Geometrical Meaning of the Zeroes of a Polynomial Questions in Gujarati

(N/A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં $y = p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(2) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x-$અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x-$અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $X$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $X$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(1) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y = p(x)$ નો આલેખ $X$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,રેખા $X$-અક્ષને માત્ર $1$ બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(1) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $X$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,પરવલય $X$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં સ્પર્શે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વક્ર $x$-અક્ષને $4$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $4$ છે.

(0) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને તેને કોઈ પણ બિંદુએ છેદતી નથી.
તેથી,$p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે. આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x$-અક્ષને માત્ર $1$ બિંદુમાં છેદે છે. તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(2) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x$-અક્ષને $2$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(4) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વક્ર $x$-અક્ષને $4$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $4$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ આલેખ $y=p(x)$ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,વક્ર $x$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(N/A) $2x^2 + 3x + 1$ ને $x + 2$ વડે ભાગવા માટે, આપણે બહુપદીનો લાંબો ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $2x$ મળે છે. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. ભાજક $(x + 2)$ ને $2x$ વડે ગુણતા $2x^2 + 4x$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(2x^2 + 3x + 1) - (2x^2 + 4x) = -x + 1$ મળે.
$3$. નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(-x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $-1$ મળે છે. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. ભાજક $(x + 2)$ ને $-1$ વડે ગુણતા $-x - 2$ મળે છે. તેને વર્તમાન પદાવલિમાંથી બાદ કરતા: $(-x + 1) - (-x - 2) = 3$ મળે.
શેષની ઘાત ($3$, જે $0$ છે) એ ભાજકની ઘાત ($x + 2$, જે $1$ છે) કરતા ઓછી હોવાથી, આપણે ભાગાકાર અટકાવીએ છીએ.
આમ, ભાગફળ $2x - 1$ છે અને શેષ $3$ છે.
ચકાસણી:
$(2x - 1)(x + 2) + 3 = (2x^2 + 4x - x - 2) + 3 = 2x^2 + 3x + 1$.
તેથી, $\text{ભાજ્ય} = \text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ} + \text{શેષ}$.

(N/A) અહીં બે શૂન્યો $\sqrt{2}$ અને $-\sqrt{2}$ આપેલા છે,તેથી $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) = x^{2}-2$ એ આપેલ બહુપદીનો એક અવયવ છે.
હવે,અન્ય અવયવો શોધવા માટે આપણે આપેલી બહુપદીને $x^{2}-2$ વડે ભાગીશું.
ભાગાકાર કરતા:
$2x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+6x-2 = (x^{2}-2)(2x^{2}-3x+1)$
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $2x^{2}-3x+1$ ના મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને અવયવ પાડીએ:
$2x^{2}-2x-x+1 = 2x(x-1)-1(x-1) = (2x-1)(x-1)$
આ અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x-1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$
$x-1 = 0 \implies x = 1$
તેથી,આપેલ બહુપદીના તમામ શૂન્યો $\sqrt{2}, -\sqrt{2}, \frac{1}{2},$ અને $1$ છે.

(N/A) $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - 3$ ને $g(x) = x^{2} - 2$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. $x$ નો $(x^{2} - 2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3} - 2x$ મળે છે. તેને $p(x)$ માંથી બાદ કરતા $-3x^{2} + 7x - 3$ મળે છે.
$3$. નવા ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(-3x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $-3$ મળે છે. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. $-3$ નો $(x^{2} - 2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-3x^{2} + 6$ મળે છે. તેને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા $7x - 9$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x - 3$ છે અને શેષ $7x - 9$ છે.

(N/A) $p(x)$ ને $g(x)$ વડે ભાગવા માટે,આપણે પહેલા તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં (ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં) લખીએ છીએ:
$p(x) = x^{4} + 0x^{3} - 3x^{2} + 4x + 5$
$g(x) = x^{2} - x + 1$
બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા:
$1$. $p(x)$ ના પ્રથમ પદને $g(x)$ ના પ્રથમ પદ વડે ભાગતા: $x^{4} / x^{2} = x^{2}$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. $x^{2}$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા: $x^{4} - x^{3} + x^{2}$. તેને $p(x)$ માંથી બાદ કરતા $x^{3} - 4x^{2} + 4x + 5$ મળે છે.
$3$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદને $g(x)$ ના પ્રથમ પદ વડે ભાગતા: $x^{3} / x^{2} = x$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. $x$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા: $x^{3} - x^{2} + x$. તેને બાદ કરતા $-3x^{2} + 3x + 5$ મળે છે.
$5$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદને $g(x)$ ના પ્રથમ પદ વડે ભાગતા: $-3x^{2} / x^{2} = -3$. આ ભાગફળનું ત્રીજું પદ છે.
$6$. $-3$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા: $-3x^{2} + 3x - 3$. તેને બાદ કરતા $8$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x^{2} + x - 3$ છે અને શેષ $8$ છે.

(A) જો $t^{2}-3$ એ $2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ નો અવયવ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીએ છીએ.
ભાજકને $t^{2}+0t-3$ તરીકે લખીએ.
$2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ ને $t^{2}+0t-3$ વડે ભાગતા:
$1$. $2t^{4}$ ને $t^{2}$ વડે ભાગતા $2t^{2}$ મળે. $2t^{2}(t^{2}+0t-3) = 2t^{4}+0t^{3}-6t^{2}$ ગુણાકાર કરો. ભાજ્યમાંથી આ બાદ કરતા $3t^{3}+4t^{2}-9t-12$ મળે છે.
$2$. $3t^{3}$ ને $t^{2}$ વડે ભાગતા $3t$ મળે. $3t(t^{2}+0t-3) = 3t^{3}+0t^{2}-9t$ ગુણાકાર કરો. બાદબાકી કરતા $4t^{2}+0t-12$ મળે છે.
$3$. $4t^{2}$ ને $t^{2}$ વડે ભાગતા $4$ મળે. $4(t^{2}+0t-3) = 4t^{2}+0t-12$ ગુણાકાર કરો. બાદબાકી કરતા શેષ $0$ મળે છે.
શેષ $0$ હોવાથી,$t^{2}-3$ એ $2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ નો અવયવ છે.

(B) આ વિધાન 'ખોટું' છે.
દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ માટે જો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોય,તો તેનો આલેખ $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં સ્પર્શે છે.
આ કિસ્સામાં,દ્વિઘાત બહુપદીના બે સમાન વાસ્તવિક શૂન્યો હોય છે અને આલેખ $x$-અક્ષને બરાબર એક બિંદુમાં સ્પર્શે છે.
તેથી,દ્વિઘાત બહુપદી $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદી શકે છે.

(A) આ વિધાન 'સાચું' છે.
જો કોઈ બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને બરાબર બે બિંદુઓમાં છેદે,તો તે દ્વિઘાત બહુપદી જ હોય તે જરૂરી નથી.
$n > 2$ ઘાતવાળી બહુપદી પણ $x$-અક્ષને બરાબર બે બિંદુઓમાં છેદી શકે છે જો તેના બે વાસ્તવિક શૂન્યો હોય અને બાકીના $(n-2)$ શૂન્યો કાલ્પનિક (અવાસ્તવિક) હોય.
ઉદાહરણ તરીકે,$4$ ઘાતવાળી બહુપદીને બે વાસ્તવિક શૂન્યો અને બે કાલ્પનિક શૂન્યો હોઈ શકે છે,જેના પરિણામે તેનો આલેખ $x$-અક્ષને માત્ર બે જ બિંદુઓમાં છેદે છે.

(N/A) અહીં,$p(x)=x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1)$.
$p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,$p(x)=0$ લો.
$\therefore (x-4)(x+1)=0$.
$\therefore x=4$ અથવા $x=-1$.
$\therefore 4$ અને $-1$ એ $p(x)$ ના શૂન્યો છે.
આ બહુપદીનો આલેખ દોરવા માટે,આપણે $x$ ની કેટલીક અલગ કિંમતો લઈએ છીએ અને નીચે મુજબનું કોષ્ટક તૈયાર કરીએ છીએ:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$3$	$4$	$5$
$p(x)=x^2-3x-4$	$6$	$0$	$-4$	$-4$	$0$	$6$

આ બિંદુઓને આલેખપત્ર પર અંકિત કરો. આ તમામ બિંદુઓ $(-2, 6), (-1, 0), (0, -4), (3, -4), (4, 0)$ અને $(5, 6)$ ને જોડતા,આપણને ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલય જેવો આલેખ મળે છે. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ આલેખ $X$-અક્ષને બે બિંદુઓ $(-1, 0)$ અને $(4, 0)$ પર છેદે છે. તેમના $X$-યામ એ આ બહુપદીના શૂન્યો છે. આમ,$-1$ અને $4$ એ $p(x)$ ના શૂન્યો છે.

(N/A) અહીં,$p(x)=x^{3}-4 x$
$=x(x^{2}-4)$
$=x(x-2)(x+2)$
$p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,$p(x)=0$ લો.
$\therefore x(x-2)(x+2)=0$
$\therefore x=0, x=2$ અથવા $x=-2$.
$\therefore 0, 2$ અને $-2$ એ $p(x)$ ના શૂન્યો છે.
આ બહુપદીનો આલેખ દોરવા માટે,આપણે $x$ ની કેટલીક અલગ કિંમતો લઈએ છીએ અને નીચે મુજબનું કોષ્ટક તૈયાર કરીએ છીએ:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$p(x)=x^3-4x$	$0$	$3$	$0$	$-3$	$0$

આ બિંદુઓને આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ પ્લોટ કરો. આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ આલેખ $X$-અક્ષને ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓ $(-2, 0)$,$(0, 0)$ અને $(2, 0)$ પર છેદે છે. તેમના $X$-યામ એ આ બહુપદીના શૂન્યો છે. તેથી,$p(x)$ ના શૂન્યો $-2, 0$ અને $2$ છે.

(0) બહુપદી $y=p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ બહુપદીનો આલેખ $X-$અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલી આકૃતિમાં,$y=p(x)$ નો આલેખ $X-$અક્ષને સમાંતર રેખા છે,જે $X-$અક્ષને કોઈ પણ બિંદુમાં છેદતી નથી.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(0) બહુપદી $y=p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $X-$અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$y=p(x)$ નો આલેખ સંપૂર્ણપણે $X-$અક્ષની ઉપર આવેલો છે અને તે $X-$અક્ષને કોઈ પણ બિંદુએ છેદતો કે સ્પર્શતો નથી.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(2) બહુપદી $y=p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા તે તેના આલેખ દ્વારા $X$-અક્ષને છેદતા બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્ર $y=p(x)$ એ $X$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે (ઉગમબિંદુ $O$ અને ધન $X$-અક્ષ પરનું એક બિંદુ).
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) બહુપદી $y=p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ બહુપદીનો આલેખ $X-$અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$y=p(x)$ નો આલેખ $X-$અક્ષને બરાબર $1$ બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(4) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા એ $y=p(x)$ નો આલેખ $X-$અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આલેખનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વક્ર $X-$અક્ષને $4$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = 5x - 4$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આમ,$5x - 4 = 0$.
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા,આપણને $5x = 4$ મળે છે.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{4}{5}$ મળે છે.
આ એક સુરેખ બહુપદી છે જે $ax + b$ (જ્યાં $a \neq 0$) સ્વરૂપમાં છે,તેથી તેને બરાબર એક વાસ્તવિક શૂન્ય હોય છે.
તેથી,વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = 2x - 5$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$2x - 5 = 0$
$2x = 5$
$x = 5/2$
આમ,બહુપદીનું શૂન્ય $5/2$ અથવા $2.5$ છે.
આલેખ દોરવા માટે,આપણે રેખા પરના બે બિંદુઓ શોધીએ છીએ:
$1$. જો $x = 0$ હોય,તો $p(0) = 2(0) - 5 = -5$. બિંદુ: $(0, -5)$.
$2$. જો $x = 2.5$ હોય,તો $p(2.5) = 2(2.5) - 5 = 0$. બિંદુ: $(2.5, 0)$.
આ બિંદુઓને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને તેમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દોરવાથી સુરેખ બહુપદીનો આલેખ મળે છે.

(B) બહુપદી $p(x) = 3 - 2x - x^2$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3 - 2x - x^2 = 0$
સરળ બનાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા: $x^2 + 2x - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 3x - x - 3 = 0$.
$x(x + 3) - 1(x + 3) = 0$.
$(x - 1)(x + 3) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x - 1 = 0$ અથવા $x + 3 = 0$ મળે છે.
આમ,શૂન્યો $x = 1$ અને $x = -3$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = x^{2} + x - 12$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આમ,$x^{2} + x - 12 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $-12$ અને સરવાળો $1$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $4$ અને $-3$ છે.
તેથી,$x^{2} + 4x - 3x - 12 = 0$.
$x(x + 4) - 3(x + 4) = 0$.
$(x - 3)(x + 4) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x - 3 = 0$ અથવા $x + 4 = 0$ મળે છે.
તેથી,$x = 3$ અથવા $x = -4$.
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $-4$ અને $3$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^3 - 2x^2$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^3 - 2x^2 = 0$
પદાવલિમાંથી $x^2$ સામાન્ય લેતા:
$x^2(x - 2) = 0$
આનાથી આપણને બે કિસ્સા મળે છે:
$x^2 = 0 \implies x = 0$
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $0$ અને $2$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^3$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આનાથી આપણને $x^3 = 0$ સમીકરણ મળે છે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $x = 0$ મળે છે.
આલેખની દ્રષ્ટિએ,વક્ર $y = x^3$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,જે એકમાત્ર બિંદુ છે જ્યાં તે $x$-અક્ષને છેદે છે.
તેથી,બહુપદી $p(x) = x^3$ નું શૂન્ય $0$ છે.

(B) કોઈપણ બહુપદી $y = p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા એ બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તેની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્ર $y = p(x)$ એ $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
તેથી,બહુપદીના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલી આકૃતિમાં,$y=p(x)$ ને દર્શાવતી રેખા $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા એ બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને જેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તેની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલી આકૃતિમાં,વક્ર $y=p(x)$ એ $x$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બહુપદીના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(D) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલી આકૃતિમાં,વક્ર $y=p(x)$ એ $x$-અક્ષને $3$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) $p(x) = x^2 - 9$ નો આલેખ $X$-અક્ષને કયા બિંદુએ છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^2 - 9 = 0$
$(x - 3)(x + 3) = 0$
આનાથી આપણને $x = 3$ અને $x = -3$ મળે છે.
અહીં બે ભિન્ન વાસ્તવિક શૂન્યો હોવાથી,આલેખ $X$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓ $(3, 0)$ અને $(-3, 0)$ માં છેદે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સુરેખ બહુપદી $p(x) = ax + b$ સ્વરૂપની હોય છે,જ્યાં $a \neq 0$ અને $a, b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
સમીકરણ $y = ax + b$ નો આલેખ કાર્તેઝિયન સમતલમાં એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સુરેખ બહુપદીનો આલેખ હંમેશા એક સીધી રેખા હોય છે.

(A) સુરેખ બહુપદીને $p(x) = ax + b$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $a \neq 0$ છે.
$X$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$ax + b = 0$
$ax = -b$
$x = -b/a$
અહીં $a \neq 0$ હોવાથી,$x$ ની માત્ર એક જ અનન્ય કિંમત મળે છે જેના માટે $p(x) = 0$ થાય છે.
તેથી,સુરેખ બહુપદીનો આલેખ $X$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદે છે,જે $(-b/a, 0)$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = 3x - 6$ નો આલેખ $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $3x - 6 = 0$.
બંને બાજુ $6$ ઉમેરતા: $3x = 6$.
$3$ વડે ભાગતા: $x = 2$.
આ બિંદુ $X$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ થશે.
તેથી,આલેખ $X$-અક્ષને $(2, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} + 5x + 6$ છે.
આ $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી છે,જ્યાં $a = 1$,$b = 5$,અને $c = 6$ છે.
કોઈપણ દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^{2} + bx + c$ (જ્યાં $a \neq 0$) નો આલેખ હંમેશા એક વક્ર હોય છે જેને પરવલય (parabola) કહેવામાં આવે છે.
અહીં $x^{2}$ નો સહગુણક ધન $(a = 1 > 0)$ હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
તેથી,$p(x) = x^{2} + 5x + 6$ નો આલેખ પરવલય છે.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી છે,જ્યાં $a = 1$,$b = 6$ અને $c = 8$ છે.
અહીં $x^{2}$ નો સહગુણક $a = 1$ છે,જે $0$ કરતા મોટો છે $(a > 0)$,તેથી દ્વિઘાત બહુપદીનો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2} - x - 2$ નો આલેખ $X$-અક્ષને કેટલા બિંદુઓમાં છેદે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સમીકરણ $p(x) = 0$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા શોધવી પડે.
$1$. બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવો: $x^{2} - x - 2 = 0$.
$2$. વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરો,જ્યાં $a = 1$,$b = -1$,અને $c = -2$ છે.
$3$. $D = (-1)^{2} - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$.
$4$. અહીં $D > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક શૂન્યો મળે છે.
$5$. તેથી,બહુપદીનો આલેખ $X$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(D) આપેલ બહુપદી એ $p(x) = ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી છે,જ્યાં $a = -1$,$b = 1$ અને $c = 6$ છે.
બહુપદીનો ઘાત $2$ હોવાથી,તેનો આલેખ પરવલય (parabola) મળે છે.
દ્વિઘાત બહુપદી $ax^2 + bx + c$ માં,જો $a > 0$ હોય તો પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે અને જો $a < 0$ હોય તો પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
અહીં,$a = -1$ છે,જે $0$ કરતા નાનું છે.
તેથી,$p(x) = -x^2 + x + 6$ નો આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે.

(C) $p(x) = x^{2} + 6x + 9$ નો આલેખ $X$-અક્ષને કેવી રીતે છેદે છે તે જાણવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈને બહુપદીના શૂન્યો શોધીએ.
$x^{2} + 6x + 9 = 0$
આ એક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે,જેને $(x + 3)^{2} = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય.
આમ,$x = -3$ એ એકમાત્ર શૂન્ય (પુનરાવર્તિત શૂન્ય) છે.
અહીં માત્ર એક જ ભિન્ન વાસ્તવિક શૂન્ય હોવાથી,દ્વિઘાત બહુપદી દ્વારા દર્શાવેલ પરવલય $X$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુ $(-3, 0)$ પર સ્પર્શે છે.

(D) $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
સુરેખ બહુપદી $p(x) = ax + b$ (જ્યાં $a \neq 0$) નો આલેખ હંમેશા એક સીધી રેખા હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં:
$A) p(x) = x^{2} + 8$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે (ઘાત $2$).
$B) p(x) = x^{3} - 2$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે (ઘાત $3$).
$C) p(x) = x^{2} + 6x + 9$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે (ઘાત $2$).
$D) p(x) = 5x - 10$ એ સુરેખ બહુપદી છે (ઘાત $1$).
તેથી,$p(x) = 5x - 10$ નો આલેખ એક રેખા છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ નો આલેખ પરવલય (parabola) હોય છે.
જો $a > 0$ હોય,તો પરવલય ઉપરની તરફ ખુલ્લો હોય છે.
જો $a < 0$ હોય,તો પરવલય નીચેની તરફ ખુલ્લો હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માં,$p(x) = x^2 + 8x + 12$ છે,અહીં $a = 1$ છે,જે $0$ કરતા મોટું છે.
તેથી,$p(x) = x^2 + 8x + 12$ નો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલ્લો વક્ર છે.

(B) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^{2} + bx + c$ માટે,તેનો આલેખ પરવલય (parabola) હોય છે.
જો $a > 0$ હોય,તો પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
જો $a < 0$ હોય,તો પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
દરેક વિકલ્પ માટે $x^{2}$ ના સહગુણકની તપાસ કરીએ:
$A) p(x) = x^{2} - 4x + 3$,અહીં $a = 1 > 0$ (ઉપરની તરફ ખુલે છે).
$B) p(x) = 6x - x^{2} - 9$,જેને $p(x) = -x^{2} + 6x - 9$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a = -1 < 0$ (નીચેની તરફ ખુલે છે).
$C) p(x) = 3 - 6x + 3x^{2}$,અહીં $a = 3 > 0$ (ઉપરની તરફ ખુલે છે).
$D) p(x) = x^{2} + 6x + 5$,અહીં $a = 1 > 0$ (ઉપરની તરફ ખુલે છે).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) બહુપદી $y = p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$y = p(x)$ દર્શાવતી રેખા $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદે છે.
તેથી,$y = p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) બહુપદી $y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા તે બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે જ્યાં બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને છેદે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$y=p(x)$ દર્શાવતો વક્ર $x$-અક્ષને બરાબર $2$ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$y=p(x)$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.