Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomial Questions in Gujarati

(B) ધારો કે બે બહુપદીઓ $P(x)$ અને $Q(x)$ છે.
આપેલ છે કે $P(x) \cdot Q(x) = x^{2}+8x+15$.
આપણને એક બહુપદી $P(x) = x+3$ આપેલી છે.
બીજી બહુપદી $Q(x)$ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારને આપેલી બહુપદી વડે ભાગીશું:
$Q(x) = \frac{x^{2}+8x+15}{x+3}$.
આપણે દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}+8x+15$ ના અવયવો પાડી શકીએ છીએ:
$x^{2}+5x+3x+15 = x(x+5)+3(x+5) = (x+3)(x+5)$.
આ કિંમત ભાગાકારમાં મૂકતા:
$Q(x) = \frac{(x+3)(x+5)}{x+3} = x+5$.
તેથી,બીજી બહુપદી $x+5$ છે.

(C) આપેલ છે કે $1$ એ બહુપદી $p(x) = ax^2 - 11x + 3$ નું શૂન્ય છે.
તેથી,$p(1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$a(1)^2 - 11(1) + 3 = 0$
$a - 11 + 3 = 0$
$a - 8 = 0$
$a = 8$.

(C) આપેલ છે કે $3$ એ બહુપદી $p(x) = 3x^{3} - x^{2} - ax - 45$ નું શૂન્ય છે,તેથી $p(3) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 3$ મૂકતા:
$3(3)^{3} - (3)^{2} - a(3) - 45 = 0$
$3(27) - 9 - 3a - 45 = 0$
$81 - 9 - 3a - 45 = 0$
$27 - 3a = 0$
$3a = 27$
$a = 9$

(A) જ્યારે $2x^3 - x^2 - 2x - 8$ ને $x - 2$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે ભાગફળ શોધવા માટે,આપણે સંશ્લેષિત ભાગાકાર (synthetic division) નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$\begin{array}{c|rrrr} 2 & 2 & -1 & -2 & -8 \\ & 0 & 4 & 6 & 8 \\ \hline & 2 & 3 & 4 & 0 \end{array}$
ભાગફળ બહુપદીના સહગુણકો $2, 3, 4$ છે.
તેથી,ભાગફળ બહુપદી $2x^2 + 3x + 4$ છે અને શેષ $0$ છે.

(B) બહુપદી એ ચલ અને સહગુણકો ધરાવતી પદાવલિ છે,જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
ત્રિઘાત બહુપદી એટલે એવી બહુપદી જેની મહત્તમ ઘાત $3$ હોય.
વિકલ્પ $A$ માં,$\sqrt{x}$ એટલે $x^{1/2}$ થાય,જે પૂર્ણાંક નથી.
વિકલ્પ $B$ માં,$p(x) = 2 - 3x - x^3$ છે. અહીં $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે અને બધા ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક છે. તેથી,આ એક ત્રિઘાત બહુપદી છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$\sqrt{x^3} = x^{3/2}$ થાય,જે પૂર્ણાંક નથી.
વિકલ્પ $D$ માં,ઘાતાંક $1/3$ એ પૂર્ણાંક નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-a)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
અહીં,આપેલ અવયવ $(x-1)$ છે,તેથી $p(1) = 0$ થવું જોઈએ.
ચાલો દરેક વિકલ્પ તપાસીએ:
$A) p(1) = (1)^{2} + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. કારણ કે $p(1) = 0$ છે,તેથી $(x-1)$ એ અવયવ છે.
$B) p(1) = (1)^{2} + 4(1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 \neq 0$.
$C) p(1) = (1)^{2} + 5(1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 \neq 0$.
$D) p(1) = (1)^{2} + (1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4 \neq 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = 4x^3 - x$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$4x^3 - x = 0$
પદાવલિમાંથી $x$ સામાન્ય લેતા:
$x(4x^2 - 1) = 0$
તફાવતની રીત $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $4x^2 - 1$ ને $(2x - 1)(2x + 1)$ તરીકે અવયવ પાડી શકીએ છીએ:
$x(2x - 1)(2x + 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x = 0$,$2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$,અને $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$.
આમ,શૂન્યો $0, 1/2, -1/2$ છે.
કુલ $3$ શૂન્યો છે.

(C) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 2x - 15$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} - 2x - 15 = 0$
આપણે દ્વિઘાત સમીકરણના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવો પાડીશું. આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $-15$ અને સરવાળો $-2$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $-5$ અને $3$ છે.
$x^{2} - 5x + 3x - 15 = 0$
$x(x - 5) + 3(x - 5) = 0$
$(x - 5)(x + 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
તેથી,બહુપદીના શૂન્યો $5$ અને $-3$ છે.

(A) શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર: $p(x) = k[x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta)]$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
અહીં આપેલ શૂન્યો $\alpha = -3$ અને $\beta = 4$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -3 + 4 = 1$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (-3) \times 4 = -12$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા ($k=1$ લેતા): $p(x) = x^{2} - (1)x + (-12) = x^{2} - x - 12$.
તેથી,સાચી બહુપદી $p(x) = x^{2} - x - 12$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2} - 3x + 2$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = -3$,અને $c = 2$ મળે છે.
દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -(\frac{-3}{1}) = 3$ થાય.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$ થાય.
આપણે $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લસાઅ લેતા,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{3}{2}$ થાય.

(B) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધો નીચે મુજબ છે:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
હવે,આપણે $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ લેતા:
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$
સંબંધો પરથી કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{c/a}{-d/a} = \frac{c}{a} \times \left(-\frac{a}{d}\right) = -\frac{c}{d}.$

(B) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,જ્યાં $a, b, c, d$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$.
ધારો કે બહુપદીના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
બહુપદીના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$.
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$.
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$.
અહીં,$b$ એ $x^2$ નો સહગુણક છે અને $a$ એ $x^3$ નો સહગુણક છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{x^2 \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$.

(C) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,તેના શૂન્યો $\alpha, \beta, \gamma$ અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{x^2 \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = -\frac{\text{અચળ પદ}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
તેથી,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$.

(D) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,જ્યાં $a \neq 0$,ધારો કે શૂન્યો $\alpha, \beta,$ અને $\gamma$ છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{x^2 \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = -\frac{\text{અચળ પદ}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
આપેલા વિકલ્પોમાં $-\frac{d}{a}$ નો સમાવેશ થતો ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ વિએટાના સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{x^2 \text{ નો સહગુણક}}{x^3 \text{ નો સહગુણક}}$
આપેલ બહુપદીના સહગુણકો મૂકતા:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,જ્યાં $a, b, c, d$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$,ધારો કે તેના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
બહુપદીના સહગુણકો અને શૂન્યો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
તેથી,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$ ની કિંમત $\frac{c}{a}$ થાય છે.

(B) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે જેના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ થાય.
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ થાય.
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ સ્વરૂપની ત્રિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma$ શોધવાનું સૂત્ર $-\frac{b}{a}$ છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3} - 6x^{2} - 7x$ માં સહગુણકો $a = 1$,$b = -6$,$c = -7$ અને $d = 0$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{-6}{1} = 6$.

(A) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ માટે,સહગુણકો અને શૂન્યો $\alpha, \beta, \gamma$ વચ્ચેનો સંબંધ વિએટાના સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખાસ કરીને,બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3} + x^{2} - 17x + 15$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 1$,$c = -17$ અને $d = 15$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{-17}{1} = -17$.

(B) બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$n$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ શૂન્યો હોય છે.
અહીં બહુપદીની ઘાત $k+1$ આપેલી છે,તેથી તેના શૂન્યોની મહત્તમ સંખ્યા તેની ઘાત જેટલી જ હોય.
આથી,શૂન્યોની મહત્તમ સંખ્યા $k+1$ છે.

(C) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,શૂન્યો $\alpha, \beta, \gamma$ અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}$
$\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$
આપણે પદાવલિ $\alpha^2 \beta \gamma + \alpha \beta^2 \gamma + \alpha \beta \gamma^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સામાન્ય પદ $\alpha \beta \gamma$ ને સામાન્ય લેતા:
$= \alpha \beta \gamma (\alpha + \beta + \gamma)$
હવે જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$= (-\frac{d}{a}) \times (-\frac{b}{a})$
$= \frac{bd}{a^2}$

(C) આપેલ બહુપદી $p(x) = 3x^2 - x - 4$ ને $ax^2 + bx + c$ સાથે સરખાવતા,$a = 3$,$b = -1$ અને $c = -4$ મળે છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$ થાય.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$ થાય.
આપણે $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha \beta$ સામાન્ય લેતા,$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta(\alpha + \beta)$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\left(-\frac{4}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{4}{9}$ મળે.

(A) જ્યારે બહુપદી $p(x) = x^{3}+2x^{2}+3x+5$ ને $x+1$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે આપણે શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x-a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x+1$ છે,જેને $x-(-1)$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$a = -1$.
હવે,આપણે $p(-1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} + 3(-1) + 5$
$p(-1) = -1 + 2(1) - 3 + 5$
$p(-1) = -1 + 2 - 3 + 5$
$p(-1) = 3$
તેથી,મળતી શેષ $3$ છે.

(C) બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x^{3} + x^{2}$,ઘાત $3$ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $5x + x^{2}$,ઘાત $2$ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^{3}(x^{2} + 1) = x^{5} + x^{3}$,ઘાત $5$ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $x(x^{5} - 2) = x^{6} - 2x$,ઘાત $6$ છે.
તેથી,$5$ ઘાત ધરાવતી બહુપદી $x^{3}(x^{2} + 1)$ છે.

(B) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 2$ છે,જેને $x - (-2)$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$a = -2$ થશે.
હવે,બહુપદી $p(x) = 40x^2 + 11x - 63$ માં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = 40(-2)^2 + 11(-2) - 63$
$p(-2) = 40(4) - 22 - 63$
$p(-2) = 160 - 22 - 63$
$p(-2) = 160 - 85$
$p(-2) = 75$
આમ,મળતી શેષ $75$ છે.

(C) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $P(x)$ માટે $P(a) = 0$ હોય,તો $(x - a)$ એ $P(x)$ નો એક અવયવ છે.
અહીં આપેલ છે કે $P(-7) = 0$,તેથી પ્રમેયમાં $a = -7$ લેતા.
તેથી,$(x - (-7))$ એ $P(x)$ નો એક અવયવ થાય.
આમ,$(x + 7)$ એ $P(x)$ નો એક અવયવ છે.

(B) ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ના શૂન્યો $\alpha, \beta,$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે: $\alpha = \sqrt{5}$,$\beta = -\sqrt{5}$,અને આપણે $\gamma$ શોધવાનું છે.
ત્રિઘાત બહુપદીના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,શૂન્યોનો સરવાળો નીચે મુજબ છે:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
બહુપદી $p(x) = x^3 + x^2 - 5x - 5$ પરથી,આપણને $a = 1$ અને $b = 1$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{5} + (-\sqrt{5}) + \gamma = -\frac{1}{1}$
$0 + \gamma = -1$
$\gamma = -1$
આમ,ત્રીજું શૂન્ય $-1$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે,જેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$
આપણે $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લસાઅ લેતા: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \cdot \beta}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = -\frac{b}{c}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^2 + 4x - 5$ ના અવયવો પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડે જેનો ગુણાકાર $-5$ થાય અને જેનો સરવાળો $4$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $5$ અને $-1$ છે,કારણ કે $5 \times (-1) = -5$ અને $5 + (-1) = 4$.
હવે,મધ્યમ પદ $4x$ ને $5x - x$ તરીકે લખતા:
$p(x) = x^2 + 5x - x - 5$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$p(x) = (x^2 + 5x) - (x + 5)$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$p(x) = x(x + 5) - 1(x + 5)$
અંતે,$(x + 5)$ ને સામાન્ય લેતા:
$p(x) = (x + 5)(x - 1)$.

(D) $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta$ એ સૂત્ર $\alpha + \beta = -b/a$ દ્વારા મળે છે.
બહુપદી $p(x) = x^2 - 4x + 3$ ને $ax^2 + bx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = -4$ અને $c = 3$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\alpha + \beta = -(-4)/1 = 4/1 = 4$.
અહીં $4$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $ax^2 + bx + c$ માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha\beta = c/a$ થાય છે.
આપેલ બહુપદી $P(x) = x^2 - 3x + 2k$ માં,$a = 1$,$b = -3$,અને $c = 2k$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -(-3)/1 = 3$ અને $\alpha\beta = 2k/1 = 2k$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\alpha + \beta = \alpha\beta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$3 = 2k$ મળે.
આમ,$k = 3/2$ થાય.

(B) બહુપદી $p(x) = \sqrt{5}x - 5$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$\sqrt{5}x - 5 = 0$.
બંને બાજુ $5$ ઉમેરતા,આપણને $\sqrt{5}x = 5$ મળે છે.
બંને બાજુ $\sqrt{5}$ વડે ભાગતા,$x = \frac{5}{\sqrt{5}}$ મળે છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$x = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$.
આમ,બહુપદીનું શૂન્ય $\sqrt{5}$ છે.

(D) $ax^{2}+bx+c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $x^{2}-4x+3$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-4$ અને $c=3$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર = $\frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,સહગુણકો અને શૂન્યો $(\alpha, \beta, \gamma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
તેથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર $-\frac{d}{a}$ થાય છે.

(C) બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
વિકલ્પ $A$,$4x^2 + \sqrt{7}$ માં,$x$ નો ઘાતાંક $2$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
વિકલ્પ $B$,$3x^2 + x - 1$ માં,$x$ ના ઘાતાંક $2$ અને $1$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
વિકલ્પ $C$,$3x^2 - 5\sqrt{x} + 2$ માં,પદ $\sqrt{x}$ ને $x^{1/2}$ તરીકે લખી શકાય છે. $1/2$ એ પૂર્ણાંક ન હોવાથી,આ પદાવલિ બહુપદી નથી.
વિકલ્પ $D$,$3x - 1$ માં,$x$ નો ઘાતાંક $1$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$3x^2 - 5\sqrt{x} + 2$ એ બહુપદી નથી.

(B) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{2} + 7x + m$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+4)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-4) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -4$ મૂકતા:
$(-4)^{2} + 7(-4) + m = 0$
$16 - 28 + m = 0$
$-12 + m = 0$
$m = 12$.
આમ,$m$ ની કિંમત $12$ છે.