Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomial Questions in Gujarati

(A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2$.
$ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = 1, c = -5, d = 2$ મળે છે.
શૂન્યો સાબિત કરવા માટે,કિંમતો $p(x)$ માં મૂકતા:
$p(1/2) = 2(1/8) + (1/4) - 5(1/2) + 2 = 1/4 + 1/4 - 5/2 + 2 = 1/2 - 2.5 + 2 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$.
$p(-2) = 2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0$.
$p(1/2) = 0, p(1) = 0, p(-2) = 0$ હોવાથી,આ શૂન્યો છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો: $1/2 + 1 + (-2) = -1/2$. સૂત્ર: $-b/a = -1/2$. (ચકાસાયેલ)
બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $(1/2)(1) + (1)(-2) + (-2)(1/2) = 1/2 - 2 - 1 = -2.5 = -5/2$. સૂત્ર: $c/a = -5/2$. (ચકાસાયેલ)
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $(1/2)(1)(-2) = -1$. સૂત્ર: $-d/a = -2/2 = -1$. (ચકાસાયેલ)

(A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = 2x^3 - 5x^2 - 14x + 8$.
$ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = -5, c = -14, d = 8$ મળે છે.
પગલું $1$: શૂન્યો ચકાસો.
$p(-2) = 2(-2)^3 - 5(-2)^2 - 14(-2) + 8 = 2(-8) - 5(4) + 28 + 8 = -16 - 20 + 28 + 8 = 0$.
$p(4) = 2(4)^3 - 5(4)^2 - 14(4) + 8 = 2(64) - 5(16) - 56 + 8 = 128 - 80 - 56 + 8 = 0$.
$p(1/2) = 2(1/8) - 5(1/4) - 14(1/2) + 8 = 1/4 - 5/4 - 7 + 8 = -4/4 + 1 = -1 + 1 = 0$.
આમ,$-2, 4, 1/2$ એ શૂન્યો છે.
પગલું $2$: સંબંધો ચકાસો.
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -2 + 4 + 0.5 = 2.5 = 5/2 = -b/a$.
બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (-2)(4) + (4)(0.5) + (0.5)(-2) = -8 + 2 - 1 = -7 = -14/2 = c/a$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = (-2)(4)(0.5) = -4 = -8/2 = -d/a$.
બધા સંબંધો ચકાસાયેલ છે.

(A) પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $p(x) = ax^{2} + bx + c$ છે.
અહીં આપેલા સહગુણકો $a=6$,$b=-7$,અને $c=-3$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા,
બહુપદી $6x^{2} + (-7)x + (-3)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $6x^{2} - 7x - 3$ થાય છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદીનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $p(x) = ax^{2} + bx + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ સહગુણકો $a=1$,$b=-10$,અને $c=25$ છે.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$p(x) = (1)x^{2} + (-10)x + 25$
$p(x) = x^{2} - 10x + 25$.

(N/A) ત્રિઘાત બહુપદીનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલા સહગુણકો $a=2, b=3, c=-5$ અને $d=0$ છે.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P(x) = 2x^3 + 3x^2 + (-5)x + 0$.
તેથી,જરૂરી બહુપદી $2x^3 + 3x^2 - 5x$ છે.

(C) આપેલ છે કે $1$ અને $3$ એ $p(x)$ ના શૂન્યો છે,તેથી $(x - 1)$ અને $(x - 3)$ એ $p(x)$ ના અવયવો છે.
તેથી,$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$p(x) = 2x^4 - 7x^3 - 13x^2 + 63x - 45$ ને $(x^2 - 4x + 3)$ વડે ભાગતા:
$2x^4 - 7x^3 - 13x^2 + 63x - 45 = (x^2 - 4x + 3)(2x^2 + x - 15)$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $2x^2 + x - 15$ ના અવયવો પાડતા:
$2x^2 + 6x - 5x - 15 = 2x(x + 3) - 5(x + 3) = (2x - 5)(x + 3)$.
આ અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x = -3$ અને $x = \frac{5}{2}$ મળે છે.
આમ,બાકીના શૂન્યો $-3$ અને $\frac{5}{2}$ છે.

(N/A) સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(x) = x^{4} - 1$ ને $x - 1$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. ભાજ્ય બહુપદી $p(x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો,જેમાં ખૂટતા પદોના સહગુણકો $0$ લો: $p(x) = 1x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x - 1$.
$2$. ભાજક $x - 1$ છે,તેથી $x - 1 = 0$ લેતા $x = 1$ મળે. સંશ્લેષિત ભાગાકાર માટે $1$ નો ઉપયોગ કરો.
$3$. સંશ્લેષિત ભાગાકારનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
$\begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$
$4$. છેલ્લી હાર ભાગફળના સહગુણકો અને શેષ દર્શાવે છે. છેલ્લી કિંમત એ શેષ છે.
આમ,ભાગફળ $q(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ અને શેષ $r(x) = 0$ મળે છે.

(N/A) સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x + 3$ ને $x - 2$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. $p(x)$ ના સહગુણકો $1, -4, 5, 3$ છે.
$2$. ભાજક $x - 2$ હોવાથી,આપણે સંશ્લેષિત ભાગાકાર માટે $x = 2$ લઈશું.
$3$. સંશ્લેષિત ભાગાકારનું કોષ્ટક તૈયાર કરો:
$2 | 1, -4, 5, 3$
| $2$,-$4$,$2$
-----------------
| $1$,-$2$,$1$,$5$
$4$. ભાગફળના સહગુણકો $1, -2, 1$ મળે છે,જે બહુપદી $x^{2} - 2x + 1$ દર્શાવે છે.
$5$. છેલ્લી કિંમત શેષ છે,જે $5$ છે.
આમ,ભાગફળ $x^{2} - 2x + 1$ અને શેષ $5$ છે.

(A) સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(t) = 2t^2 + 3t + 1$ ને $t + 2$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. ભાજક $t + 2 = 0$ નું શૂન્ય શોધો,જે $t = -2$ છે.
$2$. ભાજ્ય $p(t) = 2t^2 + 3t + 1$ ના સહગુણકો લખો,જે $2, 3, 1$ છે.
$3$. સંશ્લેષિત ભાગાકાર કરો:
- પ્રથમ સહગુણક નીચે ઉતારો: $2$.
- તેને શૂન્ય સાથે ગુણો: $2 \times (-2) = -4$.
- તેને પછીના સહગુણકમાં ઉમેરો: $3 + (-4) = -1$.
- તેને શૂન્ય સાથે ગુણો: $(-1) \times (-2) = 2$.
- તેને પછીના સહગુણકમાં ઉમેરો: $1 + 2 = 3$.
$4$. પરિણામી સહગુણકો $2$ અને $-1$ છે,જે ભાગફળ $2t - 1$ દર્શાવે છે.
$5$. અંતિમ કિંમત $3$ એ શેષ છે.
ભાગફળ બહુપદી: $2t - 1$;
શેષ બહુપદી: $3$.

(A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = 2x^3 + 11x^2 - 7x - 6$.
પગલું $1$: ચકાસો કે $-6, -\frac{1}{2}, 1$ શૂન્યો છે કે નહીં.
$p(-6) = 2(-6)^3 + 11(-6)^2 - 7(-6) - 6 = 2(-216) + 11(36) + 42 - 6 = -432 + 396 + 42 - 6 = 0$.
$p(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) + 11(\frac{1}{4}) - 7(-\frac{1}{2}) - 6 = -\frac{1}{4} + \frac{11}{4} + \frac{7}{2} - 6 = \frac{10}{4} + \frac{14}{4} - 6 = 6 - 6 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + 11(1)^2 - 7(1) - 6 = 2 + 11 - 7 - 6 = 0$.
આમ,$-6, -\frac{1}{2}, 1$ એ શૂન્યો છે.
પગલું $2$: સંબંધ ચકાસો.
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -6 - \frac{1}{2} + 1 = -5.5 = -\frac{11}{2} = -\frac{x^2 \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$.
બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (-6)(-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})(1) + (1)(-6) = 3 - 0.5 - 6 = -3.5 = -\frac{7}{2} = \frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = (-6)(-\frac{1}{2})(1) = 3 = -\frac{-6}{2} = -\frac{\text{અચળ પદ}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$.

(D) આપેલ છે કે $-2$ એ $p(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ નું એક શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે $(x + 2)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે,બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(x)$ ને $(x + 2)$ વડે ભાગો:
$(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \div (x + 2) = x^2 + 4x + 3$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $x^2 + 4x + 3$ ના અવયવો પાડો:
$x^2 + 3x + x + 3 = x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 1)(x + 3)$.
આ અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા $x + 1 = 0$ અને $x + 3 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = -1$ અને $x = -3$.
આમ,બાકીના શૂન્યો $-1$ અને $-3$ છે.

(B) કારણ કે $\sqrt{2}$ અને $-\sqrt{2}$ એ $p(x)$ ના શૂન્યો છે,તેથી $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = x^{2} - 2$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$p(x) = 2x^{4} + 7x^{3} - 19x^{2} - 14x + 30$ ને $(x^{2} - 2)$ વડે ભાગતા,આપણને ભાગફળ $2x^{2} + 7x - 15$ મળે છે.
અન્ય શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $2x^{2} + 7x - 15 = 0$ ઉકેલીએ.
$2x^{2} + 10x - 3x - 15 = 0$
$2x(x + 5) - 3(x + 5) = 0$
$(2x - 3)(x + 5) = 0$
આમ,$x = \frac{3}{2}$ અને $x = -5$ એ અન્ય શૂન્યો છે.

(C) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^{2} + bx + c$ માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = ax^{2} - 6x - 6$ માં,સહગુણકો $A = a$,$B = -6$ અને $C = -6$ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $4$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{C}{A} = 4$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{-6}{a} = 4$ મળે છે.
$a$ માટે ઉકેલતા: $4a = -6$,જેનો અર્થ છે કે $a = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
આમ,$a$ ની સાચી કિંમત $-\frac{3}{2}$ છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^2 - 10x + 3$ માં,$a = 3$,$b = -10$ અને $c = 3$ છે.
ધારો કે શૂન્યો $\alpha = \frac{1}{3}$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યોના ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{3} \cdot \beta = \frac{3}{3} = 1$.
$\beta$ માટે ઉકેલતા: $\beta = 1 \cdot 3 = 3$.
તેથી,બીજું શૂન્ય $3$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = \sqrt{3}x - 3$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$\sqrt{3}x - 3 = 0$
$\sqrt{3}x = 3$
$x = \frac{3}{\sqrt{3}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $3 = \sqrt{3} \times \sqrt{3}$,તેથી:
$x = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$x = \sqrt{3}$
આમ,બહુપદીનું શૂન્ય $\sqrt{3}$ છે.

(B) $ax^{2}+bx+c$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $-\frac{b}{a}$ છે.
અહીં,$a = 1$,$b = 7$ અને $c = 12$ છે.
તેથી,શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{7}{1} = -7$ થાય.

(D) $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ સ્વરૂપની ત્રિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $-\frac{d}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $x^{3}+4x^{2}+x-6$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=4$,$c=1$ અને $d=-6$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= -\frac{-6}{1} = 6$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ સ્વરૂપની ત્રિઘાત બહુપદી માટે,તેના શૂન્યોનો ગુણાકાર $-\frac{d}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $kx^{3}-6x^{2}+11x-6$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=k$,$b=-6$,$c=11$,અને $d=-6$ મળે છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $4$ આપેલ છે.
તેથી,$-\frac{-6}{k} = 4$.
$\frac{6}{k} = 4$.
$4k = 6$.
$k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

(B) દ્વિઘાત બહુપદીનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $p(x) = ax^{2} + bx + c$ છે.
અહીં $a = 1$,$b = -2\sqrt{3}$ અને $c = 2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$p(x) = (1)x^{2} + (-2\sqrt{3})x + 2$
$p(x) = x^{2} - 2\sqrt{3}x + 2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$p(x) = x^{3} - 3x^{2} - x + 3$ અને ભાજક $(x - 1)$ છે,તેથી $a = 1$ થશે.
શેષ શોધવા માટે,$p(1)$ ની કિંમત શોધો:
$p(1) = (1)^{3} - 3(1)^{2} - (1) + 3$
$p(1) = 1 - 3(1) - 1 + 3$
$p(1) = 1 - 3 - 1 + 3$
$p(1) = 0$.
તેથી,શેષ $0$ મળે છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^{3} - 4x$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{3} - 4x = 0$
પદાવલિમાંથી $x$ સામાન્ય લેતા:
$x(x^{2} - 4) = 0$
તફાવતના વર્ગના સૂત્ર $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x^{2} - 4$ ને $(x - 2)(x + 2)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$x(x - 2)(x + 2) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x = 0$,$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$,અને $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
આમ,શૂન્યો $0, 2, -2$ છે,જેને $0, \pm 2$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેની ઘાતને આધારે કરવામાં આવે છે,જે પદાવલિમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ માં,$x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(A) $x = 1$ આગળ બહુપદી $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $1$ મૂકીશું.
$p(1) = 3(1)^2 + 7(1) + 4$
$p(1) = 3(1) + 7 + 4$
$p(1) = 3 + 7 + 4$
$p(1) = 14$
આમ,$x = 1$ આગળ બહુપદીની કિંમત $14$ છે.

(C) દ્વિઘાત બહુપદી એ $2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદી છે. બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$n$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ બીજ અથવા શૂન્યો હોય છે. તેથી,દ્વિઘાત બહુપદી $(n=2)$ ને વધુમાં વધુ $2$ શૂન્યો હોય છે.

(D) એક ચલ $x$ માં દ્વિઘાત બહુપદી એ $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની બીજગણિતીય પદાવલિ છે,જ્યાં $a, b,$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે $(a, b, c \in R)$ અને $x^2$ નો સહગુણક શૂન્યતર હોવો જોઈએ $(a \neq 0)$.
જો આપણે બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ,તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ $(ax^2 + bx + c = 0)$ બને છે.
પ્રશ્નમાં દ્વિઘાત બહુપદીનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,સાચું સ્વરૂપ $a \neq 0$ ની શરત સાથે $ax^2 + bx + c$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ ની કિંમત $x = 1$ આગળ શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $1$ મૂકીશું.
$p(1) = 4(1)^3 + 3(1)^2 + 2(1) + 1$
$p(1) = 4(1) + 3(1) + 2 + 1$
$p(1) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$
આમ,$x = 1$ આગળ બહુપદીની કિંમત $10$ છે.

(D) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x - x^4 + x^2 + 2x^3 + 7$ છે.
પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને $p(x) = -x^4 + 2x^3 + x^2 + 3x + 7$ મળે છે.
અહીં $x$ ની ઘાત $4, 3, 2, 1$ અને $0$ (અચળ પદ માટે) છે.
આ ઘાતોમાં સૌથી મોટી ઘાત $4$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $4$ છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = 7 - 5x^4 - 2x^3 - x^2$ છે.
પદ $-5x^4$ માં,ચલ ભાગ $x^4$ છે અને સંખ્યાત્મક સહગુણક $-5$ છે.
તેથી,રેખાંકિત પદ $-5x^4$ નો સહગુણક $-5$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = 2x^{4} - 3x^{3} + 7x + 5$ ની $x = -2$ આગળ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $-2$ મૂકીશું:
$p(-2) = 2(-2)^{4} - 3(-2)^{3} + 7(-2) + 5$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$2(-2)^{4} = 2(16) = 32$
$-3(-2)^{3} = -3(-8) = 24$
$7(-2) = -14$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$p(-2) = 32 + 24 - 14 + 5 = 47$
તેથી,$x = -2$ આગળ બહુપદીની કિંમત $47$ છે.

(B) $p(-1)$ શોધવા માટે,આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^3 + 2x^2 + 7x + 8$ માં $x = -1$ મૂકતા.
$p(-1) = 3(-1)^3 + 2(-1)^2 + 7(-1) + 8$
$p(-1) = 3(-1) + 2(1) - 7 + 8$
$p(-1) = -3 + 2 - 7 + 8$
$p(-1) = -1 + 1 = 0$
આમ,$p(-1)$ ની કિંમત $0$ છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} - 2x - 3$ છે.
$p(3)$ ની કિંમત શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 3$ મૂકતા:
$p(3) = (3)^{2} - 2(3) - 3$
$p(3) = 9 - 6 - 3$
$p(3) = 3 - 3$
$p(3) = 0$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = 3x - 6$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
પદાવલિને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $3x - 6 = 0$.
બંને બાજુ $6$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે: $3x = 6$.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $x = 6 / 3 = 2$.
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $2$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^{2} + 4x + 3$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} + 4x + 3 = 0$
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડીએ:
$x^{2} + 3x + x + 3 = 0$
$x(x + 3) + 1(x + 3) = 0$
$(x + 3)(x + 1) = 0$
તેથી,$x + 3 = 0$ અથવા $x + 1 = 0$.
આથી $x = -3$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
આમ,શૂન્યો $-1$ અને $-3$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = 2 + x - x^{2}$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$2 + x - x^{2} = 0$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$-x^{2} + x + 2 = 0$
સરળ બનાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા:
$x^{2} - x - 2 = 0$
હવે,મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડો:
$x^{2} - 2x + x - 2 = 0$
$x(x - 2) + 1(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
આમ,શૂન્યો $-1$ અને $2$ છે.

(B) બહુપદી $p(x) = x^{2} + 6x + 9$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} + 6x + 9 = 0$
આ $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી છે.
અહીં,$a = x$ અને $b = 3$ છે,તેથી $x^{2} + 2(x)(3) + 3^{2} = (x + 3)^{2}$ થાય.
આમ,$(x + 3)^{2} = 0$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $x + 3 = 0$ મળે છે.
તેથી,$x = -3$.

(A) બહુપદી $p(x) = -x^2 + 2x - 1$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$-x^2 + 2x - 1 = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે તેને $-1$ વડે ગુણતા:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
આ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ સ્વરૂપની પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે,જ્યાં $a = x$ અને $b = 1$ છે.
$(x - 1)^2 = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $1$ છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = 3x^2 + 5x - 8$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3x^2 + 5x - 8 = 0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને આપણે આ દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું. આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $3 \times (-8) = -24$ થાય અને જેનો સરવાળો $5$ થાય. આ સંખ્યાઓ $8$ અને $-3$ છે.
$3x^2 - 3x + 8x - 8 = 0$
$3x(x - 1) + 8(x - 1) = 0$
$(3x + 8)(x - 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x + 8 = 0 \implies x = -\frac{8}{3}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
આમ,શૂન્યો $-\frac{8}{3}$ અને $1$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 9$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} - 9 = 0$
$x^{2} = 9$
$x = \pm \sqrt{9}$
$x = 3$ અથવા $x = -3$.
અહીં $x$ ની બે અલગ કિંમતો મળે છે જેના માટે બહુપદીનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે,તેથી શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ સુરેખ બહુપદી $p(x) = ax + b$ માટે,આપણે $ax + b = 0$ લઈએ.
બંને બાજુથી $b$ બાદ કરતા,આપણને $ax = -b$ મળે છે.
બંને બાજુને $a$ વડે ભાગતા (જ્યાં $a \neq 0$),આપણને $x = -\frac{b}{a}$ મળે છે.
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $-\frac{b}{a}$ છે.

(D) $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $-\frac{b}{a}$ છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} + 3x + 2$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 3$ અને $c = 2$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$ થાય.

(B) $p(x) = ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$p(x) = x^{2} + 5x + 6$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 5$ અને $c = 6$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$ થાય.

(C) $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $-\frac{b}{a}$ છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ માં,સહગુણકો $a = 3$,$b = 7$ અને $c = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
શૂન્યોનો સરવાળો = $-\frac{b}{a} = -\frac{7}{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર શોધવાનું સૂત્ર $\frac{c}{a}$ છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ માં,સહગુણકો $a = 3$,$b = 7$ અને $c = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
શૂન્યોનો ગુણાકાર = $\frac{c}{a} = \frac{4}{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $-\frac{b}{a}$ છે.
$p(x) = 4x^2 + 12x + 5$ ને $ax^2 + bx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$b = 12$ અને $c = 5$ મળે છે.
શૂન્યોનો સરવાળો = $-\frac{b}{a} = -\frac{12}{4} = -3$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $p(x) = ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર શોધવાનું સૂત્ર $\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર} = c/a$ છે.
$p(x) = 4x^{2} + 12x + 5$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$b = 12$ અને $c = 5$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર $c/a = 5/4$ થાય છે.

(C) જે દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તે બહુપદીનું સૂત્ર: $p(x) = k[x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha\beta)]$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે શૂન્યોનો સરવાળો $(\alpha + \beta) = -7$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $(\alpha\beta) = 12$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p(x) = x^2 - (-7)x + (12)$
$p(x) = x^2 + 7x + 12$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ $p(x) = k[x^{2} - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર})]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે શૂન્યોનો સરવાળો $2$ છે અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $3$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $p(x) = k[x^{2} - 2x + 3]$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જો આપણે $k = 4$ લઈએ,તો બહુપદી $p(x) = 4(x^{2} - 2x + 3)$ બને છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $p(x) = k[x^2 - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર})]$ છે.
અહીં આપેલ છે કે શૂન્યોનો સરવાળો $-3$ છે અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $-4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p(x) = k[x^2 - (-3)x + (-4)]$
$p(x) = k[x^2 + 3x - 4]$
તેથી,સાચી દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = k(x^2 + 3x - 4)$ છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદીનું વ્યાપક સ્વરૂપ $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો $a = 6$,$b = 11$ અને $c = 4$ છે.
આ કિંમતોને વ્યાપક સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$p(x) = (6)x^2 + (11)x + (4)$
$p(x) = 6x^2 + 11x + 4$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જ્યારે બહુપદી $p(x) = x^{2} + 6x + 10$ ને $x + 2$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 2$ છે,જેને $x - (-2)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$a = -2$.
હવે,આપણે $p(-2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-2) = (-2)^{2} + 6(-2) + 10$
$p(-2) = 4 - 12 + 10$
$p(-2) = 14 - 12$
$p(-2) = 2$
આમ,શેષ $2$ મળે છે.