Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomial Questions in Hindi

(7, -5) दिया गया है कि $2+\sqrt{3}$ और $2-\sqrt{3}$ दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।
इसलिए,$(x-(2+\sqrt{3}))(x-(2-\sqrt{3})) = ((x-2)-\sqrt{3})((x-2)+\sqrt{3}) = (x-2)^{2} - (\sqrt{3})^{2} = x^{2}-4x+4-3 = x^{2}-4x+1$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद $x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35$ को $x^{2}-4 x+1$ से विभाजित करेंगे:
$x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35 = (x^{2}-4 x+1)(x^{2}-2 x-35)$
अब,हम द्विघात बहुपद $x^{2}-2 x-35$ का गुणनखंड करेंगे:
$x^{2}-2 x-35 = x^{2}-7x+5x-35 = x(x-7)+5(x-7) = (x-7)(x+5)$
इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x-7=0$ या $x+5=0$ प्राप्त होता है,जिससे $x=7$ या $x=-5$ मिलता है।
अतः,अन्य दो शून्यक $7$ और $-5$ हैं।

(D) दिया गया है कि $(x+1)$,$f(x) = 2x^{3} + ax^{2} + 2bx + 1$ का एक गुणनखंड है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $f(-1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-1)^{3} + a(-1)^{2} + 2b(-1) + 1 = 0$
$-2 + a - 2b + 1 = 0$
$a - 2b = 1$ ... $(i)$
हमें दूसरा समीकरण $2a - 3b = 4$ ... $(ii)$ भी दिया गया है।
समीकरण $(i)$ से,$a = 2b + 1$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$2(2b + 1) - 3b = 4$
$4b + 2 - 3b = 4$
$b + 2 = 4$
$b = 2$
अब,$b = 2$ का मान $a = 2b + 1$ में रखने पर:
$a = 2(2) + 1 = 5$.
अतः,$a$ और $b$ के अभीष्ट मान क्रमशः $5$ और $2$ हैं।

(N/A) दिया गया है कि,शून्यकों का योग $(S) = -\frac{8}{3}$ और शून्यकों का गुणनफल $(P) = \frac{4}{3}$ है।
द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ होता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर अचर है।
मान रखने पर,$f(x) = x^2 - (-\frac{8}{3})x + \frac{4}{3} = x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
सरल बनाने के लिए,हम बहुपद को $3x^2 + 8x + 4$ के रूप में लिख सकते हैं।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$3x^2 + 8x + 4$ का गुणनखंडन करते हैं:
$3x^2 + 6x + 2x + 4 = 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (3x + 2)(x + 2)$.
$f(x) = 0$ रखने पर,$(3x + 2)(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$ और $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
इस प्रकार,बहुपद के शून्यक $-2$ और $-\frac{2}{3}$ हैं।

(A) दिया गया है कि,शून्यकों का योग $S = \frac{21}{8}$ और शून्यकों का गुणनफल $P = \frac{5}{16}$ है।
वांछित द्विघात बहुपद $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। हर को हटाने के लिए $k = 16$ लेने पर:
$f(x) = 16(x^2 - \frac{21}{8}x + \frac{5}{16}) = 16x^2 - 42x + 5$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$f(x) = 0$ रखने पर:
$16x^2 - 42x + 5 = 0$.
मध्य पद को विभाजित करने पर: $16x^2 - 40x - 2x + 5 = 0$.
$8x(2x - 5) - 1(2x - 5) = 0$.
$(8x - 1)(2x - 5) = 0$.
अतः,शून्यक $x = \frac{1}{8}$ और $x = \frac{5}{2}$ हैं।

(N/A) दिया गया है कि,शून्यकों का योग $(S)$ = $-2 \sqrt{3}$ और शून्यकों का गुणनफल $(P)$ = $-9$ है।
द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $f(x) = x^{2} - Sx + P$ होता है।
मान रखने पर,हमें $f(x) = x^{2} - (-2 \sqrt{3})x + (-9) = x^{2} + 2 \sqrt{3}x - 9$ प्राप्त होता है।
गुणनखंडन द्वारा शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद $2 \sqrt{3}x$ को $3 \sqrt{3}x - \sqrt{3}x$ में विभाजित करते हैं:
$f(x) = x^{2} + 3 \sqrt{3}x - \sqrt{3}x - 9$
$f(x) = x(x + 3 \sqrt{3}) - \sqrt{3}(x + 3 \sqrt{3})$
$f(x) = (x + 3 \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$
$f(x) = 0$ रखने पर,हमें $x + 3 \sqrt{3} = 0$ या $x - \sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $-3 \sqrt{3}$ और $\sqrt{3}$ हैं।

(N/A) दिया गया है कि,शून्यकों का योग $(S)$ = $-\frac{3}{2 \sqrt{5}}$ और शून्यकों का गुणनफल $(P)$ = $-\frac{1}{2}$।
द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
मान रखने पर,$f(x) = x^2 - (-\frac{3}{2 \sqrt{5}})x + (-\frac{1}{2}) = x^2 + \frac{3}{2 \sqrt{5}}x - \frac{1}{2}$।
सरल बनाने के लिए,$2\sqrt{5}$ से गुणा करने पर हमें $2\sqrt{5}x^2 + 3x - \sqrt{5}$ बहुपद प्राप्त होता है।
अब,$2\sqrt{5}x^2 + 3x - \sqrt{5}$ का गुणनखंडन करने पर:
$= 2\sqrt{5}x^2 + 5x - 2x - \sqrt{5}$
$= \sqrt{5}x(2x + \sqrt{5}) - 1(2x + \sqrt{5})$
$= (2x + \sqrt{5})(\sqrt{5}x - 1)$
$f(x) = 0$ रखने पर,$2x + \sqrt{5} = 0$ या $\sqrt{5}x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $x = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ और $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ हैं।

(A) माना $f(x) = x^{3}-6x^{2}+3x+10$ है।
दिया गया है कि $a, (a+b),$ और $(a+2b)$ बहुपद $f(x)$ के शून्यक हैं।
शून्यकों का योग $= -\frac{x^{2} \text{ का गुणांक}}{x^{3} \text{ का गुणांक}} = -\frac{-6}{1} = 6$.
अतः,$a + (a+b) + (a+2b) = 6 \Rightarrow 3a + 3b = 6 \Rightarrow a+b = 2 \Rightarrow b = 2-a \dots (i)$.
शून्यकों का गुणनफल $= -\frac{\text{अचर पद}}{x^{3} \text{ का गुणांक}} = -\frac{10}{1} = -10$.
अतः,$a(a+b)(a+2b) = -10$.
$a+b=2$ और $b=2-a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $a(2)(a+2(2-a)) = -10$.
$2a(a+4-2a) = -10 \Rightarrow 2a(4-a) = -10 \Rightarrow 8a - 2a^{2} = -10$.
$2a^{2} - 8a - 10 = 0 \Rightarrow a^{2} - 4a - 5 = 0$.
$(a-5)(a+1) = 0$.
इस प्रकार,$a = 5$ या $a = -1$.
यदि $a = 5$,तो $b = 2-5 = -3$. शून्यक $5, 5-3, 5-6$ अर्थात $5, 2, -1$ हैं।
यदि $a = -1$,तो $b = 2-(-1) = 3$. शून्यक $-1, -1+3, -1+6$ अर्थात $-1, 2, 5$ हैं।
अतः,मान $(a=5, b=-3)$ या $(a=-1, b=3)$ हैं और शून्यक $-1, 2, 5$ हैं।

(B) माना $f(x) = 6x^{3}+\sqrt{2}x^{2}-10x-4\sqrt{2}$.
चूंकि $\sqrt{2}$ बहुपद $f(x)$ का एक शून्यक है,इसलिए $(x-\sqrt{2})$ बहुपद $f(x)$ का एक गुणनखंड है।
$f(x)$ को $(x-\sqrt{2})$ से विभाजित करने पर:
$6x^{3}+\sqrt{2}x^{2}-10x-4\sqrt{2} = (x-\sqrt{2})(6x^{2}+7\sqrt{2}x+4)$.
अब,द्विघात बहुपद $6x^{2}+7\sqrt{2}x+4$ का गुणनखंड करने पर:
$6x^{2}+3\sqrt{2}x+4\sqrt{2}x+4 = 3\sqrt{2}x(\sqrt{2}x+1) + 4(\sqrt{2}x+1) = (3\sqrt{2}x+4)(\sqrt{2}x+1)$.
इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर:
$\sqrt{2}x+1 = 0 \implies x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$3\sqrt{2}x+4 = 0 \implies x = -\frac{4}{3\sqrt{2}}$.
अतः,अन्य दो शून्यक $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $-\frac{4}{3\sqrt{2}}$ हैं।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = 3.14x^2 + 1.57x + 1$ है।
बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
इस व्यंजक में $x$ की उच्चतम घात $2$ है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$p(x)$ एक द्विघात बहुपद है।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = 2012x + 2011$ है।
इस व्यंजक में चर $x$ की उच्चतम घात $1$ है।
जिस बहुपद की घात $1$ होती है,उसे रैखिक बहुपद कहा जाता है।
अतः,$p(x) = 2012x + 2011$ एक रैखिक बहुपद है।

(C) दिया गया बहुपद $p(x) = 9x^{2} + \frac{7}{2}x^{3} + 5$ है।
पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,हमें $p(x) = \frac{7}{2}x^{3} + 9x^{2} + 5$ प्राप्त होता है।
बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
यहाँ,$x$ की उच्चतम घात $3$ है।
चूँकि बहुपद की घात $3$ है,इसलिए इसे त्रिघात बहुपद कहा जाता है।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{2} - \sqrt{3}x^{3} + 4x^{7} + 9$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले पदों को उनके घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
$p(x) = 4x^{7} - \sqrt{3}x^{3} + x^{2} + 9$.
बहुपद की घात को बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस व्यंजक में,$x$ के घातांक $7, 3, 2$ और $0$ हैं (क्योंकि $9 = 9x^{0}$)।
अधिकतम घात $7$ है।
अतः,बहुपद की घात $7$ है।

(C) दिया गया बहुपद $p(x) = 5x^{100} - (x^{10})^{20} + 3(x^2)^{25} + 2x^{25} - 7$ है।
सबसे पहले,घातांक नियम $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ का उपयोग करके पदों को सरल करें:
$(x^{10})^{20} = x^{10 \cdot 20} = x^{200}$
$(x^2)^{25} = x^{2 \cdot 25} = x^{50}$
इन मानों को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = 5x^{100} - x^{200} + 3x^{50} + 2x^{25} - 7$
पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$p(x) = -x^{200} + 5x^{100} + 3x^{50} + 2x^{25} - 7$
बहुपद की घात,चर $x$ की सबसे बड़ी घात होती है।
यहाँ,सबसे बड़ी घात $200$ है।
अतः,बहुपद की घात $200$ है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = \frac{7}{2} x - 9$ है।
किसी बहुपद की घात उस बहुपद में चर $x$ की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
व्यंजक $\frac{7}{2} x - 9$ में,चर $x$ की घात $1$ है (क्योंकि $x = x^1$)।
अतः,बहुपद की घात $1$ है।

(A) दिया गया बहुपद $p(x) = 5x - 2x^2 + 3$ है।
पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,हमें $p(x) = -2x^2 + 5x + 3$ प्राप्त होता है।
बहुपद की घात को बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस बहुपद में,चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है (पद $-2x^2$ से)।
अतः,बहुपद की घात $2$ है।

(N/A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-a)$ किसी बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a)=0$ होता है।
यहाँ,हमें यह जांचना है कि क्या $(x+2)$,$p(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x+42$ का एक गुणनखंड है।
$(x+2)$ की तुलना $(x-a)$ से करने पर,हमें $a = -2$ प्राप्त होता है।
अब,हम $p(-2)$ की गणना करते हैं:
$p(-2) = 2(-2)^{3} - 4(-2)^{2} + 5(-2) + 42$
$p(-2) = 2(-8) - 4(4) - 10 + 42$
$p(-2) = -16 - 16 - 10 + 42$
$p(-2) = -42 + 42$
$p(-2) = 0$
चूंकि $p(-2) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(D) बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 7x^2 - 5x^3 + 3$ के लिए,$x$ की घातें $2$,$3$ और $0$ हैं (क्योंकि $3 = 3x^0$)।
यहाँ उच्चतम घात $3$ है।
जिस बहुपद की घात $3$ होती है,उसे त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 7 - 5x$ में,चर $x$ है और इसकी उच्चतम घात $1$ है।
$1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
अतः,$p(x) = 7 - 5x$ एक रैखिक बहुपद है।

(B) बहुपद के प्रकार को पहचानने के लिए,सबसे पहले हम व्यंजक $p(x) = (x - 15)(x + 15)$ को सरल करते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p(x) = x^2 - 15^2$
$p(x) = x^2 - 225$
इस बहुपद में चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है।
जिस बहुपद की घात $2$ होती है,उसे द्विघाती बहुपद कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया बहुपद $p(x) = \frac{3}{2} - 0.75x - x^{2}$ है।
बहुपद का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम व्यंजक में उपस्थित चर $x$ की उच्चतम घात को देखते हैं।
यहाँ,$x$ की घातें $0$ ($\frac{3}{2}$ में),$1$ ($-0.75x$ में),और $2$ ($-x^{2}$ में) हैं।
बहुपद की उच्चतम घात $2$ है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघाती बहुपद कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) बहुपद $p(x) = 5x^8 - 6(x^2)^5 - 4x^3 - 14$ की घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले व्यंजक को सरल करेंगे।
घातांक के नियम $(x^a)^b = x^{a \times b}$ का उपयोग करते हुए,पद $6(x^2)^5$ को $6x^{10}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अब,बहुपद $p(x) = 5x^8 - 6x^{10} - 4x^3 - 14$ हो जाता है।
बहुपद की घात का अर्थ है उसमें उपस्थित चर $x$ की उच्चतम घात।
$x$ की घातों $(8, 10, 3)$ की तुलना करने पर,उच्चतम घात $10$ है।
अतः,बहुपद की घात $10$ है।

(A) बहुपद $p(x) = (x^{1/2})^{50} - 5x^{10} - 9x^2 + 15$ की घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले व्यंजक को सरल करेंगे।
घात के नियम $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ का उपयोग करते हुए,हम पहले पद को सरल करते हैं:
$(x^{1/2})^{50} = x^{(1/2) \cdot 50} = x^{25}$.
अब,बहुपद $p(x) = x^{25} - 5x^{10} - 9x^2 + 15$ हो जाता है।
बहुपद की घात को चर $x$ के उच्चतम घातांक के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पदों $x^{25}$,$x^{10}$,और $x^2$ में $x$ के घातांकों की तुलना करने पर,उच्चतम घातांक $25$ है।
अतः,बहुपद की घात $25$ है।

(B) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित होती है।
दिया गया बहुपद: $p(x) = 6 - 5x^3 + 4x^5 - 5x^2$.
यहाँ चर $x$ के पदों की घातें $0$ ($6$ में),$3$ ($-5x^3$ में),$5$ ($4x^5$ में),और $2$ ($-5x^2$ में) हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $5$ है।
अतः,बहुपद $p(x)$ की घात $5$ है।

(C) माना कि बहुपद $p(x) = x^{3} + 4x^{2} + 8x + a$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+2)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-2) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2) = (-2)^{3} + 4(-2)^{2} + 8(-2) + a = 0$
$-8 + 4(4) - 16 + a = 0$
$-8 + 16 - 16 + a = 0$
$-8 + a = 0$
$a = 8$
अतः,$a$ का मान $8$ है।

(TRUE) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x+3)$,$p(x) = x^{2}+10x+21$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,$(x+3) = (x - (-3))$,इसलिए $a = -3$ है।
अब,$p(-3)$ की गणना करें:
$p(-3) = (-3)^{2} + 10(-3) + 21$
$p(-3) = 9 - 30 + 21$
$p(-3) = 30 - 30 = 0$।
चूंकि $p(-3) = 0$ है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $(x-2)$ बहुपद $p(x) = x^{3}+5x^{2}-2x-25$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि और केवल यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,$a = 2$ है।
बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2)^{3} + 5(2)^{2} - 2(2) - 25$
$p(2) = 8 + 5(4) - 4 - 25$
$p(2) = 8 + 20 - 4 - 25$
$p(2) = 28 - 29$
$p(2) = -1$
चूँकि $p(2) \neq 0$,इसलिए $(x-2)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $(x+3)$,$p(x) = x^{3}+6x^{2}+5x-12$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,$x+3 = x-(-3)$ है,इसलिए हमें $p(-3)$ का मान ज्ञात करना होगा।
$p(-3) = (-3)^{3} + 6(-3)^{2} + 5(-3) - 12$
$p(-3) = -27 + 6(9) - 15 - 12$
$p(-3) = -27 + 54 - 15 - 12$
$p(-3) = 54 - 54 = 0$.
चूँकि $p(-3) = 0$ है,इसलिए $(x+3)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
अतः,यह कथन सत्य है।

(C) बहुपद $p(x) = 25x^2 - 40x + 16$ का गुणनखंड करने के लिए,हम देखते हैं कि यह बीजीय सर्वसमिका $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ के रूप में है।
यहाँ,$25x^2 = (5x)^2$,इसलिए $a = 5x$ है।
साथ ही,$16 = 4^2$,इसलिए $b = 4$ है।
मध्य पद की जाँच करने पर: $-2ab = -2(5x)(4) = -40x$,जो दिए गए बहुपद से मेल खाता है।
अतः,$25x^2 - 40x + 16 = (5x)^2 - 2(5x)(4) + 4^2 = (5x - 4)^2$।

(A) बहुपद $p(x) = x^{2} - 2x$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} - 2x = 0$
व्यंजक से $x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x(x - 2) = 0$
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:
$x = 0$ या $x - 2 = 0$,जिसका अर्थ है $x = 2$।
अतः,बहुपद के शून्यक $0$ और $2$ हैं।
चूंकि यहाँ दो अलग-अलग वास्तविक मान हैं,इसलिए वास्तविक शून्यकों की संख्या $2$ है।

(B) द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ की गणना करते हैं।
दिए गए बहुपद $p(x) = 4x^2 + 11x + 10$ के लिए,$a = 4$,$b = 11$,और $c = 10$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$D = (11)^2 - 4(4)(10)$
$D = 121 - 160$
$D = -39$
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण $p(x) = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,इस बहुपद के वास्तविक शून्यकों की संख्या $0$ है।

(D) बहुपद $p(x) = x^{3} - 9x$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{3} - 9x = 0$
व्यंजक से $x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x(x^{2} - 9) = 0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करके,हम $x^{2} - 9$ को $(x - 3)(x + 3)$ के रूप में लिख सकते हैं:
$x(x - 3)(x + 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x = 0$,$x - 3 = 0 \implies x = 3$,और $x + 3 = 0 \implies x = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,बहुपद के शून्यक $0, 3, -3$ हैं।
चूंकि यहाँ $3$ भिन्न वास्तविक मान हैं,इसलिए वास्तविक शून्यकों की संख्या $3$ है।

(A) यह सत्यापित करने के लिए कि $\frac{-2}{3}$ बहुपद $p(x)=3x+2$ का एक शून्यक है,हम बहुपद में $x = \frac{-2}{3}$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं।
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = 3\left(\frac{-2}{3}\right) + 2$
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = -2 + 2$
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = 0$
चूँकि $x = \frac{-2}{3}$ पर बहुपद का मान $0$ है,अतः यह सत्यापित होता है कि $\frac{-2}{3}$ रैखिक बहुपद $p(x)=3x+2$ का एक शून्यक है।

(N/A) दिया गया बहुपद $p(x) = 10x^2 - 14x - 12$ है।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद का गुणनखंड करते हैं:
$10x^2 - 14x - 12 = 10x^2 - 20x + 6x - 12$
$= 10x(x - 2) + 6(x - 2)$
$= (10x + 6)(x - 2)$
$p(x) = 0$ रखने पर,हमें $(10x + 6)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x = -6/10 = -3/5$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $-3/5$ और $2$ हैं।
$ax^2 + bx + c$ के लिए शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए:
शून्यकों का योग $= -b/a = -(-14)/10 = 14/10 = 7/5$.
शून्यकों का गुणनफल $= c/a = -12/10 = -6/5$.

(N/A) $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(x)=0$ रखें।
$4 x^{3}+10 x^{2}+6 x=0$
$2 x(2 x^{2}+5 x+3)=0$
$2 x(2 x^{2}+2 x+3 x+3)=0$
$2 x(2 x(x+1)+3(x+1))=0$
$2 x(2 x+3)(x+1)=0$
अतः,शून्यक $x=0, x=-\frac{3}{2}, x=-1$ हैं।
$p(x)=4 x^{3}+10 x^{2}+6 x+0$ के लिए,$a=4, b=10, c=6, d=0$ है।
शून्यकों का योग: $0 + (-\frac{3}{2}) + (-1) = -\frac{5}{2} = -\frac{10}{4} = -\frac{b}{a}$।
दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $(0)(-\frac{3}{2}) + (-\frac{3}{2})(-1) + (-1)(0) = 0 + \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{c}{a}$।
शून्यकों का गुणनफल: $(0)(-\frac{3}{2})(-1) = 0 = -\frac{0}{4} = -\frac{d}{a}$।

(A) $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$\sqrt{3} x^{2} - 8 x + 4 \sqrt{3} = 0$
हम मध्य पद $-8x$ को $-6x - 2x$ में विभाजित करते हैं क्योंकि $(\sqrt{3}) \times (4\sqrt{3}) = 12$,और हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $12$ और योग $-8$ हो।
$\sqrt{3} x^{2} - 6x - 2x + 4 \sqrt{3} = 0$
$\sqrt{3} x(x - 2\sqrt{3}) - 2(x - 2\sqrt{3}) = 0$
$(x - 2\sqrt{3})(\sqrt{3} x - 2) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 2\sqrt{3} = 0 \implies x = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{3} x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{\sqrt{3}}$
अतः,शून्यक $\frac{2}{\sqrt{3}}$ और $2\sqrt{3}$ हैं।

(B) $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$4x^2 - 256 = 0$
पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - 64 = 0$
इसे वर्गों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है:
$x^2 - 8^2 = 0$
$(x - 8)(x + 8) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 8 = 0 \implies x = 8$
$x + 8 = 0 \implies x = -8$
अतः,द्विघात बहुपद के शून्यक $-8$ और $8$ हैं।

(C) $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} + x - 12 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके हम द्विघात समीकरण का गुणनखंड करते हैं:
$x^{2} + 4x - 3x - 12 = 0$
$x(x + 4) - 3(x + 4) = 0$
$(x + 4)(x - 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 4 = 0 \implies x = -4$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
अतः,द्विघात बहुपद $p(x)$ के शून्यक $-4$ और $3$ हैं।

(D) बहुपद $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3x^2 + 15x = 0$
उभयनिष्ठ पद $3x$ को बाहर निकालने पर:
$3x(x + 5) = 0$
चूंकि $3 \neq 0$,इसलिए हमारे पास है:
$x(x + 5) = 0$
इसका अर्थ है कि $x = 0$ या $x + 5 = 0$ है।
अतः,$x = 0$ या $x = -5$ है।
इस प्रकार,द्विघात बहुपद $p(x)$ के शून्यक $0$ और $-5$ हैं।

(N/A) यह सत्यापित करने के लिए कि $3$ बहुपद $p(x) = 4x - 12$ का एक शून्यक है,हमें $x = 3$ पर बहुपद का मान ज्ञात करना होगा।
दिए गए बहुपद में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(3) = 4(3) - 12$
$p(3) = 12 - 12$
$p(3) = 0$
चूंकि $p(3) = 0$ है,अतः यह सत्यापित होता है कि $3$ बहुपद $p(x) = 4x - 12$ का एक शून्यक है।

(A) $ax^{2} + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा और शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बहुपद $4x^{2} - 4x + 1$ में,$a = 4$,$b = -4$ और $c = 1$ है।
शून्यकों का योग $= -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{4} = 1$.
शून्यकों का गुणनफल $= \frac{c}{a} = \frac{1}{4}$.
अतः,शून्यकों का योग $1$ और गुणनफल $\frac{1}{4}$ है।

(A) $ax^{2} + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा और शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया बहुपद: $6x^{2} - 7x - 3$.
यहाँ,$a = 6$,$b = -7$,और $c = -3$ है।
शून्यकों का योग = $-\frac{b}{a} = -(\frac{-7}{6}) = \frac{7}{6}$.
शून्यकों का गुणनफल = $\frac{c}{a} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.
अतः,शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः $\frac{7}{6}$ और $-\frac{1}{2}$ है।

(D) $ax^2 + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा और शून्यों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बहुपद $3x^2 + x - 4$ के लिए,$a = 3$,$b = 1$ और $c = -4$ है।
शून्यों का योग $= -\frac{b}{a} = -\frac{1}{3}$.
शून्यों का गुणनफल $= \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$.
अतः,शून्यों का योग और गुणनफल क्रमशः $-\frac{1}{3}$ और $-\frac{4}{3}$ है।

(A) $ax^{2} + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा और शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बहुपद $x^{2} - 7x + 10$ के लिए,$a = 1$,$b = -7$,और $c = 10$ है।
शून्यकों का योग $= -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = 7$.
शून्यकों का गुणनफल $= \frac{c}{a} = \frac{10}{1} = 10$.
अतः,शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः $7$ और $10$ है।

(B) $p(x) = 6x^2 - x - 2$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(x) = 0$ रखने पर।
$6x^2 - x - 2 = 0$
$6x^2 - 4x + 3x - 2 = 0$
$2x(3x - 2) + 1(3x - 2) = 0$
$(2x + 1)(3x - 2) = 0$
अतः,शून्यक $x = -1/2$ और $x = 2/3$ हैं।
माना $\alpha = 2/3$ और $\beta = -1/2$ है।
द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के लिए,शून्यकों का योग $-b/a$ और शून्यकों का गुणनफल $c/a$ होता है।
यहाँ,$a = 6, b = -1, c = -2$ है।
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = 2/3 + (-1/2) = (4 - 3)/6 = 1/6$। साथ ही,$-b/a = -(-1)/6 = 1/6$। अतः,$\alpha + \beta = -b/a$।
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (2/3) \cdot (-1/2) = -2/6 = -1/3$। साथ ही,$c/a = -2/6 = -1/3$। अतः,$\alpha \cdot \beta = c/a$।
इस प्रकार,संबंध सत्यापित होता है।

(C) द्विघात बहुपद का सूत्र $p(x) = k[x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})]$ होता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर अचर है।
यहाँ शून्यकों का योग $\sqrt{2}$ और शून्यकों का गुणनफल $\frac{1}{3}$ दिया गया है,इसलिए:
$p(x) = k[x^2 - (\sqrt{2})x + \frac{1}{3}]$
चूँकि शर्त $a < 0$ दी गई है,हम व्यंजक को $-1$ से गुणा करते हैं:
$p(x) = k[-x^2 + \sqrt{2}x - \frac{1}{3}]$
अतः,अभीष्ट बहुपद $k(-x^2 + \sqrt{2}x - \frac{1}{3})$ है।

(D) द्विघात बहुपद $p(x) = 5x^2 + 8x + 3$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$5x^2 + 8x + 3 = 0$
मध्य पद $8x$ को $5x + 3x$ में विभाजित करने पर:
$5x^2 + 5x + 3x + 3 = 0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$5x(x + 1) + 3(x + 1) = 0$
$(5x + 3)(x + 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$5x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{5}$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
अतः,शून्यक $-1$ और $-\frac{3}{5}$ हैं।

(A) द्विघात बहुपद $p(x) = -21x^2 + 16x + 5$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$-21x^2 + 16x + 5 = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए इसे $-1$ से गुणा करने पर:
$21x^2 - 16x - 5 = 0$
हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल $(21 \times -5) = -105$ हो और योग $-16$ हो। ये संख्याएँ $-21$ और $5$ हैं।
$21x^2 - 21x + 5x - 5 = 0$
समूहन द्वारा गुणनखंड करने पर:
$21x(x - 1) + 5(x - 1) = 0$
$(21x + 5)(x - 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$21x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{21}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
अतः,शून्यक $1$ और $-\frac{5}{21}$ हैं।

(B) द्विघात बहुपद $p(x) = 15x^2 + 16x + 4$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$15x^2 + 16x + 4 = 0$
मध्यम पद $16x$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करते हैं कि उनका योग $16x$ हो और उनका गुणनफल $15 \times 4 = 60x^2$ हो। ये गुणनखंड $10x$ और $6x$ हैं।
$15x^2 + 10x + 6x + 4 = 0$
$5x(3x + 2) + 2(3x + 2) = 0$
$(5x + 2)(3x + 2) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$5x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{5}$
$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$
अतः,शून्यक $-\frac{2}{3}$ और $-\frac{2}{5}$ हैं।

(A) द्विघात बहुपद का सूत्र इस प्रकार है: $p(x) = k[x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})]$।
दिया गया है:
शून्यकों का योग $= \frac{1}{4}$
शून्यकों का गुणनफल $= -1$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$p(x) = k[x^2 - (\frac{1}{4})x + (-1)]$
$p(x) = k[x^2 - \frac{1}{4}x - 1]$
सरल बनाने के लिए,हम $k = 4$ ले सकते हैं:
$p(x) = 4[x^2 - \frac{1}{4}x - 1] = 4x^2 - x - 4$।
अतः,बहुपद $k(4x^2 - x - 4)$ है।

(D) द्विघात बहुपद का सूत्र $p(x) = k[x^{2} - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})]$ है,जहाँ $k$ एक शून्येतर वास्तविक अचर है।
दिया गया है कि शून्यकों का योग $= -\frac{1}{4}$ और शून्यकों का गुणनफल $= \frac{1}{4}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$p(x) = k[x^{2} - (-\frac{1}{4})x + \frac{1}{4}]$
$p(x) = k[x^{2} + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}]$
सरल बनाने के लिए,हम $k = 4$ (या $4$ का कोई भी गुणज) ले सकते हैं:
$p(x) = 4[x^{2} + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}]$
$p(x) = 4x^{2} + x + 1$
अतः,सामान्य रूप $k(4x^{2} + x + 1)$ है।