Theoretical Probability Questions in Hindi

(D) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $n = 52$ है।
तस्वीर वाला पत्ता (picture card) का अर्थ है गुलाम,बेगम या बादशाह। प्रत्येक के $4$ पत्ते होते हैं,इसलिए कुल तस्वीर वाले पत्तों की संख्या $3 \times 4 = 12$ है।
मान लीजिए कि घटना $A$ वह घटना है जिसमें निकाला गया पत्ता तस्वीर वाला पत्ता नहीं है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $m$ कुल पत्तों में से तस्वीर वाले पत्तों को घटाकर प्राप्त की जाती है:
$m = 52 - 12 = 40$.
प्रायिकता $P(A)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{40}{52}$.
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर:
$P(A) = \frac{10}{13}$.

(B) $52$ ताश के पत्तों की एक मानक गड्डी में $4$ प्रकार के सूट होते हैं: पान (Hearts),ईंट (Diamonds),चिड़ी (Clubs) और हुकुम (Spades)।
पान और ईंट लाल रंग के सूट हैं,जबकि चिड़ी और हुकुम काले रंग के सूट हैं।
प्रत्येक सूट में ठीक एक इक्का होता है।
इसलिए,लाल रंग के इक्कों की संख्या $2$ है (एक पान का इक्का और एक ईंट का इक्का)।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $52$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.

(C) एक संतुलित पासे को एक बार फेंकने पर प्राप्त परिणामों की संख्या $6$ है (अर्थात $1, 2, 3, 4, 5, 6$)।
जब पासे को दूसरी बार फेंका जाता है,तो पहली बार के $6$ परिणामों में से प्रत्येक परिणाम दूसरी बार के $6$ परिणामों के साथ जुड़ सकता है।
अतः,एक संतुलित पासे को दो बार फेंकने के प्रयोग में कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।

(D) जब एक संतुलित पांसा फेंका जाता है,तो संभावित परिणाम ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ होते हैं,जिसका अर्थ है कि $6$ संभावित परिणाम हैं।
जब दो संतुलित पांसों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या प्रत्येक पांसे के परिणामों को गुणा करके प्राप्त की जाती है।
कुल परिणामों की संख्या $= 6 \times 6 = 36$।

(A) जब दो संतुलित पासों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें पासों पर आए अंकों का योग $2$ है।
योग $2$ प्राप्त करने वाला एकमात्र परिणाम $(1, 1)$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 1$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
इस प्रकार,$P(E) = \frac{1}{36}$।

(C) जब दो संतुलित पासों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $4$ है।
इस घटना के लिए अनुकूल परिणाम $(1, 3), (2, 2),$ और $(3, 1)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 3$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता का सूत्र $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$ है।
$P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(B) जब दो संतुलित पासों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 6 \times 6 = 36$ होती है।
पासों पर संख्याओं का योग $7$ होने के अनुकूल परिणाम हैं: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 6$ है।
घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{m}{n}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $P(E) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।

(B) जब दो संतुलित पासों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
घटना को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $11$ हो।
योग $11$ प्राप्त करने वाले संभावित परिणाम $(5, 6)$ और $(6, 5)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 2$ है।
घटना की प्रायिकता $P$,अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$P = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

(D) दो पासों पर संख्याओं का अधिकतम योग $6 + 6 = 12$ होता है।
चूंकि अधिकतम संभव योग $12$ है,इसलिए दो पासों को फेंकने पर $13$ का योग प्राप्त करना असंभव है।
अतः,$13$ का योग प्राप्त करने की घटना एक असंभव घटना है।
असंभव घटना की प्रायिकता हमेशा $0$ होती है।
$\therefore$ अभीष्ट प्रायिकता $= 0$.

(D) जब एक संतुलित पासे को दो बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दो प्रयासों में प्राप्त संख्याओं का योग सम होता है यदि:
$1$. दोनों संख्याएँ सम हों (उदाहरण के लिए,प्रत्येक पासे के लिए $2, 4, 6$: $3 \times 3 = 9$ परिणाम)।
$2$. दोनों संख्याएँ विषम हों (उदाहरण के लिए,प्रत्येक पासे के लिए $1, 3, 5$: $3 \times 3 = 9$ परिणाम)।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= 9 + 9 = 18$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$।

(C) जब एक संतुलित पासे को दो बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
पासे पर सम संख्याएँ $\{2, 4, 6\}$ हैं।
दोनों बार सम संख्या प्राप्त होने की घटना का अर्थ है कि परिणाम एक क्रमित युग्म $(x, y)$ होना चाहिए जहाँ $x$ और $y$ दोनों $\{2, 4, 6\}$ समुच्चय से हों।
अनुकूल परिणाम हैं: $(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 9$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है।

(A) जब एक संतुलित पासे को दो बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें दो प्रयासों में प्राप्त संख्याओं का योग $10$ से अधिक है।
वे परिणाम जिनका योग $10$ से अधिक है,वे $(5, 6)$,$(6, 5)$ और $(6, 6)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 3$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P(E) = \frac{m}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(D) जब एक संतुलित पासे को दो बार फेंका जाता है,तो दो संख्याओं के योग के लिए संभावित परिणाम $1+1=2$ से लेकर $6+6=12$ तक होते हैं।
चूंकि अधिकतम संभावित योग $12$ है,इसलिए प्राप्त कोई भी योग हमेशा $12$ या $12$ से कम होगा।
यह एक निश्चित घटना है।
निश्चित घटना की प्रायिकता हमेशा $1$ होती है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $1$ है।

(C) पैकेट में पेंचों की कुल संख्या $= n = 400$ है।
खराब पेंचों की संख्या $= 120$ है।
खराब न होने वाले (सही) पेंचों की संख्या $= 400 - 120 = 280$ है।
मान लीजिए $E$ एक सही पेंच चुनने की घटना है।
घटना $E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 280$ है।
सही पेंच चुनने की प्रायिकता $P(E) = \frac{m}{n} = \frac{280}{400}$ द्वारा दी जाती है।
भिन्न को सरल करने पर,$P(E) = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} = 0.7$ प्राप्त होता है।

(C) फूलदान में गुलाबों की कुल संख्या $= 5 + 3 + 2 = 10$ है।
पीला गुलाब चुनने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है (क्योंकि फूलदान में $2$ पीले गुलाब हैं)।
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$.
अतः,पीले गुलाब के चुने जाने की प्रायिकता $= \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ है।

(B) बॉक्स में खिलौनों की कुल संख्या $= n = 10$.
खराब खिलौनों की संख्या $= 3$.
सही खिलौनों की संख्या $= 10 - 3 = 7$.
ग्राहक केवल सही खिलौना ही खरीदता है।
इसलिए,खिलौने के खरीदे जाने की घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $= m = 7$.
किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात होती है।
$\text{प्रायिकता} = \frac{m}{n} = \frac{7}{10} = 0.7$.

(A) जब दो पासों को फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर संख्याओं का संभावित योग $2$ से $12$ तक हो सकता है। इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7$ और $11$ हैं।
प्रत्येक अभाज्य योग के लिए अनुकूल परिणामों की सूची इस प्रकार है:
- योग $= 2$: $(1, 1)$ [$1$ परिणाम]
- योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ [$2$ परिणाम]
- योग $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ [$4$ परिणाम]
- योग $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ [$6$ परिणाम]
- योग $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ [$2$ परिणाम]
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$।

(B) जब दो पासों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
एक पासे पर अभाज्य संख्याएँ $2, 3$ और $5$ हैं।
मान लीजिए घटना $E$ यह है कि दोनों पासों पर संख्याएँ अभाज्य हैं। अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
$(2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 9$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{m}{n} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है।

(A) जब दो संतुलित पासों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर समान अंक आने के अनुकूल परिणाम $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)$ और $(6, 6)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 6$ है।
किसी घटना की प्रायिकता,अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात होती है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।

(B) थैली में केवल संतरे के स्वाद वाली टॉफियाँ हैं।
चूंकि थैली में सभी टॉफियाँ संतरे के स्वाद वाली हैं,इसलिए संतरे के स्वाद वाली टॉफी निकालने की घटना एक 'निश्चित घटना' है और इसकी प्रायिकता $1$ है।
चूंकि थैली में नींबू के स्वाद वाली कोई टॉफी नहीं है,इसलिए नींबू के स्वाद वाली टॉफी निकालने की घटना एक 'असंभव घटना' है और इसकी प्रायिकता $0$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकताएँ क्रमशः $1$ और $0$ हैं।

(B) यहाँ,पतलूनों की कुल संख्या $= n = 100$ है।
मनु केवल उन पतलूनों को अस्वीकार करता है जिनमें बड़े दोष हैं।
इसलिए,मनु उन पतलूनों को स्वीकार करता है जो या तो अच्छी हैं या जिनमें मामूली दोष हैं।
मनु द्वारा पतलून स्वीकार करने की घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $= m = 73 + 12 = 85$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P = \frac{m}{n} = \frac{85}{100} = 0.85$।

(C) वृत्ताकार डिस्क पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 12$ है (क्योंकि संख्याएँ $1$ से $12$ तक हैं)।
घटना यह है कि तीर $7$ पर रुकता है। ऐसा केवल $1$ ही परिणाम है, इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 1$ है।
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
अतः, अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{12}$ है।

(D) जब एक निष्पक्ष सिक्के को एक बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2$ (चित या पट) होती है।
चूंकि सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,इसलिए कुल परिणामों की संख्या प्रत्येक उछाल के परिणामों को गुणा करके प्राप्त की जाती है।
अतः,कुल परिणामों की संख्या $= 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ है।

(B) जब एक निष्पक्ष सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
ये परिणाम हैं: $HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT$.
हम ठीक दो चित प्राप्त करने की घटना की तलाश कर रहे हैं।
अनुकूल परिणाम हैं: $HHT, HTH, THH$.
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 3$ है।
किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात होती है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{m}{n} = \frac{3}{8}$ है।

(A) जब एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
ये परिणाम हैं: $HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT$।
हमें उस घटना की प्रायिकता ज्ञात करनी है जिसमें चित की संख्या पट की संख्या से अधिक हो।
अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
$1$. $HHH$ ($3$ चित,$0$ पट)
$2$. $HHT$ ($2$ चित,$1$ पट)
$3$. $HTH$ ($2$ चित,$1$ पट)
$4$. $THH$ ($2$ चित,$1$ पट)
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 4$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{m}{n} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

(A) जब तीन निष्पक्ष सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
हमें अधिकतम दो पट (tails) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
'अधिकतम दो पट' का अर्थ है $0, 1,$ या $2$ पट प्राप्त करना।
केवल एक परिणाम $TTT$ (तीन पट) इस शर्त को पूरा नहीं करता है।
अतः,अनुकूल परिणाम ${HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH}$ हैं,जिनकी संख्या $m = 7$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{m}{n} = \frac{7}{8}$ है।

(C) जब तीन निष्पक्ष सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
ये परिणाम हैं: $\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
हमें कम से कम दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
अनुकूल परिणाम वे हैं जिनमें दो या तीन चित हों: $\{HHT, HTH, THH, HHH\}$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 4$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{m}{n} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

(D) जब दो पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर संख्याओं का गुणनफल विषम तभी होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों। पासे पर विषम संख्याएँ ${1, 3, 5}$ हैं।
ऐसे परिणामों की संख्या जहाँ दोनों पासों पर विषम संख्या आती है,$3 \times 3 = 9$ है। ये परिणाम $(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)$ हैं।
अन्य सभी स्थितियों में गुणनफल सम होता है। अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $36 - 9 = 27$ है।
इसलिए,गुणनफल के सम होने की प्रायिकता $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ है।

(A) सूर्य के पूर्व में उगने की घटना एक निश्चित घटना है।
$\therefore$ किसी निश्चित घटना की प्रायिकता हमेशा $1$ होती है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1$ है।

(C) $100$ अंकों के प्रश्न पत्र में,कोई भी छात्र $0, 1, 2, \dots, 100$ अंक प्राप्त कर सकता है।
$\therefore$ कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 101$ है।
ठीक $100$ अंक प्राप्त करने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 1$ है।
$\therefore$ अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{101}$ है।

(D) एक संतुलित पासे को फेंकने के प्रयोग में कुल परिणामों की संख्या $6$ है।
अतः,तीन संतुलित पासों को एक साथ फेंकने के प्रयोग में कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$ होगी।

(C) एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं।
$365$ दिन $= 52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन।
यह $1$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित में से कोई भी एक हो सकता है: {रविवार,सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार}।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $7$ है।
वर्ष में $53$ शनिवार होने के लिए,अतिरिक्त दिन का शनिवार होना आवश्यक है।
कुल $7$ संभावित परिणामों में से केवल $1$ अनुकूल परिणाम (शनिवार) है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{1}{7}$ है।

(D) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं।
$366$ दिन = $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन।
ये $2$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित जोड़ों में से कोई भी हो सकते हैं: (रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),(शनिवार,रविवार)।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
लीप वर्ष में $53$ बुधवार होने के लिए,$2$ अतिरिक्त दिनों में से एक दिन बुधवार होना चाहिए।
उपरोक्त सूची से,बुधवार वाले जोड़े (मंगलवार,बुधवार) और (बुधवार,गुरुवार) हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{2}{7}$।

(D) एक सामान्य वर्ष में फरवरी के महीने में $28$ दिन होते हैं।
$28$ दिन का अर्थ है ठीक $4$ सप्ताह ($4 \times 7 = 28$ दिन)।
चूंकि इसमें ठीक $4$ सप्ताह होते हैं,इसलिए सप्ताह का प्रत्येक दिन ठीक $4$ बार आता है।
अतः,एक सामान्य वर्ष के फरवरी महीने में $5$ गुरुवार होना एक असंभव घटना है।
चूंकि यह एक असंभव घटना है,इसलिए इसकी प्रायिकता $0$ है।

(B) एक लीप वर्ष में फरवरी के महीने में $29$ दिन होते हैं।
$29$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होता है।
यह अतिरिक्त दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी एक हो सकता है (सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार,रविवार)।
महीने में $5$ शुक्रवार होने के लिए,अतिरिक्त दिन का शुक्रवार होना आवश्यक है।
चूंकि $7$ संभावित परिणामों में से केवल $1$ अनुकूल परिणाम है,
$\text{अभीष्ट प्रायिकता} = \frac{1}{7}$।

(D) बॉक्स में कुल पर्चियों की संख्या $n = 120$ है।
$3$ अंकों की संख्या $100$ से $120$ तक होती है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $m$,$100$ से $120$ तक की कुल संख्याएँ हैं,जिसकी गणना $120 - 100 + 1 = 21$ होती है।
$3$ अंकों की संख्या निकालने की प्रायिकता $P$,अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{m}{n} = \frac{21}{120}$.
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर:
$P = \frac{7}{40}$.

(A) यहाँ कुल परिणामों की संख्या $n = 100$ है।
$1$ से $100$ तक की संख्याओं में $2$ अंकों वाली संख्याएँ $10, 11, 12, \ldots, 99$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 99 - 10 + 1 = 90$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{m}{n} = \frac{90}{100} = 0.9$ है।

(A) किसी घटना $E$ की प्रायिकता,जिसे $P(E)$ द्वारा दर्शाया जाता है,हमेशा $0 \le P(E) \le 1$ के बीच होती है। चूंकि प्रायिकता का मान इस अंतराल तक सीमित है,इसलिए यह कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती है।

(D) जब एक निष्पक्ष सिक्के को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{H, T\}$ होती है।
एक बार सिक्का उछालने पर टेल आने की प्रायिकता $P(T) = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,इसलिए ये घटनाएं स्वतंत्र हैं।
तीनों बार टेल आने की प्रायिकता $P(T \cap T \cap T) = P(T) \times P(T) \times P(T)$ होगी।
मान रखने पर: $P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।

(C) अगस्त के महीने में कुल $31$ दिन होते हैं।
$31$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $3$ अतिरिक्त दिन होते हैं।
$4 \times 7 = 28$ दिन।
$31 - 28 = 3$ अतिरिक्त दिन।
इन $3$ लगातार दिनों के लिए संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$1$. (सोमवार,मंगलवार,बुधवार)
$2$. (मंगलवार,बुधवार,गुरुवार)
$3$. (बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार)
$4$. (गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार)
$5$. (शुक्रवार,शनिवार,रविवार)
$6$. (शनिवार,रविवार,सोमवार)
$7$. (रविवार,सोमवार,मंगलवार)
इन $7$ संभावनाओं में से,वे स्थितियाँ जिनमें सोमवार आता है,वे हैं:
(सोमवार,मंगलवार,बुधवार),(शनिवार,रविवार,सोमवार) और (रविवार,सोमवार,मंगलवार)।
इस प्रकार,अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{3}{7}$ है।

(B) अप्रैल के महीने में $30$ दिन होते हैं।
$30$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन होते हैं।
$4$ सप्ताह में $4$ रविवार शामिल होते हैं।
ये $2$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित जोड़ों में से कोई भी हो सकते हैं: (रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),या (शनिवार,रविवार)।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
महीने में $5$ रविवार होने के लिए,अतिरिक्त दिनों में से एक दिन रविवार होना चाहिए।
यह $2$ स्थितियों में होता है: (रविवार,सोमवार) और (शनिवार,रविवार)।
अतः,प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।

(C) जब एक संतुलित पासे को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना कि $E$ वह घटना है जिसमें पासे पर आने वाली संख्या $3$ से बड़ी है।
अनुकूल परिणाम $E = \{4, 5, 6\}$ हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
मान रखने पर,हमें $P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) जब दो संतुलित पासों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है: $S = \{(1,1), (1,2), \dots, (6,6)\}$.
हम उस घटना $E$ की तलाश कर रहे हैं जहाँ दोनों पासों पर संख्याओं का योग $12$ हो।
इस शर्त को पूरा करने वाला एकमात्र परिणाम $(6, 6)$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{36}$.

(B) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि पासों पर संख्याओं का योग $8$ है।
योग $8$ होने के लिए संभावित परिणाम हैं: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $5$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{36}$।

(B) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = $52$ है।
ताश की गड्डी में दो काले रंग के सूट होते हैं: हुकुम (Spades) और चिड़ी (Clubs)।
प्रत्येक सूट में ठीक एक गुलाम (Jack) होता है।
इसलिए,काले रंग के गुलामों की कुल संख्या (हुकुम का गुलाम और चिड़ी का गुलाम) = $2$ है।
काले रंग का गुलाम निकालने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$।

(B) किसी भी घटना $K$ की प्रायिकता,जिसे $P(K)$ द्वारा दर्शाया जाता है,उस घटना के घटित होने की संभावना का माप है।
परिभाषा के अनुसार,किसी घटना की प्रायिकता हमेशा $0$ और $1$ के बीच (दोनों को सम्मिलित करते हुए) होती है।
इसका अर्थ है कि न्यूनतम प्रायिकता $0$ (एक असंभव घटना के लिए) और अधिकतम प्रायिकता $1$ (एक निश्चित घटना के लिए) हो सकती है।
अतः,घटना $K$ की प्रायिकता द्वारा संतुष्ट होने वाली शर्त $0 \leqslant P(K) \leqslant 1$ है।

(C) पासे को फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $6$ है।
$1$ से $6$ के बीच की अभाज्य संख्याएँ $2, 3$ और $5$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता,अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(A) जब एक पासे को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ होते हैं।
कुल परिणामों की संख्या $= 6$.
भाज्य संख्या $1$ से बड़ी वह प्राकृत संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कम से कम एक और गुणनखंड हो।
समुच्चय ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ में,भाज्य संख्याएँ $4$ और $6$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 2$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.