Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(A) वितरित न किए गए पुरस्कारों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें कुल पुरस्कारों $P(x) = 3x^3 + 10x^2 + 7x - 2$ को छात्रों की संख्या $(x + 2)$ से विभाजित करना होगा।
बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हुए:
चरण $1$: $3x^3$ को $x$ से विभाजित करने पर $3x^2$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $3x^2(x + 2) = 3x^3 + 6x^2$ का गुणा करें।
चरण $3$: घटाने पर $(3x^3 + 10x^2 + 7x - 2) - (3x^3 + 6x^2) = 4x^2 + 7x - 2$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $4x^2$ को $x$ से विभाजित करने पर $4x$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: $4x(x + 2) = 4x^2 + 8x$ का गुणा करें।
चरण $6$: घटाने पर $(4x^2 + 7x - 2) - (4x^2 + 8x) = -x - 2$ प्राप्त होता है।
चरण $7$: $-x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-1$ प्राप्त होता है।
चरण $8$: $-1(x + 2) = -x - 2$ का गुणा करें।
चरण $9$: घटाने पर $(-x - 2) - (-x - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
शेषफल $0$ है। अतः,कोई भी पुरस्कार वितरित होने से शेष नहीं बचता है।

(A) बहुपदों के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, $p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)$ होता है।
यहाँ $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + x + 2$, $q(x) = x - 2$, और $r(x) = -2x + 4$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $x^{3} - 3x^{2} + x + 2 = s(x) \cdot (x - 2) + (-2x + 4)$।
$s(x) \cdot (x - 2)$ के लिए हल करने पर: $s(x) \cdot (x - 2) = (x^{3} - 3x^{2} + x + 2) - (-2x + 4)$।
$s(x) \cdot (x - 2) = x^{3} - 3x^{2} + x + 2 + 2x - 4$।
$s(x) \cdot (x - 2) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 2$।
अब, $s(x)$ ज्ञात करने के लिए $x^{3} - 3x^{2} + 3x - 2$ को $(x - 2)$ से विभाजित करें।
बहुपद विभाजन का उपयोग करने पर: $(x^{3} - 2x^{2}) - (x^{2} - 2x) + (x - 2) = x^{2}(x - 2) - x(x - 2) + 1(x - 2) = (x^{2} - x + 1)(x - 2)$।
अतः, $s(x) = x^{2} - x + 1$।

(B) $p(x) = 6x^5 + 5x^4 + 11x^3 - 3x^2 + x + 1$ को $g(x) = 3x^2 - 2x + 4$ से विभाजित करने पर:
$1$. $6x^5$ को $3x^2$ से भाग देने पर $2x^3$ प्राप्त होता है। $2x^3(3x^2 - 2x + 4) = 6x^5 - 4x^4 + 8x^3$। घटाने पर $9x^4 + 3x^3 - 3x^2 + x + 1$ प्राप्त होता है।
$2$. $9x^4$ को $3x^2$ से भाग देने पर $3x^2$ प्राप्त होता है। $3x^2(3x^2 - 2x + 4) = 9x^4 - 6x^3 + 12x^2$। घटाने पर $9x^3 - 15x^2 + x + 1$ प्राप्त होता है।
$3$. $9x^3$ को $3x^2$ से भाग देने पर $3x$ प्राप्त होता है। $3x(3x^2 - 2x + 4) = 9x^3 - 6x^2 + 12x$। घटाने पर $-9x^2 - 11x + 1$ प्राप्त होता है।
$4$. $-9x^2$ को $3x^2$ से भाग देने पर $-3$ प्राप्त होता है। $-3(3x^2 - 2x + 4) = -9x^2 + 6x - 12$। घटाने पर $-17x + 13$ प्राप्त होता है।
शेषफल $r(x) = -17x + 13$ है।
बहुपद को पूर्णतः विभाज्य बनाने के लिए,हमें $-r(x) = -(-17x + 13) = 17x - 13$ जोड़ना होगा।

(C) क्या घटाया जाना चाहिए यह ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद $P(x) = 8x^4 + 14x^3 - 2x^2 + 8x - 12$ को $D(x) = 4x^2 + 3x - 2$ से विभाजित करेंगे।
चरण $1$: $8x^4$ को $4x^2$ से विभाजित करने पर $2x^2$ प्राप्त होता है। $2x^2(4x^2 + 3x - 2) = 8x^4 + 6x^3 - 4x^2$ होता है। इसे $P(x)$ से घटाने पर $(14x^3 - 6x^3) + (-2x^2 + 4x^2) + 8x - 12 = 8x^3 + 2x^2 + 8x - 12$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $8x^3$ को $4x^2$ से विभाजित करने पर $2x$ प्राप्त होता है। $2x(4x^2 + 3x - 2) = 8x^3 + 6x^2 - 4x$ होता है। इसे शेषफल से घटाने पर $(2x^2 - 6x^2) + (8x + 4x) - 12 = -4x^2 + 12x - 12$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $-4x^2$ को $4x^2$ से विभाजित करने पर $-1$ प्राप्त होता है। $-1(4x^2 + 3x - 2) = -4x^2 - 3x + 2$ होता है। इसे वर्तमान शेषफल से घटाने पर $(12x + 3x) + (-12 - 2) = 15x - 14$ प्राप्त होता है।
अतः,शेषफल $15x - 14$ है,जिसे मूल बहुपद से घटाने पर वह $4x^2 + 3x - 2$ से पूर्णतः विभाज्य हो जाएगा।

(D) दूसरा बहुपद ज्ञात करने के लिए,हम गुणनफल $x^{5}+3x^{4}+5x^{3}+3x^{2}+9x+15$ को दिए गए बहुपद $x^{2}+3$ से विभाजित करेंगे।
बहुपद का विभाजन करने पर:
पदों को समूह में विभाजित करने पर: $x^{3}(x^{2}+3) + 3x^{2}(x^{2}+3) + 5(x^{2}+3) = (x^{3}+3x^{2}+5)(x^{2}+3)$.
अतः,दूसरा बहुपद $x^{3}+3x^{2}+5$ है।

(A) बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, भाज्य $p(x)$ को इस सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है: $p(x) = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$।
दिया गया है:
भाजक $d(x) = x^{2}+4x+2$
भागफल $q(x) = x^{2}-4x+14$
शेषफल $r(x) = 9x-13$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$p(x) = (x^{2}+4x+2)(x^{2}-4x+14) + (9x-13)$
सबसे पहले, भाजक और भागफल का गुणा करने पर:
$(x^{2}+4x+2)(x^{2}-4x+14) = x^{2}(x^{2}-4x+14) + 4x(x^{2}-4x+14) + 2(x^{2}-4x+14)$
$= (x^{4}-4x^{3}+14x^{2}) + (4x^{3}-16x^{2}+56x) + (2x^{2}-8x+28)$
समान पदों को जोड़ने पर:
$= x^{4} + (-4x^{3}+4x^{3}) + (14x^{2}-16x^{2}+2x^{2}) + (56x-8x) + 28$
$= x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 48x + 28$
अब, शेषफल $r(x) = 9x-13$ को जोड़ने पर:
$p(x) = (x^{4}+48x+28) + (9x-13)$
$p(x) = x^{4} + (48x+9x) + (28-13)$
$p(x) = x^{4} + 57x + 15$.

(C) बहुपद का वर्गीकरण उसकी घात के आधार पर किया जाता है,जो व्यंजक में उपस्थित चर $x$ की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $P(x) = 4x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1$ में,$x$ की उच्चतम घात $3$ है।
$3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$P(x)$ एक त्रिघात बहुपद है।

(B) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित होती है।
दिया गया बहुपद $p(x) = x^2 - x^3 + x + 1$ है।
यहाँ चर $x$ की घातें $2, 3, 1$ और $0$ (अचर पद $1$ के लिए) हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $3$ है।
अतः,बहुपद $p(x)$ की घात $3$ है।

(D) बहुपद $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + 9x - 27$ के गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम समूहन विधि (grouping method) का उपयोग कर सकते हैं।
चरण $1$: बहुपद के पदों का समूह बनाएं: $p(x) = (x^{3} - 3x^{2}) + (9x - 27)$।
चरण $2$: प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालें: $p(x) = x^{2}(x - 3) + 9(x - 3)$।
चरण $3$: उभयनिष्ठ द्विपद $(x - 3)$ को बाहर निकालें: $p(x) = (x - 3)(x^{2} + 9)$।
अतः,गुणनखंड $(x - 3)$ और $(x^{2} + 9)$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(x - 3)$ एक गुणनखंड है।

(B) $p(x) = x^{3} + 2x^{2} + 3x + 2$ के गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।
यदि $(x + 1)$ एक गुणनखंड है,तो $p(-1) = 0$ होना चाहिए।
$p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} + 3(-1) + 2$
$p(-1) = -1 + 2(1) - 3 + 2$
$p(-1) = -1 + 2 - 3 + 2 = 0$
चूंकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $(x + 1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(A) त्रिघात बहुपद का सामान्य रूप $p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ है।
दिए गए गुणांक:
$a = 3$
$b = -5$
$c = -11$
$d = -3$
इन मानों को सामान्य रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p(x) = (3)x^{3} + (-5)x^{2} + (-11)x + (-3)$
$p(x) = 3x^{3} - 5x^{2} - 11x - 3$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) मान लीजिए कि दो बहुपद $P(x)$ और $Q(x)$ हैं।
दिया गया है कि $P(x) \times Q(x) = x^{2}-x-72$ है।
एक बहुपद $P(x) = x+8$ है।
दूसरा बहुपद $Q(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम गुणनफल को दिए गए बहुपद से विभाजित करेंगे:
$Q(x) = \frac{x^{2}-x-72}{x+8}$.
हम द्विघात व्यंजक $x^{2}-x-72$ का गुणनखंड कर सकते हैं:
$x^{2}-9x+8x-72 = x(x-9)+8(x-9) = (x+8)(x-9)$.
अतः,$Q(x) = \frac{(x+8)(x-9)}{x+8} = x-9$.
इस प्रकार,दूसरा बहुपद $x-9$ है।

(D) $2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
विकल्प $A$ में,$p(x) = 2 - 4x$ एक रैखिक बहुपद है (घात $1$ है)।
विकल्प $B$ में,$p(x) = 2x^3 - 1$ एक त्रिघात बहुपद है (घात $3$ है)।
विकल्प $C$ में,$p(x) = 2x - 5$ एक रैखिक बहुपद है (घात $1$ है)।
विकल्प $D$ में,$p(x) = 1 - x^2$ एक द्विघात बहुपद है क्योंकि चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है।

(D) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड तभी होगा यदि $p(-1) = 0$ हो।
विकल्प $A$ के लिए: $p(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0$। अतः,$(x+1)$ एक गुणनखंड है।
विकल्प $B$ के लिए: $p(-1) = (-1)^3 - 2(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$। अतः,$(x+1)$ एक गुणनखंड है।
विकल्प $C$ के लिए: $p(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$। अतः,$(x+1)$ एक गुणनखंड है।
विकल्प $D$ के लिए: $p(-1) = (-1)^3 - 1 = -1 - 1 = -2$। चूँकि $p(-1) \neq 0$ है,इसलिए $(x+1)$ बहुपद $p(x) = x^3 - 1$ का गुणनखंड नहीं है।

(C) $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ के रूप वाले त्रिघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma$ ज्ञात करने का सूत्र $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ है।
दिए गए बहुपद $p(x) = x^{3} - 3x^{2} - 6x + 8$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = -3$,$c = -6$ और $d = 8$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha \beta \gamma = -\frac{8}{1} = -8$ प्राप्त होता है।

(A) $n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ शून्यक होते हैं।
$A$ के लिए: $p(x) = x^3 + 8$ एक त्रिघात बहुपद है,इसलिए इसके $3$ शून्यक हैं। अतः,यह कथन सत्य है।
$B$ के लिए: $p(x) = x^2 - 36$ एक द्विघात बहुपद है,इसलिए इसके अधिकतम $2$ शून्यक हो सकते हैं। यह कथन असत्य है।
$C$ के लिए: $p(x) = 4x^3 + x = x(4x^2 + 1)$। यहाँ केवल $x = 0$ एक वास्तविक शून्यक है।
$D$ के लिए: $p(x) = 4x^3 - x = x(2x - 1)(2x + 1)$। यहाँ $x = 0, 1/2, -1/2$ तीन शून्यक हैं।
नोट: विकल्प $A$ और $D$ दोनों के $3$ शून्यक हैं,लेकिन $x^3 + 8$ त्रिघात बहुपद का एक मानक रूप है।

(C) बहुपद $p(x) = x^2(1 + x + x^2) + 5$ की घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले व्यंजक का विस्तार करेंगे।
$x^2$ को कोष्ठक के अंदर गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:
$p(x) = x^2(1) + x^2(x) + x^2(x^2) + 5$
$p(x) = x^2 + x^3 + x^4 + 5$
पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 5$
बहुपद की घात को व्यंजक में उपस्थित चर $x$ की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस बहुपद में,$x$ की उच्चतम घात $4$ है।
अतः,$p(x)$ की घात $4$ है।

(D) एक कैमरे की कीमत ज्ञात करने के लिए,हम कुल कीमत को कैमरों की संख्या से विभाजित करेंगे।
एक कैमरे की कीमत = $\frac{x^{3}+3x^{2}+5x+3}{x+1}$.
बहुपद के भाग की विधि का उपयोग करते हुए:
$1$. $x^{3}$ को $x$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}(x+1) = x^{3}+x^{2}$ गुणा करें।
$3$. घटाने पर: $(x^{3}+3x^{2}+5x+3) - (x^{3}+x^{2}) = 2x^{2}+5x+3$.
$4$. $2x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $2x$ प्राप्त होता है।
$5$. $2x(x+1) = 2x^{2}+2x$ गुणा करें।
$6$. घटाने पर: $(2x^{2}+5x+3) - (2x^{2}+2x) = 3x+3$.
$7$. $3x$ को $x$ से विभाजित करने पर $3$ प्राप्त होता है।
$8$. $3(x+1) = 3x+3$ गुणा करें।
$9$. घटाने पर: $(3x+3) - (3x+3) = 0$.
भागफल $x^{2}+2x+3$ प्राप्त होता है। अतः,एक कैमरे की कीमत ₹ $(x^{2}+2x+3)$ है।

(B) दो अंकों की एक संख्या जिसमें दहाई का अंक $x$ और इकाई का अंक $y$ है,उसे $10x + y$ के रूप में दर्शाया जाता है।
जब इन दो अंकों के बीच में शून्य रखा जाता है,तो नई संख्या तीन अंकों की हो जाती है।
अंक $x$ सैकड़े के स्थान पर चला जाता है,अंक $0$ दहाई के स्थान पर आ जाता है,और अंक $y$ इकाई के स्थान पर ही रहता है।
अतः,नई संख्या का मान $100(x) + 10(0) + y = 100x + y$ होगा।

(D) $p(-2)$ का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए बहुपद $p(x) = 2x^4 - 3x^3 + 7x + 5$ में $x = -2$ प्रतिस्थापित करें।
$p(-2) = 2(-2)^4 - 3(-2)^3 + 7(-2) + 5$
घातों की गणना करें:
$(-2)^4 = 16$
$(-2)^3 = -8$
इन मानों को व्यंजक में वापस रखें:
$p(-2) = 2(16) - 3(-8) + 7(-2) + 5$
$p(-2) = 32 + 24 - 14 + 5$
$p(-2) = 56 - 14 + 5$
$p(-2) = 42 + 5$
$p(-2) = 47$

(C) बहुपद $(x+1)(x^2 - x - x^4 + 1)$ की घात ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक गुणनखंड में $x$ की उच्चतम घात की पहचान करते हैं।
पहला गुणनखंड $(x+1)$ है,जिसकी घात $1$ है।
दूसरा गुणनखंड $(x^2 - x - x^4 + 1)$ है,जिसकी घात $4$ है (क्योंकि $x$ की उच्चतम घात $x^4$ है)।
जब दो बहुपदों का गुणा किया जाता है,तो परिणामी बहुपद की घात व्यक्तिगत गुणनखंडों की घातों का योग होती है।
इसलिए,गुणनफल की घात $1 + 4 = 5$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x^{3}-1}{p(x)} = \frac{x^{2}+x+1}{x-1}$.
हम जानते हैं कि घनों के अंतर का बीजीय सर्वसमिका है: $x^{3}-1 = (x-1)(x^{2}+x+1)$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{p(x)} = \frac{x^{2}+x+1}{x-1}$.
दोनों पक्षों से $(x^{2}+x+1)$ को काटने पर (मान लीजिए $x^{2}+x+1 \neq 0$): $\frac{x-1}{p(x)} = \frac{1}{x-1}$.
वज्र-गुणन करने पर: $p(x) = (x-1)(x-1) = (x-1)^{2}$.