Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomial Questions in Hindi

(B) माना कि दो बहुपद $P(x)$ और $Q(x)$ हैं।
दिया गया है कि $P(x) \cdot Q(x) = x^{2}+8x+15$ है।
हमें एक बहुपद $P(x) = x+3$ दिया गया है।
दूसरा बहुपद $Q(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम गुणनफल को दिए गए बहुपद से विभाजित करेंगे:
$Q(x) = \frac{x^{2}+8x+15}{x+3}$।
हम द्विघात बहुपद $x^{2}+8x+15$ का गुणनखंड कर सकते हैं:
$x^{2}+5x+3x+15 = x(x+5)+3(x+5) = (x+3)(x+5)$।
इस मान को भाग में रखने पर:
$Q(x) = \frac{(x+3)(x+5)}{x+3} = x+5$।
अतः,दूसरा बहुपद $x+5$ है।

(C) दिया गया है कि $1$ बहुपद $p(x) = ax^2 - 11x + 3$ का एक शून्यक है।
अतः,$p(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a(1)^2 - 11(1) + 3 = 0$
$a - 11 + 3 = 0$
$a - 8 = 0$
$a = 8$.

(C) दिया गया है कि $3$ बहुपद $p(x) = 3x^{3} - x^{2} - ax - 45$ का एक शून्यक है,इसका अर्थ है कि $p(3) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(3)^{3} - (3)^{2} - a(3) - 45 = 0$
$3(27) - 9 - 3a - 45 = 0$
$81 - 9 - 3a - 45 = 0$
$27 - 3a = 0$
$3a = 27$
$a = 9$

(A) जब $2x^3 - x^2 - 2x - 8$ को $x - 2$ से विभाजित किया जाता है,तो भागफल ज्ञात करने के लिए हम संश्लेषित विभाजन (synthetic division) का उपयोग कर सकते हैं:
$\begin{array}{c|rrrr} 2 & 2 & -1 & -2 & -8 \\ & 0 & 4 & 6 & 8 \\ \hline & 2 & 3 & 4 & 0 \end{array}$
भागफल बहुपद के गुणांक $2, 3, 4$ हैं।
अतः,भागफल बहुपद $2x^2 + 3x + 4$ है और शेषफल $0$ है।

(B) बहुपद एक ऐसा व्यंजक है जिसमें चर और गुणांक होते हैं,जहाँ चर के घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
त्रिघात बहुपद वह बहुपद है जिसकी घात $3$ होती है,अर्थात चर $x$ की उच्चतम घात $3$ है।
विकल्प $A$ में,$\sqrt{x}$ का अर्थ $x^{1/2}$ है,जो पूर्णांक नहीं है।
विकल्प $B$ में,$p(x) = 2 - 3x - x^3$ है। यहाँ $x$ की उच्चतम घात $3$ है और सभी घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। अतः,यह एक त्रिघात बहुपद है।
विकल्प $C$ में,$\sqrt{x^3} = x^{3/2}$ है,जो पूर्णांक नहीं है।
विकल्प $D$ में,घातांक $1/3$ पूर्णांक नहीं है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-a)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होता है।
यहाँ,दिया गया गुणनखंड $(x-1)$ है,इसलिए $p(1) = 0$ होना चाहिए।
आइए प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:
$A) p(1) = (1)^{2} + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. चूँकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$B) p(1) = (1)^{2} + 4(1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 \neq 0$.
$C) p(1) = (1)^{2} + 5(1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 \neq 0$.
$D) p(1) = (1)^{2} + (1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4 \neq 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) बहुपद $p(x) = 4x^3 - x$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$4x^3 - x = 0$
व्यंजक से $x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x(4x^2 - 1) = 0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करके,हम $4x^2 - 1$ का गुणनखंड $(2x - 1)(2x + 1)$ के रूप में कर सकते हैं:
$x(2x - 1)(2x + 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 0$,$2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$,और $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$.
अतः,शून्यक $0, 1/2, -1/2$ हैं।
कुल $3$ शून्यक हैं।

(C) बहुपद $p(x) = x^{2} - 2x - 15$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} - 2x - 15 = 0$
हमें द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने के लिए मध्य पद को विभाजित करना होगा। हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $-15$ और योग $-2$ हो।
ये संख्याएँ $-5$ और $3$ हैं।
$x^{2} - 5x + 3x - 15 = 0$
$x(x - 5) + 3(x - 5) = 0$
$(x - 5)(x + 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
अतः,बहुपद के शून्यक $5$ और $-3$ हैं।

(A) शून्यकों $\alpha$ और $\beta$ वाले द्विघात बहुपद का सूत्र है: $p(x) = k[x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta)]$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दिए गए शून्यक $\alpha = -3$ और $\beta = 4$ हैं।
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = -3 + 4 = 1$.
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (-3) \times 4 = -12$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर ($k=1$ लेने पर): $p(x) = x^{2} - (1)x + (-12) = x^{2} - x - 12$.
अतः,सही बहुपद $p(x) = x^{2} - x - 12$ है।

(B) दिया गया द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2} - 3x + 2$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$b = -3$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -(\frac{-3}{1}) = 3$ होता है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$ होता है।
हमें $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध इस प्रकार हैं:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
अब,हमें $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
हर का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$
संबंधों से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{c/a}{-d/a} = \frac{c}{a} \times \left(-\frac{a}{d}\right) = -\frac{c}{d}.$

(B) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,जहाँ $a, b, c, d$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है।
माना बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$.
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$.
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$.
यहाँ,$b$ का मान $x^2$ का गुणांक है और $a$ का मान $x^3$ का गुणांक है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{x^2 \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$.

(C) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,शून्यकों $\alpha, \beta, \gamma$ और गुणांकों के बीच संबंध विएटा के सूत्रों द्वारा दिया जाता है:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{x^2 \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = -\frac{\text{अचर पद}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
अतः,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$।

(D) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,जहाँ $a \neq 0$,मान लीजिए शून्यक $\alpha, \beta,$ और $\gamma$ हैं।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{x^2 \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = -\frac{\text{अचर पद}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
चूंकि दिए गए विकल्पों में $-\frac{d}{a}$ शामिल नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध विएटा के सूत्रों द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
शून्यकों का योग निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{x^2 \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
दिए गए बहुपद के गुणांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,जहाँ $a, b, c, d$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$,मान लीजिए कि इसके शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
अतः,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$ का मान $\frac{c}{a}$ है।

(B) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए जिसके शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं:
$1$. शून्यकों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ होता है।
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ होता है।
$3$. शून्यकों का गुणनफल $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$ होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ के रूप वाले त्रिघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग $\alpha + \beta + \gamma$ ज्ञात करने का सूत्र $-\frac{b}{a}$ है।
दिए गए बहुपद $p(x) = x^{3} - 6x^{2} - 7x$ में गुणांक $a = 1$,$b = -6$,$c = -7$ और $d = 0$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{-6}{1} = 6$.

(A) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ के लिए,गुणांकों और शून्यकों $\alpha, \beta, \gamma$ के बीच का संबंध विएटा के सूत्रों द्वारा दिया जाता है।
विशेष रूप से,दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $p(x) = x^{3} + x^{2} - 17x + 15$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 1$,$c = -17$ और $d = 15$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{-17}{1} = -17$.

(B) बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ शून्यक हो सकते हैं।
यहाँ बहुपद की घात $k+1$ दी गई है,इसलिए इसके शून्यकों की अधिकतम संख्या इसकी घात के बराबर होगी।
अतः,शून्यकों की अधिकतम संख्या $k+1$ है।

(C) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,शून्यकों $\alpha, \beta, \gamma$ और गुणांकों के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}$
$\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$
हमें व्यंजक $\alpha^2 \beta \gamma + \alpha \beta^2 \gamma + \alpha \beta \gamma^2$ का मान ज्ञात करना है।
उभयनिष्ठ पद $\alpha \beta \gamma$ को बाहर निकालने पर:
$= \alpha \beta \gamma (\alpha + \beta + \gamma)$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= (-\frac{d}{a}) \times (-\frac{b}{a})$
$= \frac{bd}{a^2}$

(C) दी गई बहुपद $p(x) = 3x^2 - x - 4$ की तुलना $ax^2 + bx + c$ से करने पर,$a = 3$,$b = -1$ और $c = -4$ प्राप्त होता है।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$ है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$ है।
हमें $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha \beta$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta(\alpha + \beta)$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\left(-\frac{4}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।

(A) जब बहुपद $p(x) = x^{3}+2x^{2}+3x+5$ को $x+1$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हैं।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x+1$ है,जिसे $x-(-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$a = -1$ है।
अब,हम $p(-1)$ की गणना करते हैं:
$p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} + 3(-1) + 5$
$p(-1) = -1 + 2(1) - 3 + 5$
$p(-1) = -1 + 2 - 3 + 5$
$p(-1) = 3$
अतः,प्राप्त शेषफल $3$ है।

(C) बहुपद की घात व्यंजक में मौजूद चर की उच्चतम घात होती है।
विकल्प $A$ के लिए: $x^{3} + x^{2}$,घात $3$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $5x + x^{2}$,घात $2$ है।
विकल्प $C$ के लिए: $x^{3}(x^{2} + 1) = x^{5} + x^{3}$,घात $5$ है।
विकल्प $D$ के लिए: $x(x^{5} - 2) = x^{6} - 2x$,घात $6$ है।
अतः,$5$ घात वाला बहुपद $x^{3}(x^{2} + 1)$ है।

(B) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 2$ है,जिसे $x - (-2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,$a = -2$ है।
अब,बहुपद $p(x) = 40x^2 + 11x - 63$ में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2) = 40(-2)^2 + 11(-2) - 63$
$p(-2) = 40(4) - 22 - 63$
$p(-2) = 160 - 22 - 63$
$p(-2) = 160 - 85$
$p(-2) = 75$
अतः,शेषफल $75$ है।

(C) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $P(x)$ के लिए $P(a) = 0$ है,तो $(x - a)$ बहुपद $P(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ दिया गया है कि $P(-7) = 0$,इसलिए प्रमेय में $a = -7$ रखने पर।
अतः,$(x - (-7))$ बहुपद $P(x)$ का एक गुणनखंड होगा।
इस प्रकार,$(x + 7)$ बहुपद $P(x)$ का एक गुणनखंड है।

(B) माना कि त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के शून्यक $\alpha, \beta,$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है: $\alpha = \sqrt{5}$,$\beta = -\sqrt{5}$,और हमें $\gamma$ ज्ञात करना है।
त्रिघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,शून्यकों का योग इस प्रकार है:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
बहुपद $p(x) = x^3 + x^2 - 5x - 5$ से,हमें $a = 1$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$\sqrt{5} + (-\sqrt{5}) + \gamma = -\frac{1}{1}$
$0 + \gamma = -1$
$\gamma = -1$
अतः,तीसरा शून्यक $-1$ है।

(A) दिया गया बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है,जिसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$
हमें $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \cdot \beta}$.
मान रखने पर: $\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = -\frac{b}{c}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) द्विघात बहुपद $p(x) = x^2 + 4x - 5$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $-5$ हो और जिनका योग $4$ हो।
ये दो संख्याएँ $5$ और $-1$ हैं,क्योंकि $5 \times (-1) = -5$ और $5 + (-1) = 4$ होता है।
अब,मध्य पद $4x$ को $5x - x$ के रूप में लिखने पर:
$p(x) = x^2 + 5x - x - 5$
पदों को समूह में व्यवस्थित करने पर:
$p(x) = (x^2 + 5x) - (x + 5)$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$p(x) = x(x + 5) - 1(x + 5)$
अंत में,$(x + 5)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$p(x) = (x + 5)(x - 1)$.

(D) $ax^2 + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योगफल $\alpha + \beta$ सूत्र $\alpha + \beta = -b/a$ द्वारा दिया जाता है।
बहुपद $p(x) = x^2 - 4x + 3$ की तुलना $ax^2 + bx + c$ से करने पर,हमें $a = 1$,$b = -4$ और $c = 3$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\alpha + \beta = -(-4)/1 = 4/1 = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $4$ एक धन पूर्णांक है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के लिए,शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ और शून्यकों का गुणनफल $\alpha\beta = c/a$ होता है।
दिए गए बहुपद $P(x) = x^2 - 3x + 2k$ में,$a = 1$,$b = -3$,और $c = 2k$ है।
अतः,$\alpha + \beta = -(-3)/1 = 3$ और $\alpha\beta = 2k/1 = 2k$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,$\alpha + \beta = \alpha\beta$ है।
मान रखने पर,$3 = 2k$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 3/2$ है।

(B) बहुपद $p(x) = \sqrt{5}x - 5$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
अतः,$\sqrt{5}x - 5 = 0$।
दोनों पक्षों में $5$ जोड़ने पर,हमें $\sqrt{5}x = 5$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{5}$ से भाग देने पर,$x = \frac{5}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
हर का परिमेयकरण करने पर,$x = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$।
अतः,बहुपद का शून्यक $\sqrt{5}$ है।

(D) $ax^{2}+bx+c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $x^{2}-4x+3$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c$ से करने पर,हमें $a=1$,$b=-4$ और $c=3$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यकों का गुणनफल = $\frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(A) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,गुणांकों और शून्यकों $(\alpha, \beta, \gamma)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
अतः,शून्यकों का गुणनफल $-\frac{d}{a}$ है।

(C) बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर के घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
विकल्प $A$,$4x^2 + \sqrt{7}$ में,$x$ का घातांक $2$ है,जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।
विकल्प $B$,$3x^2 + x - 1$ में,$x$ के घातांक $2$ और $1$ हैं,जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।
विकल्प $C$,$3x^2 - 5\sqrt{x} + 2$ में,पद $\sqrt{x}$ को $x^{1/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि $1/2$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए यह व्यंजक बहुपद नहीं है।
विकल्प $D$,$3x - 1$ में,$x$ का घातांक $1$ है,जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।
अतः,$3x^2 - 5\sqrt{x} + 2$ बहुपद नहीं है।

(B) माना बहुपद $p(x) = x^{2} + 7x + m$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+4)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-4) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-4)^{2} + 7(-4) + m = 0$
$16 - 28 + m = 0$
$-12 + m = 0$
$m = 12$.
अतः,$m$ का मान $12$ है।