Theoretical Probability Questions in Hindi

(N/A) नहीं,हम यह नहीं कह सकते कि चित आने की प्रायिकता $1$ है।
जब एक निष्पक्ष सिक्के को उछाला जाता है,तो दो संभावित परिणाम (चित और पट) समान रूप से संभावित होते हैं।
एक सिक्के को एक बार उछालने पर चित आने की प्रायिकता $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ होती है।
भले ही सिक्का लगातार $6$ बार चित दिखाए,प्रत्येक उछाल एक स्वतंत्र घटना है।
पिछले परिणामों की परवाह किए बिना,प्रत्येक व्यक्तिगत उछाल के लिए चित आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ ही रहती है।

(N/A) अगली उछाल का परिणाम पट (tail) हो भी सकता है और नहीं भी। इसका कारण यह है कि सिक्के को उछालना एक यादृच्छिक प्रयोग है,जिसमें चित (head) या पट (tail) आने की संभावना समान होती है। प्रत्येक उछाल एक स्वतंत्र घटना है,जिसका अर्थ है कि पिछली उछालों का परिणाम अगली उछाल के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इसलिए,अगली उछाल में पट (tail) आने की प्रायिकता $1/2$ ही बनी रहती है।

(N/A) नहीं,सिक्के के प्रत्येक उछाल का परिणाम एक स्वतंत्र घटना है। जब हम एक निष्पक्ष सिक्के को उछालते हैं,तो चित या पट प्राप्त करने की प्रायिकता समान होती है,अर्थात $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ और $P(\text{Tail}) = \frac{1}{2}$। चूंकि सिक्के को पिछले परिणामों की कोई याददाश्त नहीं होती है,इसलिए $4$ थे उछाल में पट आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ ही रहती है,जो किसी भी अन्य उछाल के समान है। इसलिए,पट आने की अधिक संभावना की अपेक्षा करने का कोई कारण नहीं है।

(A) हम जानते हैं कि $1$ से $100$ के बीच आधी संख्याएँ सम हैं और आधी विषम हैं। विशेष रूप से,$50$ संख्याएँ $(2, 4, 6, 8, \dots, 96, 98, 100)$ सम हैं और $50$ संख्याएँ $(1, 3, 5, 7, \dots, 97, 99)$ विषम हैं।
चूँकि कुल पर्चियों की संख्या $100$ है,सम संख्या के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $50$ है,और विषम संख्या के लिए भी अनुकूल परिणामों की संख्या $50$ है।
सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{\text{सम पर्चियों की संख्या}}{\text{कुल पर्चियों की संख्या}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{\text{विषम पर्चियों की संख्या}}{\text{कुल पर्चियों की संख्या}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
चूँकि दोनों घटनाओं के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या समान है,इसलिए वे समप्रायिक (equally likely) हैं और प्रत्येक की प्रायिकता वास्तव में $\frac{1}{2}$ है।

(A-D) जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
$(i)$ पासों पर आने वाली संख्याओं का योग $7$ है। अनुकूल परिणाम $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 6$.
$\text{प्रायिकता} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(ii)$ पासों पर आने वाली संख्याओं का योग एक अभाज्य संख्या है। संभावित अभाज्य योग $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
- योग $= 2: (1, 1) \rightarrow 1$ परिणाम
- योग $= 3: (1, 2), (2, 1) \rightarrow 2$ परिणाम
- योग $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) \rightarrow 4$ परिणाम
- योग $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \rightarrow 6$ परिणाम
- योग $= 11: (5, 6), (6, 5) \rightarrow 2$ परिणाम
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
$\text{प्रायिकता} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
$(iii)$ पासों पर आने वाली संख्याओं का योग $1$ है। चूंकि दो पासों का न्यूनतम योग $1 + 1 = 2$ होता है,इसलिए $1$ का योग प्राप्त करना असंभव है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 0$.
$\text{प्रायिकता} = \frac{0}{36} = 0$.

(N/A) दो पासों को फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
$(i)$ गुणनफल $6$ होने के लिए,संभावित परिणाम $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 4$ है।
प्रायिकता $= \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
$(ii)$ गुणनफल $12$ होने के लिए,संभावित परिणाम $(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 4$ है।
प्रायिकता $= \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
$(iii)$ गुणनफल $7$ होने के लिए कोई संभावित परिणाम नहीं है,क्योंकि $7$ एक अभाज्य संख्या है और इसे $1$ से $6$ तक की दो संख्याओं के गुणनफल के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 0$ है।
प्रायिकता $= \frac{0}{36} = 0$ है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें उन परिणामों को खोजना है जहाँ दोनों संख्याओं का गुणनफल $9$ से कम हो।
अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
पहले पासे पर $1$ होने पर: $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)$ (गुणनफल: $1, 2, 3, 4, 5, 6$)
पहले पासे पर $2$ होने पर: $(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)$ (गुणनफल: $2, 4, 6, 8$)
पहले पासे पर $3$ होने पर: $(3,1), (3,2)$ (गुणनफल: $3, 6$)
पहले पासे पर $4$ होने पर: $(4,1), (4,2)$ (गुणनफल: $4, 8$)
पहले पासे पर $5$ होने पर: $(5,1)$ (गुणनफल: $5$)
पहले पासे पर $6$ होने पर: $(6,1)$ (गुणनफल: $6$)
इनकी गणना करने पर,हमारे पास $6 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 16$ अनुकूल परिणाम हैं।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

(N/A) कुल परिणामों की संख्या $= 6 \times 6 = 36$.
$(i)$ घटना $E_1$ (योग $= 2$): परिणाम $\{(1, 1), (1, 1)\}$ हैं। $n(E_1) = 2$. $P(E_1) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
$(ii)$ घटना $E_2$ (योग $= 3$): परिणाम $\{(1, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 1)\}$ हैं। $n(E_2) = 4$. $P(E_2) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(iii)$ घटना $E_3$ (योग $= 4$): परिणाम $\{(1, 3), (1, 3), (2, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 1)\}$ हैं। $n(E_3) = 6$. $P(E_3) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(iv)$ घटना $E_4$ (योग $= 5$): परिणाम $\{(2, 3), (2, 3), (3, 2), (3, 2), (4, 1), (4, 1)\}$ हैं। $n(E_4) = 6$. $P(E_4) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(v)$ घटना $E_5$ (योग $= 6$): परिणाम $\{(3, 3), (3, 3), (4, 2), (4, 2), (5, 1), (5, 1)\}$ हैं। $n(E_5) = 6$. $P(E_5) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(vi)$ घटना $E_6$ (योग $= 7$): परिणाम $\{(4, 3), (4, 3), (5, 2), (5, 2), (6, 1), (6, 1)\}$ हैं। $n(E_6) = 6$. $P(E_6) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(vii)$ घटना $E_7$ (योग $= 8$): परिणाम $\{(5, 3), (5, 3), (6, 2), (6, 2)\}$ हैं। $n(E_7) = 4$. $P(E_7) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(viii)$ घटना $E_8$ (योग $= 9$): परिणाम $\{(6, 3), (6, 3)\}$ हैं। $n(E_8) = 2$. $P(E_8) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

(A) जब एक सिक्के को $2$ बार उछाला जाता है,तो संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$
अतः,कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
मान लीजिए $E$ अधिकतम एक चित प्राप्त करने की घटना है।
इसका अर्थ है शून्य चित या एक चित प्राप्त करना।
घटना $E$ के अनुकूल परिणाम $\{(T, T), (H, T), (T, H)\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
इस प्रकार,$P(E) = \frac{3}{4}$।

(B) एक सिक्के को $3$ बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(HHH), (HHT), (HTH), (HTT), (THH), (THT), (TTH), (TTT)\}$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ सभी चित प्राप्त करने की घटना है।
$E_1 = \{(HHH)\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E_1) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{1}{8}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ कम से कम $2$ चित प्राप्त करने की घटना है।
$E_2 = \{(HHH), (HHT), (HTH), (THH)\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E_2) = 4$ है।
प्रायिकता $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

(C) दो पासों को एक साथ फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि (sample space) में कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
माना $E$ वह घटना है जिसमें संख्याओं का अंतर $2$ है।
अनुकूल परिणाम हैं:
$E = \{(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4)\}$.
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 8$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
$P(E) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

(N/A) थैले में गेंदों की कुल संख्या $10 + 5 + 7 = 22$ है।
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 22$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ लाल गेंद निकालने की घटना है। लाल गेंदों की संख्या $n(E_1) = 10$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ हरी गेंद निकालने की घटना है। हरी गेंदों की संख्या $n(E_2) = 7$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{7}{22}$ है।
$(iii)$ मान लीजिए $E_3$ नीली गेंद न निकालने की घटना है। इसका अर्थ है कि या तो लाल या हरी गेंद निकाली गई है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E_3) = 10 + 7 = 17$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{17}{22}$ है।

(A) $(i)$ मान लीजिए $E_1$ चिड़ी का पत्ता प्राप्त करने की घटना है।
शेष कुल पत्ते $= 52 - 3 = 49$.
शेष चिड़ी के पत्तों की संख्या $= 13 - 3 = 10$.
$\therefore$ प्रायिकता $= \frac{10}{49}$.
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ पान का दहला प्राप्त करने की घटना है।
गड्डी में पान का दहला केवल एक ही होता है।
$\therefore$ प्रायिकता $= \frac{1}{49}$.

(N/A) ताश की गड्डी में कुल पत्ते = $52$.
गुलाम = $4$,बेगम = $4$,बादशाह = $4$. कुल निकाले गए पत्ते = $4 + 4 + 4 = 12$.
शेष पत्ते $n(S) = 52 - 12 = 40$.
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जिसमें $7$ मान वाला पत्ता प्राप्त होता है। ऐसे कुल $4$ पत्ते हैं (प्रत्येक सूट का एक)।
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$.
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ वह घटना है जिसमें $7$ से अधिक मान वाला पत्ता प्राप्त होता है। संभावित मान $8, 9, 10$ हैं। कुल $3$ मान हैं,और प्रत्येक के $4$ सूट हैं,इसलिए $n(E_2) = 3 \times 4 = 12$.
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}$.
$(iii)$ मान लीजिए $E_3$ वह घटना है जिसमें $7$ से कम मान वाला पत्ता प्राप्त होता है। संभावित मान $1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं। कुल $6$ मान हैं,और प्रत्येक के $4$ सूट हैं,इसलिए $n(E_3) = 6 \times 4 = 24$.
$P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$.

(D) $0$ और $100$ के बीच पूर्णांकों की कुल संख्या $99$ है (अर्थात ${1, 2, 3, \dots, 99}$)।
$n(S) = 99$
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ एक ऐसा पूर्णांक चुनने की घटना है जो $7$ से विभाज्य है।
$0$ और $100$ के बीच $7$ के गुणज ${7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98}$ हैं।
$n(E_1) = 14$
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{14}{99}$
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ एक ऐसा पूर्णांक चुनने की घटना है जो $7$ से विभाज्य नहीं है।
$n(E_2) = n(S) - n(E_1) = 99 - 14 = 85$
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{85}{99}$

(B) हम जानते हैं कि अंग्रेजी वर्णमाला में $5$ स्वर और $21$ व्यंजन होते हैं,जिससे कुल $26$ अक्षर बनते हैं।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 26$ है।
मान लीजिए $E$ अंग्रेजी वर्णमाला से एक व्यंजन चुनने की घटना है।
व्यंजनों का समूह ${b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}$ है।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 21$ है।
किसी घटना की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{21}{26}$ है।

(C) बॉक्स में कुल सीलबंद लिफाफों की संख्या,$n(S) = 1000$ है।
नकद पुरस्कार वाले लिफाफों की संख्या $= 10 + 100 + 200 = 310$ है।
बिना किसी नकद पुरस्कार वाले लिफाफों की संख्या,$n(E) = 1000 - 310 = 690$ है।
लिफाफे में कोई नकद पुरस्कार न होने की प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{690}{1000} = 0.69$।

(N/A) कुल टुकड़ों की संख्या $= 8 \text{ त्रिभुज} + 10 \text{ वर्ग} = 18$.
$(i)$ खोया हुआ टुकड़ा त्रिभुज होने की प्रायिकता $= \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
$(ii)$ खोया हुआ टुकड़ा वर्ग होने की प्रायिकता $= \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
$(iii)$ नीले वर्गों की संख्या $= 6$. खोया हुआ टुकड़ा नीला वर्ग होने की प्रायिकता $= \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
$(iv)$ लाल त्रिभुजों की संख्या $= 8 - 3 = 5$. खोया हुआ टुकड़ा लाल त्रिभुज होने की प्रायिकता $= \frac{5}{18}$.

(A) एक सिक्के को $3$ बार उछालने पर कुल संभावित परिणाम:
$S = \{(HHH), (TTT), (HTT), (THT), (TTH), (THH), (HTH), (HHT)\}$
$\therefore n(S) = 8$
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जिसमें श्वेता प्रवेश शुल्क खो देती है।
यह तब होता है जब उसे शून्य चित मिलते हैं (अर्थात $TTT$)।
$E_1 = \{(TTT)\}$,इसलिए $n(E_1) = 1$.
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ वह घटना है जिसमें श्वेता को प्रवेश शुल्क का दोगुना मिलता है।
यह तब होता है जब उसे $3$ चित मिलते हैं (अर्थात $HHH$)।
$E_2 = \{(HHH)\}$,इसलिए $n(E_2) = 1$.
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.
$(iii)$ मान लीजिए $E_3$ वह घटना है जिसमें श्वेता को उसका प्रवेश शुल्क वापस मिल जाता है।
यह तब होता है जब उसे एक या दो चित मिलते हैं।
$E_3 = \{(HTT), (THT), (TTH), (HHT), (HTH), (THH)\}$,इसलिए $n(E_3) = 6$.
$P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(C) दिया गया है कि एक पासे के छह फलकों पर ${0, 1, 1, 1, 6, 6}$ अंकित हैं।
कुल प्रतिदर्श समष्टि,$n(S) = 6^2 = 36$.
$(i)$ संभावित योग दोनों पासों पर प्राप्त अंकों को जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं:
$0+0=0, 0+1=1, 0+6=6, 1+1=2, 1+6=7, 6+6=12$.
अतः,संभावित अलग-अलग योग ${0, 1, 2, 6, 7, 12}$ हैं। कुल $6$ संभावित योग हैं।
$(ii)$ मान लीजिए $E$ योग $7$ प्राप्त करने की घटना है।
वे युग्म $(d_1, d_2)$ जिनका योग $7$ है,वे हैं:
$(1, 6)$ कुल $3 \times 2 = 6$ बार आता है।
$(6, 1)$ कुल $2 \times 3 = 6$ बार आता है।
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 6 + 6 = 12$.
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

(A) दिया गया है कि थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 24$ है।
लाल गेंदों की संख्या $= x$,सफेद गेंदों की संख्या $= 2x$ और नीली गेंदों की संख्या $= 3x$ है।
शर्त के अनुसार,$x + 2x + 3x = 24$ है।
$6x = 24$,जिससे $x = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,लाल गेंदों की संख्या $= 4$,सफेद गेंदों की संख्या $= 2 \times 4 = 8$ और नीली गेंदों की संख्या $= 3 \times 4 = 12$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 24$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ लाल न होने वाली गेंद चुनने की घटना है। इसका अर्थ है कि गेंद सफेद या नीली हो सकती है।
$n(E_1) = \text{सफेद गेंदों की संख्या} + \text{नीली गेंदों की संख्या} = 8 + 12 = 20$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ सफेद गेंद चुनने की घटना है।
$n(E_2) = \text{सफेद गेंदों की संख्या} = 8$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ है।

(A) बॉक्स में कार्डों की कुल संख्या $n(S) = 1000$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि पहला खिलाड़ी पुरस्कार जीतता है। यह तब होता है यदि खिलाड़ी $500$ से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या चुनता है।
$1$ से $1000$ के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ $1^2, 2^2, \dots, 31^2 = 961$ हैं।
$500$ से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्याएँ $23^2=529, 24^2=576, 25^2=625, 26^2=676, 27^2=729, 28^2=784, 29^2=841, 30^2=900, 31^2=961$ हैं।
ऐसे कुल $9$ कार्ड हैं।
अतः, $n(E_1) = 9$ है।
पहले खिलाड़ी के जीतने की प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{9}{1000} = 0.009$ है।
$(ii)$ यदि पहला खिलाड़ी जीत चुका है, तो एक कार्ड ($500$ से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या) बॉक्स से हटा दिया जाता है।
शेष कार्डों की संख्या $n(S') = 1000 - 1 = 999$ है।
$500$ से बड़ी शेष पूर्ण वर्ग संख्याओं की संख्या $n(E_2) = 9 - 1 = 8$ है।
यदि पहला खिलाड़ी जीत चुका है, तो दूसरे खिलाड़ी के जीतने की प्रायिकता $P(E_2|E_1) = \frac{n(E_2)}{n(S')} = \frac{8}{999}$ है।

(C) एक निष्पक्ष पासे को फेंकने के प्रयोग में,संभावित सभी समप्रायिक परिणाम $1, 2, 3, 4, 5$ और $6$ हैं।
माना घटना $A$ 'पासे पर $2$ प्राप्त करने' की घटना है। तब,घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या केवल $1$ है।
$\therefore P(A) = \text{P(पासे पर } 2 \text{ प्राप्त करना)}$
$= \frac{\text{घटना } A \text{ के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या}}$
$= \frac{1}{6}$
अतः,पासे पर संख्या $2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।

(D) एक संतुलित पासे को एक बार फेंकने के प्रयोग में छह प्रारंभिक परिणाम होते हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
माना घटना $A$ है: 'पासे पर प्राप्त संख्या एक अभाज्य संख्या है'।
यहाँ अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5$ हैं।
अतः,घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ है।
इसलिए,घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,पासे पर एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

(A) एक संतुलित पासे को एक बार फेंकने के प्रयोग में छह प्रारंभिक परिणाम होते हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
माना घटना $A$ है: 'पासे पर आने वाली संख्या $4$ से बड़ी है।'
घटना $A$ के अनुकूल परिणाम $5$ और $6$ हैं।
अतः,घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
$\therefore P(A) = P(\text{पासे पर आने वाली संख्या } 4 \text{ \text{से बड़ी है}}) = \frac{\text{घटना } A \text{ \text{के अनुकूल परिणामों की संख्या}}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$4$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।

(B) एक संतुलित पासे को एक बार फेंकने के प्रयोग में छह प्रारंभिक परिणाम होते हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$।
माना घटना $B$: 'पासे पर आने वाली संख्या $4$ से छोटी है।'
घटना $B$ के अनुकूल परिणाम $1, 2$ और $3$ हैं।
अतः,घटना $B$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(B)$ इस प्रकार है:
$P(B) = \frac{B \text{ के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$
$P(B) = \frac{3}{6}$
$P(B) = \frac{1}{2}$
इस प्रकार,$4$ से छोटी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

(C) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से यादृच्छिक रूप से एक पत्ता निकालने के प्रयोग में,
कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $52$ है।
मान लीजिए घटना $A$ है: "निकाला गया पत्ता सात (seven) है।"
घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है,क्योंकि ताश की गड्डी में कुल $4$ सात होते हैं (प्रत्येक सूट में एक)।
अतः,प्रायिकता $P(A)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
इस प्रकार,निकाले गए पत्ते के सात होने की प्रायिकता $\frac{1}{13}$ है।

(D) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से चुनने के प्रयोग में,कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $52$ है।
मान लीजिए घटना $B$ है: "चुना गया पत्ता हुकुम का है।"
घटना $B$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $13$ है,क्योंकि ताश की गड्डी में हुकुम के $13$ पत्ते होते हैं।
अतः,प्रायिकता $P(B)$ इस प्रकार है:
$P(B) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
इस प्रकार,चुने गए पत्ते के हुकुम का होने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।

(A) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से चुनने के प्रयोग में,कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $52$ है।
माना घटना $C$ वह घटना है जिसमें चुना गया पत्ता काले रंग का (black suit) है।
$52$ पत्तों की गड्डी में दो काले रंग के सूट होते हैं: हुकुम (Spades - $13$ पत्ते) और चिड़ी (Clubs - $13$ पत्ते)।
इसलिए,घटना $C$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $13 + 13 = 26$ है।
घटना $C$ की प्रायिकता $P(C) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$ द्वारा दी जाती है।
$P(C) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.
अतः,चुने गए पत्ते के काले रंग का होने की प्रायिकता $1/2$ है।

(C) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से चुनने के प्रयोग में,कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $52$ है।
मान लीजिए घटना $E$: 'चुना गया पत्ता पान की बेगम है।'
घटना $E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $1$ है,क्योंकि ताश की गड्डी में पान की बेगम केवल एक ही होती है।
घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
अतः,$P(E) = \frac{1}{52}$.
इस प्रकार,चुने गए पत्ते के पान की बेगम होने की प्रायिकता $\frac{1}{52}$ है।

(D) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि दो पासों पर संख्याओं का योग $8$ है।
घटना $A$ के अनुकूल परिणाम $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 5$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5}{36}$ द्वारा दी जाती है।

(A) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में सभी संभावित क्रमित युग्म $(x, y)$ शामिल होते हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।
कुल प्राथमिक परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $4$ है।
घटना $B$ के अनुकूल परिणाम $(1,3), (2,2), (3,1)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(B) = 3$ है।
घटना $B$ की प्रायिकता $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ द्वारा प्राप्त होती है।

(B) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
माना घटना $C$ वह घटना है जिसमें दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग $9$ से अधिक है। इसका अर्थ है कि योग $10, 11$ या $12$ हो सकता है।
घटना $C$ के अनुकूल परिणाम निम्नलिखित हैं:
योग $= 10: (4,6), (5,5), (6,4)$
योग $= 11: (5,6), (6,5)$
योग $= 12: (6,6)$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(C) = 3 + 2 + 1 = 6$ है।
घटना $C$ की प्रायिकता $P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।

(C) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $6 \times 6 = 36$ संभावित परिणाम होते हैं:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 36$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग $5$ से कम है।
$5$ से कम संभावित योग $2, 3,$ और $4$ हो सकते हैं।
घटना $E$ के अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 2: (1,1)$
योग $= 3: (1,2), (2,1)$
योग $= 4: (1,3), (2,2), (3,1)$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1 + 2 + 3 = 6$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
हमें चाहिए कि दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग $3$ और $4$ दोनों का गुणज हो। $3$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है। अतः,हम उन परिणामों की तलाश कर रहे हैं जहाँ योग $12$ हो।
एकमात्र परिणाम जहाँ योग $12$ है,वह $(6,6)$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{36}$.

(B) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग एक अभाज्य संख्या है। संभावित अभाज्य योग $2, 3, 5, 7,$ और $11$ हैं।
घटना $E$ के अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 2: (1, 1)$
योग $= 3: (1, 2), (2, 1)$
योग $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$
योग $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$
योग $= 11: (5, 6), (6, 5)$
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(D) दो निष्पक्ष पासों को फेंकने के प्रयोग के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ उन सभी संभावित क्रमित युग्मों $(x, y)$ का समुच्चय है जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
कुल $6 \times 6 = 36$ संभावित परिणाम हैं:
$S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दो पासों पर संख्याओं का योग $13$ से कम है।
न्यूनतम योग $1 + 1 = 2$ है और अधिकतम योग $6 + 6 = 12$ है।
चूंकि अधिकतम संभावित योग $12$ है,जो हमेशा $13$ से कम होता है,प्रतिदर्श समष्टि का प्रत्येक परिणाम इस शर्त को पूरा करता है।
अतः,$E = S$ और अनुकूल परिणामों की संख्या $36$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{36}{36} = 1$.
इसलिए,प्रायिकता $1$ है।

(A) दो निष्पक्ष पासों को फेंकने के प्रयोग में सभी संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$
$(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)$
$(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)$
$(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)$
$(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$
$(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$
अतः,कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $36$ है।
माना घटना $J$ है: 'दोनों पासों पर संख्याओं का योग $2$ से कम है।'
दो पासों पर संख्याओं का न्यूनतम योग $1 + 1 = 2$ होता है।
चूंकि दो पासों पर संख्याओं का योग हमेशा $2$ से $12$ के बीच होता है,इसलिए यह कभी भी $2$ से कम नहीं हो सकता।
अतः,घटना $J$ एक असंभव घटना है।
असंभव घटना की प्रायिकता $0$ होती है।
इसलिए,$P(J) = 0$.

(B) $20$ बल्बों वाले कार्टन से यादृच्छिक रूप से एक बल्ब चुनने के प्रयोग में कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $20$ है।
कार्टन में बल्बों की कुल संख्या $= 20$.
कार्टन में खराब बल्बों की संख्या $= 4$.
इसलिए,कार्टन में सही (खराब न होने वाले) बल्बों की संख्या $= 20 - 4 = 16$.
मान लीजिए घटना $A$ वह घटना है जिसमें यादृच्छिक रूप से चुना गया बल्ब सही है।
घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 16$.
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$ द्वारा दी जाती है।
$P(A) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
अतः,यादृच्छिक रूप से चुने गए बल्ब के सही होने की प्रायिकता $\frac{4}{5}$ है।

(C) बक्से में गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 8 + 4 = 17$.
अतः,बक्से से एक गेंद निकालने के प्रयोग में कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 17$.
मान लीजिए घटना $A$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद लाल है।
बक्से में $5$ लाल गेंदें हैं।
अतः,घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 5$.
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
इस प्रकार,$P(A) = \frac{5}{17}$.

(D) बक्से में गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 8 + 4 = 17$.
अतः,बक्से से एक गेंद निकालने के प्रयोग में कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $= 17$.
मान लीजिए घटना $B$ है: 'निकाली गई गेंद सफेद है'।
बक्से में $8$ सफेद गेंदें हैं।
अतः,घटना $B$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 8$.
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
इस प्रकार,$P(B) = \frac{8}{17}$.

(B) किसी भी वर्ष में जुलाई के महीने में $31$ दिन होते हैं।
ये $31$ दिन $4$ पूर्ण सप्ताह और $3$ अतिरिक्त दिनों से मिलकर बने होते हैं।
अतः,सप्ताह का प्रत्येक दिन कम से कम $4$ बार अवश्य आएगा।
शेष $3$ दिन निम्नलिखित $7$ संभावित त्रिकों में से कोई भी हो सकते हैं:
$1$. (रविवार,सोमवार,मंगलवार)
$2$. (सोमवार,मंगलवार,बुधवार)
$3$. (मंगलवार,बुधवार,गुरुवार)
$4$. (बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार)
$5$. (गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार)
$6$. (शुक्रवार,शनिवार,रविवार)
$7$. (शनिवार,रविवार,सोमवार)
कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $= 7$ है।
वे परिणाम जिनमें रविवार शामिल है:
$1$. (रविवार,सोमवार,मंगलवार)
$6$. (शुक्रवार,शनिवार,रविवार)
$7$. (शनिवार,रविवार,सोमवार)
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{7}$.

(C) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ पूर्ण सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिनों के बराबर होते हैं।
चूंकि $52$ सप्ताह में $52$ गुरुवार होते हैं,इसलिए $53$वें गुरुवार का होना शेष $2$ दिनों पर निर्भर करता है।
इन $2$ दिनों के लिए संभावित जोड़े हैं:
(रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),(शनिवार,रविवार)।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $7$ है।
वे परिणाम जिनमें गुरुवार शामिल है,वे (बुधवार,गुरुवार) और (गुरुवार,शुक्रवार) हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{7}$।

(A) तीन संतुलित सिक्कों को एक साथ उछालने के प्रयोग में,प्रतिदर्श समष्टि $S$ में निम्नलिखित प्रारंभिक परिणाम होते हैं:
$S = \{(HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)\}$
जहाँ $H$ चित (head) को और $T$ पट (tail) को दर्शाता है।
कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $= 8$ है।
माना घटना $A$ कम से कम दो चित प्राप्त करने की घटना है (अर्थात $2$ या $3$ चित)।
घटना $A$ के अनुकूल परिणाम हैं: $(HHH), (HHT), (HTH), (THH)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 4$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$ द्वारा दी जाती है।
$P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
अतः,कम से कम दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

(B) जब एक संतुलित पासा फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
मान लीजिए $E$ पासे पर सम संख्या आने की घटना है।
पासे पर सम संख्याएँ $\{2, 4, 6\}$ हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ द्वारा दी जाती है।

(C) जब एक संतुलित पासा फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होती है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $E$ वह घटना है जिसमें पासे पर आने वाली संख्या $3$ का गुणज है।
प्रतिदर्श समष्टि में $3$ के गुणज $3$ और $6$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणाम $E = \{3, 6\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
मान रखने पर,$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) जब एक संतुलित पासा फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं।
अतः,कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $E$ वह घटना है कि पासे पर आने वाली संख्या $3$ से छोटी है।
अनुकूल परिणाम $E = \{1, 2\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए परिणाम $(x, y)$ हैं जहाँ $x$ और $y$ क्रमशः पहले और दूसरे पासे पर आई संख्याएँ हैं।
योग $(x + y)$ सम होगा यदि:
$1.$ $x$ और $y$ दोनों विषम हों: $x$ के लिए $3$ विकल्प $(1, 3, 5)$ और $y$ के लिए $3$ विकल्प $(1, 3, 5)$ हैं। कुल परिणाम = $3 \times 3 = 9$.
$2.$ $x$ और $y$ दोनों सम हों: $x$ के लिए $3$ विकल्प $(2, 4, 6)$ और $y$ के लिए $3$ विकल्प $(2, 4, 6)$ हैं। कुल परिणाम = $3 \times 3 = 9$.
कुल अनुकूल परिणाम = $9 + 9 = 18$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(B) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर संख्याओं का योग विषम तब होता है जब एक पासे पर सम संख्या और दूसरे पर विषम संख्या हो।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि योग विषम है।
(विषम,सम) के लिए संभावित परिणाम: $(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)$ (कुल $9$ परिणाम)।
(सम,विषम) के लिए संभावित परिणाम: $(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (6,1), (6,3), (6,5)$ (कुल $9$ परिणाम)।
कुल अनुकूल परिणाम = $9 + 9 = 18$।
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$।

(C) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $S$ दोनों पासों पर संख्याओं का योग है। $S$ के संभावित मान $2$ से $12$ तक हैं।
इस सीमा में $5$ के गुणज $5$ और $10$ हैं।
हम उन युग्मों $(d_1, d_2)$ की पहचान करते हैं जिनका योग ये मान हैं:
$S = 5$ के लिए: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ (कुल $4$ परिणाम)।
$S = 10$ के लिए: $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ (कुल $3$ परिणाम)।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $4 + 3 = 7$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{7}{36}$।