Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomial Questions in Gujarati

(7, -5) આપેલ છે કે $2+\sqrt{3}$ અને $2-\sqrt{3}$ એ આપેલ બહુપદીના શૂન્યો છે.
તેથી,$(x-(2+\sqrt{3}))(x-(2-\sqrt{3})) = ((x-2)-\sqrt{3})((x-2)+\sqrt{3}) = (x-2)^{2} - (\sqrt{3})^{2} = x^{2}-4x+4-3 = x^{2}-4x+1$ એ આપેલ બહુપદીનો એક અવયવ છે.
બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે બહુપદી $x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35$ ને $x^{2}-4 x+1$ વડે ભાગીશું:
$x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35 = (x^{2}-4 x+1)(x^{2}-2 x-35)$
હવે,આપણે દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-2 x-35$ ના અવયવો પાડીશું:
$x^{2}-2 x-35 = x^{2}-7x+5x-35 = x(x-7)+5(x-7) = (x-7)(x+5)$
આ અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x-7=0$ અથવા $x+5=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=7$ અથવા $x=-5$.
આમ,બાકીના બે શૂન્યો $7$ અને $-5$ છે.

(D) આપેલ છે કે $(x+1)$ એ $f(x) = 2x^{3} + ax^{2} + 2bx + 1$ નો અવયવ છે,તેથી અવયવ પ્રમેય મુજબ $f(-1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$2(-1)^{3} + a(-1)^{2} + 2b(-1) + 1 = 0$
$-2 + a - 2b + 1 = 0$
$a - 2b = 1$ ... $(i)$
આપણને બીજું સમીકરણ $2a - 3b = 4$ ... $(ii)$ આપેલ છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$a = 2b + 1$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$2(2b + 1) - 3b = 4$
$4b + 2 - 3b = 4$
$b + 2 = 4$
$b = 2$
હવે,$b = 2$ ની કિંમત $a = 2b + 1$ માં મૂકતા:
$a = 2(2) + 1 = 5$.
આમ,$a$ અને $b$ ની જરૂરી કિંમતો અનુક્રમે $5$ અને $2$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે,શૂન્યોનો સરવાળો $(S) = -\frac{8}{3}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $(P) = \frac{4}{3}$ છે.
દ્વિઘાત બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ છે,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળ છે.
કિંમતો મૂકતા,$f(x) = x^2 - (-\frac{8}{3})x + \frac{4}{3} = x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3}$ મળે.
સરળતા માટે,આપણે બહુપદીને $3x^2 + 8x + 4$ તરીકે લખી શકીએ.
શૂન્યો શોધવા માટે,$3x^2 + 8x + 4$ ના અવયવો પાડીએ:
$3x^2 + 6x + 2x + 4 = 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (3x + 2)(x + 2)$.
$f(x) = 0$ લેતા,$(3x + 2)(x + 2) = 0$ મળે.
તેથી,$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$ અને $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $-2$ અને $-\frac{2}{3}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,શૂન્યોનો સરવાળો $S = \frac{21}{8}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $P = \frac{5}{16}$ છે.
જરૂરી દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે. છેદ દૂર કરવા માટે $k = 16$ લેતા:
$f(x) = 16(x^2 - \frac{21}{8}x + \frac{5}{16}) = 16x^2 - 42x + 5$.
શૂન્યો શોધવા માટે,$f(x) = 0$ લેતા:
$16x^2 - 42x + 5 = 0$.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $16x^2 - 40x - 2x + 5 = 0$.
$8x(2x - 5) - 1(2x - 5) = 0$.
$(8x - 1)(2x - 5) = 0$.
આમ,શૂન્યો $x = \frac{1}{8}$ અને $x = \frac{5}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે,શૂન્યોનો સરવાળો $(S)$ = $-2 \sqrt{3}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $(P)$ = $-9$.
દ્વિઘાત બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ $f(x) = x^{2} - Sx + P$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $f(x) = x^{2} - (-2 \sqrt{3})x + (-9) = x^{2} + 2 \sqrt{3}x - 9$ મળે છે.
અવયવીકરણ દ્વારા શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $2 \sqrt{3}x$ ને $3 \sqrt{3}x - \sqrt{3}x$ માં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$f(x) = x^{2} + 3 \sqrt{3}x - \sqrt{3}x - 9$
$f(x) = x(x + 3 \sqrt{3}) - \sqrt{3}(x + 3 \sqrt{3})$
$f(x) = (x + 3 \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$
$f(x) = 0$ લેતા,આપણને $x + 3 \sqrt{3} = 0$ અથવા $x - \sqrt{3} = 0$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યો $-3 \sqrt{3}$ અને $\sqrt{3}$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે,શૂન્યોનો સરવાળો $(S)$ = $-\frac{3}{2 \sqrt{5}}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $(P)$ = $-\frac{1}{2}$.
દ્વિઘાત બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
કિંમતો મૂકતા,$f(x) = x^2 - (-\frac{3}{2 \sqrt{5}})x + (-\frac{1}{2}) = x^2 + \frac{3}{2 \sqrt{5}}x - \frac{1}{2}$.
સરળ બનાવવા માટે,$2\sqrt{5}$ વડે ગુણતા આપણને $2\sqrt{5}x^2 + 3x - \sqrt{5}$ બહુપદી મળે છે.
હવે,$2\sqrt{5}x^2 + 3x - \sqrt{5}$ ના અવયવો પાડતા:
$= 2\sqrt{5}x^2 + 5x - 2x - \sqrt{5}$
$= \sqrt{5}x(2x + \sqrt{5}) - 1(2x + \sqrt{5})$
$= (2x + \sqrt{5})(\sqrt{5}x - 1)$
$f(x) = 0$ લેતા,$2x + \sqrt{5} = 0$ અથવા $\sqrt{5}x - 1 = 0$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યો $x = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ અને $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{3}-6x^{2}+3x+10$.
આપેલ છે કે $a, (a+b),$ અને $(a+2b)$ એ $f(x)$ ના શૂન્યો છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{x^{2} \text{ નો સહગુણક}}{x^{3} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{-6}{1} = 6$.
તેથી,$a + (a+b) + (a+2b) = 6 \Rightarrow 3a + 3b = 6 \Rightarrow a+b = 2 \Rightarrow b = 2-a \dots (i)$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= -\frac{\text{અચળ પદ}}{x^{3} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{10}{1} = -10$.
તેથી,$a(a+b)(a+2b) = -10$.
$a+b=2$ અને $b=2-a$ મુકતા,આપણને મળે $a(2)(a+2(2-a)) = -10$.
$2a(a+4-2a) = -10 \Rightarrow 2a(4-a) = -10 \Rightarrow 8a - 2a^{2} = -10$.
$2a^{2} - 8a - 10 = 0 \Rightarrow a^{2} - 4a - 5 = 0$.
$(a-5)(a+1) = 0$.
આમ,$a = 5$ અથવા $a = -1$.
જો $a = 5$,તો $b = 2-5 = -3$. શૂન્યો $5, 5-3, 5-6$ એટલે કે $5, 2, -1$ છે.
જો $a = -1$,તો $b = 2-(-1) = 3$. શૂન્યો $-1, -1+3, -1+6$ એટલે કે $-1, 2, 5$ છે.
આમ,કિંમતો $(a=5, b=-3)$ અથવા $(a=-1, b=3)$ છે અને શૂન્યો $-1, 2, 5$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 6x^{3}+\sqrt{2}x^{2}-10x-4\sqrt{2}$.
આપેલ છે કે $\sqrt{2}$ એ $f(x)$ નું એક શૂન્ય છે,તેથી $(x-\sqrt{2})$ એ $f(x)$ નો એક અવયવ છે.
$f(x)$ ને $(x-\sqrt{2})$ વડે ભાગતા:
$6x^{3}+\sqrt{2}x^{2}-10x-4\sqrt{2} = (x-\sqrt{2})(6x^{2}+7\sqrt{2}x+4)$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $6x^{2}+7\sqrt{2}x+4$ ના અવયવો પાડતા:
$6x^{2}+3\sqrt{2}x+4\sqrt{2}x+4 = 3\sqrt{2}x(\sqrt{2}x+1) + 4(\sqrt{2}x+1) = (3\sqrt{2}x+4)(\sqrt{2}x+1)$.
આ અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$\sqrt{2}x+1 = 0 \implies x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$3\sqrt{2}x+4 = 0 \implies x = -\frac{4}{3\sqrt{2}}$.
આમ,બાકીના બે શૂન્યો $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $-\frac{4}{3\sqrt{2}}$ છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = 3.14x^2 + 1.57x + 1$ છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આ પદાવલિમાં $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$p(x)$ એ એક દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = 2012x + 2011$ છે.
આ પદાવલિમાં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ છે.
જે બહુપદીની ઘાત $1$ હોય તેને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$p(x) = 2012x + 2011$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(C) આપેલ બહુપદી $p(x) = 9x^{2} + \frac{7}{2}x^{3} + 5$ છે.
પદોને તેમના ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને $p(x) = \frac{7}{2}x^{3} + 9x^{2} + 5$ મળે છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
અહીં,$x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
બહુપદીની ઘાત $3$ હોવાથી,તેને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} - \sqrt{3}x^{3} + 4x^{7} + 9$ છે.
બહુપદીની ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ પદોને તેમના ઘાતાંકના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીએ:
$p(x) = 4x^{7} - \sqrt{3}x^{3} + x^{2} + 9$.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલનો સૌથી મોટો ઘાતાંક.
આ પદાવલિમાં,$x$ ના ઘાતાંકો $7, 3, 2$ અને $0$ છે (કારણ કે $9 = 9x^{0}$).
સૌથી મોટો ઘાતાંક $7$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $7$ છે.

(C) આપેલ બહુપદી $p(x) = 5x^{100} - (x^{10})^{20} + 3(x^2)^{25} + 2x^{25} - 7$ છે.
પ્રથમ,ઘાતાંકના નિયમ $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ નો ઉપયોગ કરીને પદોનું સાદું રૂપ આપો:
$(x^{10})^{20} = x^{10 \cdot 20} = x^{200}$
$(x^2)^{25} = x^{2 \cdot 25} = x^{50}$
આ કિંમતોને બહુપદીમાં મૂકતા:
$p(x) = 5x^{100} - x^{200} + 3x^{50} + 2x^{25} - 7$
પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$p(x) = -x^{200} + 5x^{100} + 3x^{50} + 2x^{25} - 7$
બહુપદીની ઘાત એટલે ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
અહીં,સૌથી મોટી ઘાત $200$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $200$ છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = \frac{7}{2} x - 9$ છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
પદાવલિ $\frac{7}{2} x - 9$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $1$ છે (કારણ કે $x = x^1$).
તેથી,બહુપદીની ઘાત $1$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = 5x - 2x^2 + 3$ છે.
પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને $p(x) = -2x^2 + 5x + 3$ મળે છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આ બહુપદીમાં,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે (પદ $-2x^2$ માંથી).
તેથી,બહુપદીની ઘાત $2$ છે.

(N/A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-a)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a)=0$ થાય.
અહીં,આપણે તપાસવું છે કે શું $(x+2)$ એ $p(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x+42$ નો અવયવ છે.
$(x+2)$ ને $(x-a)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -2$ મળે છે.
હવે,આપણે $p(-2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-2) = 2(-2)^{3} - 4(-2)^{2} + 5(-2) + 42$
$p(-2) = 2(-8) - 4(4) - 10 + 42$
$p(-2) = -16 - 16 - 10 + 42$
$p(-2) = -42 + 42$
$p(-2) = 0$
કારણ કે $p(-2) = 0$ છે,તેથી અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x+2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.

(D) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 7x^2 - 5x^3 + 3$ માં,$x$ ની ઘાત $2$,$3$ અને $0$ છે (કારણ કે $3 = 3x^0$).
અહીં સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
જે બહુપદીની ઘાત $3$ હોય તેને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બહુપદીનો ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલનો સૌથી મોટો ઘાતાંક.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 7 - 5x$ માં,ચલ $x$ છે અને તેનો મહત્તમ ઘાત $1$ છે.
$1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$p(x) = 7 - 5x$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(B) બહુપદીનો પ્રકાર ઓળખવા માટે,સૌ પ્રથમ આપણે પદાવલિ $p(x) = (x - 15)(x + 15)$ નું સાદું રૂપ આપીશું.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$p(x) = x^2 - 15^2$
$p(x) = x^2 - 225$
આ બહુપદીમાં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
જે બહુપદીની ઘાત $2$ હોય તેને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ બહુપદી $p(x) = \frac{3}{2} - 0.75x - x^{2}$ છે.
બહુપદીનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત જોઈએ છીએ.
અહીં,$x$ ની ઘાત $0$ ($\frac{3}{2}$ માં),$1$ ($-0.75x$ માં),અને $2$ ($-x^{2}$ માં) છે.
બહુપદીની સૌથી મોટી ઘાત (ઘાત) $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = 5x^8 - 6(x^2)^5 - 4x^3 - 14$ ની ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીશું.
ઘાતાંકના નિયમ $(x^a)^b = x^{a \times b}$ નો ઉપયોગ કરીને,$6(x^2)^5$ પદને $6x^{10}$ તરીકે લખી શકાય.
હવે,બહુપદી $p(x) = 5x^8 - 6x^{10} - 4x^3 - 14$ બને છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
$x$ ની ઘાતો $(8, 10, 3)$ ની સરખામણી કરતા,સૌથી મોટી ઘાત $10$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $10$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = (x^{1/2})^{50} - 5x^{10} - 9x^2 + 15$ ની ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીશું.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રથમ પદનું સાદું રૂપ આપીએ:
$(x^{1/2})^{50} = x^{(1/2) \cdot 50} = x^{25}$.
હવે,બહુપદી $p(x) = x^{25} - 5x^{10} - 9x^2 + 15$ બને છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલ $x$ નો સૌથી મોટો ઘાતાંક.
પદો $x^{25}$,$x^{10}$,અને $x^2$ માં $x$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,સૌથી મોટો ઘાતાંક $25$ છે.
તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $25$ છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી: $p(x) = 6 - 5x^3 + 4x^5 - 5x^2$.
અહીં ચલ $x$ ના પદોની ઘાત $0$ ($6$ માં),$3$ ($-5x^3$ માં),$5$ ($4x^5$ માં),અને $2$ ($-5x^2$ માં) છે.
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $5$ છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ની ઘાત $5$ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{3} + 4x^{2} + 8x + a$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-2) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = (-2)^{3} + 4(-2)^{2} + 8(-2) + a = 0$
$-8 + 4(4) - 16 + a = 0$
$-8 + 16 - 16 + a = 0$
$-8 + a = 0$
$a = 8$
આમ,$a$ ની કિંમત $8$ છે.

(TRUE) જો $(x+3)$ એ $p(x) = x^{2}+10x+21$ નો અવયવ હોય,તો અવયવ પ્રમેય મુજબ $p(-3) = 0$ થવું જોઈએ.
અહીં $p(x) = x^{2}+10x+21$ માં $x = -3$ મૂકતા:
$p(-3) = (-3)^{2} + 10(-3) + 21$
$p(-3) = 9 - 30 + 21$
$p(-3) = 30 - 30 = 0$.
અહીં $p(-3) = 0$ મળે છે,તેથી આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(B) બહુપદી $p(x) = x^{3}+5x^{2}-2x-25$ માટે $(x-2)$ અવયવ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો જ $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ કહેવાય.
અહીં,$a = 2$ છે.
બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2)^{3} + 5(2)^{2} - 2(2) - 25$
$p(2) = 8 + 5(4) - 4 - 25$
$p(2) = 8 + 20 - 4 - 25$
$p(2) = 28 - 29$
$p(2) = -1$
અહીં $p(2) \neq 0$ હોવાથી,$(x-2)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) જો $(x+3)$ એ $p(x) = x^{3}+6x^{2}+5x-12$ નો અવયવ હોય,તો અવયવ પ્રમેય મુજબ $p(-3) = 0$ થવું જોઈએ.
અહીં,$x+3 = x-(-3)$ હોવાથી,આપણે $p(-3)$ ની કિંમત શોધીશું.
$p(-3) = (-3)^{3} + 6(-3)^{2} + 5(-3) - 12$
$p(-3) = -27 + 6(9) - 15 - 12$
$p(-3) = -27 + 54 - 15 - 12$
$p(-3) = 54 - 54 = 0$.
અહીં $p(-3) = 0$ હોવાથી,$(x+3)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ છે.
તેથી,આ વિધાન સાચું છે.

(C) બહુપદી $p(x) = 25x^2 - 40x + 16$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે તે નિત્યસમ $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$25x^2 = (5x)^2$,તેથી $a = 5x$.
વળી,$16 = 4^2$,તેથી $b = 4$.
મધ્યમ પદ તપાસતા: $-2ab = -2(5x)(4) = -40x$,જે આપેલી બહુપદી સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$25x^2 - 40x + 16 = (5x)^2 - 2(5x)(4) + 4^2 = (5x - 4)^2$.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 2x$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} - 2x = 0$
પદાવલિમાંથી $x$ સામાન્ય લેતા:
$x(x - 2) = 0$
આનાથી $x$ માટે બે શક્ય કિંમતો મળે છે:
$x = 0$ અથવા $x - 2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $0$ અને $2$ છે.
અહીં બે ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો હોવાથી,વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ ના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે વિવેચક (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 4x^2 + 11x + 10$ માટે,$a = 4$,$b = 11$,અને $c = 10$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (11)^2 - 4(4)(10)$
$D = 121 - 160$
$D = -39$
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $p(x) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,આ બહુપદીના વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^{3} - 9x$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{3} - 9x = 0$
પદમાંથી $x$ સામાન્ય કાઢતા:
$x(x^{2} - 9) = 0$
તફાવતના અવયવના સૂત્ર $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x^{2} - 9$ ને $(x - 3)(x + 3)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$x(x - 3)(x + 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x = 0$,$x - 3 = 0 \implies x = 3$,અને $x + 3 = 0 \implies x = -3$.
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $0, 3, -3$ છે.
અહીં $3$ ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો હોવાથી,વાસ્તવિક શૂન્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(A) $\frac{-2}{3}$ એ બહુપદી $p(x)=3x+2$ નું શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે બહુપદીમાં $x = \frac{-2}{3}$ મૂકીશું.
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = 3\left(\frac{-2}{3}\right) + 2$
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = -2 + 2$
$p\left(\frac{-2}{3}\right) = 0$
અહીં $x = \frac{-2}{3}$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $0$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $\frac{-2}{3}$ એ સુરેખ બહુપદી $p(x)=3x+2$ નું શૂન્ય છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી $p(x) = 10x^2 - 14x - 12$ છે.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે બહુપદીના અવયવો પાડીશું:
$10x^2 - 14x - 12 = 10x^2 - 20x + 6x - 12$
$= 10x(x - 2) + 6(x - 2)$
$= (10x + 6)(x - 2)$
$p(x) = 0$ લેતા,આપણને $(10x + 6)(x - 2) = 0$ મળે છે.
આથી $x = -6/10 = -3/5$ અથવા $x = 2$.
આમ,શૂન્યો $-3/5$ અને $2$ છે.
$ax^2 + bx + c$ માટે શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -b/a = -(-14)/10 = 14/10 = 7/5$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= c/a = -12/10 = -6/5$.

(N/A) $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,$p(x)=0$ લો.
$4 x^{3}+10 x^{2}+6 x=0$
$2 x(2 x^{2}+5 x+3)=0$
$2 x(2 x^{2}+2 x+3 x+3)=0$
$2 x(2 x(x+1)+3(x+1))=0$
$2 x(2 x+3)(x+1)=0$
આમ,શૂન્યો $x=0, x=-\frac{3}{2}, x=-1$ છે.
$p(x)=4 x^{3}+10 x^{2}+6 x+0$ માટે,$a=4, b=10, c=6, d=0$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો: $0 + (-\frac{3}{2}) + (-1) = -\frac{5}{2} = -\frac{10}{4} = -\frac{b}{a}$.
બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $(0)(-\frac{3}{2}) + (-\frac{3}{2})(-1) + (-1)(0) = 0 + \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{c}{a}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $(0)(-\frac{3}{2})(-1) = 0 = -\frac{0}{4} = -\frac{d}{a}$.

(A) $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ.
$\sqrt{3} x^{2} - 8 x + 4 \sqrt{3} = 0$
આપણે મધ્યમ પદ $-8x$ ને $-6x - 2x$ માં વિભાજિત કરીએ છીએ કારણ કે $(\sqrt{3}) \times (4\sqrt{3}) = 12$,અને આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો ગુણાકાર $12$ અને સરવાળો $-8$ થાય.
$\sqrt{3} x^{2} - 6x - 2x + 4 \sqrt{3} = 0$
$\sqrt{3} x(x - 2\sqrt{3}) - 2(x - 2\sqrt{3}) = 0$
$(x - 2\sqrt{3})(\sqrt{3} x - 2) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 2\sqrt{3} = 0 \implies x = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{3} x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{\sqrt{3}}$
આમ,શૂન્યો $\frac{2}{\sqrt{3}}$ અને $2\sqrt{3}$ છે.

(B) $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$4x^2 - 256 = 0$
આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 64 = 0$
આને પૂર્ણવર્ગના તફાવત તરીકે લખી શકાય:
$x^2 - 8^2 = 0$
$(x - 8)(x + 8) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 8 = 0 \implies x = 8$
$x + 8 = 0 \implies x = -8$
આમ,દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યો $-8$ અને $8$ છે.

(C) $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$x^{2} + x - 12 = 0$
મધ્યમ પદના ભાગ પાડીને આપણે દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડીએ છીએ:
$x^{2} + 4x - 3x - 12 = 0$
$x(x + 4) - 3(x + 4) = 0$
$(x + 4)(x - 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 4 = 0 \implies x = -4$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
તેથી,દ્વિઘાત બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યો $-4$ અને $3$ છે.

(D) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3x^2 + 15x = 0$
સામાન્ય પદ $3x$ ને સામાન્ય લેતા:
$3x(x + 5) = 0$
અહીં $3 \neq 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$x(x + 5) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x = 0$ અથવા $x + 5 = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -5$.
આમ,દ્વિઘાત બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યો $0$ અને $-5$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x) = 4x - 12$ માટે $3$ એ શૂન્ય છે તે ચકાસવા માટે,આપણે $x = 3$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય શોધવું પડશે.
આપેલ બહુપદીમાં $x = 3$ મૂકતા:
$p(3) = 4(3) - 12$
$p(3) = 12 - 12$
$p(3) = 0$
અહીં $p(3) = 0$ મળે છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $3$ એ બહુપદી $p(x) = 4x - 12$ નું શૂન્ય છે.

(A) $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $4x^{2} - 4x + 1$ માં,$a = 4$,$b = -4$ અને $c = 1$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{4} = 1$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = \frac{1}{4}$.
આમ,શૂન્યોનો સરવાળો $1$ અને ગુણાકાર $\frac{1}{4}$ છે.

(A) $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી: $6x^{2} - 7x - 3$.
અહીં,$a = 6$,$b = -7$,અને $c = -3$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો = $-\frac{b}{a} = -(\frac{-7}{6}) = \frac{7}{6}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર = $\frac{c}{a} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.
આમ,શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે $\frac{7}{6}$ અને $-\frac{1}{2}$ છે.

(D) $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $3x^2 + x - 4$ માટે,$a = 3$,$b = 1$ અને $c = -4$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{b}{a} = -\frac{1}{3}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$.
આમ,શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે $-\frac{1}{3}$ અને $-\frac{4}{3}$ છે.

(A) $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $x^{2} - 7x + 10$ માટે,$a = 1$,$b = -7$,અને $c = 10$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = 7$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = \frac{10}{1} = 10$.
તેથી,શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે $7$ અને $10$ છે.

(B) $p(x) = 6x^2 - x - 2$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,$p(x) = 0$ લેતા.
$6x^2 - x - 2 = 0$
$6x^2 - 4x + 3x - 2 = 0$
$2x(3x - 2) + 1(3x - 2) = 0$
$(2x + 1)(3x - 2) = 0$
આમ,શૂન્યો $x = -1/2$ અને $x = 2/3$ છે.
ધારો કે $\alpha = 2/3$ અને $\beta = -1/2$.
દ્વિઘાત બહુપદી $ax^2 + bx + c$ માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $-b/a$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $c/a$ થાય છે.
અહીં,$a = 6, b = -1, c = -2$.
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = 2/3 + (-1/2) = (4 - 3)/6 = 1/6$. તેમજ,$-b/a = -(-1)/6 = 1/6$. તેથી,$\alpha + \beta = -b/a$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (2/3) \cdot (-1/2) = -2/6 = -1/3$. તેમજ,$c/a = -2/6 = -1/3$. તેથી,$\alpha \cdot \beta = c/a$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(C) દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $p(x) = k[x^2 - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર})]$ છે,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળ છે.
અહીં શૂન્યોનો સરવાળો $\sqrt{2}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{1}{3}$ આપેલ છે,તેથી:
$p(x) = k[x^2 - (\sqrt{2})x + \frac{1}{3}]$
શરત $a < 0$ હોવાથી,આપણે પદાવલિને $-1$ વડે ગુણીએ છીએ:
$p(x) = k[-x^2 + \sqrt{2}x - \frac{1}{3}]$
આમ,માંગેલ બહુપદી $k(-x^2 + \sqrt{2}x - \frac{1}{3})$ છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = 5x^2 + 8x + 3$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$5x^2 + 8x + 3 = 0$
મધ્યમ પદ $8x$ ને $5x + 3x$ માં વિભાજિત કરતા:
$5x^2 + 5x + 3x + 3 = 0$
સામાન્ય અવયવ કાઢતા:
$5x(x + 1) + 3(x + 1) = 0$
$(5x + 3)(x + 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$5x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{5}$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
આમ,શૂન્યો $-1$ અને $-\frac{3}{5}$ છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = -21x^2 + 16x + 5$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ.
$-21x^2 + 16x + 5 = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે તેને $-1$ વડે ગુણતા:
$21x^2 - 16x - 5 = 0$
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની છે જેનો ગુણાકાર $(21 \times -5) = -105$ થાય અને સરવાળો $-16$ થાય. આ સંખ્યાઓ $-21$ અને $5$ છે.
$21x^2 - 21x + 5x - 5 = 0$
અવયવ પાડતા:
$21x(x - 1) + 5(x - 1) = 0$
$(21x + 5)(x - 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$21x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{21}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
આમ,શૂન્યો $1$ અને $-\frac{5}{21}$ છે.

(B) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = 15x^2 + 16x + 4$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$15x^2 + 16x + 4 = 0$
મધ્યમ પદ $16x$ ને એવા બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ કે જેથી તેમનો સરવાળો $16x$ થાય અને તેમનો ગુણાકાર $15 \times 4 = 60x^2$ થાય. આ અવયવો $10x$ અને $6x$ છે.
$15x^2 + 10x + 6x + 4 = 0$
$5x(3x + 2) + 2(3x + 2) = 0$
$(5x + 2)(3x + 2) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$5x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{5}$
$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$
આમ,શૂન્યો $-\frac{2}{3}$ અને $-\frac{2}{5}$ છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $p(x) = k[x^2 - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર})]$.
આપેલ છે:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \frac{1}{4}$
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= -1$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p(x) = k[x^2 - (\frac{1}{4})x + (-1)]$
$p(x) = k[x^2 - \frac{1}{4}x - 1]$
સરળ બનાવવા માટે,આપણે $k = 4$ લઈ શકીએ છીએ:
$p(x) = 4[x^2 - \frac{1}{4}x - 1] = 4x^2 - x - 4$.
આમ,બહુપદી $k(4x^2 - x - 4)$ છે.

(D) દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $p(x) = k[x^{2} - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર})]$ છે,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક અચળાંક છે.
આપેલ છે કે શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{1}{4}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{1}{4}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p(x) = k[x^{2} - (-\frac{1}{4})x + \frac{1}{4}]$
$p(x) = k[x^{2} + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}]$
સરળ બનાવવા માટે,આપણે $k = 4$ (અથવા $4$ નો કોઈ પણ ગુણક) લઈ શકીએ છીએ:
$p(x) = 4[x^{2} + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}]$
$p(x) = 4x^{2} + x + 1$
આમ,સામાન્ય સ્વરૂપ $k(4x^{2} + x + 1)$ છે.