Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomial Questions in Hindi

(A) दिया गया बहुपद: $p(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2$.
$ax^3 + bx^2 + cx + d$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = 1, c = -5, d = 2$ प्राप्त होता है।
शून्यक सिद्ध करने के लिए,मानों को $p(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1/2) = 2(1/8) + (1/4) - 5(1/2) + 2 = 1/4 + 1/4 - 5/2 + 2 = 1/2 - 2.5 + 2 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$.
$p(-2) = 2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0$.
चूँकि $p(1/2) = 0, p(1) = 0, p(-2) = 0$,अतः ये शून्यक हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग: $1/2 + 1 + (-2) = -1/2$. सूत्र: $-b/a = -1/2$. (सत्यापित)
शून्यकों के गुणनफल का योग (दो-दो करके): $(1/2)(1) + (1)(-2) + (-2)(1/2) = 1/2 - 2 - 1 = -2.5 = -5/2$. सूत्र: $c/a = -5/2$. (सत्यापित)
शून्यकों का गुणनफल: $(1/2)(1)(-2) = -1$. सूत्र: $-d/a = -2/2 = -1$. (सत्यापित)

(A) दिया गया बहुपद: $p(x) = 2x^3 - 5x^2 - 14x + 8$.
$ax^3 + bx^2 + cx + d$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = -5, c = -14, d = 8$ प्राप्त होता है।
चरण $1$: शून्यकों की जाँच करें।
$p(-2) = 2(-2)^3 - 5(-2)^2 - 14(-2) + 8 = 2(-8) - 5(4) + 28 + 8 = -16 - 20 + 28 + 8 = 0$.
$p(4) = 2(4)^3 - 5(4)^2 - 14(4) + 8 = 2(64) - 5(16) - 56 + 8 = 128 - 80 - 56 + 8 = 0$.
$p(1/2) = 2(1/8) - 5(1/4) - 14(1/2) + 8 = 1/4 - 5/4 - 7 + 8 = -4/4 + 1 = -1 + 1 = 0$.
अतः,$-2, 4, 1/2$ शून्यक हैं।
चरण $2$: संबंधों की जाँच करें।
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -2 + 4 + 0.5 = 2.5 = 5/2 = -b/a$.
दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (-2)(4) + (4)(0.5) + (0.5)(-2) = -8 + 2 - 1 = -7 = -14/2 = c/a$.
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = (-2)(4)(0.5) = -4 = -8/2 = -d/a$.
सभी संबंधों की पुष्टि हो गई है।

(A) मानक रूप में द्विघात बहुपद का व्यंजक $p(x) = ax^{2} + bx + c$ होता है।
दिए गए गुणांकों $a=6$,$b=-7$,और $c=-3$ को मानक रूप में प्रतिस्थापित करने पर,
बहुपद $6x^{2} + (-7)x + (-3)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $6x^{2} - 7x - 3$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात बहुपद का मानक रूप $p(x) = ax^{2} + bx + c$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिए गए गुणांक $a=1$,$b=-10$,और $c=25$ हैं।
इन मानों को मानक रूप में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = (1)x^{2} + (-10)x + 25$
$p(x) = x^{2} - 10x + 25$.

(N/A) त्रिघात बहुपद का मानक रूप $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए गुणांक $a=2, b=3, c=-5$ और $d=0$ हैं।
इन मानों को मानक रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(x) = 2x^3 + 3x^2 + (-5)x + 0$।
अतः,अभीष्ट बहुपद $2x^3 + 3x^2 - 5x$ है।

(C) दिया गया है कि $1$ और $3$ बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं,इसलिए $(x - 1)$ और $(x - 3)$ बहुपद $p(x)$ के गुणनखंड हैं।
अतः,$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$p(x) = 2x^4 - 7x^3 - 13x^2 + 63x - 45$ को $(x^2 - 4x + 3)$ से विभाजित करने पर:
$2x^4 - 7x^3 - 13x^2 + 63x - 45 = (x^2 - 4x + 3)(2x^2 + x - 15)$.
अब,द्विघात बहुपद $2x^2 + x - 15$ का गुणनखंड करने पर:
$2x^2 + 6x - 5x - 15 = 2x(x + 3) - 5(x + 3) = (2x - 5)(x + 3)$.
इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x = -3$ और $x = \frac{5}{2}$ प्राप्त होते हैं।
अतः,शेष शून्यक $-3$ और $\frac{5}{2}$ हैं।

(N/A) संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करके $p(x) = x^{4} - 1$ को $x - 1$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. भाज्य बहुपद $p(x)$ को मानक रूप में लिखें,जिसमें सभी लुप्त पदों के गुणांक $0$ हों: $p(x) = 1x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x - 1$.
$2$. भाजक $x - 1$ है,इसलिए $x - 1 = 0$ रखने पर $x = 1$ प्राप्त होता है। संश्लेषित विभाजन के लिए $1$ का उपयोग करें।
$3$. संश्लेषित विभाजन तालिका इस प्रकार है:
$\begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$
$4$. अंतिम पंक्ति भागफल के गुणांकों और शेषफल को दर्शाती है। अंतिम मान शेषफल है।
अतः,भागफल $q(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ है और शेषफल $r(x) = 0$ है।

(N/A) संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करके $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x + 3$ को $x - 2$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. $p(x)$ के गुणांक $1, -4, 5, 3$ हैं।
$2$. भाजक $x - 2$ है,इसलिए हम संश्लेषित विभाजन के लिए $x = 2$ का उपयोग करेंगे।
$3$. संश्लेषित विभाजन तालिका तैयार करें:
$2 | 1, -4, 5, 3$
| $2$,-$4$,$2$
-----------------
| $1$,-$2$,$1$,$5$
$4$. भागफल के गुणांक $1, -2, 1$ प्राप्त होते हैं,जो बहुपद $x^{2} - 2x + 1$ के संगत हैं।
$5$. अंतिम मान शेषफल है,जो $5$ है।
अतः,भागफल $x^{2} - 2x + 1$ है और शेषफल $5$ है।

(A) संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करके $p(t) = 2t^2 + 3t + 1$ को $t + 2$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. भाजक $t + 2 = 0$ का शून्य ज्ञात कीजिए,जो $t = -2$ है।
$2$. भाज्य $p(t) = 2t^2 + 3t + 1$ के गुणांक लिखिए,जो $2, 3, 1$ हैं।
$3$. संश्लेषित विभाजन कीजिए:
- पहले गुणांक को नीचे उतारें: $2$।
- इसे शून्य से गुणा करें: $2 \times (-2) = -4$।
- इसे अगले गुणांक में जोड़ें: $3 + (-4) = -1$।
- इसे शून्य से गुणा करें: $(-1) \times (-2) = 2$।
- इसे अगले गुणांक में जोड़ें: $1 + 2 = 3$।
$4$. परिणामी गुणांक $2$ और $-1$ हैं,जो भागफल $2t - 1$ को दर्शाते हैं।
$5$. अंतिम मान $3$ शेषफल है।
भागफल बहुपद: $2t - 1$;
शेषफल बहुपद: $3$.

(A) दिया गया बहुपद: $p(x) = 2x^3 + 11x^2 - 7x - 6$.
चरण $1$: जाँचें कि क्या $-6, -\frac{1}{2}, 1$ शून्यक हैं।
$p(-6) = 2(-6)^3 + 11(-6)^2 - 7(-6) - 6 = 2(-216) + 11(36) + 42 - 6 = -432 + 396 + 42 - 6 = 0$.
$p(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) + 11(\frac{1}{4}) - 7(-\frac{1}{2}) - 6 = -\frac{1}{4} + \frac{11}{4} + \frac{7}{2} - 6 = \frac{10}{4} + \frac{14}{4} - 6 = 6 - 6 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + 11(1)^2 - 7(1) - 6 = 2 + 11 - 7 - 6 = 0$.
अतः,$-6, -\frac{1}{2}, 1$ शून्यक हैं।
चरण $2$: संबंध की जाँच करें।
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -6 - \frac{1}{2} + 1 = -5.5 = -\frac{11}{2} = -\frac{x^2 \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों के गुणनफलों का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (-6)(-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})(1) + (1)(-6) = 3 - 0.5 - 6 = -3.5 = -\frac{7}{2} = \frac{x \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = (-6)(-\frac{1}{2})(1) = 3 = -\frac{-6}{2} = -\frac{\text{अचर पद}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$.

(D) यह दिया गया है कि $-2$ बहुपद $p(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ का एक शून्यक है,जिसका अर्थ है कि $(x + 2)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
शेष शून्यक ज्ञात करने के लिए,बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करके $p(x)$ को $(x + 2)$ से विभाजित करें:
$(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \div (x + 2) = x^2 + 4x + 3$.
अब,द्विघात बहुपद $x^2 + 4x + 3$ का गुणनखंड करें:
$x^2 + 3x + x + 3 = x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 1)(x + 3)$.
इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर $x + 1 = 0$ और $x + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $x = -1$ और $x = -3$ मिलता है।
अतः,शेष शून्यक $-1$ और $-3$ हैं।

(B) चूंकि $\sqrt{2}$ और $-\sqrt{2}$ बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं,इसलिए $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = x^{2} - 2$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$p(x) = 2x^{4} + 7x^{3} - 19x^{2} - 14x + 30$ को $(x^{2} - 2)$ से भाग देने पर,हमें भागफल $2x^{2} + 7x - 15$ प्राप्त होता है।
अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $2x^{2} + 7x - 15 = 0$ को हल करते हैं।
$2x^{2} + 10x - 3x - 15 = 0$
$2x(x + 5) - 3(x + 5) = 0$
$(2x - 3)(x + 5) = 0$
अतः,$x = \frac{3}{2}$ और $x = -5$ अन्य शून्यक हैं।

(C) द्विघात बहुपद $p(x) = ax^{2} + bx + c$ के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $p(x) = ax^{2} - 6x - 6$ में,गुणांक $A = a$,$B = -6$ और $C = -6$ हैं।
शून्यकों का गुणनफल $4$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{C}{A} = 4$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{-6}{a} = 4$ प्राप्त होता है।
$a$ के लिए हल करने पर: $4a = -6$,जिसका अर्थ है कि $a = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ है।
अतः,$a$ का सही मान $-\frac{3}{2}$ है।

(D) द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^2 - 10x + 3$ में,$a = 3$,$b = -10$ और $c = 3$ है।
माना शून्यक $\alpha = \frac{1}{3}$ और $\beta$ दूसरा शून्यक है।
शून्यकों के गुणनफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{3} \cdot \beta = \frac{3}{3} = 1$।
$\beta$ के लिए हल करने पर: $\beta = 1 \cdot 3 = 3$।
अतः,दूसरा शून्यक $3$ है।

(A) बहुपद $p(x) = \sqrt{3}x - 3$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$\sqrt{3}x - 3 = 0$
$\sqrt{3}x = 3$
$x = \frac{3}{\sqrt{3}}$
चूंकि $3 = \sqrt{3} \times \sqrt{3}$,इसलिए:
$x = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$x = \sqrt{3}$
अतः,बहुपद का शून्यक $\sqrt{3}$ है।

(B) $ax^{2}+bx+c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योगफल ज्ञात करने का सूत्र $-\frac{b}{a}$ है।
यहाँ,$a = 1$,$b = 7$ और $c = 12$ है।
अतः,शून्यकों का योगफल $= -\frac{7}{1} = -7$ होगा।

(D) $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ के रूप वाले त्रिघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल $-\frac{d}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $x^{3}+4x^{2}+x-6$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=1$,$b=4$,$c=1$ और $d=-6$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
शून्यकों का गुणनफल $= -\frac{-6}{1} = 6$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ रूप के त्रिघात बहुपद के लिए,इसके शून्यकों का गुणनफल $-\frac{d}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $kx^{3}-6x^{2}+11x-6$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=k$,$b=-6$,$c=11$,और $d=-6$ प्राप्त होता है।
शून्यकों का गुणनफल $4$ दिया गया है।
अतः,$-\frac{-6}{k} = 4$.
$\frac{6}{k} = 4$.
$4k = 6$.
$k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

(B) द्विघात बहुपद का मानक रूप $p(x) = ax^{2} + bx + c$ होता है।
यहाँ $a = 1$,$b = -2\sqrt{3}$ और $c = 2$ दिया गया है।
इन मानों को मानक रूप में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = (1)x^{2} + (-2\sqrt{3})x + 2$
$p(x) = x^{2} - 2\sqrt{3}x + 2$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} - 3x^{2} - x + 3$ और भाजक $(x - 1)$ है,इसलिए $a = 1$ है।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,$p(1)$ का मान निकालें:
$p(1) = (1)^{3} - 3(1)^{2} - (1) + 3$
$p(1) = 1 - 3(1) - 1 + 3$
$p(1) = 1 - 3 - 1 + 3$
$p(1) = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(D) बहुपद $p(x) = x^{3} - 4x$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{3} - 4x = 0$
व्यंजक से $x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x(x^{2} - 4) = 0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करके,हम $x^{2} - 4$ को $(x - 2)(x + 2)$ के रूप में लिख सकते हैं:
$x(x - 2)(x + 2) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 0$,$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$,और $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$।
अतः,शून्यक $0, 2, -2$ हैं,जिन्हें $0, \pm 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) बहुपद का वर्गीकरण उसकी घात के आधार पर किया जाता है,जो व्यंजक में उपस्थित चर $x$ की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ में,$x$ की उच्चतम घात $2$ है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ एक द्विघात बहुपद है।

(A) $x = 1$ पर बहुपद $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $1$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(1) = 3(1)^2 + 7(1) + 4$
$p(1) = 3(1) + 7 + 4$
$p(1) = 3 + 7 + 4$
$p(1) = 14$
अतः,$x = 1$ पर बहुपद का मान $14$ है।

(C) एक द्विघात बहुपद $2$ घात वाला बहुपद होता है। बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ मूल या शून्यक होते हैं। अतः,एक द्विघात बहुपद $(n=2)$ के अधिकतम $2$ शून्यक होते हैं।

(D) एक चर $x$ में द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के रूप का एक बीजीय व्यंजक है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं $(a, b, c \in R)$ और $x^2$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए $(a \neq 0)$।
यदि हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं,तो यह एक द्विघात समीकरण $(ax^2 + bx + c = 0)$ बन जाता है।
चूँकि प्रश्न में द्विघात बहुपद का मानक रूप पूछा गया है,इसलिए सही व्यंजक $a \neq 0$ की शर्त के साथ $ax^2 + bx + c$ है।

(C) बहुपद $p(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ का मान $x = 1$ पर ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $1$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(1) = 4(1)^3 + 3(1)^2 + 2(1) + 1$
$p(1) = 4(1) + 3(1) + 2 + 1$
$p(1) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$
अतः,$x = 1$ पर बहुपद का मान $10$ है।

(D) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिया गया बहुपद $p(x) = 3x - x^4 + x^2 + 2x^3 + 7$ है।
पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,हमें $p(x) = -x^4 + 2x^3 + x^2 + 3x + 7$ प्राप्त होता है।
यहाँ $x$ की घातें $4, 3, 2, 1$ और $0$ (अचर पद के लिए) हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $4$ है।
अतः,बहुपद की घात $4$ है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = 7 - 5x^4 - 2x^3 - x^2$ है।
पद $-5x^4$ में,चर भाग $x^4$ है और संख्यात्मक गुणांक $-5$ है।
अतः,रेखांकित पद $-5x^4$ का गुणांक $-5$ है।

(C) बहुपद $p(x) = 2x^{4} - 3x^{3} + 7x + 5$ का $x = -2$ पर मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $-2$ प्रतिस्थापित करेंगे:
$p(-2) = 2(-2)^{4} - 3(-2)^{3} + 7(-2) + 5$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$2(-2)^{4} = 2(16) = 32$
$-3(-2)^{3} = -3(-8) = 24$
$7(-2) = -14$
इन मानों को जोड़ने पर:
$p(-2) = 32 + 24 - 14 + 5 = 47$
अतः,$x = -2$ पर बहुपद का मान $47$ है।

(B) $p(-1)$ ज्ञात करने के लिए,दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^3 + 2x^2 + 7x + 8$ में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर।
$p(-1) = 3(-1)^3 + 2(-1)^2 + 7(-1) + 8$
$p(-1) = 3(-1) + 2(1) - 7 + 8$
$p(-1) = -3 + 2 - 7 + 8$
$p(-1) = -1 + 1 = 0$
अतः,$p(-1)$ का मान $0$ है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{2} - 2x - 3$ है।
$p(3)$ का मान ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(3) = (3)^{2} - 2(3) - 3$
$p(3) = 9 - 6 - 3$
$p(3) = 3 - 3$
$p(3) = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) बहुपद $p(x) = 3x - 6$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
व्यंजक को शून्य के बराबर रखने पर: $3x - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $6$ जोड़ने पर: $3x = 6$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर: $x = 6 / 3 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,बहुपद का शून्यक $2$ है।

(D) बहुपद $p(x) = x^{2} + 4x + 3$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} + 4x + 3 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड करते हैं:
$x^{2} + 3x + x + 3 = 0$
$x(x + 3) + 1(x + 3) = 0$
$(x + 3)(x + 1) = 0$
अतः,$x + 3 = 0$ या $x + 1 = 0$।
इससे हमें $x = -3$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,शून्यक $-1$ और $-3$ हैं।

(A) बहुपद $p(x) = 2 + x - x^{2}$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$2 + x - x^{2} = 0$
पदों को मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$-x^{2} + x + 2 = 0$
सरल बनाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$x^{2} - x - 2 = 0$
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें:
$x^{2} - 2x + x - 2 = 0$
$x(x - 2) + 1(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
अतः,शून्यक $-1$ और $2$ हैं।

(B) बहुपद $p(x) = x^{2} + 6x + 9$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} + 6x + 9 = 0$
यह $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ के रूप का एक द्विघात व्यंजक है।
यहाँ,$a = x$ और $b = 3$ है,इसलिए $x^{2} + 2(x)(3) + 3^{2} = (x + 3)^{2}$ होगा।
अतः,$(x + 3)^{2} = 0$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x = -3$।

(A) बहुपद $p(x) = -x^2 + 2x - 1$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$-x^2 + 2x - 1 = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए इसे $-1$ से गुणा करने पर:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
यह $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ के रूप का एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है,जहाँ $a = x$ और $b = 1$ है।
$(x - 1)^2 = 0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
अतः,बहुपद का शून्यक $1$ है।

(A) द्विघात बहुपद $p(x) = 3x^2 + 5x - 8$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3x^2 + 5x - 8 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके हम इस द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं। हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $3 \times (-8) = -24$ हो और जिनका योग $5$ हो। ये संख्याएँ $8$ और $-3$ हैं।
$3x^2 - 3x + 8x - 8 = 0$
$3x(x - 1) + 8(x - 1) = 0$
$(3x + 8)(x - 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x + 8 = 0 \implies x = -\frac{8}{3}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
अतः,शून्यक $-\frac{8}{3}$ और $1$ हैं।

(A) बहुपद $p(x) = x^{2} - 9$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} - 9 = 0$
$x^{2} = 9$
$x = \pm \sqrt{9}$
$x = 3$ या $x = -3$।
चूँकि $x$ के दो अलग-अलग मान प्राप्त होते हैं जिनके लिए बहुपद का मान शून्य होता है,इसलिए शून्यकों की संख्या $2$ है।

(C) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिए गए रैखिक बहुपद $p(x) = ax + b$ के लिए,हम $ax + b = 0$ रखते हैं।
दोनों पक्षों से $b$ घटाने पर,हमें $ax = -b$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित करने पर (जहाँ $a \neq 0$),हमें $x = -\frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
अतः,बहुपद का शून्यक $-\frac{b}{a}$ है।

(D) $ax^{2} + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग ज्ञात करने का सूत्र $-\frac{b}{a}$ है।
दिए गए बहुपद $p(x) = x^{2} + 3x + 2$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 3$ और $c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यकों का योग $= -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$ होगा।

(B) $p(x) = ax^{2} + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$p(x) = x^{2} + 5x + 6$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 5$ और $c = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यकों का गुणनफल $= \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$ है।

(C) $ax^2 + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग ज्ञात करने का सूत्र $-\frac{b}{a}$ है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ में,गुणांक $a = 3$,$b = 7$ और $c = 4$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
शून्यकों का योग = $-\frac{b}{a} = -\frac{7}{3}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) $ax^2 + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ में,गुणांक $a = 3$,$b = 7$ और $c = 4$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
शून्यकों का गुणनफल = $\frac{c}{a} = \frac{4}{3}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) $ax^2 + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग ज्ञात करने का सूत्र $-\frac{b}{a}$ है।
$p(x) = 4x^2 + 12x + 5$ की तुलना $ax^2 + bx + c$ से करने पर,हमें $a = 4$,$b = 12$ और $c = 5$ प्राप्त होता है।
शून्यकों का योग = $-\frac{b}{a} = -\frac{12}{4} = -3$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $p(x) = ax^{2} + bx + c$ रूप के द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{शून्यकों का गुणनफल} = c/a$ है।
$p(x) = 4x^{2} + 12x + 5$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 4$,$b = 12$ और $c = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यकों का गुणनफल $c/a = 5/4$ है।

(C) एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं,उसका सूत्र है: $p(x) = k[x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha\beta)]$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दिया गया है कि शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = -7$ और शून्यकों का गुणनफल $(\alpha\beta) = 12$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = x^2 - (-7)x + (12)$
$p(x) = x^2 + 7x + 12$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $p(x) = k[x^{2} - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})]$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर स्थिरांक है।
यहाँ दिया गया है कि शून्यकों का योग $2$ है और शून्यकों का गुणनफल $3$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p(x) = k[x^{2} - 2x + 3]$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,यदि हम $k = 4$ लेते हैं,तो बहुपद $p(x) = 4(x^{2} - 2x + 3)$ हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) द्विघात बहुपद का सूत्र $p(x) = k[x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})]$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि शून्यकों का योग $-3$ है और शून्यकों का गुणनफल $-4$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = k[x^2 - (-3)x + (-4)]$
$p(x) = k[x^2 + 3x - 4]$
अतः,सही द्विघात बहुपद $p(x) = k(x^2 + 3x - 4)$ है।

(D) द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $p(x) = ax^2 + bx + c$ होता है।
यहाँ दिए गए मान $a = 6$,$b = 11$ और $c = 4$ हैं।
इन मानों को सामान्य रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p(x) = (6)x^2 + (11)x + (4)$
$p(x) = 6x^2 + 11x + 4$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) जब बहुपद $p(x) = x^{2} + 6x + 10$ को $x + 2$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) का उपयोग करते हैं।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 2$ है,जिसे $x - (-2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,$a = -2$ है।
अब,हम $p(-2)$ की गणना करते हैं:
$p(-2) = (-2)^{2} + 6(-2) + 10$
$p(-2) = 4 - 12 + 10$
$p(-2) = 14 - 12$
$p(-2) = 2$
अतः,शेषफल $2$ है।