Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomial Questions in Hindi

(N/A) हमारे पास द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2}+7x+10$ है।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं:
$x^{2}+7x+10 = 0$
$x^{2}+5x+2x+10 = 0$
$x(x+5)+2(x+5) = 0$
$(x+2)(x+5) = 0$
अतः,शून्यक $x = -2$ और $x = -5$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= (-2) + (-5) = -7 = \frac{-7}{1} = \frac{-(x \text{ का गुणांक})}{x^{2} \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों का गुणनफल $= (-2) \times (-5) = 10 = \frac{10}{1} = \frac{\text{अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक}}$.
अतः,संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध इस प्रकार है:
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -3$
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \beta = \frac{c}{a} = 2$
यदि हम $a = 1$ मान लें,तो:
$-b = -3 \implies b = 3$
$c = 2$
इन मानों को मानक रूप $ax^2 + bx + c$ में रखने पर,हमें $x^2 + 3x + 2$ बहुपद प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट द्विघात बहुपद $x^2 + 3x + 2$ है।

(A) दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 11x - 3$ की तुलना मानक रूप $ax^3 + bx^2 + cx + d$ से करने पर,हमें $a = 3, b = -5, c = -11, d = -3$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,हम शून्यकों की जाँच करते हैं:
$p(3) = 3(3)^3 - 5(3)^2 - 11(3) - 3 = 81 - 45 - 33 - 3 = 0$
$p(-1) = 3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 11(-1) - 3 = -3 - 5 + 11 - 3 = 0$
$p(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^3 - 5(-\frac{1}{3})^2 - 11(-\frac{1}{3}) - 3 = -\frac{1}{9} - \frac{5}{9} + \frac{11}{3} - 3 = -\frac{6}{9} + \frac{33}{9} - \frac{27}{9} = 0$
अतः,$3, -1, -\frac{1}{3}$ शून्यक हैं।
माना $\alpha = 3, \beta = -1, \gamma = -\frac{1}{3}$ है।
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = 3 - 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = -\frac{b}{a}$.
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (3)(-1) + (-1)(-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3})(3) = -3 + \frac{1}{3} - 1 = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3} = \frac{c}{a}$.
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = (3)(-1)(-\frac{1}{3}) = 1 = -\frac{d}{a} = -(\frac{-3}{3}) = 1$.
सभी संबंध सत्यापित हो गए हैं।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(x) = x^{2}-2x-8$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं:
$x^{2}-2x-8 = 0$
$x^{2}-4x+2x-8 = 0$
$x(x-4)+2(x-4) = 0$
$(x-4)(x+2) = 0$
अतः,शून्यक $x = 4$ और $x = -2$ हैं।
सत्यापन:
$x^{2}-2x-8$ की तुलना $ax^{2}+bx+c$ से करने पर,हमें $a=1, b=-2, c=-8$ प्राप्त होता है।
शून्यकों का योग $= 4 + (-2) = 2$.
सूत्र: $-b/a = -(-2)/1 = 2$.
चूँकि $2 = 2$,शून्यकों का योग सत्यापित होता है।
शून्यकों का गुणनफल $= 4 \times (-2) = -8$.
सूत्र: $c/a = -8/1 = -8$.
चूँकि $-8 = -8$,शून्यकों का गुणनफल सत्यापित होता है।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(s) = 4s^{2}-4s+1$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(s) = 0$ रखें:
$4s^{2}-4s+1 = 0$
$(2s-1)^{2} = 0$
$2s-1 = 0 \implies s = \frac{1}{2}$.
अतः,शून्यक $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{2}$ हैं।
जाँच:
शून्यकों का योग $= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = \frac{-(-4)}{4} = \frac{-(s \text{ का गुणांक})}{s^{2} \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों का गुणनफल $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{\text{अचर पद}}{s^{2} \text{ का गुणांक}}$.
अतः,संबंध सत्यापित होता है।

(N/A) सबसे पहले,बहुपद को मानक रूप में लिखिए: $6x^{2}-7x-3$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,द्विघात बहुपद का गुणनखंड कीजिए:
$6x^{2}-7x-3 = 6x^{2}-9x+2x-3 = 3x(2x-3)+1(2x-3) = (3x+1)(2x-3)$.
$6x^{2}-7x-3$ का मान शून्य होता है जब $3x+1=0$ या $2x-3=0$ हो,जिससे $x = -1/3$ या $x = 3/2$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $\alpha = -1/3$ और $\beta = 3/2$ हैं।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच:
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = -1/3 + 3/2 = (-2+9)/6 = 7/6 = -(-7)/6 = -(\text{x का गुणांक}) / (\text{x}^{2} \text{ का गुणांक})$.
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \times \beta = (-1/3) \times (3/2) = -3/6 = -1/2 = -3/6 = (\text{अचर पद}) / (\text{x}^{2} \text{ का गुणांक})$.

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(u) = 4u^{2} + 8u$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(u) = 0$ रखें:
$4u^{2} + 8u = 0$
$4u(u + 2) = 0$
इसका अर्थ है $4u = 0$ या $u + 2 = 0$.
अतः,$u = 0$ या $u = -2$.
शून्यक $0$ और $-2$ हैं।
सत्यापन:
$4u^{2} + 8u$ की तुलना $au^{2} + bu + c$ से करने पर,$a = 4, b = 8, c = 0$ प्राप्त होता है।
शून्यकों का योग $= 0 + (-2) = -2$.
संबंध: $\frac{-b}{a} = \frac{-8}{4} = -2$.
चूंकि शून्यकों का योग $= \frac{-b}{a}$,अतः संबंध सत्यापित होता है।
शून्यकों का गुणनफल $= 0 \times (-2) = 0$.
संबंध: $\frac{c}{a} = \frac{0}{4} = 0$.
चूंकि शून्यकों का गुणनफल $= \frac{c}{a}$,अतः संबंध सत्यापित होता है।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(t) = t^{2}-15$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(t) = 0$ रखें:
$t^{2}-15 = 0$
$t^{2} = 15$
$t = \pm \sqrt{15}$
अतः,शून्यक $\alpha = \sqrt{15}$ और $\beta = -\sqrt{15}$ हैं।
$t^{2}-15$ की तुलना मानक रूप $at^{2}+bt+c$ से करने पर,हमें $a=1, b=0, c=-15$ प्राप्त होता है।
सत्यापन:
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = \sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0$.
गुणांकों से: $\frac{-b}{a} = \frac{-0}{1} = 0$.
अतः,$\alpha + \beta = \frac{-b}{a}$ सत्यापित होता है।
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (\sqrt{15})(-\sqrt{15}) = -15$.
गुणांकों से: $\frac{c}{a} = \frac{-15}{1} = -15$.
अतः,$\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ सत्यापित होता है।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(x) = 3x^{2}-x-4$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं:
$3x^{2}-x-4 = 0$
$3x^{2}-4x+3x-4 = 0$
$x(3x-4)+1(3x-4) = 0$
$(3x-4)(x+1) = 0$
अतः,शून्यक $x = \frac{4}{3}$ और $x = -1$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= \frac{4}{3} + (-1) = \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3}$.
बहुपद से,$-\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^{2} \text{ का गुणांक}} = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$,योग सत्यापित होता है।
शून्यकों का गुणनफल $= \frac{4}{3} \times (-1) = -\frac{4}{3}$.
बहुपद से,$\frac{\text{अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक}} = \frac{-4}{3}$.
चूंकि $-\frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$,गुणनफल सत्यापित होता है।

(A) माना कि द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि शून्यकों का योग $\alpha + \beta = \frac{1}{4}$ और शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = -1$ है।
हम जानते हैं कि एक द्विघात बहुपद को $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta]$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर अचर है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k[x^2 - (\frac{1}{4})x + (-1)]$ प्राप्त होता है।
सरल बनाने के लिए,$k = 4$ लेने पर।
तब बहुपद $4[x^2 - \frac{1}{4}x - 1] = 4x^2 - x - 4$ हो जाता है।
अतः,अभीष्ट द्विघात बहुपद $4x^2 - x - 4$ है।

(D) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = \sqrt{2} = -\frac{b}{a}$ दिया गया है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{1}{3} = \frac{c}{a}$ दिया गया है।
इन मानों को समान हर $a$ के साथ व्यक्त करने के लिए,हम लिख सकते हैं $\alpha + \beta = \frac{3\sqrt{2}}{3} = -\frac{b}{a}$।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = -3\sqrt{2}$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सामान्य रूप $ax^2 + bx + c$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें द्विघात बहुपद $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = 0 = \frac{0}{1} = -\frac{b}{a}$ दिया गया है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \times \beta = \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \frac{c}{a}$ दिया गया है।
गुणांकों की तुलना करने पर,यदि हम $a = 1$ लेते हैं,तो $b = 0$ और $c = \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सामान्य रूप $ax^2 + bx + c$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें द्विघात बहुपद $x^2 + 0x + \sqrt{5}$ प्राप्त होता है,जिसे $x^2 + \sqrt{5}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = 1 = \frac{-b}{a}$ दिया गया है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \times \beta = 1 = \frac{c}{a}$ दिया गया है।
यदि हम $a = 1$ मान लें,तो:
$-b = 1 \implies b = -1$
$c = 1$
इन मानों को सामान्य रूप $ax^2 + bx + c$ में रखने पर,हमें $x^2 - x + 1$ बहुपद प्राप्त होता है।

(A) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{1}{4} = -\frac{b}{a}$ दिया गया है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \times \beta = \frac{1}{4} = \frac{c}{a}$ दिया गया है।
अनुपातों की तुलना करने पर,यदि हम $a = 4$ लेते हैं,तो $b = 1$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सामान्य रूप $ax^2 + bx + c$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें बहुपद $4x^2 + x + 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ इसके शून्यक हैं।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = 4 = \frac{4}{1} = \frac{-b}{a}$ दिया गया है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \times \beta = 1 = \frac{1}{1} = \frac{c}{a}$ दिया गया है।
अनुपातों की तुलना करने पर,यदि हम $a = 1$ मानते हैं,तो $b = -4$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सामान्य रूप $ax^2 + bx + c$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें द्विघात बहुपद $x^2 - 4x + 1$ प्राप्त होता है।

(N/A) माना $p(x) = 3x^{4} + 6x^{3} - 2x^{2} - 10x - 5$ है।
चूँकि $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ बहुपद $p(x)$ के दो शून्यक हैं,इसलिए $(x - \sqrt{\frac{5}{3}})(x + \sqrt{\frac{5}{3}}) = (x^{2} - \frac{5}{3})$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x)$ को $(x^{2} - \frac{5}{3})$ से विभाजित करते हैं:
$3x^{4} + 6x^{3} - 2x^{2} - 10x - 5 = (x^{2} - \frac{5}{3})(3x^{2} + 6x + 3)$
$= 3(x^{2} - \frac{5}{3})(x^{2} + 2x + 1)$
$= 3(x^{2} - \frac{5}{3})(x + 1)^{2}$
अब,शेष शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $(x + 1)^{2} = 0$ रखते हैं,जिससे $x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = -1$ है।
चूँकि गुणनखंड $(x + 1)^{2}$ है,इसलिए शून्यक $x = -1$ दो बार आता है।
अतः,बहुपद के अन्य दो शून्यक $-1$ और $-1$ हैं।

(A) माना कि बहुपद $p(x) = x^{2} + 3x + k$ है।
चूंकि $2$ बहुपद का एक शून्यक है,इसलिए $p(2) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2)^{2} + 3(2) + k = 0$
$4 + 6 + k = 0$
$10 + k = 0$
$k = -10$

(B) माना त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि दो शून्यक $0$ हैं, इसलिए माना $\alpha = 0$ और $\beta = 0$ है।
त्रिघात बहुपद के शून्यकों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ होता है।
यहाँ $\alpha = 0$ और $\beta = 0$ रखने पर: $0 + 0 + \gamma = -\frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
अतः, तीसरा शून्यक $\gamma = -\frac{b}{a}$ है।

(C) दिया गया है कि द्विघात बहुपद $p(x) = (k-1)x^2 + kx + 1$ का एक शून्यक $-3$ है।
अतः,$p(-3) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(k-1)(-3)^2 + k(-3) + 1 = 0$
$9(k-1) - 3k + 1 = 0$
$9k - 9 - 3k + 1 = 0$
$6k - 8 = 0$
$6k = 8$
$k = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

(D) माना द्विघात बहुपद $p(x) = k(x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल}))$ है, जहाँ $k$ एक शून्येतर अचर है।
दिए गए शून्यक $\alpha = -3$ और $\beta = 4$ हैं।
शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = -3 + 4 = 1$ है।
शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \cdot \beta) = -3 \times 4 = -12$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें $p(x) = k(x^2 - 1x + (-12)) = k(x^2 - x - 12)$ प्राप्त होता है।
यदि हम $k = \frac{1}{2}$ लेते हैं, तो बहुपद $\frac{1}{2}(x^2 - x - 12) = \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} - 6$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि किसी बहुपद को किसी शून्येतर अचर से गुणा करने पर उसके शून्यक नहीं बदलते हैं, इसलिए विकल्प $D$ दिए गए शून्यकों वाला एक मान्य द्विघात बहुपद है।

(A) माना $p(x) = x^{2} + (a+1)x + b$.
दिया गया है कि $2$ और $-3$ द्विघात बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं।
इसलिए,$p(2) = 0$ और $p(-3) = 0$.
$x = 2$ के लिए:
$2^{2} + (a+1)(2) + b = 0$
$4 + 2a + 2 + b = 0$
$2a + b = -6$ ..... $(i)$
$x = -3$ के लिए:
$(-3)^{2} + (a+1)(-3) + b = 0$
$9 - 3a - 3 + b = 0$
$-3a + b = -6$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(2a + b) - (-3a + b) = -6 - (-6)$
$2a + b + 3a - b = 0$
$5a = 0 \Rightarrow a = 0$.
$a = 0$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2(0) + b = -6 \Rightarrow b = -6$.
अतः,अभीष्ट मान $a = 0$ और $b = -6$ हैं।

(B) माना $p(x) = a(x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल}))$ बहुपद का सामान्य रूप है।
दिए गए शून्यक $\alpha = -2$ और $\beta = 5$ हैं।
शून्यकों का योग $= \alpha + \beta = -2 + 5 = 3$.
शून्यकों का गुणनफल $= \alpha \cdot \beta = -2 \times 5 = -10$.
अतः, बहुपद $p(x) = a(x^2 - 3x - 10)$ के रूप का है, जहाँ $a$ कोई भी शून्येतर वास्तविक अचर है।
चूँकि $a$ कोई भी शून्येतर वास्तविक मान ले सकता है (जैसे $1, 2, 3, \dots, 0.5, \dots$), इसलिए ऐसे अनंत बहुपद हो सकते हैं।
अतः, ऐसे बहुपदों की संख्या $3$ से अधिक है।

(C) माना $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ एक त्रिघात बहुपद है।
माना बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
यह दिया गया है कि एक शून्यक शून्य है,अतः माना $\alpha = 0$ है।
त्रिघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ होता है।
समीकरण में $\alpha = 0$ रखने पर:
$(0)\beta + \beta\gamma + \gamma(0) = \frac{c}{a}$
$0 + \beta\gamma + 0 = \frac{c}{a}$
$\beta\gamma = \frac{c}{a}$
अतः,अन्य दो शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ है।

(D) माना त्रिघात बहुपद $p(x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ है।
माना बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि एक शून्यक $\alpha = -1$ है।
चूंकि $\alpha = -1$ एक शून्यक है,इसलिए $p(-1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -1$ रखने पर:
$(-1)^{3} + a(-1)^{2} + b(-1) + c = 0$
$-1 + a - b + c = 0$
$c = 1 - a + b$ ... $(i)$
हम जानते हैं कि त्रिघात बहुपद $Ax^{3} + Bx^{2} + Cx + D$ के लिए,शून्यकों का गुणनफल $-\frac{D}{A}$ होता है।
यहाँ,शून्यकों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta \cdot \gamma = -\frac{c}{1} = -c$ है।
$\alpha = -1$ रखने पर:
$(-1) \cdot \beta \cdot \gamma = -c$
$\beta \cdot \gamma = c$.
समीकरण $(i)$ से $c$ का मान रखने पर:
$\beta \cdot \gamma = 1 - a + b$.
अतः,अन्य दो शून्यकों का गुणनफल $b - a + 1$ है।

(A) माना कि दिया गया द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2} + 99x + 127$ है।
$p(x)$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c$ से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 99$ और $c = 127$ प्राप्त होता है।
एक द्विघात बहुपद $ax^{2} + bx + c$ के लिए,यदि $a, b, c > 0$ हैं,तो शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = 127 > 0$ और शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -99 < 0$ होता है।
चूंकि शून्यकों का गुणनफल धनात्मक है,इसलिए दोनों शून्यकों का चिह्न समान होना चाहिए।
चूंकि शून्यकों का योग ऋणात्मक है,इसलिए दोनों शून्यक ऋणात्मक होने चाहिए।
वैकल्पिक रूप से,द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-99 \pm \sqrt{99^{2} - 4(1)(127)}}{2(1)} = \frac{-99 \pm \sqrt{9801 - 508}}{2} = \frac{-99 \pm \sqrt{9293}}{2}$.
चूंकि $\sqrt{9293} \approx 96.4$ है,इसलिए शून्यक लगभग $\frac{-99 + 96.4}{2} = -1.3$ और $\frac{-99 - 96.4}{2} = -97.7$ हैं।
अतः,दोनों शून्यक ऋणात्मक हैं।

(B) माना $p(x) = x^{2} + kx + k, k \neq 0$ है।
शून्यकों के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ या उससे अधिक होना चाहिए।
$D = b^{2} - 4ac = k^{2} - 4k \geq 0$।
$k(k - 4) \geq 0$।
इसका अर्थ है कि $k \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$। चूँकि $k \neq 0$,इसलिए $k \in (-\infty, 0) \cup [4, \infty)$।
माना शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब:
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -k/1 = -k$।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = k/1 = k$।
स्थिति $I$: यदि $k \in (-\infty, 0)$,तो $k < 0$। चूँकि गुणनफल $\alpha \beta = k < 0$ है,इसलिए शून्यक विपरीत चिह्न के होंगे।
स्थिति $II$: यदि $k \in [4, \infty)$,तो $k > 0$। चूँकि गुणनफल $\alpha \beta = k > 0$ है,इसलिए दोनों शून्यक समान चिह्न के होंगे। योग $\alpha + \beta = -k < 0$ है,इसलिए दोनों शून्यक ऋणात्मक होने चाहिए।
दोनों स्थितियों में,शून्यक कभी भी धनात्मक नहीं हो सकते हैं।

(C) द्विघात बहुपद $ax^{2} + bx + c$ के लिए,शून्यक समान होते हैं यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ हो।
इसका अर्थ है $b^{2} = 4ac$।
किसी भी वास्तविक $b$ के लिए $b^{2}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $4ac$ भी गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
दिया गया है कि $c \neq 0$,यदि $a = 0$ हो तो यह द्विघात बहुपद नहीं रहेगा। अतः,$a \neq 0$।
चूंकि $4ac = b^{2} \geq 0$,इसलिए गुणनफल $ac$ का मान $0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
चूंकि $c \neq 0$ और $a \neq 0$,इसलिए $ac > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $a$ और $c$ के चिह्न समान होने चाहिए।
उदाहरण के लिए:
$(i)$ $x^{2} + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x+2)^{2} = 0 \Rightarrow x = -2, -2$ (यहाँ $a=1, c=4$,दोनों धनात्मक हैं)।
$(ii)$ $x^{2} - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^{2} = 0 \Rightarrow x = 2, 2$ (यहाँ $a=1, c=4$,दोनों धनात्मक हैं)।

(D) माना द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2} + ax + b$ के शून्यक $\alpha$ और $-\alpha$ हैं।
शून्यकों का योग = $-\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{$x^{2}$ का गुणांक}} = -a$ है।
चूंकि $\alpha + (-\alpha) = 0$,इसलिए $0 = -a$,जिसका अर्थ है $a = 0$ है।
शून्यकों का गुणनफल = $\frac{\text{अचर पद}}{\text{$x^{2}$ का गुणांक}} = b$ है।
चूंकि $\alpha \times (-\alpha) = -\alpha^{2}$,इसलिए $-\alpha^{2} = b$ प्राप्त होता है।
अशून्य $\alpha$ के लिए $\alpha^{2}$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $-\alpha^{2}$ ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $b < 0$ है।
अतः,बहुपद में कोई रैखिक पद नहीं है $(a = 0)$ और अचर पद ऋणात्मक है $(b < 0)$।

(A) यह कथन सत्य है।
मान लीजिए कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं,जहाँ $\alpha < 0$ और $\beta < 0$ है।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ होता है। चूँकि $\alpha$ और $\beta$ दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए उनका योग $(\alpha + \beta)$ ऋणात्मक होगा। अतः,$-\frac{b}{a} < 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{b}{a} > 0$ है। इसका मतलब है कि $a$ और $b$ के चिह्न समान हैं।
$2$. शून्यकों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ होता है। चूँकि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है,इसलिए $\frac{c}{a} > 0$ है। इसका मतलब है कि $a$ और $c$ के चिह्न समान हैं।
चूँकि $a$ और $b$ के चिह्न समान हैं,और $a$ तथा $c$ के चिह्न भी समान हैं,इसलिए $a, b$ और $c$ तीनों के चिह्न समान हैं।

(N/A) बहुपदों के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$,जहाँ $q(x)$ भागफल है और $r(x)$ शेषफल है।
दिया गया है कि भागफल $q(x) = 0$ है,इसलिए समीकरण $p(x) = g(x) \cdot 0 + r(x)$ हो जाता है,जो सरल होकर $p(x) = r(x)$ प्राप्त होता है।
बहुपद विभाजन में,शेषफल $r(x)$ की घात हमेशा भाजक $g(x)$ की घात से कम होनी चाहिए,अर्थात $\text{deg}(r(x)) < \text{deg}(g(x))$।
चूंकि $p(x) = r(x)$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $\text{deg}(p(x)) < \text{deg}(g(x))$।
अतः,$p(x)$ की घात $g(x)$ की घात से कम है।

(B) यह कथन असत्य है।
मान लीजिए कि द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं। चूँकि दोनों शून्यक धनात्मक हैं,इसलिए $\alpha > 0$ और $\beta > 0$ है।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ होता है। चूँकि $\alpha > 0$ और $\beta > 0$ है,इसलिए उनका गुणनफल $\alpha \cdot \beta > 0$ होगा। अतः,$\frac{c}{a} > 0$,जिसका अर्थ है कि $a$ और $c$ के चिह्न समान होने चाहिए।
$2$. शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ होता है। चूँकि $\alpha > 0$ और $\beta > 0$ है,इसलिए उनका योग $\alpha + \beta > 0$ होगा। अतः,$-\frac{b}{a} > 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{b}{a} < 0$ होगा। इसका मतलब है कि $a$ और $b$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
इस प्रकार,$a$ और $c$ के चिह्न समान हैं,लेकिन $b$ का चिह्न $a$ और $c$ के विपरीत है। अतः,$a, b$ और $c$ तीनों के चिह्न समान नहीं हैं।

(A) सत्य। मान लीजिए कि त्रिघात बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं। यह दिया गया है कि दो शून्यक $0$ हैं। मान लीजिए $\alpha = 0$ और $\beta = 0$ है।
त्रिघात बहुपद को $f(x) = k(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर स्थिरांक है।
मान रखने पर: $f(x) = k(x - 0)(x - 0)(x - \gamma) = k(x^2)(x - \gamma) = k(x^3 - \gamma x^2) = kx^3 - k\gamma x^2$ प्राप्त होता है।
इसे व्यापक रूप $ax^3 + bx^2 + cx + d$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि रैखिक पद $(c)$ और अचर पद $(d)$ के गुणांक दोनों $0$ हैं। अतः,बहुपद में रैखिक और अचर पद नहीं होते हैं।

(A) यह कथन सत्य है।
माना त्रिघात बहुपद $f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ है,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma < 0$ ऋणात्मक शून्यक हैं।
माना $\alpha = -p, \beta = -q, \gamma = -r$,जहाँ $p, q, r > 0$ है।
तब $f(x) = a(x + p)(x + q)(x + r)\text{।}$
इसका विस्तार करने पर,हमें $f(x) = a[x^3 + (p + q + r)x^2 + (pq + qr + rp)x + pqr]$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b = a(p + q + r)$
$c = a(pq + qr + rp)$
$d = a(pqr)$
चूँकि $p, q, r > 0$ है,इसलिए $(p + q + r)$,$(pq + qr + rp)$,और $(pqr)$ सभी धनात्मक हैं।
अतः,$a, b, c,$ और $d$ सभी का चिह्न $a$ के समान ही है।

(B) असत्य। मान लीजिए $\alpha, \beta$ और $\gamma$ त्रिघात बहुपद $p(x) = x^{3}+ax^{2}-bx+c$ के तीन शून्यक हैं।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \beta \gamma = -\frac{c}{1} = -c$। चूँकि $\alpha, \beta, \gamma > 0$,इसलिए उनका गुणनफल $\alpha \beta \gamma > 0$ होगा। अतः,$-c > 0$,जिसका अर्थ है $c < 0$।
$2$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{a}{1} = -a$। चूँकि $\alpha, \beta, \gamma > 0$,इसलिए उनका योग $\alpha + \beta + \gamma > 0$ होगा। अतः,$-a > 0$,जिसका अर्थ है $a < 0$।
$3$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{-b}{1} = -b$। चूँकि $\alpha, \beta, \gamma > 0$,इसलिए उनका योग $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha > 0$ होगा। अतः,$-b > 0$,जिसका अर्थ है $b < 0$।
अतः,तीनों शून्यकों के धनात्मक होने के लिए $a, b$ और $c$ तीनों का ऋणात्मक होना आवश्यक है। इसलिए,यह कथन कि उनमें से कम से कम एक ऋणेतर है,असत्य है।

(A) शून्यक ज्ञात करने के लिए,बहुपद को शून्य के बराबर रखें: $x^{2}+\frac{1}{6} x-2 = 0$.
सरल बनाने के लिए $6$ से गुणा करें: $6x^{2}+x-12 = 0$.
द्विघात बहुपद का गुणनखंड करने पर: $6x^{2}+9x-8x-12 = 0$.
$3x(2x+3)-4(2x+3) = 0 \implies (3x-4)(2x+3) = 0$.
अतः,शून्यक $\alpha = \frac{4}{3}$ और $\beta = -\frac{3}{2}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = \frac{4}{3} - \frac{3}{2} = \frac{8-9}{6} = -\frac{1}{6}$.
बहुपद $ax^2+bx+c$ से,योग $= -\frac{b}{a} = -\frac{1/6}{1} = -\frac{1}{6}$.
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \beta = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{2}) = -2$.
बहुपद से,गुणनफल $= \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2$.
दोनों संबंध सत्यापित हैं।

(N/A) माना $f(x) = 4x^2 - 3x - 1$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके बहुपद का गुणनखंड करते हैं:
$f(x) = 4x^2 - 4x + x - 1$
$f(x) = 4x(x - 1) + 1(x - 1)$
$f(x) = (x - 1)(4x + 1)$
शून्यक ज्ञात करने के लिए $f(x) = 0$ रखते हैं:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$4x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{4}$
अतः,शून्यक $\alpha = 1$ और $\beta = -\frac{1}{4}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= \alpha + \beta = 1 + (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{4} = -\frac{-3}{4} = -\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों का गुणनफल $= \alpha \cdot \beta = 1 \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} = \frac{-1}{4} = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}$.
अतः,शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित होता है।

(N/A) माना $f(x) = 3x^2 + 4x - 4$ है।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके बहुपद का गुणनखंड करते हैं:
$3x^2 + 6x - 2x - 4 = 3x(x + 2) - 2(x + 2) = (x + 2)(3x - 2)$।
$f(x) = 0$ रखने पर शून्यक प्राप्त होते हैं:
$(x + 2)(3x - 2) = 0$,जिससे $x = -2$ या $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= -2 + \frac{2}{3} = \frac{-6 + 2}{3} = -\frac{4}{3}$।
बहुपद $ax^2 + bx + c$ में $a=3, b=4, c=-4$ है,अतः शून्यकों का योग $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{3}$ है।
शून्यकों का गुणनफल $= (-2) \times \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$।
बहुपद से,शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a} = \frac{-4}{3}$ है।
अतः,शून्यकों का योग और गुणनफल गुणांकों के साथ मेल खाते हैं,जिससे संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना $f(t) = 5 t^{2}+12 t+7$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके बहुपद का गुणनखंड करते हैं:
$5 t^{2}+12 t+7 = 5 t^{2}+5 t+7 t+7$
$= 5 t(t+1)+7(t+1)$
$= (5 t+7)(t+1)$
शून्यक ज्ञात करने के लिए $f(t) = 0$ रखने पर:
$5 t+7 = 0 \implies t = -7/5$
$t+1 = 0 \implies t = -1$
अतः,शून्यक $\alpha = -7/5$ और $\beta = -1$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= \alpha + \beta = -7/5 - 1 = -12/5$.
बहुपद $5 t^{2}+12 t+7$ में,$t$ का गुणांक $12$ है और $t^{2}$ का गुणांक $5$ है।
शून्यकों का योग $= -(t \text{ का गुणांक}) / (t^{2} \text{ का गुणांक}) = -12/5$.
शून्यकों का गुणनफल $= \alpha \cdot \beta = (-7/5) \cdot (-1) = 7/5$.
बहुपद में,अचर पद $7$ है और $t^{2}$ का गुणांक $5$ है।
शून्यकों का गुणनफल $= (\text{अचर पद}) / (t^{2} \text{ का गुणांक}) = 7/5$.
अतः,शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच हो गई है।

(A) माना $f(t) = t^{3}-2 t^{2}-15 t$.
$= t(t^{2}-2 t-15)$
$= t(t^{2}-5 t+3 t-15)$ [मध्य पद को विभाजित करके]
$= t[t(t-5)+3(t-5)]$
$= t(t-5)(t+3)$
अतः,$f(t)$ का मान शून्य है जब $t=0, t-5=0$ या $t+3=0$ हो।
इस प्रकार,शून्यक $t=0, t=5$ और $t=-3$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= 0 + 5 + (-3) = 2 = -(-2)/1 = -(\text{t}^{2} \text{ का गुणांक}) / (\text{t}^{3} \text{ का गुणांक})$.
दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग $= (0)(5) + (5)(-3) + (-3)(0) = 0 - 15 + 0 = -15 = (-15)/1 = (\text{t} \text{ का गुणांक}) / (\text{t}^{3} \text{ का गुणांक})$.
शून्यकों का गुणनफल $= (0)(5)(-3) = 0 = -(0)/1 = -(\text{अचर पद}) / (\text{t}^{3} \text{ का गुणांक})$.
अतः,संबंध सत्यापित हुआ।

(N/A) माना $f(x) = 2x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{4}$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = 0$ रखते हैं,अतः $2x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{4} = 0$.
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर,हमें $8x^2 + 14x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
मध्य पद को विभाजित करने पर: $8x^2 + 12x + 2x + 3 = 0$.
$4x(2x + 3) + 1(2x + 3) = 0$.
$(2x + 3)(4x + 1) = 0$.
अतः,शून्यक $x = -\frac{3}{2}$ और $x = -\frac{1}{4}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= -\frac{3}{2} + (-\frac{1}{4}) = -\frac{6}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$.
गुणांक संबंध: $-\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}} = -\frac{7/2}{2} = -\frac{7}{4}$.
शून्यकों का गुणनफल $= (-\frac{3}{2}) \times (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{8}$.
गुणांक संबंध: $\frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}} = \frac{3/4}{2} = \frac{3}{8}$.
चूंकि दोनों संबंध समान हैं,अतः शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच हो गई है।

(N/A) माना $f(x) = 4x^{2} + 5\sqrt{2}x - 3$.
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं: $4x^{2} + 6\sqrt{2}x - \sqrt{2}x - 3$.
$= 2\sqrt{2}x(\sqrt{2}x + 3) - 1(\sqrt{2}x + 3)$.
$= (\sqrt{2}x + 3)(2\sqrt{2}x - 1)$.
$f(x) = 0$ रखने पर,हमें $\sqrt{2}x + 3 = 0$ या $2\sqrt{2}x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $x = -\frac{3}{\sqrt{2}}$ और $x = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= -\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{-6 + 1}{2\sqrt{2}} = -\frac{5}{2\sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$.
$x$ का गुणांक $5\sqrt{2}$ है और $x^{2}$ का गुणांक $4$ है। अतः,$-\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^{2} \text{ का गुणांक}} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$. (सत्यापित)
शून्यकों का गुणनफल $= (-\frac{3}{\sqrt{2}}) \times (\frac{1}{2\sqrt{2}}) = -\frac{3}{4}$.
अचर पद $-3$ है और $x^{2}$ का गुणांक $4$ है। अतः,$\frac{\text{अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक}} = -\frac{3}{4}$. (सत्यापित)

(N/A) माना $f(s) = 2s^{2} - (1 + 2\sqrt{2})s + \sqrt{2}$.
$= 2s^{2} - s - 2\sqrt{2}s + \sqrt{2}$
$= s(2s - 1) - \sqrt{2}(2s - 1)$
$= (2s - 1)(s - \sqrt{2})$
$f(s)$ का मान शून्य होता है जब $2s - 1 = 0$ या $s - \sqrt{2} = 0$ हो।
अतः,$s = \frac{1}{2}$ या $s = \sqrt{2}$।
इसलिए,बहुपद के शून्यक $\frac{1}{2}$ और $\sqrt{2}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= \frac{1}{2} + \sqrt{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{-[-(1 + 2\sqrt{2})]}{2} = \frac{-(\text{s का गुणांक})}{\text{s}^{2} \text{ का गुणांक}}$।
शून्यकों का गुणनफल $= \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\text{अचर पद}}{\text{s}^{2} \text{ का गुणांक}}$।
अतः,शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच होती है।

(A) माना $f(v) = v^{2} + 4 \sqrt{3} v - 15$.
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं: $v^{2} + (5 \sqrt{3} - \sqrt{3}) v - 15 = 0$.
$= v^{2} + 5 \sqrt{3} v - \sqrt{3} v - 15 = 0$.
$= v(v + 5 \sqrt{3}) - \sqrt{3}(v + 5 \sqrt{3}) = 0$.
$= (v + 5 \sqrt{3})(v - \sqrt{3}) = 0$.
अतः,शून्यक $v = -5 \sqrt{3}$ और $v = \sqrt{3}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= -5 \sqrt{3} + \sqrt{3} = -4 \sqrt{3} = -\frac{v \text{ का गुणांक}}{v^{2} \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों का गुणनफल $= (-5 \sqrt{3})(\sqrt{3}) = -5 \times 3 = -15 = \frac{\text{अचर पद}}{v^{2} \text{ का गुणांक}}$.
अतः,संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना $f(y) = y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $f(y) = 0$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5 = 0$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2y^{2} + 3\sqrt{5}y - 10 = 0$ प्राप्त होता है।
मध्य पद को विभाजित करने पर: $2y^{2} + 4\sqrt{5}y - \sqrt{5}y - 10 = 0$.
$2y(y + 2\sqrt{5}) - \sqrt{5}(y + 2\sqrt{5}) = 0$.
$(y + 2\sqrt{5})(2y - \sqrt{5}) = 0$.
अतः,शून्यक $y = -2\sqrt{5}$ और $y = \frac{\sqrt{5}}{2}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= -2\sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{-4\sqrt{5} + \sqrt{5}}{2} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
बहुपद $y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5$ में,$y$ का गुणांक $\frac{3\sqrt{5}}{2}$ है और $y^{2}$ का गुणांक $1$ है। अतः,$-\frac{y \text{ का गुणांक}}{y^{2} \text{ का गुणांक}} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
शून्यकों का गुणनफल $= (-2\sqrt{5}) \times (\frac{\sqrt{5}}{2}) = -5$.
अचर पद $-5$ है और $y^{2}$ का गुणांक $1$ है। अतः,$\frac{\text{अचर पद}}{y^{2} \text{ का गुणांक}} = -5$.
इस प्रकार,संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना $f(y) = 7y^2 - \frac{11}{3}y - \frac{2}{3}$ है।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$f(y) = 0$ रखें,जिसका अर्थ है $\frac{1}{3}(21y^2 - 11y - 2) = 0$,अतः $21y^2 - 11y - 2 = 0$ है।
मध्य पद को विभाजित करने पर: $21y^2 - 14y + 3y - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
$7y(3y - 2) + 1(3y - 2) = 0$।
$(3y - 2)(7y + 1) = 0$।
अतः,शून्यक $y = \frac{2}{3}$ और $y = -\frac{1}{7}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग = $\frac{2}{3} + (-\frac{1}{7}) = \frac{14 - 3}{21} = \frac{11}{21}$ है।
बहुपद $7y^2 - \frac{11}{3}y - \frac{2}{3}$ में,$y$ का गुणांक $-\frac{11}{3}$ है और $y^2$ का गुणांक $7$ है।
शून्यकों का योग = $-\frac{y \text{ का गुणांक}}{y^2 \text{ का गुणांक}} = -\frac{-11/3}{7} = \frac{11}{21}$ है।
शून्यकों का गुणनफल = $(\frac{2}{3})(-\frac{1}{7}) = -\frac{2}{21}$ है।
अचर पद $-\frac{2}{3}$ है,$y^2$ का गुणांक $7$ है।
शून्यकों का गुणनफल = $\frac{\text{अचर पद}}{y^2 \text{ का गुणांक}} = \frac{-2/3}{7} = -\frac{2}{21}$ है।
अतः,संबंध सत्यापित होता है।

(N/A) माना द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है,शून्यकों का योग $\alpha + \beta = \sqrt{2}$ और शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = -\frac{3}{2}$ है।
द्विघात बहुपद का सूत्र $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta]$ होता है।
मान रखने पर,हमें $k[x^2 - \sqrt{2}x - \frac{3}{2}]$ प्राप्त होता है।
यदि $k=2$ लें,तो बहुपद $2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3$ होगा।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$ रखें।
$2x^2 - 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}x - 3 = 0$.
$\sqrt{2}x(\sqrt{2}x - 3) + 1(\sqrt{2}x - 3) = 0$.
$(\sqrt{2}x + 1)(\sqrt{2}x - 3) = 0$.
अतः,शून्यक $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = \frac{3}{\sqrt{2}}$ हैं।

(A) माना $p(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2$.
दिए गए मान $\alpha = \frac{1}{2}, \beta = 1, \gamma = -2$ हैं।
सबसे पहले,हम सत्यापित करते हैं कि ये शून्यक हैं:
$p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 2 = -2 + 2 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$.
$p(-2) = 2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0$.
अतः,$\frac{1}{2}, 1,$ और $-2$ बहुपद के शून्यक हैं।
$p(x)$ की तुलना $ax^3 + bx^2 + cx + d$ से करने पर,$a = 2, b = 1, c = -5, d = 2$ प्राप्त होता है।
संबंधों का सत्यापन:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} + 1 - 2 = -\frac{1}{2} = \frac{-b}{a}$.
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (\frac{1}{2})(1) + (1)(-2) + (-2)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 - 1 = -\frac{5}{2} = \frac{c}{a}$.
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = (\frac{1}{2})(1)(-2) = -1 = \frac{-d}{a} = \frac{-2}{2} = -1$.
इस प्रकार,संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना बहुपद $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x - 2$ है।
दी गई संख्याएँ $2, 1, 1$ हैं।
$x = 2$ के लिए: $p(2) = (2)^{3} - 4(2)^{2} + 5(2) - 2 = 8 - 16 + 10 - 2 = 0$.
$x = 1$ के लिए: $p(1) = (1)^{3} - 4(1)^{2} + 5(1) - 2 = 1 - 4 + 5 - 2 = 0$.
चूंकि $p(2) = 0$ और $p(1) = 0$,इसलिए $2, 1, 1$ दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।
बहुपद $p(x)$ की तुलना मानक रूप $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ से करने पर,हमें $a = 1, b = -4, c = 5, d = -2$ प्राप्त होता है।
संबंधों का सत्यापन:
$1$. शून्यकों का योग: $2 + 1 + 1 = 4 = -(-4)/1 = -b/a$.
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $(2)(1) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5 = 5/1 = c/a$.
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $2 \times 1 \times 1 = 2 = -(-2)/1 = -d/a$.
अतः,शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना कि त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है और इसके शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
गुणांकों और शून्यकों के बीच संबंध इस प्रकार हैं:
$1.$ शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -b/a = 2/1$
$2.$ दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = c/a = -7/1$
$3.$ शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -d/a = -14/1$
मानों की तुलना करने पर,हमें $a = 1, b = -2, c = -7$ और $d = 14$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सामान्य रूप $ax^3 + bx^2 + cx + d$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें बहुपद प्राप्त होता है:
$p(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 14$.

(A) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{3}-3x^{2}+x+1$ है।
शून्यक $a-b, a, a+b$ दिए गए हैं।
बहुपद की तुलना मानक रूप $Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$ से करने पर,हमें $A=1, B=-3, C=1, D=1$ प्राप्त होता है।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए:
शून्यकों का योग $= (a-b) + a + (a+b) = -B/A$.
$3a = -(-3)/1 = 3$.
$a = 1$.
शून्यकों का गुणनफल $= (a-b)(a)(a+b) = -D/A$.
$(1-b)(1)(1+b) = -1/1$.
$1-b^{2} = -1$.
$b^{2} = 2$.
$b = \pm\sqrt{2}$.
अतः,$a=1$ और $b=\pm\sqrt{2}$ है।