Geometrical Meaning of the Zeroes of a Polynomial Questions in Gujarati

(D) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા એ આલેખ $X$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પરવલય $y=p(x)$ સંપૂર્ણપણે $X$-અક્ષની ઉપર આવેલો છે અને તે $X$-અક્ષને કોઈ પણ બિંદુએ છેદતો કે સ્પર્શતો નથી.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $X$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પરવલય $y=p(x)$ એ $X$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુએ સ્પર્શે છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
આલેખ $X$-અક્ષને બરાબર એક બિંદુએ છેદતો/સ્પર્શતો હોવાથી,વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્ર $y=p(x)$ એ $x$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) કોઈપણ બહુપદી $y = p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પરવલય $y = p(x)$ એ $x$-અક્ષને કુલ $2$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદીના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્ર $y=p(x)$ એ $x$-અક્ષને $4$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $4$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ એ $4$ ઘાતવાળી બહુપદી છે,કારણ કે ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $4$ છે અને $a \neq 0$ છે.
બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$n$ ઘાતવાળી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ શૂન્યો હોય છે.
આથી,આપેલ બહુપદીની ઘાત $4$ હોવાથી,તેના શૂન્યોની મહત્તમ સંખ્યા $4$ થશે.

(C) કોઈ બહુપદી $p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તેના આલેખ $y=p(x)$ દ્વારા $X$-અક્ષને છેદતા બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્ર $y=p(x)$ એ $X$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ને $2$ વાસ્તવિક શૂન્યો છે.

(A) બહુપદી $p(x)$ નો આલેખ $X$-અક્ષને કેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સમીકરણ $p(x) = 0$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા શોધવી પડે.
$1.$ $p(x) = x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3)$. શૂન્યો $x=2, 3$ છે. તેથી તે $X$-અક્ષને બે બિંદુઓમાં છેદે છે. એટલે કે $1-c$.
$2.$ $p(x) = x^{2}-10x+25 = (x-5)^{2}$. શૂન્ય $x=5$ (પુનરાવર્તિત) છે. તેથી તે $X$-અક્ષને એક બિંદુમાં છેદે છે. એટલે કે $2-a$.
$3.$ $p(x) = x^{3}-4x = x(x^{2}-4) = x(x-2)(x+2)$. શૂન્યો $x=0, 2, -2$ છે. તેથી તે $X$-અક્ષને ત્રણ બિંદુઓમાં છેદે છે. એટલે કે $3-d$.
$4.$ $p(x) = x^{2}+4x+5$. વિવેચક $D = b^{2}-4ac = 16 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$. અહીં $D < 0$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક શૂન્યો નથી. તેથી તે $X$-અક્ષને શૂન્ય બિંદુમાં છેદે છે. એટલે કે $4-b$.
આમ,સાચી જોડ $(1-c), (2-a), (3-d), (4-b)$ છે.

(A) સુરેખ બહુપદીનું સ્વરૂપ $p(x) = ax + b$ હોય છે,જ્યાં $a \neq 0$ છે. સુરેખ બહુપદીનો આલેખ કાર્તેઝિયન સમતલમાં હંમેશા એક રેખા દર્શાવે છે. અહીં $p(x) = 5x + 3$ એ સુરેખ બહુપદી હોવાથી,તેનો આલેખ એક રેખા છે.

(C) બહુપદી $p(x) = ax - b$ નો આલેખ $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$ax - b = 0$ લેતા,આપણને $ax = b$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{b}{a}$ મળે છે.
આ બિંદુ $X$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો y-યામ $0$ છે.
તેથી,આલેખ $X$-અક્ષને $(\frac{b}{a}, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^3 - x$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ.
$x^3 - x = 0$
$x$ સામાન્ય લેતા:
$x(x^2 - 1) = 0$
તફાવતના અવયવોના સૂત્ર $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x = 0$,$x - 1 = 0 \implies x = 1$,અને $x + 1 = 0 \implies x = -1$.
આમ,શૂન્યો $0, 1, -1$ છે.
તેથી,વાસ્તવિક શૂન્યોની કુલ સંખ્યા $3$ છે.