frac{P}{H} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$ और $\cos A = \frac{B}{H} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,$\sin A \cos A = \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{25}$ है।
इति सिद्धम्।

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$.
दी गई व्यंजक: $\cos 48^{\circ}-\sin 42^{\circ}$.
हम $\cos 48^{\circ}$ को $\cos(90^{\circ}-42^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\cos(90^{\circ}-42^{\circ}) = \sin 42^{\circ}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 42^{\circ} - \sin 42^{\circ} = 0$.

(B) $\Delta ABC$ में, $AC = 5$ और कर्ण $BC = 13$ है, जहाँ $m \angle A = 90^\circ$ है。
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = BC^2 - AC^2$
$AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$
अब, $\tan B = \frac{\text{$\angle B$ की सम्मुख भुजा}}{\text{$\angle B$ की संलग्न भुजा}} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{12}$.

(C) दिया गया है: $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
समकोण त्रिभुज में,$\tan A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{BC}{AC}$.
अतः,$\frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
मान लीजिए $BC = k$ और $AC = \sqrt{3}k$,जहाँ $k > 0$.
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = BC^2 + AC^2$.
$AB^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$.
अतः,$AB = 2k$.
अब,$\sin A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AB} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$.
वैकल्पिक रूप से,चूँकि $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$,हम जानते हैं कि $A = 30^{\circ}$.
अतः,$\sin A = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$m \angle C = 90^{\circ}$ और $\cos B = \frac{1}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\cos B = \frac{\angle B \text{ की संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AB}$ होता है।
अतः,$\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$। मान लीजिए $BC = k$ और $AB = 2k$,जहाँ $k > 0$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AC^2 + BC^2 = AB^2$।
$AC^2 + k^2 = (2k)^2 = 4k^2$।
$AC^2 = 3k^2 \implies AC = k\sqrt{3}$।
अब,$\operatorname{cosec} A = \frac{\text{कर्ण}}{\angle A \text{ की सम्मुख भुजा}} = \frac{AB}{BC}$।
$\operatorname{cosec} A = \frac{2k}{k} = 2$।

(D) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle A = 90^\circ$ है:
कोण $C$ के लिए,सम्मुख भुजा $AB = 5$ है और आसन्न भुजा $AC = 12$ है। कर्ण $BC = 13$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करते हुए:
$\sin C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$
$\cos C = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}$
अतः,$\sin C + \cos C = \frac{5}{13} + \frac{12}{13} = \frac{5 + 12}{13} = \frac{17}{13}$.

(A) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$,इसलिए $\overline{AC}$ कर्ण (hypotenuse) है।
दिया गया है $BC = 3$ और $AC = 5$।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$।
$AB^{2} + 3^{2} = 5^{2}$
$AB^{2} + 9 = 25$
$AB^{2} = 25 - 9 = 16$
$AB = \sqrt{16} = 4$।
अब,$\tan A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{BC}{AB}$।
$\tan A = \frac{3}{4}$।

(B) हमें दिया गया है कि $\operatorname{cosec} A = \sqrt{10}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार,$\sin A$,$\operatorname{cosec} A$ का व्युत्क्रम होता है,इसलिए $\sin A = \frac{1}{\operatorname{cosec} A}$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin A = \frac{1}{\sqrt{10}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $5 \cos A = 4 \sin A$.
$\tan A$ ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$.
समीकरण के दोनों पक्षों को $\cos A$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5 \cos A}{\cos A} = \frac{4 \sin A}{\cos A}$
$5 = 4 \tan A$
अब,दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर:
$\tan A = \frac{5}{4}$.

(C) दिया गया है,$\tan \theta = \frac{4}{3}$।
व्यंजक $\frac{5 \sin \theta + 2 \cos \theta}{3 \sin \theta - \cos \theta}$ का मान ज्ञात करने के लिए,अंश और हर दोनों को $\cos \theta$ से विभाजित करें (जहाँ $\cos \theta \neq 0$):
$= \frac{\frac{5 \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{2 \cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{3 \sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{5 \tan \theta + 2}{3 \tan \theta - 1}$
अब $\tan \theta = \frac{4}{3}$ का मान रखने पर:
$= \frac{5(\frac{4}{3}) + 2}{3(\frac{4}{3}) - 1}$
$= \frac{\frac{20}{3} + 2}{4 - 1}$
$= \frac{\frac{20 + 6}{3}}{3}$
$= \frac{26}{3 \times 3} = \frac{26}{9}$।

(C) हम जानते हैं कि सेकेंट और कोसाइन के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ है।
दिया गया है कि $\sec \theta = \frac{13}{5}$ है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है कि $3 \cot \theta = 4$,इसलिए $\cot \theta = \frac{4}{3}$ है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{3}{4}$ होगा।
अब,$\tan \theta$ का मान व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - (\frac{3}{4})^2}{1 + (\frac{3}{4})^2}$
$= \frac{1 - \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}}$
$= \frac{\frac{16 - 9}{16}}{\frac{16 + 9}{16}}$
$= \frac{7}{25}$.

(D) $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ के लिए:
$1$. $\cos \theta$ का मान $0$ और $1$ के बीच होता है $(0 < \cos \theta < 1)$। अतः,$\cos \theta > 1$ असत्य है।
$2$. $\operatorname{cosec} \theta$ का मान हमेशा $1$ से बड़ा होता है $(\operatorname{cosec} \theta > 1)$। अतः,$\operatorname{cosec} \theta < 1$ असत्य है।
$3$. प्रथम चतुर्थांश में $\tan \theta$ का मान हमेशा धनात्मक होता है $(\tan \theta > 0)$। अतः,$\tan \theta < 0$ असत्य है।
$4$. $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ के लिए $\sec \theta$ का मान हमेशा $1$ से बड़ा होता है $(\sec \theta > 1)$। अतः,$\sec \theta > 1$ सत्य है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(D) दिया गया है कि $\cot \theta = \frac{a}{b}$।
हम जानते हैं कि $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$,इसलिए $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{a}{b}$।
$\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}$ का मान ज्ञात करने के लिए,अंश और हर दोनों को $\sin \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\sin \theta}} = \frac{\cot \theta - 1}{\cot \theta + 1}$।
$\cot \theta = \frac{a}{b}$ रखने पर:
$\frac{\frac{a}{b} - 1}{\frac{a}{b} + 1} = \frac{\frac{a-b}{b}}{\frac{a+b}{b}} = \frac{a-b}{a+b}$।

(B) हम पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\cos \theta = \sin(90^{\circ} - \theta)$.
इस सर्वसमिका में $\theta = 35^{\circ}$ रखने पर:
$\cos 35^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 35^{\circ})$.
$\cos 35^{\circ} = \sin 55^{\circ}$.

(B) हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\operatorname{cosec} \theta = \sec(90^{\circ} - \theta)$ होती है।
इस सर्वसमिका में $\theta = 40^{\circ}$ रखने पर:
$\operatorname{cosec} 40^{\circ} = \sec(90^{\circ} - 40^{\circ})$
$\operatorname{cosec} 40^{\circ} = \sec 50^{\circ}$

(C) हम पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\sin(90^{\circ} - A) = \cos A$ और $\cos(90^{\circ} - A) = \sin A$.
दिया गया समीकरण: $\sin 70^{\circ} = \cos \theta$.
हम $\sin 70^{\circ}$ को $\cos(90^{\circ} - 70^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\cos(90^{\circ} - 70^{\circ}) = \cos \theta$.
इसे सरल करने पर $\cos 20^{\circ} = \cos \theta$ प्राप्त होता है।
कोणों की तुलना करने पर,हमें $\theta = 20^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) हम पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \sin(90^{\circ} - \theta)$ और $\sin \theta = \cos(90^{\circ} - \theta)$.
प्रथम पद के लिए: $\cos 50^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 50^{\circ}) = \sin 40^{\circ}$.
अतः,$\frac{\cos 50^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 1$.
द्वितीय पद के लिए: $\cos 75^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 75^{\circ}) = \sin 15^{\circ}$.
अतः,$\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}} = \frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ}} = 1$.
दोनों परिणामों को जोड़ने पर: $1 + 1 = 2$.

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$ ($c$ से मेल खाता है)
$2$. $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$ ($d$ से मेल खाता है)
$3$. $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ ($a$ से मेल खाता है)
$4$. $\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$ ($b$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $(1-c), (2-d), (3-a), (4-b)$ है।

(A) पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करते हुए:
$1$. $\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$. अतः,$1$ का मिलान $b$ के साथ होता है।
$2$. $\cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta$. अतः,$2$ का मिलान $d$ के साथ होता है।
$3$. $\operatorname{cosec}(90^\circ - \theta) = \sec \theta$. अतः,$3$ का मिलान $a$ के साथ होता है।
इसलिए,सही मिलान $(1-b), (2-d), (3-a)$ है।