Geometrical Meaning of the Zeroes of a Polynomial Questions in Hindi

(D) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,परवलय $y=p(x)$ पूरी तरह से $X$-अक्ष के ऊपर स्थित है और $X$-अक्ष को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद या स्पर्श नहीं करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $0$ है।

(A) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,परवलय $y=p(x)$ $X$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है,जो कि मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
चूँकि ग्राफ $X$-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद/स्पर्श करता है,इसलिए वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।

(B) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y=p(x)$,$x$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $3$ है।

(B) किसी बहुपद $y = p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,परवलय $y = p(x)$ $x$-अक्ष को कुल $2$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद के वास्तविक शून्यकों की संख्या $2$ है।

(A) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y=p(x)$,$x$-अक्ष को $4$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $4$ है।

(B) दिया गया व्यंजक $p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ एक $4$ घात वाला बहुपद है क्योंकि चर $x$ की उच्चतम घात $4$ है और $a \neq 0$ है।
बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ शून्यक हो सकते हैं।
चूंकि दिए गए बहुपद की घात $4$ है,इसलिए इसके शून्यकों की अधिकतम संख्या $4$ होगी।

(C) किसी बहुपद $p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ इसका ग्राफ $y=p(x)$,$X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y=p(x)$,$X$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के $2$ वास्तविक शून्यक हैं।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि बहुपद $p(x)$ का ग्राफ $X$-अक्ष को कितने बिंदुओं पर काटता है,हम समीकरण $p(x) = 0$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या ज्ञात करते हैं।
$1.$ $p(x) = x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3)$। शून्यक $x=2, 3$ हैं। यह $X$-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है। अतः $1-c$।
$2.$ $p(x) = x^{2}-10x+25 = (x-5)^{2}$। शून्यक $x=5$ (पुनरावृत्त) है। यह $X$-अक्ष को एक बिंदु पर काटता है। अतः $2-a$।
$3.$ $p(x) = x^{3}-4x = x(x^{2}-4) = x(x-2)(x+2)$। शून्यक $x=0, 2, -2$ हैं। यह $X$-अक्ष को तीन बिंदुओं पर काटता है। अतः $3-d$।
$4.$ $p(x) = x^{2}+4x+5$। विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = 16 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$। चूँकि $D < 0$,कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। यह $X$-अक्ष को शून्य बिंदुओं पर काटता है। अतः $4-b$।
अतः,सही मिलान $(1-c), (2-a), (3-d), (4-b)$ है।

(A) एक रैखिक बहुपद $p(x) = ax + b$ के रूप में होता है,जहाँ $a \neq 0$ है। रैखिक बहुपद का आलेख कार्तीय तल में हमेशा एक सरल रेखा को दर्शाता है। चूँकि $p(x) = 5x + 3$ एक रैखिक बहुपद है,इसलिए इसका आलेख एक सरल रेखा है।

(C) बहुपद $p(x) = ax - b$ का आलेख $X$-अक्ष को जिस बिंदु पर काटता है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$ax - b = 0$ रखने पर,हमें $ax = b$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह बिंदु $X$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका y-निर्देशांक $0$ है।
अतः,आलेख $X$-अक्ष को $(\frac{b}{a}, 0)$ बिंदु पर काटता है।

(A) बहुपद $p(x) = x^3 - x$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^3 - x = 0$
$x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x(x^2 - 1) = 0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x = 0$,$x - 1 = 0 \implies x = 1$,और $x + 1 = 0 \implies x = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $0, 1, -1$ हैं।
इस प्रकार,वास्तविक शून्यकों की कुल संख्या $3$ है।