Geometrical Meaning of the Zeroes of a Polynomial Questions in Hindi

(N/A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y = p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के शून्यकों की संख्या $1$ है।

(2) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x-$अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $x-$अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $2$ है।

(N/A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $X$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $3$ है।

(1) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y = p(x)$ का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,रेखा $X$-अक्ष को केवल $1$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः,$p(x)$ के शून्यकों की संख्या $1$ है।

(1) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,परवलय $X$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $1$ है।

(N/A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि वक्र $x$-अक्ष को $4$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $4$ है।

(0) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,रेखा $x$-अक्ष के समांतर है और इसे किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती है।
अतः,$p(x)$ के शून्यकों की संख्या $0$ है।

(A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। दिए गए ग्राफ में,वक्र $x$-अक्ष को केवल $1$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है। अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $1$ है।

(N/A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $x$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $3$ है।

(2) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $x$-अक्ष को $2$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $2$ है।

(4) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि वक्र $x$-अक्ष को $4$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $4$ है।

(N/A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $x$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $3$ है।

(N/A) $2x^2 + 3x + 1$ को $x + 2$ से विभाजित करने के लिए, हम बहुपद का लंबा विभाजन (long division) करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $2x$ प्राप्त होता है। यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(x + 2)$ को $2x$ से गुणा करने पर $2x^2 + 4x$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(2x^2 + 3x + 1) - (2x^2 + 4x) = -x + 1$ प्राप्त होता है।
$3$. नए व्यंजक के पहले पद $(-x)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $-1$ प्राप्त होता है। यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. भाजक $(x + 2)$ को $-1$ से गुणा करने पर $-x - 2$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान व्यंजक से घटाने पर: $(-x + 1) - (-x - 2) = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि शेषफल की घात ($3$, जो $0$ है) भाजक की घात ($x + 2$, जो $1$ है) से कम है, इसलिए हम विभाजन प्रक्रिया रोक देते हैं।
अतः, भागफल $2x - 1$ है और शेषफल $3$ है।
सत्यापन:
$(2x - 1)(x + 2) + 3 = (2x^2 + 4x - x - 2) + 3 = 2x^2 + 3x + 1$.
इसलिए, $\text{भाज्य} = \text{भाजक} \times \text{भागफल} + \text{शेषफल}$.

(N/A) चूंकि दो शून्यक $\sqrt{2}$ और $-\sqrt{2}$ हैं,इसलिए $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) = x^{2}-2$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
अब,अन्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए हम दिए गए बहुपद को $x^{2}-2$ से विभाजित करते हैं।
विभाजन करने पर:
$2x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+6x-2 = (x^{2}-2)(2x^{2}-3x+1)$
अब,हम मध्य पद को विभाजित करके द्विघात बहुपद $2x^{2}-3x+1$ का गुणनखंड करते हैं:
$2x^{2}-2x-x+1 = 2x(x-1)-1(x-1) = (2x-1)(x-1)$
इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x-1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$
$x-1 = 0 \implies x = 1$
अतः,दिए गए बहुपद के सभी शून्यक $\sqrt{2}, -\sqrt{2}, \frac{1}{2},$ और $1$ हैं।

(N/A) $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - 3$ को $g(x) = x^{2} - 2$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है। यह भागफल का पहला पद है।
$2$. $x$ को $(x^{2} - 2)$ से गुणा करने पर $x^{3} - 2x$ प्राप्त होता है। इसे $p(x)$ में से घटाने पर $-3x^{2} + 7x - 3$ प्राप्त होता है।
$3$. नए भाज्य के पहले पद $(-3x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $-3$ प्राप्त होता है। यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. $-3$ को $(x^{2} - 2)$ से गुणा करने पर $-3x^{2} + 6$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान शेषफल में से घटाने पर $7x - 9$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x - 3$ है और शेषफल $7x - 9$ है।

(N/A) $p(x)$ को $g(x)$ से विभाजित करने के लिए,हम पहले उन्हें मानक रूप (घातों के अवरोही क्रम) में लिखते हैं:
$p(x) = x^{4} + 0x^{3} - 3x^{2} + 4x + 5$
$g(x) = x^{2} - x + 1$
बहुपद का भाग करने पर:
$1$. $p(x)$ के पहले पद को $g(x)$ के पहले पद से विभाजित करें: $x^{4} / x^{2} = x^{2}$। यह भागफल का पहला पद है।
$2$. $x^{2}$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करें: $x^{4} - x^{3} + x^{2}$। इसे $p(x)$ से घटाने पर $x^{3} - 4x^{2} + 4x + 5$ प्राप्त होता है।
$3$. नए बहुपद के पहले पद को $g(x)$ के पहले पद से विभाजित करें: $x^{3} / x^{2} = x$। यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. $x$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करें: $x^{3} - x^{2} + x$। इसे घटाने पर $-3x^{2} + 3x + 5$ प्राप्त होता है।
$5$. नए बहुपद के पहले पद को $g(x)$ के पहले पद से विभाजित करें: $-3x^{2} / x^{2} = -3$। यह भागफल का तीसरा पद है।
$6$. $-3$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करें: $-3x^{2} + 3x - 3$। इसे घटाने पर $8$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2} + x - 3$ है और शेषफल $8$ है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $t^{2}-3$,$2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ का एक गुणनखंड है,हम बहुपद का भाग करते हैं।
भाजक को $t^{2}+0t-3$ के रूप में लिखते हैं।
$2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ को $t^{2}+0t-3$ से भाग देने पर:
$1$. $2t^{4}$ को $t^{2}$ से भाग देने पर $2t^{2}$ प्राप्त होता है। $2t^{2}(t^{2}+0t-3) = 2t^{4}+0t^{3}-6t^{2}$ का गुणा करें। इसे भाज्य से घटाने पर $3t^{3}+4t^{2}-9t-12$ प्राप्त होता है।
$2$. $3t^{3}$ को $t^{2}$ से भाग देने पर $3t$ प्राप्त होता है। $3t(t^{2}+0t-3) = 3t^{3}+0t^{2}-9t$ का गुणा करें। घटाने पर $4t^{2}+0t-12$ प्राप्त होता है।
$3$. $4t^{2}$ को $t^{2}$ से भाग देने पर $4$ प्राप्त होता है। $4(t^{2}+0t-3) = 4t^{2}+0t-12$ का गुणा करें। घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए $t^{2}-3$,$2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ का एक गुणनखंड है।

(B) यह कथन 'असत्य' है।
एक द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ का आलेख $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद या स्पर्श कर सकता है यदि उसका विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ हो।
इस स्थिति में,द्विघात बहुपद के दो समान वास्तविक शून्यक होते हैं और आलेख $x$-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
अतः,एक द्विघात बहुपद $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकता है।

(A) यह कथन 'सत्य' है।
यदि किसी बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है,तो यह आवश्यक नहीं है कि वह एक द्विघात बहुपद ही हो।
$n > 2$ घात वाला एक बहुपद भी $x$-अक्ष को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकता है यदि उसके दो वास्तविक शून्यक हों और शेष $(n-2)$ शून्यक काल्पनिक (अवास्तविक) हों।
उदाहरण के लिए,$4$ घात वाले एक बहुपद के दो वास्तविक शून्यक और दो काल्पनिक शून्यक हो सकते हैं,जिसके परिणामस्वरूप उसका ग्राफ $x$-अक्ष को केवल दो बिंदुओं पर ही प्रतिच्छेद करता है।

(N/A) यहाँ,$p(x)=x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1)$ है।
$p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(x)=0$ मानिए।
$\therefore (x-4)(x+1)=0$।
$\therefore x=4$ या $x=-1$।
$\therefore 4$ और $-1$ बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं।
इस बहुपद का ग्राफ खींचने के लिए,हम $x$ के कुछ अलग मान लेते हैं और निम्नलिखित तालिका तैयार करते हैं:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$3$	$4$	$5$
$p(x)=x^2-3x-4$	$6$	$0$	$-4$	$-4$	$0$	$6$

इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित कीजिए। इन सभी बिंदुओं $(-2, 6), (-1, 0), (0, -4), (3, -4), (4, 0)$ और $(5, 6)$ को मिलाने पर,हमें ऊपर की ओर खुलते हुए परवलय (parabola) के आकार का ग्राफ प्राप्त होता है। हम देख सकते हैं कि यह ग्राफ $X$-अक्ष को दो बिंदुओं $(-1, 0)$ और $(4, 0)$ पर काटता है। इनके $X$-निर्देशांक इस बहुपद के शून्यक हैं। अतः,$-1$ और $4$ बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं।

(N/A) यहाँ,$p(x)=x^{3}-4 x$
$=x(x^{2}-4)$
$=x(x-2)(x+2)$
$p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(x)=0$ मानिए।
$\therefore x(x-2)(x+2)=0$
$\therefore x=0, x=2$ या $x=-2$.
$\therefore 0, 2$ और $-2$ बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं।
इस बहुपद का आलेख खींचने के लिए,हम $x$ के कुछ अलग मान लेते हैं और निम्नलिखित तालिका तैयार करते हैं:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$p(x)=x^3-4x$	$0$	$3$	$0$	$-3$	$0$

इन बिंदुओं को आलेख में दिखाए अनुसार अंकित करें। हम देख सकते हैं कि यह आलेख $X$-अक्ष को तीन अलग-अलग बिंदुओं $(-2, 0)$,$(0, 0)$ और $(2, 0)$ पर प्रतिच्छेद करता है। इनके $X$-निर्देशांक इस बहुपद के शून्यक हैं। अतः,$p(x)$ के शून्यक $-2, 0$ और $2$ हैं।

(0) किसी बहुपद $y=p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का आलेख $X-$अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y=p(x)$ का आलेख $X-$अक्ष के समांतर एक रेखा है,जो $X-$अक्ष को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $0$ है।

(0) किसी बहुपद $y=p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $X-$अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y=p(x)$ का ग्राफ पूरी तरह से $X-$अक्ष के ऊपर स्थित है और यह $X-$अक्ष को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करता है और न ही स्पर्श करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $0$ है।

(2) किसी बहुपद $y=p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ इसका ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y=p(x)$ $X$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है (मूल बिंदु $O$ और धनात्मक $X$-अक्ष पर एक बिंदु)।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $2$ है।

(A) किसी बहुपद $y=p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का आलेख $X-$अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y=p(x)$ का आलेख $X-$अक्ष को ठीक $1$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।

(4) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $X-$अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि वक्र $X-$अक्ष को $4$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $4$ है।

(C) बहुपद $p(x) = 5x - 4$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
अतः,$5x - 4 = 0$।
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर,हमें $5x = 4$ प्राप्त होता है।
$5$ से भाग देने पर,हमें $x = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $ax + b$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप का एक रैखिक बहुपद है,इसलिए इसका केवल एक वास्तविक शून्यक होता है।
अतः,वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।

(A) बहुपद $p(x) = 2x - 5$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$2x - 5 = 0$
$2x = 5$
$x = 5/2$
अतः,बहुपद का शून्यक $5/2$ या $2.5$ है।
आलेख खींचने के लिए,हम रेखा पर दो बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. यदि $x = 0$ है,तो $p(0) = 2(0) - 5 = -5$। बिंदु: $(0, -5)$।
$2$. यदि $x = 2.5$ है,तो $p(2.5) = 2(2.5) - 5 = 0$। बिंदु: $(2.5, 0)$।
इन बिंदुओं को आलेख पर अंकित करके और उनसे होकर एक सीधी रेखा खींचने पर रैखिक बहुपद का आलेख प्राप्त होता है।

(B) बहुपद $p(x) = 3 - 2x - x^2$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3 - 2x - x^2 = 0$
सरल बनाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर: $x^2 + 2x - 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 3x - x - 3 = 0$.
$x(x + 3) - 1(x + 3) = 0$.
$(x - 1)(x + 3) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x - 1 = 0$ या $x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $x = 1$ और $x = -3$ हैं।

(C) बहुपद $p(x) = x^{2} + x - 12$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
अतः,$x^{2} + x - 12 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $-12$ और योग $1$ हो।
ये संख्याएँ $4$ और $-3$ हैं।
इसलिए,$x^{2} + 4x - 3x - 12 = 0$.
$x(x + 4) - 3(x + 4) = 0$.
$(x - 3)(x + 4) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x - 3 = 0$ या $x + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 3$ या $x = -4$ है।
इस प्रकार,बहुपद के शून्यक $-4$ और $3$ हैं।

(D) बहुपद $p(x) = x^3 - 2x^2$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^3 - 2x^2 = 0$
व्यंजक से $x^2$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x^2(x - 2) = 0$
इससे हमें दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$x^2 = 0 \implies x = 0$
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
अतः,बहुपद के शून्यक $0$ और $2$ हैं।

(A) बहुपद $p(x) = x^3$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
इससे हमें समीकरण $x^3 = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।
आलेखीय रूप से,वक्र $y = x^3$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,जो एकमात्र बिंदु है जहाँ यह $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x) = x^3$ का शून्यक $0$ है।

(B) किसी बहुपद $y = p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y = p(x)$ $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
अतः,बहुपद के वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।

(C) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y=p(x)$ को दर्शाने वाली रेखा $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(D) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y=p(x)$ $x$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद के वास्तविक शून्यकों की संख्या $3$ है।

(D) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y=p(x)$,$x$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $3$ है।

(C) $p(x) = x^2 - 9$ का ग्राफ $X$-अक्ष को कहाँ प्रतिच्छेद करता है,यह ज्ञात करने के लिए हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^2 - 9 = 0$
$(x - 3)(x + 3) = 0$
इससे हमें $x = 3$ और $x = -3$ प्राप्त होता है।
चूँकि यहाँ दो भिन्न वास्तविक शून्य हैं,इसलिए ग्राफ $X$-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं $(3, 0)$ और $(-3, 0)$ पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक रैखिक बहुपद $p(x) = ax + b$ के रूप का होता है,जहाँ $a \neq 0$ और $a, b$ वास्तविक संख्याएँ हैं।
समीकरण $y = ax + b$ का आलेख कार्तीय तल में एक सरल रेखा को दर्शाता है।
इसलिए,रैखिक बहुपद का आलेख हमेशा एक सरल रेखा होता है।

(A) एक रैखिक बहुपद को $p(x) = ax + b$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a \neq 0$ है।
$X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$ax + b = 0$
$ax = -b$
$x = -b/a$
चूँकि $a \neq 0$ है,इसलिए $x$ का केवल एक अद्वितीय मान प्राप्त होता है जिसके लिए $p(x) = 0$ होता है।
अतः,रैखिक बहुपद का आलेख $X$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है,जो $(-b/a, 0)$ है।

(D) वह बिंदु जहाँ बहुपद $p(x) = 3x - 6$ का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर: $3x - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $6$ जोड़ने पर: $3x = 6$ प्राप्त होता है।
$3$ से भाग देने पर: $x = 2$ प्राप्त होता है।
चूँकि यह बिंदु $X$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,ग्राफ $X$-अक्ष को $(2, 0)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।

(D) दी गई बहुपद $p(x) = x^{2} + 5x + 6$ है।
यह $ax^{2} + bx + c$ के रूप का एक द्विघात बहुपद है,जहाँ $a = 1$,$b = 5$,और $c = 6$ है।
किसी भी द्विघात बहुपद $p(x) = ax^{2} + bx + c$ (जहाँ $a \neq 0$) का आलेख हमेशा एक वक्र होता है जिसे परवलय (parabola) कहा जाता है।
चूँकि $x^{2}$ का गुणांक धनात्मक $(a = 1 > 0)$ है,इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
अतः,$p(x) = x^{2} + 5x + 6$ का आलेख एक परवलय है।

(A) दी गई बहुपद $p(x) = ax^{2} + bx + c$ के रूप की एक द्विघात बहुपद है,जहाँ $a = 1$,$b = 6$ और $c = 8$ है।
चूँकि $x^{2}$ का गुणांक $a = 1$ है,जो $0$ से बड़ा है $(a > 0)$,इसलिए द्विघात बहुपद का ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2} - x - 2$ का ग्राफ $X$-अक्ष को कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है,यह निर्धारित करने के लिए हमें समीकरण $p(x) = 0$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या ज्ञात करनी होगी।
$1$. बहुपद को शून्य के बराबर रखें: $x^{2} - x - 2 = 0$.
$2$. विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ की गणना करें,जहाँ $a = 1$,$b = -1$,और $c = -2$ है।
$3$. $D = (-1)^{2} - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$.
$4$. चूँकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक शून्यक हैं।
$5$. अतः,बहुपद का ग्राफ $X$-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(D) दी गई बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के रूप में एक द्विघात बहुपद है,जहाँ $a = -1$,$b = 1$ और $c = 6$ है।
चूंकि बहुपद की घात $2$ है,इसलिए इसका ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है।
एक द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ में,यदि $a > 0$ है,तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है और यदि $a < 0$ है,तो परवलय नीचे की ओर खुलता है।
यहाँ,$a = -1$ है,जो $0$ से छोटा है।
इसलिए,$p(x) = -x^2 + x + 6$ का ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है।

(C) $p(x) = x^{2} + 6x + 9$ का ग्राफ $X$-अक्ष को कैसे काटता है,यह निर्धारित करने के लिए हम $p(x) = 0$ रखकर बहुपद के शून्यक ज्ञात करते हैं।
$x^{2} + 6x + 9 = 0$
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है,जिसे $(x + 3)^{2} = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
अतः,$x = -3$ ही एकमात्र शून्यक (पुनरावृत्त शून्यक) है।
चूंकि यहाँ केवल एक ही वास्तविक शून्यक है,इसलिए द्विघात बहुपद द्वारा निरूपित परवलय $X$-अक्ष को केवल एक बिंदु $(-3, 0)$ पर स्पर्श करता है।

(D) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
रैखिक बहुपद $p(x) = ax + b$ (जहाँ $a \neq 0$) का आलेख हमेशा एक सीधी रेखा होता है।
दिए गए विकल्पों में:
$A) p(x) = x^{2} + 8$ एक द्विघात बहुपद है (घात $2$)।
$B) p(x) = x^{3} - 2$ एक त्रिघात बहुपद है (घात $3$)।
$C) p(x) = x^{2} + 6x + 9$ एक द्विघात बहुपद है (घात $2$)।
$D) p(x) = 5x - 10$ एक रैखिक बहुपद है (घात $1$)।
अतः,$p(x) = 5x - 10$ का आलेख एक रेखा है।

(A) एक द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ का ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है।
यदि $a > 0$ है,तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
यदि $a < 0$ है,तो परवलय नीचे की ओर खुलता है।
विकल्प $A$ में,$p(x) = x^2 + 8x + 12$ है,यहाँ $a = 1$ है,जो $0$ से बड़ा है।
अतः,$p(x) = x^2 + 8x + 12$ का ग्राफ ऊपर की ओर खुला एक वक्र है।

(B) एक द्विघात बहुपद $p(x) = ax^{2} + bx + c$ के लिए,इसका आलेख एक परवलय (parabola) होता है।
यदि $a > 0$ है,तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
यदि $a < 0$ है,तो परवलय नीचे की ओर खुलता है।
प्रत्येक विकल्प के लिए $x^{2}$ के गुणांक की जाँच करते हैं:
$A) p(x) = x^{2} - 4x + 3$,यहाँ $a = 1 > 0$ (ऊपर की ओर खुलता है)।
$B) p(x) = 6x - x^{2} - 9$,जिसे $p(x) = -x^{2} + 6x - 9$ लिखा जा सकता है। यहाँ $a = -1 < 0$ (नीचे की ओर खुलता है)।
$C) p(x) = 3 - 6x + 3x^{2}$,यहाँ $a = 3 > 0$ (ऊपर की ओर खुलता है)।
$D) p(x) = x^{2} + 6x + 5$,यहाँ $a = 1 > 0$ (ऊपर की ओर खुलता है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) किसी बहुपद $y = p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y = p(x)$ को दर्शाने वाली रेखा $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः,$y = p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।

(B) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y=p(x)$ को दर्शाने वाला वक्र $x$-अक्ष को ठीक $2$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $2$ है।