Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(N/A) सबसे पहले हम भाज्य और भाजक के पदों को उनकी घातों के घटते क्रम में व्यवस्थित करते हैं। इसे बहुपदों को मानक रूप में लिखना कहते हैं। भाज्य पहले से ही मानक रूप में है,और भाजक का मानक रूप $x^{2}+2x+1$ है।
चरण $1$: भागफल का पहला पद प्राप्त करने के लिए,भाज्य के उच्चतम घात वाले पद $(3x^{3})$ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद $(x^{2})$ से विभाजित करें। इससे $3x$ प्राप्त होता है। भाजक को $3x$ से गुणा करने पर,हमें $3x(x^{2}+2x+1) = 3x^{3}+6x^{2}+3x$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर,हमें $(3x^{3}+x^{2}+2x+5) - (3x^{3}+6x^{2}+3x) = -5x^{2}-x+5$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: भागफल का दूसरा पद प्राप्त करने के लिए,नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद $(-5x^{2})$ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद $(x^{2})$ से विभाजित करें। इससे $-5$ प्राप्त होता है। भाजक को $-5$ से गुणा करने पर,हमें $-5(x^{2}+2x+1) = -5x^{2}-10x-5$ प्राप्त होता है। वर्तमान भाज्य से इसे घटाने पर,हमें $(-5x^{2}-x+5) - (-5x^{2}-10x-5) = 9x+10$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: शेषफल $9x+10$ की घात $1$ है,जो भाजक की घात $(2)$ से कम है। अतः,विभाजन प्रक्रिया यहीं समाप्त होती है।
अतः,भागफल $3x-5$ है और शेषफल $9x+10$ है।

(N/A) ध्यान दें कि दिए गए बहुपद मानक रूप में नहीं हैं। विभाजन करने के लिए,हम पहले भाज्य और भाजक दोनों को उनकी घातों के घटते क्रम में लिखते हैं।
अतः,भाज्य $= -x^{3}+3x^{2}-3x+5$ और भाजक $= -x^{2}+x-1$।
विभाजन की प्रक्रिया:
$(-x^{2}+x-1) \overline{) -x^{3}+3x^{2}-3x+5}$
$1$. भाज्य के पहले पद $-x^{3}$ को भाजक के पहले पद $-x^{2}$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है। यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(-x^{2}+x-1)$ को $x$ से गुणा करने पर $-x^{3}+x^{2}-x$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $2x^{2}-2x+5$ प्राप्त होता है।
$3$. नए भाज्य के पहले पद $2x^{2}$ को भाजक के पहले पद $-x^{2}$ से विभाजित करने पर $-2$ प्राप्त होता है। यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. भाजक $(-x^{2}+x-1)$ को $-2$ से गुणा करने पर $2x^{2}-2x+2$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान भाज्य से घटाने पर $3$ प्राप्त होता है।
हम यहाँ रुकते हैं क्योंकि शेषफल $(3)$ की घात $0$ है,जो भाजक $(-x^{2}+x-1)$ की घात $2$ से कम है।
अतः,भागफल $= x-2$,शेषफल $= 3$।
सत्यापन:
भाजक $\times$ भागफल $+$ शेषफल
$= (-x^{2}+x-1)(x-2)+3$
$= -x^{3}+2x^{2}+x^{2}-2x-x+2+3$
$= -x^{3}+3x^{2}-3x+5$
$= \text{भाज्य}$।
इस प्रकार,विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित होता है।

(N/A) $p(x) = x^{4} - 5x + 6$ को $g(x) = -x^{2} + 2$ से विभाजित करने के लिए,हम पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
$p(x) = x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} - 5x + 6$
$g(x) = -x^{2} + 2$
लंबी विभाजन प्रक्रिया करने पर:
$1$. $p(x)$ के पहले पद को $g(x)$ के पहले पद से विभाजित करें: $x^{4} / (-x^{2}) = -x^{2}$। यह भागफल का पहला पद है।
$2$. $-x^{2}$ को $(-x^{2} + 2)$ से गुणा करने पर $x^{4} - 2x^{2}$ प्राप्त होता है। इसे $p(x)$ से घटाने पर $2x^{2} - 5x + 6$ प्राप्त होता है।
$3$. नए बहुपद के पहले पद $(2x^{2})$ को $g(x)$ के पहले पद $(-x^{2})$ से विभाजित करें: $2x^{2} / (-x^{2}) = -2$। यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. $-2$ को $(-x^{2} + 2)$ से गुणा करने पर $2x^{2} - 4$ प्राप्त होता है। इसे $2x^{2} - 5x + 6$ से घटाने पर $-5x + 10$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $-x^{2} - 2$ है और शेषफल $-5x + 10$ है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या प्रथम बहुपद,द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है,हम $3x^{4}+5x^{3}-7x^{2}+2x+2$ को $x^{2}+3x+1$ से विभाजित करते हैं।
चरण $1$: $3x^{4}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $3x^{2}$ प्राप्त होता है। $3x^{2}(x^{2}+3x+1) = 3x^{4}+9x^{3}+3x^{2}$ का गुणा करें। इसे भाज्य से घटाने पर $-4x^{3}-10x^{2}+2x+2$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $-4x^{3}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $-4x$ प्राप्त होता है। $-4x(x^{2}+3x+1) = -4x^{3}-12x^{2}-4x$ का गुणा करें। इसे घटाने पर $2x^{2}+6x+2$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $2x^{2}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $2$ प्राप्त होता है। $2(x^{2}+3x+1) = 2x^{2}+6x+2$ का गुणा करें। इसे घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए प्रथम बहुपद,द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है।

(N/A) यह जाँचने के लिए कि क्या प्रथम बहुपद,द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करेंगे।
$x^{5}-4x^{3}+x^{2}+3x+1$ को $x^{3}-3x+1$ से भाग देने पर:
$1$. भाज्य के प्रथम पद $(x^{5})$ को भाजक के प्रथम पद $(x^{3})$ से भाग देने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x^{3}-3x+1)$ से गुणा करने पर $x^{5}-3x^{3}+x^{2}$ प्राप्त होता है।
$3$. इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{5}-4x^{3}+x^{2}+3x+1) - (x^{5}-3x^{3}+x^{2}) = -x^{3}+3x+1$ प्राप्त होता है।
$4$. नए बहुपद के प्रथम पद $(-x^{3})$ को भाजक के प्रथम पद $(x^{3})$ से भाग देने पर $-1$ प्राप्त होता है।
$5$. $-1$ को $(x^{3}-3x+1)$ से गुणा करने पर $-x^{3}+3x-1$ प्राप्त होता है।
$6$. इसे वर्तमान शेषफल से घटाने पर: $(-x^{3}+3x+1) - (-x^{3}+3x-1) = 2$ प्राप्त होता है।
चूँकि शेषफल $2$ है (जो $\neq 0$ है),इसलिए प्रथम बहुपद,द्वितीय बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(N/A) दिया गया है:
भाज्य $p(x) = x^{3}-3 x^{2}+x+2$
भागफल $q(x) = x-2$
शेषफल $r(x) = -2 x+4$
भाजक $g(x) = ?$
बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करने पर:
$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
$x^{3}-3 x^{2}+x+2 = g(x) \cdot (x-2) + (-2 x+4)$
$g(x) \cdot (x-2)$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$g(x) \cdot (x-2) = (x^{3}-3 x^{2}+x+2) - (-2 x+4)$
$g(x) \cdot (x-2) = x^{3}-3 x^{2}+x+2+2 x-4$
$g(x) \cdot (x-2) = x^{3}-3 x^{2}+3 x-2$
अब,$g(x)$ ज्ञात करने के लिए $(x^{3}-3 x^{2}+3 x-2)$ को $(x-2)$ से विभाजित करने पर:
बहुपद के लंबे विभाजन (long division) का उपयोग करने पर:
$(x^{3}-3 x^{2}+3 x-2) \div (x-2) = x^{2}-x+1$
अतः,$g(x) = x^{2}-x+1$.

(N/A) विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,यदि $p(x)$ और $g(x)$ दो बहुपद हैं जहाँ $g(x) \neq 0,$ तो हम ऐसे बहुपद $q(x)$ और $r(x)$ ज्ञात कर सकते हैं कि $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ हो,जहाँ $r(x) = 0$ या $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x).$
बहुपद की घात बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है।
$\operatorname{deg} p(x) = \operatorname{deg} q(x)$ को संतुष्ट करने के लिए,भागफल की घात भाज्य की घात के बराबर होनी चाहिए। यह तब होता है जब भाजक $g(x)$ एक अचर पद हो।
मान लीजिए कि $p(x) = 6x^2 + 2x + 2$ को $g(x) = 2$ से विभाजित किया जाता है।
यहाँ,$p(x) = 6x^2 + 2x + 2,$
$g(x) = 2,$
$q(x) = 3x^2 + x + 1,$
$r(x) = 0.$
$p(x)$ की घात $2$ है और $q(x)$ की घात भी $2$ है,अतः $\operatorname{deg} p(x) = \operatorname{deg} q(x).$
विभाजन एल्गोरिथ्म की जाँच:
$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
$6x^2 + 2x + 2 = 2(3x^2 + x + 1) + 0$
$6x^2 + 2x + 2 = 6x^2 + 2x + 2.$
इस प्रकार,विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट होता है।

(A) किसी भी द्विघात बहुपद $ax^{2} + bx + c$ $(a \neq 0)$ के लिए,संबंधित समीकरण $y = ax^{2} + bx + c$ का ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है,जो या तो ऊपर की ओर खुला होता है (यदि $a > 0$ हो) या नीचे की ओर खुला होता है (यदि $a < 0$ हो)।
$1$. द्विघात बहुपद का ग्राफ $X$-अक्ष को अधिकतम दो बिंदुओं पर काट सकता है।
$2$. विकल्प $(A)$ में दिखाया गया ग्राफ एक वक्र है जो $X$-अक्ष को तीन अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है,जो कि एक त्रिघात बहुपद की विशेषता है,न कि द्विघात बहुपद की।
$3$. इसलिए,विकल्प $(A)$ में दिया गया ग्राफ एक द्विघात बहुपद का ग्राफ नहीं है।

(B) नहीं,$x-1$ शेषफल नहीं हो सकता।
बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm) के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को भाजक $g(x)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $r(x)$ को यह शर्त पूरी करनी चाहिए कि या तो $r(x) = 0$ हो या $r(x)$ की घात $g(x)$ की घात से कम हो।
यहाँ,भाजक $g(x) = 2x+3$ है,जिसकी घात $1$ है।
प्रस्तावित शेषफल $r(x) = x-1$ है,जिसकी घात भी $1$ है।
चूंकि शेषफल की घात भाजक की घात से कम नहीं है,इसलिए $x-1$ शेषफल नहीं हो सकता।

(B) नहीं। बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,यदि $p(x)$ भाज्य है और $g(x)$ भाजक है,तो $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ होता है,जहाँ $\text{deg}(r(x)) < \text{deg}(g(x))$ होता है।
यहाँ,$\text{deg}(p(x)) = 6$ और $\text{deg}(g(x)) = 5$ दिया गया है।
यदि भागफल $q(x) = x^{2}-1$ है,तो $\text{deg}(q(x)) = 2$ होगा।
गुणनफल $g(x) \cdot q(x)$ की घात $\text{deg}(g(x)) + \text{deg}(q(x)) = 5 + 2 = 7$ होगी।
चूँकि भाज्य $p(x)$ की घात $6$ है,और गुणनफल $g(x) \cdot q(x)$ की घात $7$ है,इसलिए $x^{2}-1$ भागफल नहीं हो सकता क्योंकि गुणनफल की घात भाज्य की घात से अधिक नहीं हो सकती (यह मानते हुए कि शेषफल शून्य है या कम घात वाला है)।
अतः,$x^{2}-1$ भागफल नहीं हो सकता।

(N/A) यहाँ दिया गया है कि भाजक $px^{3} + qx^{2} + nx + s$ $(p \neq 0)$ है और भाज्य $ax^{2} + bx + c$ है।
हम देख सकते हैं कि भाजक की घात $3$ है और भाज्य की घात $2$ है।
बहुपदों के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,यदि भाजक की घात भाज्य की घात से अधिक है,तो विभाजन सामान्य रूप से संभव नहीं है।
अतः,भागफल $0$ होगा और शेषफल भाज्य के बराबर ही रहेगा,जो कि $ax^{2} + bx + c$ है।

(N/A) यदि एक गैर-शून्य बहुपद $p(x)$ को बहुपद $g(x)$ से विभाजित किया जाता है और शेषफल शून्य आता है,तो इसका अर्थ है कि $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है। बहुपदों के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$,जहाँ $r(x) = 0$ है। चूँकि $p(x)$ और $g(x)$ गैर-शून्य बहुपद हैं,इसलिए गुणनफल $g(x) \cdot q(x)$ की घात $p(x)$ की घात के बराबर होनी चाहिए। अतः,$g(x)$ की घात $p(x)$ की घात से कम या उसके बराबर होनी चाहिए,अर्थात $\text{deg}(g(x)) \le \text{deg}(p(x))$।

(A) माना $p(x) = x^{3}+2 x^{2}+k x+3$.
शेषफल प्रमेय के अनुसार,चूंकि $p(x)$ को $x-3$ से विभाजित किया जाता है,शेषफल $p(3)$ है।
दिया है $p(3) = 21$,अतः:
$3^{3}+2(3)^{2}+k(3)+3 = 21$
$27 + 18 + 3k + 3 = 21$
$48 + 3k = 21$
$3k = 21 - 48 = -27$
$k = -9$.
अब,$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3$ को $x-3$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3 = (x-3)(x^{2}+5x+6) + 21$.
भागफल $x^{2}+5x+6$ है।
$x^{3}+2 x^{2}-9 x-18$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,इसका गुणनखंड करते हैं:
$x^{3}+2 x^{2}-9 x-18 = x^{2}(x+2) - 9(x+2)$
$= (x^{2}-9)(x+2)$
$= (x-3)(x+3)(x+2)$.
बहुपद को $0$ के बराबर रखने पर,शून्यक $x = 3, -3, -2$ प्राप्त होते हैं।

(N/A) विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,यदि $p(x)$ और $g(x)$ दो ऐसे बहुपद हैं जहाँ $g(x) \neq 0$,तो हम ऐसे बहुपद $q(x)$ और $r(x)$ प्राप्त कर सकते हैं कि $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$,जहाँ $r(x) = 0$ या $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ हो।
हमें ऐसे उदाहरण खोजने हैं जहाँ $\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg} r(x)$ हो।
मान लीजिए $p(x) = x^3 + x$ और $g(x) = x^2$ है।
विभाजन करने पर:
$x^3 + x = (x^2) \cdot x + x$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$q(x) = x$ और $r(x) = x$ है।
शर्तों की जाँच:
$1$. $\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg}(x) = 1$ है।
$2$. $\operatorname{deg} r(x) = \operatorname{deg}(x) = 1$ है।
चूँकि $1 = 1$,इसलिए $\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg} r(x)$ की शर्त संतुष्ट होती है।
$3$. $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ अर्थात $1 < 2$,जो सत्य है।
अतः,विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट होता है।

(A) विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,यदि $p(x)$ और $g(x)$ दो ऐसे बहुपद हैं जहाँ $g(x) \neq 0$,तो हम ऐसे बहुपद $q(x)$ और $r(x)$ ज्ञात कर सकते हैं कि $p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)$ हो,जहाँ $r(x) = 0$ या $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ हो।
बहुपद की घात,बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है।
$\operatorname{deg} r(x) = 0$ के लिए,शेषफल एक शून्येतर अचर होना चाहिए।
मान लीजिए कि हम $x^3 + 1$ को $x^2$ से विभाजित करते हैं।
यहाँ,$p(x) = x^3 + 1$,$g(x) = x^2$ है।
विभाजन करने पर: $(x^3 + 1) \div x^2$ से भागफल $q(x) = x$ और शेषफल $r(x) = 1$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट रूप से,$r(x) = 1$ की घात $0$ है।
विभाजन एल्गोरिथ्म की जाँच:
$p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)$
$x^3 + 1 = (x^2) \times x + 1$
$x^3 + 1 = x^3 + 1$
अतः,विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट होता है।

(A) विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार:
भाज्य $=$ भाजक $\times$ भागफल $+$ शेषफल
अतः,भाज्य $-$ शेषफल $=$ भाजक $\times$ भागफल।
भाज्य में से शेषफल $(x+a)$ घटाने पर:
$(x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-25x+10) - (x+a) = x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-26x+10-a$.
यह परिणामी बहुपद $x^{2}-2x+k$ से पूर्णतः विभाज्य होना चाहिए।
$(x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-26x+10-a)$ को $(x^{2}-2x+k)$ से विभाजित करने पर:
$1$. $x^{4}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है। $(x^{2}-2x+k)$ को $x^{2}$ से गुणा करने पर $x^{4}-2x^{3}+kx^{2}$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-4x^{3}+(16-k)x^{2}-26x$ शेष बचता है।
$2$. $-4x^{3}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $-4x$ प्राप्त होता है। $(x^{2}-2x+k)$ को $-4x$ से गुणा करने पर $-4x^{3}+8x^{2}-4kx$ प्राप्त होता है। घटाने पर $(8-k)x^{2}+(4k-26)x+(10-a)$ शेष बचता है।
$3$. $(8-k)x^{2}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $(8-k)$ प्राप्त होता है। $(x^{2}-2x+k)$ को $(8-k)$ से गुणा करने पर $(8-k)x^{2}-2(8-k)x+k(8-k)$ प्राप्त होता है।
पिछले शेषफल से इसे घटाने पर,अंतिम शेषफल $[(4k-26) + 2(8-k)]x + [10-a - k(8-k)] = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के गुणांक को सरल करने पर: $4k-26+16-2k = 2k-10$। $2k-10=0$ रखने पर $k=5$ प्राप्त होता है।
अचर पद को सरल करने पर: $10-a-8k+k^{2} = 0$। $k=5$ रखने पर: $10-a-8(5)+25 = 10-a-40+25 = -5-a = 0$,जिससे $a=-5$ प्राप्त होता है।
अतः,$k=5$ और $a=-5$ है।

(C) दिया गया है कि $(x^{2}+2x+k)$,$2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ का एक गुणनखंड है,इसलिए भाग देने पर शेषफल शून्य होना चाहिए।
$2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ को $(x^{2}+2x+k)$ से भाग देने पर:
$1$. $2x^{4}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $2x^{2}$ प्राप्त होता है। $(x^{2}+2x+k)$ को $2x^{2}$ से गुणा करने पर $2x^{4}+4x^{3}+2kx^{2}$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-3x^{3}-(2k+14)x^{2}+5x+6$ प्राप्त होता है।
$2$. $-3x^{3}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $-3x$ प्राप्त होता है। $(x^{2}+2x+k)$ को $-3x$ से गुणा करने पर $-3x^{3}-6x^{2}-3kx$ प्राप्त होता है। घटाने पर $(-8-2k)x^{2}+(3k+5)x+6$ प्राप्त होता है।
$3$. $(-8-2k)x^{2}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $(-8-2k)$ प्राप्त होता है। $(x^{2}+2x+k)$ को $(-8-2k)$ से गुणा करने पर $(-8-2k)x^{2} + 2(-8-2k)x + k(-8-2k)$ प्राप्त होता है।
अंतिम शेषफल: $(7k+21)x + (2k^{2}+8k+6)$ प्राप्त होता है।
शेषफल शून्य होने के लिए,दोनों गुणांक शून्य होने चाहिए:
$7k+21=0 \Rightarrow k=-3$.
$2k^{2}+8k+6=0 \Rightarrow 2(k+1)(k+3)=0 \Rightarrow k=-1$ या $k=-3$.
दोनों शर्तों को पूरा करने के लिए $k=-3$ लेते हैं।
$k=-3$ के लिए,भाजक $x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1)$ है,अतः इसके शून्यक $x=-3, 1$ हैं।
भागफल $2x^{2}-3x-2 = (2x+1)(x-2)$ है,अतः इसके शून्यक $x=-1/2, 2$ हैं।
अतः,$x^{2}+2x-3$ के शून्यक $1, -3$ हैं और $2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ के शून्यक $1, -3, 2, -1/2$ हैं।

(D) माना $f(x) = x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}$.
चूंकि $(x-\sqrt{5})$ एक गुणनखंड है,हम $f(x)$ को $(x-\sqrt{5})$ से विभाजित करते हैं:
$x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5} = (x-\sqrt{5})(x^{2}-2 \sqrt{5} x+3)$.
अब,द्विघात गुणनखंड $x^{2}-2 \sqrt{5} x+3 = 0$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए द्विघाती सूत्र का उपयोग करते हैं:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{(-2 \sqrt{5})^{2}-4(1)(3)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20-12}}{2} = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{5} \pm 2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{5} \pm \sqrt{2}$.
अतः,बहुपद के शून्यक $\sqrt{5}, (\sqrt{5}+\sqrt{2})$ और $(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ हैं।

(A) दिया गया है कि $q(x) = x^{3} + 2x^{2} + a$ के शून्यक,$p(x) = x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ के भी शून्यक हैं,जिसका अर्थ है कि $q(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$p(x)$ को $q(x)$ से विभाजित करने पर:
$x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ को $x^{3} + 2x^{2} + a$ से भाग देने पर भागफल $x^{2} - 3x + 2$ प्राप्त होता है और शेषफल $-(1+a)x^{2} + (3+3a)x + (b-2a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q(x)$ एक गुणनखंड है,इसलिए शेषफल शून्य होना चाहिए,अतः गुणांक शून्य होने चाहिए:
$-(1+a) = 0 \Rightarrow a = -1$
$3+3a = 0 \Rightarrow 3+3(-1) = 0$ (संगत)
$b-2a = 0 \Rightarrow b = 2(-1) = -2$.
अतः,$a = -1$ और $b = -2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$p(x) = (x^{3} + 2x^{2} - 1)(x^{2} - 3x + 2)$.
भागफल का गुणनखंड करने पर: $x^{2} - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
$p(x)$ के शून्यक,$q(x)$ के शून्यक और भागफल के शून्यकों का समूह हैं,जो $x=1$ और $x=2$ हैं। इसलिए,$p(x)$ के वे शून्यक जो $q(x)$ के शून्यक नहीं हैं,वे $1$ और $2$ हैं।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = (x - 1)(2 - x)$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $p(x) = x(2) - x(x) - 1(2) + 1(x) = 2x - x^2 - 2 + x$.
समान पदों को जोड़ने पर: $p(x) = -x^2 + 3x - 2$.
इस बहुपद में चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(x) = 2x^3 + x^2 - x - 1$
चरण $1$: $x = 0$ पर मान ज्ञात कीजिए।
$p(0) = 2(0)^3 + (0)^2 - (0) - 1$
$p(0) = 0 + 0 - 0 - 1$
$p(0) = -1$
चरण $2$: $x = -2$ पर मान ज्ञात कीजिए।
$p(-2) = 2(-2)^3 + (-2)^2 - (-2) - 1$
$p(-2) = 2(-8) + 4 + 2 - 1$
$p(-2) = -16 + 4 + 2 - 1$
$p(-2) = -11$
अतः,मान $p(0) = -1$ और $p(-2) = -11$ हैं।

(C) बहुपद $p(x) = x^{15} - (x^5)^6 + x^3 - 7$ की घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले व्यंजक को सरल करते हैं।
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हम $(x^5)^6$ पद को सरल करते हैं:
$(x^5)^6 = x^{5 \times 6} = x^{30}$.
अब,इस मान को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = x^{15} - x^{30} + x^3 - 7$.
बहुपद की घात चर $x$ की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित होती है।
$x^{15}$,$x^{30}$,और $x^3$ पदों में $x$ की घातों की तुलना करने पर,उच्चतम घात $30$ है।
अतः,बहुपद की घात $30$ है।

(D) $x = 2$ पर बहुपद $p(x) = x^{4} + 2x^{3} - x + 2$ का मान ज्ञात करने के लिए,व्यंजक में प्रत्येक $x$ के स्थान पर $2$ प्रतिस्थापित करें:
$p(2) = (2)^{4} + 2(2)^{3} - (2) + 2$
प्रत्येक पद की गणना करें:
$(2)^{4} = 16$
$2(2)^{3} = 2(8) = 16$
इन मानों को वापस व्यंजक में रखने पर:
$p(2) = 16 + 16 - 2 + 2$
$p(2) = 32 - 2 + 2$
$p(2) = 32$
अतः,$x = 2$ पर बहुपद का मान $32$ है।

(A) $x = -3$ पर बहुपद $p(x) = 2x^4 - x^2 + 5x - 8$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $-3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$p(-3) = 2(-3)^4 - (-3)^2 + 5(-3) - 8$
प्रत्येक पद की गणना करें:
$(-3)^4 = 81$,इसलिए $2(81) = 162$
$(-3)^2 = 9$,इसलिए $-(9) = -9$
$5(-3) = -15$
अब,इन मानों को संयोजित करें:
$p(-3) = 162 - 9 - 15 - 8$
$p(-3) = 153 - 15 - 8$
$p(-3) = 138 - 8$
$p(-3) = 130$
अतः,$x = -3$ पर बहुपद का मान $130$ है।

(B) $x = 2$ पर बहुपद $p(x) = 10 - 5x + 3x^2 - x^3$ का मान ज्ञात करने के लिए:
$p(2) = 10 - 5(2) + 3(2)^2 - (2)^3$
$p(2) = 10 - 10 + 3(4) - 8$
$p(2) = 0 + 12 - 8 = 4$
$x = -2$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए:
$p(-2) = 10 - 5(-2) + 3(-2)^2 - (-2)^3$
$p(-2) = 10 + 10 + 3(4) - (-8)$
$p(-2) = 20 + 12 + 8 = 40$
अतः,मान $4$ और $40$ हैं।

(A) बहुपद $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x - 20$ का गुणनखंडन करने के लिए,हम पदों का समूह बनाएंगे:
$p(x) = (x^{3} - 4x^{2}) + (5x - 20)$
अब,प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पद बाहर निकालें:
$p(x) = x^{2}(x - 4) + 5(x - 4)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(x - 4)$ को बाहर लेने पर:
$p(x) = (x - 4)(x^{2} + 5)$

(N/A) मानक रूप में त्रिघात बहुपद का सूत्र $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ होता है।
दिए गए गुणांकों $a=2, b=5, c=1, d=2$ को मानक रूप में प्रतिस्थापित करने पर,
अतः,बहुपद $2x^{3} + 5x^{2} + x + 2$ प्राप्त होता है।

(A) यहाँ भाज्य बहुपद $p(x) = x^{2}+8x+12$ और भाजक बहुपद $s(x) = x+2$ है।
$x^{2}+8x+12$ को $x+2$ से विभाजित करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
$2$. $x$ को $(x+2)$ से गुणा करने पर $x^{2}+2x$ प्राप्त होता है।
$3$. $(x^{2}+8x+12)$ में से $(x^{2}+2x)$ घटाने पर $6x+12$ प्राप्त होता है।
$4$. नए बहुपद के पहले पद $(6x)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $6$ प्राप्त होता है।
$5$. $6$ को $(x+2)$ से गुणा करने पर $6x+12$ प्राप्त होता है।
$6$. $(6x+12)$ में से $(6x+12)$ घटाने पर $0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x+6$ है और शेषफल $0$ है।

(N/A) दिया गया भाज्य $p(x) = x^{3}-3x^{2}+5x-3$ और भाजक $s(x) = x^{2}-2$ है।
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है। $x$ को $(x^{2}-2)$ से गुणा करने पर $x^{3}-2x$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{3}-3x^{2}+5x-3) - (x^{3}-2x) = -3x^{2}+7x-3$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: नए बहुपद के पहले पद $(-3x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $-3$ प्राप्त होता है। $-3$ को $(x^{2}-2)$ से गुणा करने पर $-3x^{2}+6$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान बहुपद से घटाने पर: $(-3x^{2}+7x-3) - (-3x^{2}+6) = 7x-9$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $q(x) = x-3$ और शेषफल $r(x) = 7x-9$ है।

(N/A) भाज्य बहुपद $p(x) = x^{4} + 0x^{3} - 3x^{2} + 4x + 5$ है और भाजक बहुपद $s(x) = x^{2} - x + 1$ है।
बहुपद का भाग करने पर:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करने पर $x^{4} - x^{3} + x^{2}$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $x^{3} - 4x^{2} + 4x + 5$ प्राप्त होता है।
$3$. नए बहुपद के पहले पद $(x^{3})$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है। $x$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करने पर $x^{3} - x^{2} + x$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-3x^{2} + 3x + 5$ प्राप्त होता है।
$4$. पहले पद $(-3x^{2})$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $-3$ प्राप्त होता है। $-3$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करने पर $-3x^{2} + 3x - 3$ प्राप्त होता है। घटाने पर शेषफल $8$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $q(x) = x^{2} + x - 3$ और शेषफल $r(x) = 8$ है।

(A) भाज्य $p(t) = 2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12$ है और भाजक $s(t) = t^2 - 3$ है।
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $(2t^4)$ को भाजक के पहले पद $(t^2)$ से विभाजित करने पर $2t^2$ प्राप्त होता है। $2t^2$ को $(t^2 - 3)$ से गुणा करने पर $2t^4 - 6t^2$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाएं।
चरण $2$: परिणाम $3t^3 + 4t^2 - 9t - 12$ प्राप्त होता है। $3t^3$ को $t^2$ से विभाजित करने पर $3t$ प्राप्त होता है। $3t$ को $(t^2 - 3)$ से गुणा करने पर $3t^3 - 9t$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान व्यंजक से घटाएं।
चरण $3$: परिणाम $4t^2 - 12$ प्राप्त होता है। $4t^2$ को $t^2$ से विभाजित करने पर $4$ प्राप्त होता है। $4$ को $(t^2 - 3)$ से गुणा करने पर $4t^2 - 12$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $2t^2 + 3t + 4$ है और शेषफल $0$ है।

(N/A) $x^{3}-6x^{2}+11x-6$ को $x^{2}-8x+27$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करें: $x^{3} / x^{2} = x$.
$2$. भाजक $(x^{2}-8x+27)$ को $x$ से गुणा करें: $x(x^{2}-8x+27) = x^{3}-8x^{2}+27x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाएं: $(x^{3}-6x^{2}+11x-6) - (x^{3}-8x^{2}+27x) = 2x^{2}-16x-6$.
$4$. नए बहुपद के पहले पद $(2x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करें: $2x^{2} / x^{2} = 2$.
$5$. भाजक $(x^{2}-8x+27)$ को $2$ से गुणा करें: $2(x^{2}-8x+27) = 2x^{2}-16x+54$.
$6$. इसे वर्तमान बहुपद से घटाएं: $(2x^{2}-16x-6) - (2x^{2}-16x+54) = -60$.
अतः,भागफल $x+2$ है और शेषफल $-60$ है।

(N/A) $x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-12 x+9$ को $x^{2}-2 x+1$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^4)$ को भाजक के पहले पद $(x^2)$ से विभाजित करने पर $x^2$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^2$ को $(x^2-2x+1)$ से गुणा करने पर $x^4-2x^3+x^2$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $6x^3-3x^2-12x+9$ प्राप्त होता है।
$3$. $6x^3$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $6x$ प्राप्त होता है। $6x$ को $(x^2-2x+1)$ से गुणा करने पर $6x^3-12x^2+6x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $9x^2-18x+9$ प्राप्त होता है।
$4$. $9x^2$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $9$ प्राप्त होता है। $9$ को $(x^2-2x+1)$ से गुणा करने पर $9x^2-18x+9$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2}+6 x+9$ है और शेषफल $0$ है।

(N/A) $x^{4}-5x+6$ को $2-x^{2}$ से विभाजित करने के लिए,हम पहले बहुपदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
भाज्य: $x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-5x+6$
भाजक: $-x^{2}+2$
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $(x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(-x^{2})$ से विभाजित करें: $x^{4} / (-x^{2}) = -x^{2}$. यह भागफल का पहला पद है।
चरण $2$: $-x^{2}$ को भाजक $(-x^{2}+2)$ से गुणा करें: $-x^{2}(-x^{2}+2) = x^{4}-2x^{2}$.
चरण $3$: इसे भाज्य से घटाएं: $(x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-5x+6) - (x^{4}-2x^{2}) = 2x^{2}-5x+6$.
चरण $4$: नए भाज्य के पहले पद $(2x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(-x^{2})$ से विभाजित करें: $2x^{2} / (-x^{2}) = -2$. यह भागफल का दूसरा पद है।
चरण $5$: $-2$ को भाजक $(-x^{2}+2)$ से गुणा करें: $-2(-x^{2}+2) = 2x^{2}-4$.
चरण $6$: इसे वर्तमान भाज्य से घटाएं: $(2x^{2}-5x+6) - (2x^{2}-4) = -5x+10$.
अतः,भागफल $-x^{2}-2$ है और शेषफल $-5x+10$ है।

(N/A) $14x^3 - 5x^2 + 9x - 1$ को $2x - 1$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(14x^3)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $14x^3 / 2x = 7x^2$. यह भागफल का पहला पद है।
$2$. $7x^2$ को $(2x - 1)$ से गुणा करने पर $14x^3 - 7x^2$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(14x^3 - 5x^2) - (14x^3 - 7x^2) = 2x^2$. अगला पद $(9x)$ नीचे उतारने पर $2x^2 + 9x$ प्राप्त होता है।
$3$. नए व्यंजक के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $2x^2 / 2x = x$. यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. $x$ को $(2x - 1)$ से गुणा करने पर $2x^2 - x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(2x^2 + 9x) - (2x^2 - x) = 10x$. अंतिम पद $(-1)$ नीचे उतारने पर $10x - 1$ प्राप्त होता है।
$5$. पहले पद $(10x)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $10x / 2x = 5$. यह भागफल का तीसरा पद है।
$6$. $5$ को $(2x - 1)$ से गुणा करने पर $10x - 5$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(10x - 1) - (10x - 5) = 4$.
अतः,भागफल $7x^2 + x + 5$ है और शेषफल $4$ है।

(N/A) बहुपद $p(x) = -x^{3} + 3x^{2} - 3x + 5$ को $g(x) = -x^{2} + x - 1$ से विभाजित करने के लिए:
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $(-x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(-x^{2})$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $x$ को भाजक $(-x^{2} + x - 1)$ से गुणा करने पर $-x^{3} + x^{2} - x$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(-x^{3} + 3x^{2} - 3x + 5) - (-x^{3} + x^{2} - x) = 2x^{2} - 2x + 5$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: नए भाज्य के पहले पद $(2x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(-x^{2})$ से विभाजित करने पर $-2$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $-2$ को भाजक $(-x^{2} + x - 1)$ से गुणा करने पर $2x^{2} - 2x + 2$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान भाज्य से घटाने पर: $(2x^{2} - 2x + 5) - (2x^{2} - 2x + 2) = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x - 2$ है और शेषफल $3$ है।

(N/A) $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6$ को $x^{2}+x+1$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
$2$. $x$ को भाजक $(x^{2}+x+1)$ से गुणा करने पर $x^{3}+x^{2}+x$ प्राप्त होता है।
$3$. इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{3}-6 x^{2}+11 x-6) - (x^{3}+x^{2}+x) = -7 x^{2}+10 x-6$.
$4$. नए बहुपद के पहले पद $(-7 x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $-7$ प्राप्त होता है।
$5$. $-7$ को भाजक $(x^{2}+x+1)$ से गुणा करने पर $-7 x^{2}-7 x-7$ प्राप्त होता है।
$6$. इसे वर्तमान बहुपद से घटाने पर: $(-7 x^{2}+10 x-6) - (-7 x^{2}-7 x-7) = 17 x+1$.
अतः,भागफल $x-7$ है और शेषफल $17 x+1$ है।

(A) $x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+20$ को $x^{2}+2x+2$ से विभाजित करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x^{2}+2x+2)$ से गुणा करने पर $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}$ प्राप्त होता है।
$3$. इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+20) - (x^{4}+2x^{3}+2x^{2}) = x^{2}+2x+20$ प्राप्त होता है।
$4$. नए बहुपद के पहले पद $(x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $1$ प्राप्त होता है।
$5$. $1$ को $(x^{2}+2x+2)$ से गुणा करने पर $x^{2}+2x+2$ प्राप्त होता है।
$6$. इसे वर्तमान शेषफल से घटाने पर: $(x^{2}+2x+20) - (x^{2}+2x+2) = 18$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2}+1$ है और शेषफल $18$ है।

(N/A) $x^{3}-3x^{2}-3x+1$ को $x+1$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x+1)$ से गुणा करने पर $x^{3}+x^{2}$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{3}-3x^{2}-3x+1) - (x^{3}+x^{2}) = -4x^{2}-3x+1$ प्राप्त होता है।
$3$. $-4x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4x$ प्राप्त होता है। $-4x$ को $(x+1)$ से गुणा करने पर $-4x^{2}-4x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(-4x^{2}-3x+1) - (-4x^{2}-4x) = x+1$ प्राप्त होता है।
$4$. $x$ को $x$ से विभाजित करने पर $1$ प्राप्त होता है। $1$ को $(x+1)$ से गुणा करने पर $x+1$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(x+1) - (x+1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2}-4x+1$ है और शेषफल $0$ है।

(N/A) $3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2$ को $x^{2}+3 x+1$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(3 x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $3 x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $3 x^{2}$ को $(x^{2}+3 x+1)$ से गुणा करने पर $3 x^{4}+9 x^{3}+3 x^{2}$ प्राप्त होता है।
$3$. इसे भाज्य से घटाने पर: $(3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2) - (3 x^{4}+9 x^{3}+3 x^{2}) = -4 x^{3}-10 x^{2}+2 x+2$ प्राप्त होता है।
$4$. नए बहुपद के पहले पद $(-4 x^{3})$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $-4 x$ प्राप्त होता है।
$5$. $-4 x$ को $(x^{2}+3 x+1)$ से गुणा करने पर $-4 x^{3}-12 x^{2}-4 x$ प्राप्त होता है।
$6$. इसे घटाने पर: $(-4 x^{3}-10 x^{2}+2 x+2) - (-4 x^{3}-12 x^{2}-4 x) = 2 x^{2}+6 x+2$ प्राप्त होता है।
$7$. $2 x^{2}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $2$ प्राप्त होता है।
$8$. $2$ को $(x^{2}+3 x+1)$ से गुणा करने पर $2 x^{2}+6 x+2$ प्राप्त होता है।
$9$. इसे घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $3 x^{2}-4 x+2$ है और शेषफल $0$ है।

(N/A) $x^{6}+5 x^{3}+7 x+3$ को $x^{2}+2$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. पहले पद $x^{6}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $x^{4}$ प्राप्त होता है। $x^{4}(x^{2}+2) = x^{6}+2 x^{4}$ होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $-2 x^{4}+5 x^{3}+7 x+3$ प्राप्त होता है।
$2$. $-2 x^{4}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $-2 x^{2}$ प्राप्त होता है। $-2 x^{2}(x^{2}+2) = -2 x^{4}-4 x^{2}$ होता है। घटाने पर $5 x^{3}+4 x^{2}+7 x+3$ प्राप्त होता है।
$3$. $5 x^{3}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $5 x$ प्राप्त होता है। $5 x(x^{2}+2) = 5 x^{3}+10 x$ होता है। घटाने पर $4 x^{2}-3 x+3$ प्राप्त होता है।
$4$. $4 x^{2}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $4$ प्राप्त होता है। $4(x^{2}+2) = 4 x^{2}+8$ होता है। घटाने पर $-3 x-5$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{4}-2 x^{2}+5 x+4$ है और शेषफल $-3 x-5$ है।

(A) माना कि दिया गया बहुपद $P(x) = x^{3}-3x^{2}-x+3$ है और ज्ञात गुणनखंड $g(x) = x+1$ है। दूसरा बहुपद $q(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $P(x)$ को $g(x)$ से विभाजित करेंगे।
बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हुए:
$1$. $x^{3}$ को $x$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}(x+1) = x^{3}+x^{2}$ गुणा करें।
$3$. घटाने पर: $(x^{3}-3x^{2}-x+3) - (x^{3}+x^{2}) = -4x^{2}-x+3$ प्राप्त होता है।
$4$. $-4x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4x$ प्राप्त होता है।
$5$. $-4x(x+1) = -4x^{2}-4x$ गुणा करें।
$6$. घटाने पर: $(-4x^{2}-x+3) - (-4x^{2}-4x) = 3x+3$ प्राप्त होता है।
$7$. $3x$ को $x$ से विभाजित करने पर $3$ प्राप्त होता है।
$8$. $3(x+1) = 3x+3$ गुणा करें।
$9$. घटाने पर: $(3x+3) - (3x+3) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2}-4x+3$ है।

(B) माना कि दिया गया गुणनफल $P(x) = 3x^3 - x^2 - 3x + 1$ है और एक बहुपद $A(x) = 3x^2 + 2x - 1$ है।
दूसरा बहुपद $B(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $P(x)$ को $A(x)$ से विभाजित करेंगे:
$B(x) = \frac{3x^3 - x^2 - 3x + 1}{3x^2 + 2x - 1}$
बहुपद का भाग करने पर:
$1$. $3x^3$ को $3x^2$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
$2$. $x$ को $(3x^2 + 2x - 1)$ से गुणा करने पर $3x^3 + 2x^2 - x$ प्राप्त होता है।
$3$. इसे $P(x)$ में से घटाने पर: $(3x^3 - x^2 - 3x + 1) - (3x^3 + 2x^2 - x) = -3x^2 - 2x + 1$ प्राप्त होता है।
$4$. $-3x^2$ को $3x^2$ से विभाजित करने पर $-1$ प्राप्त होता है।
$5$. $-1$ को $(3x^2 + 2x - 1)$ से गुणा करने पर $-3x^2 - 2x + 1$ प्राप्त होता है।
$6$. घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरा बहुपद $x - 1$ है।

(N/A) प्रत्येक छात्र को प्राप्त चॉकलेट की संख्या और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $(x^{3}-3x^{2}+5x-3)$ को $(x^{2}-2)$ से बहुपद विभाजन द्वारा विभाजित करते हैं।
चरण $1$: $x^{3}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $x$ को $(x^{2}-2)$ से गुणा करने पर $x^{3}-2x$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $(x^{3}-3x^{2}+5x-3)$ में से $(x^{3}-2x)$ घटाने पर $-3x^{2}+7x-3$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $-3x^{2}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $-3$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: $-3$ को $(x^{2}-2)$ से गुणा करने पर $-3x^{2}+6$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $(-3x^{2}+7x-3)$ में से $(-3x^{2}+6)$ घटाने पर $7x-9$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रत्येक छात्र को $x-3$ चॉकलेट मिलती हैं और बिना बांटी गई चॉकलेट की संख्या $7x-9$ है।

(A) एक मोबाइल की कीमत ज्ञात करने के लिए,हम कुल लागत को खरीदे गए पीस की संख्या से विभाजित करेंगे।
एक मोबाइल की कीमत = $\frac{x^{3}+6x^{2}+11x+12}{x^{2}+2x+3}$.
बहुपद का भाग करने पर:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^3)$ को भाजक के पहले पद $(x^2)$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
$2$. $x$ को भाजक से गुणा करने पर: $x(x^{2}+2x+3) = x^{3}+2x^{2}+3x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{3}+6x^{2}+11x+12) - (x^{3}+2x^{2}+3x) = 4x^{2}+8x+12$.
$4$. शेषफल के पहले पद $(4x^2)$ को भाजक के पहले पद $(x^2)$ से विभाजित करने पर $4$ प्राप्त होता है।
$5$. $4$ को भाजक से गुणा करने पर: $4(x^{2}+2x+3) = 4x^{2}+8x+12$.
$6$. इसे शेषफल से घटाने पर: $(4x^{2}+8x+12) - (4x^{2}+8x+12) = 0$.
अतः,एक मोबाइल की कीमत $x+4$ है।

(N/A) संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करके $p(x) = x^{3} - 3x^{2} - 3x + 1$ को $x + 1$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. भाज्य बहुपद $p(x)$ के गुणांकों की पहचान करें: $1, -3, -3, 1$।
$2$. भाजक $x + 1 = 0$ का शून्य ज्ञात करें,जो $x = -1$ है।
$3$. संश्लेषित विभाजन करें:
$\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & -3 & -3 & 1 \\ & & -1 & 4 & -1 \\ \hline & 1 & -4 & 1 & 0 \end{array}$
$4$. अंतिम पंक्ति भागफल के गुणांकों और शेषफल को दर्शाती है। अतः,भागफल $q(x) = x^{2} - 4x + 1$ है और शेषफल $r(x) = 0$ है।

(A) प्रत्येक छात्र द्वारा प्राप्त पेन की संख्या और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद $p(x) = x^{3}-3x^{2}+4x-4$ को भाजक $s(x) = x-2$ से संश्लेषित विभाजन (synthetic division) विधि का उपयोग करके विभाजित करेंगे।
भाजक $x-2 = 0$ रखने पर $x = 2$ प्राप्त होता है।
संश्लेषित विभाजन का उपयोग करते हुए:
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -3 & 4 & -4 \\ & & 2 & -2 & 4 \\ \hline & 1 & -1 & 2 & 0 \end{array}$
भागफल $q(x) = x^{2}-x+2$ है और शेषफल $0$ है।
अतः,प्रत्येक छात्र को $x^{2}-x+2$ पेन प्राप्त होते हैं और $0$ पेन बिना वितरित किए शेष बचते हैं।

(A) $p(x) = x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x + 1$ को $x + 1$ से विभाजित करने के लिए,हम संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करेंगे।
भाजक $x + 1$ का शून्य $x = -1$ है।
संश्लेषित विभाजन तालिका:
$-1$ | $1$ $0$ $0$ $0$ $1$
| $-1$ $1$ $-1$ $1$
-----------------------
$1$ $-1$ $1$ $-1$ $2$
भागफल के गुणांक $1, -1, 1, -1$ हैं,जो बहुपद $x^{3} - x^{2} + x - 1$ के संगत हैं।
अंतिम मान शेषफल है,जो $2$ है।
अतः,भागफल $x^{3} - x^{2} + x - 1$ है और शेषफल $2$ है।

(A) संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करके $p(x) = x^{4} - a^{4}$ को $x - a$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. $p(x) = 1x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x - a^{4}$ के गुणांक $1, 0, 0, 0, -a^{4}$ हैं।
$2$. भाजक $x - a$ है,इसलिए हम संश्लेषित विभाजन के लिए $a$ का उपयोग करेंगे।
$3$. संश्लेषित विभाजन तालिका तैयार करने पर:
$a$ | $1$ $0$ $0$ $0$ $-a^{4}$
| $a$ $a^{2}$ $a^{3}$ $a^{4}$
---------------------------
$1$ $a$ $a^{2}$ $a^{3}$ $0$
$4$. भागफल के गुणांक $1, a, a^{2}, a^{3}$ हैं,जो बहुपद $x^{3} + ax^{2} + a^{2}x + a^{3}$ के अनुरूप हैं।
$5$. शेषफल $0$ है।

(N/A) $p(x) = x^{3} - 2x^{2} + x - 2$ को $x + 1$ से संश्लेषित विभाजन विधि द्वारा विभाजित करने के लिए,हम भाजक $x + 1 = 0$ का शून्य ज्ञात करते हैं,जो $x = -1$ है।
$p(x)$ के गुणांक $1, -2, 1, -2$ हैं।
संश्लेषित विभाजन की व्यवस्था:
$-1$ | $1$ $-2$ $1$ $-2$
| $-1$ $3$ $-4$
-------------------
$1$ $-3$ $4$ $-6$
भागफल बहुपद के गुणांक $1, -3, 4$ प्राप्त होते हैं,जो $x^{2} - 3x + 4$ के बराबर है।
शेषफल $-6$ है।