Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomial Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2}+7x+10$ છે.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ:
$x^{2}+7x+10 = 0$
$x^{2}+5x+2x+10 = 0$
$x(x+5)+2(x+5) = 0$
$(x+2)(x+5) = 0$
આમ,શૂન્યો $x = -2$ અને $x = -5$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= (-2) + (-5) = -7 = \frac{-7}{1} = \frac{-(x \text{ નો સહગુણક})}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-2) \times (-5) = 10 = \frac{10}{1} = \frac{\text{અચળ પદ}}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
આમ,સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -3$
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = \frac{c}{a} = 2$
જો આપણે $a = 1$ લઈએ,તો:
$-b = -3 \implies b = 3$
$c = 2$
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 + 3x + 2$ બહુપદી મળે છે.
આમ,માંગેલ દ્વિઘાત બહુપદી $x^2 + 3x + 2$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 11x - 3$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3, b = -5, c = -11, d = -3$ મળે છે.
પ્રથમ,આપણે શૂન્યો ચકાસીએ:
$p(3) = 3(3)^3 - 5(3)^2 - 11(3) - 3 = 81 - 45 - 33 - 3 = 0$
$p(-1) = 3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 11(-1) - 3 = -3 - 5 + 11 - 3 = 0$
$p(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^3 - 5(-\frac{1}{3})^2 - 11(-\frac{1}{3}) - 3 = -\frac{1}{9} - \frac{5}{9} + \frac{11}{3} - 3 = -\frac{6}{9} + \frac{33}{9} - \frac{27}{9} = 0$
આમ,$3, -1, -\frac{1}{3}$ એ શૂન્યો છે.
ધારો કે $\alpha = 3, \beta = -1, \gamma = -\frac{1}{3}$.
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = 3 - 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = -\frac{b}{a}$.
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (3)(-1) + (-1)(-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3})(3) = -3 + \frac{1}{3} - 1 = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3} = \frac{c}{a}$.
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = (3)(-1)(-\frac{1}{3}) = 1 = -\frac{d}{a} = -(\frac{-3}{3}) = 1$.
બધા સંબંધો ચકાસાયેલ છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = x^{2}-2x-8$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ:
$x^{2}-2x-8 = 0$
$x^{2}-4x+2x-8 = 0$
$x(x-4)+2(x-4) = 0$
$(x-4)(x+2) = 0$
આમ,શૂન્યો $x = 4$ અને $x = -2$ છે.
ચકાસણી:
$x^{2}-2x-8$ ની સરખામણી $ax^{2}+bx+c$ સાથે કરતા,આપણને $a=1, b=-2, c=-8$ મળે છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= 4 + (-2) = 2$.
સૂત્ર: $-b/a = -(-2)/1 = 2$.
$2 = 2$ હોવાથી,શૂન્યોનો સરવાળો ચકાસાય છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= 4 \times (-2) = -8$.
સૂત્ર: $c/a = -8/1 = -8$.
$-8 = -8$ હોવાથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર ચકાસાય છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(s) = 4s^{2}-4s+1$.
શૂન્યો શોધવા માટે,$p(s) = 0$ લો:
$4s^{2}-4s+1 = 0$
$(2s-1)^{2} = 0$
$2s-1 = 0 \implies s = \frac{1}{2}$.
આમ,શૂન્યો $\frac{1}{2}$ અને $\frac{1}{2}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = \frac{-(-4)}{4} = \frac{-(s \text{ નો સહગુણક})}{s^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{\text{અચળ પદ}}{s^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
આમ,સંબંધ ચકાસાય છે.

(N/A) પ્રથમ,બહુપદીને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો: $6x^{2}-7x-3$.
શૂન્યો શોધવા માટે,દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ પાડો:
$6x^{2}-7x-3 = 6x^{2}-9x+2x-3 = 3x(2x-3)+1(2x-3) = (3x+1)(2x-3)$.
$6x^{2}-7x-3$ ની કિંમત શૂન્ય થાય જ્યારે $3x+1=0$ અથવા $2x-3=0$ હોય,જે $x = -1/3$ અથવા $x = 3/2$ આપે છે.
તેથી,શૂન્યો $\alpha = -1/3$ અને $\beta = 3/2$ છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધની ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -1/3 + 3/2 = (-2+9)/6 = 7/6 = -(-7)/6 = -(\text{x નો સહગુણક}) / (\text{x}^{2} \text{ નો સહગુણક})$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \times \beta = (-1/3) \times (3/2) = -3/6 = -1/2 = -3/6 = (\text{અચળ પદ}) / (\text{x}^{2} \text{ નો સહગુણક})$.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(u) = 4u^{2} + 8u$.
શૂન્યો શોધવા માટે,$p(u) = 0$ લો:
$4u^{2} + 8u = 0$
$4u(u + 2) = 0$
આથી $4u = 0$ અથવા $u + 2 = 0$.
તેથી,$u = 0$ અથવા $u = -2$.
શૂન્યો $0$ અને $-2$ છે.
ચકાસણી:
$4u^{2} + 8u$ ની સરખામણી $au^{2} + bu + c$ સાથે કરતા,$a = 4, b = 8, c = 0$ મળે છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= 0 + (-2) = -2$.
સંબંધ: $\frac{-b}{a} = \frac{-8}{4} = -2$.
શૂન્યોનો સરવાળો $= \frac{-b}{a}$ હોવાથી,સંબંધ ચકાસાય છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= 0 \times (-2) = 0$.
સંબંધ: $\frac{c}{a} = \frac{0}{4} = 0$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{c}{a}$ હોવાથી,સંબંધ ચકાસાય છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(t) = t^{2}-15$.
શૂન્યો શોધવા માટે,$p(t) = 0$ લો:
$t^{2}-15 = 0$
$t^{2} = 15$
$t = \pm \sqrt{15}$
તેથી,શૂન્યો $\alpha = \sqrt{15}$ અને $\beta = -\sqrt{15}$ છે.
$t^{2}-15$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $at^{2}+bt+c$ સાથે કરતા,$a=1, b=0, c=-15$ મળે છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0$.
સહગુણકો પરથી: $\frac{-b}{a} = \frac{-0}{1} = 0$.
આમ,$\alpha + \beta = \frac{-b}{a}$ ચકાસાય છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (\sqrt{15})(-\sqrt{15}) = -15$.
સહગુણકો પરથી: $\frac{c}{a} = \frac{-15}{1} = -15$.
આમ,$\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ ચકાસાય છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = 3x^{2}-x-4$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ:
$3x^{2}-x-4 = 0$
$3x^{2}-4x+3x-4 = 0$
$x(3x-4)+1(3x-4) = 0$
$(3x-4)(x+1) = 0$
આમ,શૂન્યો $x = \frac{4}{3}$ અને $x = -1$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \frac{4}{3} + (-1) = \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3}$.
બહુપદી પરથી,$-\frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$.
કારણ કે $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$,તેથી સરવાળો ચકાસાયેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{4}{3} \times (-1) = -\frac{4}{3}$.
બહુપદી પરથી,$\frac{\text{અચળ પદ}}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}} = \frac{-4}{3}$.
કારણ કે $-\frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$,તેથી ગુણાકાર ચકાસાયેલ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{1}{4}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિઘાત બહુપદીને $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta]$ સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $k[x^2 - (\frac{1}{4})x + (-1)]$ મળે છે.
સરળ બનાવવા માટે,$k = 4$ લેતા.
તેથી બહુપદી $4[x^2 - \frac{1}{4}x - 1] = 4x^2 - x - 4$ બને છે.
આમ,માંગેલ દ્વિઘાત બહુપદી $4x^2 - x - 4$ છે.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = \sqrt{2} = -\frac{b}{a}$ આપેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{1}{3} = \frac{c}{a}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમાન છેદ $a$ સાથે દર્શાવવા માટે,આપણે લખી શકીએ $\alpha + \beta = \frac{3\sqrt{2}}{3} = -\frac{b}{a}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = 3$,$b = -3\sqrt{2}$ અને $c = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને દ્વિઘાત બહુપદી $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = 0 = \frac{0}{1} = -\frac{b}{a}$ આપેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \times \beta = \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \frac{c}{a}$ આપેલ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,જો આપણે $a = 1$ લઈએ,તો $b = 0$ અને $c = \sqrt{5}$ મળે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને દ્વિઘાત બહુપદી $x^2 + 0x + \sqrt{5}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + \sqrt{5}$ થાય છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = 1 = \frac{-b}{a}$ આપેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \times \beta = 1 = \frac{c}{a}$ આપેલ છે.
જો આપણે $a = 1$ લઈએ,તો:
$-b = 1 \implies b = -1$
$c = 1$
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 - x + 1$ બહુપદી મળે છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{1}{4} = -\frac{b}{a}$ આપેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \times \beta = \frac{1}{4} = \frac{c}{a}$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા,જો આપણે $a = 4$ લઈએ,તો $b = 1$ અને $c = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને બહુપદી $4x^2 + x + 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ તેના શૂન્યો છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = 4 = \frac{4}{1} = \frac{-b}{a}$ આપેલ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \times \beta = 1 = \frac{1}{1} = \frac{c}{a}$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા,જો આપણે $a = 1$ લઈએ,તો $b = -4$ અને $c = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c$ માં મૂકતા,આપણને દ્વિઘાત બહુપદી $x^2 - 4x + 1$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 3x^{4} + 6x^{3} - 2x^{2} - 10x - 5$.
અહીં $\sqrt{\frac{5}{3}}$ અને $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ એ $p(x)$ ના બે શૂન્યો હોવાથી,$(x - \sqrt{\frac{5}{3}})(x + \sqrt{\frac{5}{3}}) = (x^{2} - \frac{5}{3})$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x)$ ને $(x^{2} - \frac{5}{3})$ વડે ભાગીશું:
$3x^{4} + 6x^{3} - 2x^{2} - 10x - 5 = (x^{2} - \frac{5}{3})(3x^{2} + 6x + 3)$
$= 3(x^{2} - \frac{5}{3})(x^{2} + 2x + 1)$
$= 3(x^{2} - \frac{5}{3})(x + 1)^{2}$
હવે,બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $(x + 1)^{2} = 0$ લઈએ,જેથી $x + 1 = 0$ મળે,એટલે કે $x = -1$.
અવયવ $(x + 1)^{2}$ હોવાથી,શૂન્ય $x = -1$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
આમ,બહુપદીના બાકીના બે શૂન્યો $-1$ અને $-1$ છે.

(A) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{2} + 3x + k$ છે.
આપેલ છે કે $2$ એ બહુપદીનું એક શૂન્ય છે,તેથી $p(2) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2)^{2} + 3(2) + k = 0$
$4 + 6 + k = 0$
$10 + k = 0$
$k = -10$

(B) ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે બે શૂન્યો $0$ છે, તેથી ધારો કે $\alpha = 0$ અને $\beta = 0$.
ત્રિઘાત બહુપદીના શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ થાય છે.
અહીં $\alpha = 0$ અને $\beta = 0$ મૂકતા: $0 + 0 + \gamma = -\frac{b}{a}$ મળે છે.
તેથી, ત્રીજું શૂન્ય $\gamma = -\frac{b}{a}$ છે.

(C) આપેલ છે કે,દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = (k-1)x^2 + kx + 1$ નું એક શૂન્ય $-3$ છે.
તેથી,$p(-3) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -3$ મૂકતા:
$(k-1)(-3)^2 + k(-3) + 1 = 0$
$9(k-1) - 3k + 1 = 0$
$9k - 9 - 3k + 1 = 0$
$6k - 8 = 0$
$6k = 8$
$k = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

(D) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = k(x^2 - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર}))$ છે, જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળાંક છે.
આપેલ શૂન્યો $\alpha = -3$ અને $\beta = 4$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $(\alpha + \beta) = -3 + 4 = 1$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $(\alpha \cdot \beta) = -3 \times 4 = -12$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $p(x) = k(x^2 - 1x + (-12)) = k(x^2 - x - 12)$ મળે છે.
જો આપણે $k = \frac{1}{2}$ લઈએ, તો બહુપદી $\frac{1}{2}(x^2 - x - 12) = \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} - 6$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બહુપદીને શૂન્યતર અચળાંક વડે ગુણવાથી તેના શૂન્યો બદલાતા નથી, તેથી વિકલ્પ $D$ એ આપેલ શૂન્યો ધરાવતી એક માન્ય દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{2} + (a+1)x + b$.
આપેલ છે કે $2$ અને $-3$ એ દ્વિઘાત બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યો છે.
તેથી,$p(2) = 0$ અને $p(-3) = 0$.
$x = 2$ માટે:
$2^{2} + (a+1)(2) + b = 0$
$4 + 2a + 2 + b = 0$
$2a + b = -6$ ..... $(i)$
$x = -3$ માટે:
$(-3)^{2} + (a+1)(-3) + b = 0$
$9 - 3a - 3 + b = 0$
$-3a + b = -6$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(2a + b) - (-3a + b) = -6 - (-6)$
$2a + b + 3a - b = 0$
$5a = 0 \Rightarrow a = 0$.
$a = 0$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2(0) + b = -6 \Rightarrow b = -6$.
આમ,જરૂરી કિંમતો $a = 0$ અને $b = -6$ છે.

(B) ધારો કે $p(x) = a(x^2 - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર}))$ એ બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે.
આપેલ શૂન્યો $\alpha = -2$ અને $\beta = 5$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= \alpha + \beta = -2 + 5 = 3$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \alpha \cdot \beta = -2 \times 5 = -10$.
આમ, બહુપદી $p(x) = a(x^2 - 3x - 10)$ સ્વરૂપની છે, જ્યાં $a$ એ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક અચળાંક છે.
કારણ કે $a$ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે (જેમ કે $1, 2, 3, \dots, 0.5, \dots$), તેથી આવી અસંખ્ય બહુપદીઓ મળે.
તેથી, આવી બહુપદીઓની સંખ્યા $3$ કરતા વધારે છે.

(C) ધારો કે $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે.
ધારો કે બહુપદીના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે એક શૂન્ય $0$ છે,તેથી ધારો કે $\alpha = 0$.
ત્રિઘાત બહુપદીના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $\alpha = 0$ મૂકતા:
$(0)\beta + \beta\gamma + \gamma(0) = \frac{c}{a}$
$0 + \beta\gamma + 0 = \frac{c}{a}$
$\beta\gamma = \frac{c}{a}$
આમ,બાકીના બે શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ થાય છે.

(D) ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ છે.
ધારો કે બહુપદીના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે એક શૂન્ય $\alpha = -1$ છે.
કારણ કે $\alpha = -1$ એ શૂન્ય છે,તેથી $p(-1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$(-1)^{3} + a(-1)^{2} + b(-1) + c = 0$
$-1 + a - b + c = 0$
$c = 1 - a + b$ ... $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિઘાત બહુપદી $Ax^{3} + Bx^{2} + Cx + D$ માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $-\frac{D}{A}$ થાય છે.
અહીં,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta \cdot \gamma = -\frac{c}{1} = -c$ છે.
$\alpha = -1$ મૂકતા:
$(-1) \cdot \beta \cdot \gamma = -c$
$\beta \cdot \gamma = c$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $c$ ની કિંમત મૂકતા:
$\beta \cdot \gamma = 1 - a + b$.
આમ,બાકીના બે શૂન્યોનો ગુણાકાર $b - a + 1$ છે.

(A) ધારો કે આપેલી દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2} + 99x + 127$ છે.
$p(x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 99$ અને $c = 127$ મળે છે.
દ્વિઘાત બહુપદી $ax^{2} + bx + c$ માટે,જો $a, b, c > 0$ હોય,તો શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = 127 > 0$ અને શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -99 < 0$ થાય.
શૂન્યોનો ગુણાકાર ધન હોવાથી,બંને શૂન્યો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે.
શૂન્યોનો સરવાળો ઋણ હોવાથી,બંને શૂન્યો ઋણ હોવા જોઈએ.
વૈકલ્પિક રીતે,દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-99 \pm \sqrt{99^{2} - 4(1)(127)}}{2(1)} = \frac{-99 \pm \sqrt{9801 - 508}}{2} = \frac{-99 \pm \sqrt{9293}}{2}$.
અહીં $\sqrt{9293} \approx 96.4$ હોવાથી,શૂન્યો આશરે $\frac{-99 + 96.4}{2} = -1.3$ અને $\frac{-99 - 96.4}{2} = -97.7$ મળે છે.
આમ,બંને શૂન્યો ઋણ છે.

(B) ધારો કે $p(x) = x^{2} + kx + k, k \neq 0$.
શૂન્યો વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D$ એ $0$ અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ.
$D = b^{2} - 4ac = k^{2} - 4k \geq 0$.
$k(k - 4) \geq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $k \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$. કારણ કે $k \neq 0$,તેથી $k \in (-\infty, 0) \cup [4, \infty)$.
ધારો કે શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે. તો:
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -k/1 = -k$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = k/1 = k$.
કિસ્સો $I$: જો $k \in (-\infty, 0)$,તો $k < 0$. ગુણાકાર $\alpha \beta = k < 0$ હોવાથી,શૂન્યો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.
કિસ્સો $II$: જો $k \in [4, \infty)$,તો $k > 0$. ગુણાકાર $\alpha \beta = k > 0$ હોવાથી,બંને શૂન્યો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. સરવાળો $\alpha + \beta = -k < 0$ હોવાથી,બંને શૂન્યો ઋણ હોવા જોઈએ.
બંને કિસ્સાઓમાં,શૂન્યો ક્યારેય બંને ધન હોઈ શકે નહીં.

(C) દ્વિઘાત બહુપદી $ax^{2} + bx + c$ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય તો તેના શૂન્યો સમાન મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^{2} = 4ac$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $b$ માટે $b^{2}$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી $4ac$ પણ અ-ઋણ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $c \neq 0$,જો $a = 0$ હોય તો તે દ્વિઘાત બહુપદી ન રહે. તેથી,$a \neq 0$.
$4ac = b^{2} \geq 0$ હોવાથી,ગુણાકાર $ac$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$c \neq 0$ અને $a \neq 0$ હોવાથી,$ac > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a$ અને $c$ ના ચિહ્નો સમાન હોવા જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે:
$(i)$ $x^{2} + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x+2)^{2} = 0 \Rightarrow x = -2, -2$ (અહીં $a=1, c=4$,બંને ધન છે).
$(ii)$ $x^{2} - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^{2} = 0 \Rightarrow x = 2, 2$ (અહીં $a=1, c=4$,બંને ધન છે).

(D) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2} + ax + b$ ના શૂન્યો $\alpha$ અને $-\alpha$ છે।
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{\text{અચળ પદનો સહગુણક}}{\text{$x^2$ નો સહગુણક}} = -a$
અહીં $\alpha + (-\alpha) = 0$ હોવાથી $0 = -a$, તેથી $a = 0$
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{$x^2$ નો સહગુણક}} = b$
અહીં $\alpha \cdot (-\alpha) = -\alpha^{2}$ હોવાથી $-\alpha^{2} = b$
ચોક્કસ $\alpha^{2} \ge 0$ હોવાથી $-\alpha^{2} \le 0$, એટલે $b < 0$
આમ, બહુપદીમાં રેખીય પદ હોતું નથી ($a = 0$) અને અચળ પદ ઋણ હોય છે ($b < 0$)

(A) આ વિધાન સાચું છે.
ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ ના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે,જ્યાં $\alpha < 0$ અને $\beta < 0$ છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ થાય. કારણ કે $\alpha$ અને $\beta$ બંને ઋણ છે,તેથી તેમનો સરવાળો $(\alpha + \beta)$ ઋણ જ હોય. તેથી,$-\frac{b}{a} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} > 0$. આ દર્શાવે છે કે $a$ અને $b$ ના ચિહ્નો સમાન છે.
$2$. શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ થાય. બે ઋણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર ધન હોવાથી,$\frac{c}{a} > 0$ થાય. આ દર્શાવે છે કે $a$ અને $c$ ના ચિહ્નો સમાન છે.
આમ,$a$ અને $b$ ના ચિહ્નો સમાન છે,અને $a$ અને $c$ ના ચિહ્નો પણ સમાન છે,તેથી $a, b$ અને $c$ ત્રણેયના ચિહ્નો સમાન છે.

(N/A) બહુપદીઓ માટેના ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ,$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$,જ્યાં $q(x)$ એ ભાગફળ છે અને $r(x)$ એ શેષ છે.
અહીં આપેલ છે કે ભાગફળ $q(x) = 0$ છે,તેથી સમીકરણ $p(x) = g(x) \cdot 0 + r(x)$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $p(x) = r(x)$ થાય છે.
બહુપદીના ભાગાકારમાં,શેષ $r(x)$ ની ઘાત હંમેશા ભાજક $g(x)$ ની ઘાત કરતાં ઓછી હોય છે,એટલે કે $\text{deg}(r(x)) < \text{deg}(g(x))$.
આમ,$p(x) = r(x)$ હોવાથી,$\text{deg}(p(x)) < \text{deg}(g(x))$ થાય.
તેથી,$p(x)$ ની ઘાત એ $g(x)$ ની ઘાત કરતાં ઓછી છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $ax^2 + bx + c$ ના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે. બંને શૂન્યો ધન હોવાથી,$\alpha > 0$ અને $\beta > 0$ થાય.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ થાય. $\alpha > 0$ અને $\beta > 0$ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta > 0$ થાય. તેથી,$\frac{c}{a} > 0$,જેનો અર્થ છે કે $a$ અને $c$ ના ચિહ્નો સમાન હોવા જોઈએ.
$2$. શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ થાય. $\alpha > 0$ અને $\beta > 0$ હોવાથી,તેમનો સરવાળો $\alpha + \beta > 0$ થાય. તેથી,$-\frac{b}{a} > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} < 0$. આનો અર્થ એ છે કે $a$ અને $b$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
આમ,$a$ અને $c$ ના ચિહ્નો સમાન છે,પરંતુ $b$ નું ચિહ્ન $a$ અને $c$ કરતા વિરુદ્ધ છે. તેથી,$a, b$ અને $c$ ત્રણેયના ચિહ્નો સમાન હોતા નથી.

(A) સાચું. ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદીના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે. આપેલ છે કે બે શૂન્યો $0$ છે. ધારો કે $\alpha = 0$ અને $\beta = 0$.
ત્રિઘાત બહુપદીને $f(x) = k(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળાંક છે.
કિંમતો મૂકતા: $f(x) = k(x - 0)(x - 0)(x - \gamma) = k(x^2)(x - \gamma) = k(x^3 - \gamma x^2) = kx^3 - k\gamma x^2$.
આને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સુરેખ પદ $(c)$ અને અચળ પદ $(d)$ ના સહગુણકો બંને $0$ છે. આમ,બહુપદીમાં સુરેખ અને અચળ પદ હોતા નથી.

(A) આ વિધાન સાચું છે.
ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદી $f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma < 0$ એ ઋણ શૂન્યો છે.
ધારો કે $\alpha = -p, \beta = -q, \gamma = -r$,જ્યાં $p, q, r > 0$ છે.
તેથી $f(x) = a(x + p)(x + q)(x + r)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $f(x) = a[x^3 + (p + q + r)x^2 + (pq + qr + rp)x + pqr]$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$b = a(p + q + r)$
$c = a(pq + qr + rp)$
$d = a(pqr)$
કારણ કે $p, q, r > 0$ છે,તેથી $(p + q + r)$,$(pq + qr + rp)$,અને $(pqr)$ ત્રણેય ધન છે.
તેથી,$a, b, c,$ અને $d$ બધા જ $a$ જેવું સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે.

(B) ખોટું. ધારો કે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ એ ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{3}+ax^{2}-bx+c$ ના ત્રણ શૂન્યો છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \beta \gamma = -\frac{c}{1} = -c$. કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma > 0$,તેથી તેમનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma > 0$ થાય. તેથી,$-c > 0$,જેનો અર્થ છે કે $c < 0$.
$2$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{a}{1} = -a$. કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma > 0$,તેથી તેમનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma > 0$ થાય. તેથી,$-a > 0$,જેનો અર્થ છે કે $a < 0$.
$3$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{-b}{1} = -b$. કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma > 0$,તેથી તેમનો સરવાળો $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha > 0$ થાય. તેથી,$-b > 0$,જેનો અર્થ છે કે $b < 0$.
આમ,ત્રણેય શૂન્યો ધન હોય તે માટે $a, b$ અને $c$ ત્રણેય ઋણ હોવા જોઈએ. તેથી,આપેલ વિધાન કે તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક અ-ઋણ છે,તે ખોટું છે.

(A) શૂન્યો શોધવા માટે,બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવો: $x^{2}+\frac{1}{6} x-2 = 0$.
સરળ બનાવવા માટે $6$ વડે ગુણતા: $6x^{2}+x-12 = 0$.
દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ પાડતા: $6x^{2}+9x-8x-12 = 0$.
$3x(2x+3)-4(2x+3) = 0 \implies (3x-4)(2x+3) = 0$.
આમ,શૂન્યો $\alpha = \frac{4}{3}$ અને $\beta = -\frac{3}{2}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \frac{4}{3} - \frac{3}{2} = \frac{8-9}{6} = -\frac{1}{6}$.
બહુપદી $ax^2+bx+c$ પરથી,સરવાળો $= -\frac{b}{a} = -\frac{1/6}{1} = -\frac{1}{6}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{2}) = -2$.
બહુપદી પરથી,ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2$.
બંને સંબંધો ચકાસાયેલ છે.

(N/A) ધારો કે $f(x) = 4x^2 - 3x - 1$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને બહુપદીના અવયવો પાડીશું:
$f(x) = 4x^2 - 4x + x - 1$
$f(x) = 4x(x - 1) + 1(x - 1)$
$f(x) = (x - 1)(4x + 1)$
શૂન્યો શોધવા માટે $f(x) = 0$ લેતા:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$4x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{4}$
આમ,શૂન્યો $\alpha = 1$ અને $\beta = -\frac{1}{4}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \alpha + \beta = 1 + (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{4} = -\frac{-3}{4} = -\frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^2 \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \alpha \cdot \beta = 1 \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} = \frac{-1}{4} = \frac{\text{અચળ પદ}}{x^2 \text{ નો સહગુણક}}$.
આમ,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસાય છે.

(N/A) ધારો કે $f(x) = 3x^2 + 4x - 4$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને બહુપદીના અવયવો પાડીશું:
$3x^2 + 6x - 2x - 4 = 3x(x + 2) - 2(x + 2) = (x + 2)(3x - 2)$.
$f(x) = 0$ લેતા શૂન્યો મળે છે:
$(x + 2)(3x - 2) = 0$,તેથી $x = -2$ અથવા $x = \frac{2}{3}$.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -2 + \frac{2}{3} = \frac{-6 + 2}{3} = -\frac{4}{3}$.
બહુપદી $ax^2 + bx + c$ માં $a=3, b=4, c=-4$ છે,તેથી શૂન્યોનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{3}$ થાય છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-2) \times \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$.
બહુપદી પરથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} = \frac{-4}{3}$ થાય છે.
આમ,શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર સહગુણકો સાથે સુસંગત હોવાથી સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) ધારો કે $f(t) = 5 t^{2}+12 t+7$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને બહુપદીના અવયવો પાડીશું:
$5 t^{2}+12 t+7 = 5 t^{2}+5 t+7 t+7$
$= 5 t(t+1)+7(t+1)$
$= (5 t+7)(t+1)$
શૂન્યો શોધવા માટે $f(t) = 0$ લેતા:
$5 t+7 = 0 \implies t = -7/5$
$t+1 = 0 \implies t = -1$
આમ,શૂન્યો $\alpha = -7/5$ અને $\beta = -1$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \alpha + \beta = -7/5 - 1 = -12/5$.
બહુપદી $5 t^{2}+12 t+7$ માં,$t$ નો સહગુણક $12$ છે અને $t^{2}$ નો સહગુણક $5$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= -(t \text{ નો સહગુણક}) / (t^{2} \text{ નો સહગુણક}) = -12/5$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \alpha \cdot \beta = (-7/5) \cdot (-1) = 7/5$.
બહુપદીમાં,અચળ પદ $7$ છે અને $t^{2}$ નો સહગુણક $5$ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (\text{અચળ પદ}) / (t^{2} \text{ નો સહગુણક}) = 7/5$.
આમ,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) ધારો કે $f(t) = t^{3}-2 t^{2}-15 t$.
$= t(t^{2}-2 t-15)$
$= t(t^{2}-5 t+3 t-15)$ [મધ્યમ પદના ભાગ પાડીને]
$= t[t(t-5)+3(t-5)]$
$= t(t-5)(t+3)$
તેથી,$f(t)$ ની કિંમત શૂન્ય થાય જ્યારે $t=0, t-5=0$ અથવા $t+3=0$ હોય.
આમ,શૂન્યો $t=0, t=5$ અને $t=-3$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= 0 + 5 + (-3) = 2 = -(-2)/1 = -(\text{t}^{2} \text{ નો સહગુણક}) / (\text{t}^{3} \text{ નો સહગુણક})$.
બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો $= (0)(5) + (5)(-3) + (-3)(0) = 0 - 15 + 0 = -15 = (-15)/1 = (\text{t} \text{ નો સહગુણક}) / (\text{t}^{3} \text{ નો સહગુણક})$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (0)(5)(-3) = 0 = -(0)/1 = -(\text{અચળ પદ}) / (\text{t}^{3} \text{ નો સહગુણક})$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(N/A) ધારો કે $f(x) = 2x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{4}$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $f(x) = 0$ લઈએ,તેથી $2x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{4} = 0$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $8x^2 + 14x + 3 = 0$ મળે છે.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $8x^2 + 12x + 2x + 3 = 0$.
$4x(2x + 3) + 1(2x + 3) = 0$.
$(2x + 3)(4x + 1) = 0$.
આમ,શૂન્યો $x = -\frac{3}{2}$ અને $x = -\frac{1}{4}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{3}{2} + (-\frac{1}{4}) = -\frac{6}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$.
સહગુણક સંબંધ: $-\frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^2 \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{7/2}{2} = -\frac{7}{4}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-\frac{3}{2}) \times (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{8}$.
સહગુણક સંબંધ: $\frac{\text{અચળ પદ}}{x^2 \text{ નો સહગુણક}} = \frac{3/4}{2} = \frac{3}{8}$.
બંને સંબંધો સમાન હોવાથી,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસાય છે.

(N/A) ધારો કે $f(x) = 4x^{2} + 5\sqrt{2}x - 3$.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીએ: $4x^{2} + 6\sqrt{2}x - \sqrt{2}x - 3$.
$= 2\sqrt{2}x(\sqrt{2}x + 3) - 1(\sqrt{2}x + 3)$.
$= (\sqrt{2}x + 3)(2\sqrt{2}x - 1)$.
$f(x) = 0$ લેતા,આપણને $\sqrt{2}x + 3 = 0$ અથવા $2\sqrt{2}x - 1 = 0$ મળે.
આમ,શૂન્યો $x = -\frac{3}{\sqrt{2}}$ અને $x = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{-6 + 1}{2\sqrt{2}} = -\frac{5}{2\sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$.
$x$ નો સહગુણક $5\sqrt{2}$ છે અને $x^{2}$ નો સહગુણક $4$ છે. તેથી,$-\frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$. (ચકાસાયેલ)
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-\frac{3}{\sqrt{2}}) \times (\frac{1}{2\sqrt{2}}) = -\frac{3}{4}$.
અચળ પદ $-3$ છે અને $x^{2}$ નો સહગુણક $4$ છે. તેથી,$\frac{\text{અચળ પદ}}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{3}{4}$. (ચકાસાયેલ)

(N/A) ધારો કે $f(s) = 2s^{2} - (1 + 2\sqrt{2})s + \sqrt{2}$.
$= 2s^{2} - s - 2\sqrt{2}s + \sqrt{2}$
$= s(2s - 1) - \sqrt{2}(2s - 1)$
$= (2s - 1)(s - \sqrt{2})$
$f(s)$ નું મૂલ્ય શૂન્ય થાય જ્યારે $2s - 1 = 0$ અથવા $s - \sqrt{2} = 0$ હોય.
આમ,$s = \frac{1}{2}$ અથવા $s = \sqrt{2}$.
તેથી,બહુપદીના શૂન્યો $\frac{1}{2}$ અને $\sqrt{2}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \frac{1}{2} + \sqrt{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{-[-(1 + 2\sqrt{2})]}{2} = \frac{-(\text{s નો સહગુણક})}{\text{s}^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{s}^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
આમ,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) ધારો કે $f(v) = v^{2} + 4 \sqrt{3} v - 15$.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીએ: $v^{2} + (5 \sqrt{3} - \sqrt{3}) v - 15 = 0$.
$= v^{2} + 5 \sqrt{3} v - \sqrt{3} v - 15 = 0$.
$= v(v + 5 \sqrt{3}) - \sqrt{3}(v + 5 \sqrt{3}) = 0$.
$= (v + 5 \sqrt{3})(v - \sqrt{3}) = 0$.
આમ,શૂન્યો $v = -5 \sqrt{3}$ અને $v = \sqrt{3}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -5 \sqrt{3} + \sqrt{3} = -4 \sqrt{3} = -\frac{v \text{ નો સહગુણક}}{v^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-5 \sqrt{3})(\sqrt{3}) = -5 \times 3 = -15 = \frac{\text{અચળ પદ}}{v^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(A) ધારો કે $f(y) = y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $f(y) = 0$ લઈએ,જેનો અર્થ છે $y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5 = 0$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2y^{2} + 3\sqrt{5}y - 10 = 0$ મળે છે.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $2y^{2} + 4\sqrt{5}y - \sqrt{5}y - 10 = 0$.
$2y(y + 2\sqrt{5}) - \sqrt{5}(y + 2\sqrt{5}) = 0$.
$(y + 2\sqrt{5})(2y - \sqrt{5}) = 0$.
આમ,શૂન્યો $y = -2\sqrt{5}$ અને $y = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -2\sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{-4\sqrt{5} + \sqrt{5}}{2} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
બહુપદી $y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5$ માં,$y$ નો સહગુણક $\frac{3\sqrt{5}}{2}$ છે અને $y^{2}$ નો સહગુણક $1$ છે. તેથી,$-\frac{y \text{ નો સહગુણક}}{y^{2} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-2\sqrt{5}) \times (\frac{\sqrt{5}}{2}) = -5$.
અચળ પદ $-5$ છે અને $y^{2}$ નો સહગુણક $1$ છે. તેથી,$\frac{\text{અચળ પદ}}{y^{2} \text{ નો સહગુણક}} = -5$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(A) ધારો કે $f(y) = 7y^2 - \frac{11}{3}y - \frac{2}{3}$.
શૂન્યો શોધવા માટે,$f(y) = 0$ લેતા,જેનો અર્થ છે $\frac{1}{3}(21y^2 - 11y - 2) = 0$,તેથી $21y^2 - 11y - 2 = 0$.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $21y^2 - 14y + 3y - 2 = 0$.
$7y(3y - 2) + 1(3y - 2) = 0$.
$(3y - 2)(7y + 1) = 0$.
આમ,શૂન્યો $y = \frac{2}{3}$ અને $y = -\frac{1}{7}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો = $\frac{2}{3} + (-\frac{1}{7}) = \frac{14 - 3}{21} = \frac{11}{21}$.
બહુપદી $7y^2 - \frac{11}{3}y - \frac{2}{3}$ માં,$y$ નો સહગુણક $-\frac{11}{3}$ છે અને $y^2$ નો સહગુણક $7$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો = $-\frac{y \text{ નો સહગુણક}}{y^2 \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{-11/3}{7} = \frac{11}{21}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર = $(\frac{2}{3})(-\frac{1}{7}) = -\frac{2}{21}$.
અચળ પદ $-\frac{2}{3}$ છે,$y^2$ નો સહગુણક $7$ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર = $\frac{\text{અચળ પદ}}{y^2 \text{ નો સહગુણક}} = \frac{-2/3}{7} = -\frac{2}{21}$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(N/A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે,શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = \sqrt{2}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -\frac{3}{2}$ છે.
દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta]$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $k[x^2 - \sqrt{2}x - \frac{3}{2}]$ મળે છે.
જો $k=2$ લઈએ,તો બહુપદી $2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3$ મળે.
શૂન્યો શોધવા માટે,$2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$ લો.
$2x^2 - 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}x - 3 = 0$.
$\sqrt{2}x(\sqrt{2}x - 3) + 1(\sqrt{2}x - 3) = 0$.
$(\sqrt{2}x + 1)(\sqrt{2}x - 3) = 0$.
આમ,શૂન્યો $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $x = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2$.
આપેલ મૂલ્યો $\alpha = \frac{1}{2}, \beta = 1, \gamma = -2$ છે.
પ્રથમ,આપણે ચકાસીએ કે આ શૂન્યો છે:
$p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 2 = -2 + 2 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$.
$p(-2) = 2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0$.
આમ,$\frac{1}{2}, 1,$ અને $-2$ એ બહુપદીના શૂન્યો છે.
$p(x)$ ની સરખામણી $ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે કરતા,$a = 2, b = 1, c = -5, d = 2$ મળે છે.
સંબંધોની ચકાસણી:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} + 1 - 2 = -\frac{1}{2} = \frac{-b}{a}$.
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (\frac{1}{2})(1) + (1)(-2) + (-2)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 - 1 = -\frac{5}{2} = \frac{c}{a}$.
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = (\frac{1}{2})(1)(-2) = -1 = \frac{-d}{a} = \frac{-2}{2} = -1$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(A) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x - 2$ છે.
આપેલ સંખ્યાઓ $2, 1, 1$ છે.
$x = 2$ માટે: $p(2) = (2)^{3} - 4(2)^{2} + 5(2) - 2 = 8 - 16 + 10 - 2 = 0$.
$x = 1$ માટે: $p(1) = (1)^{3} - 4(1)^{2} + 5(1) - 2 = 1 - 4 + 5 - 2 = 0$.
અહીં $p(2) = 0$ અને $p(1) = 0$ હોવાથી,$2, 1, 1$ એ આપેલ બહુપદીના શૂન્યો છે.
બહુપદી $p(x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = -4, c = 5, d = -2$ મળે છે.
સંબંધોની ચકાસણી:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $2 + 1 + 1 = 4 = -(-4)/1 = -b/a$.
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $(2)(1) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5 = 5/1 = c/a$.
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $2 \times 1 \times 1 = 2 = -(-2)/1 = -d/a$.
આમ,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
સહગુણકો અને શૂન્યો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$1.$ શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -b/a = 2/1$
$2.$ બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = c/a = -7/1$
$3.$ શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -d/a = -14/1$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = 1, b = -2, c = -7$ અને $d = 14$ મળે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^3 + bx^2 + cx + d$ માં મૂકતા,આપણને બહુપદી મળે છે:
$p(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 14$.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3}-3x^{2}+x+1$ છે.
શૂન્યો $a-b, a, a+b$ આપેલા છે.
બહુપદીને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=1, B=-3, C=1, D=1$ મળે છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
શૂન્યોનો સરવાળો $= (a-b) + a + (a+b) = -B/A$.
$3a = -(-3)/1 = 3$.
$a = 1$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (a-b)(a)(a+b) = -D/A$.
$(1-b)(1)(1+b) = -1/1$.
$1-b^{2} = -1$.
$b^{2} = 2$.
$b = \pm\sqrt{2}$.
આમ,$a=1$ અને $b=\pm\sqrt{2}$ છે.