Theoretical Probability Questions in Hindi

(D) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर संख्याओं का योग $2$ से $12$ के बीच होता है।
$6$ के गुणज वाले योग $6$ और $12$ हैं।
योग $6$ प्राप्त करने के लिए संभावित परिणाम $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ हैं। ऐसे कुल $5$ परिणाम हैं।
योग $12$ प्राप्त करने के लिए केवल एक संभावित परिणाम $(6, 6)$ है। ऐसा $1$ परिणाम है।
कुल अनुकूल परिणाम = $5 + 1 = 6$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $8$ से अधिक हो।
$8$ से अधिक संभावित योग $9, 10, 11$ और $12$ हैं।
इन योगों को प्राप्त करने वाले परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 11: (5, 6), (6, 5)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 12: (6, 6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 4 + 3 + 2 + 1 = 10$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(B) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $7$ से कम हो।
वे संभावित परिणाम जिनका योग $7$ से कम है,इस प्रकार हैं:
योग $= 2$: $(1, 1)$ ($1$ परिणाम)
योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 4$: $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ ($5$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{15}{36}$.
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$ प्राप्त होता है।

(C) अच्छी तरह से फेंटी गई ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
इसलिए,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 52$ है।
ताश की एक मानक गड्डी में $4$ रानियाँ होती हैं (प्रत्येक सूट के लिए एक: पान,ईंट,चिड़ी और हुकुम)।
इसलिए,रानी प्राप्त करने के अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$
मान रखने पर:
$P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
अतः,रानी निकालने की प्रायिकता $\frac{1}{13}$ है।

(D) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
फेस कार्ड वे पत्ते होते हैं जिन पर चेहरे बने होते हैं,जो राजा (King),रानी (Queen) और गुलाम (Jack) हैं।
प्रत्येक सूट में $3$ फेस कार्ड होते हैं (एक राजा,एक रानी और एक गुलाम)।
चूंकि एक गड्डी में $4$ सूट होते हैं (पान,ईंट,चिड़ी और हुकुम),इसलिए फेस कार्ड की कुल संख्या $4 \times 3 = 12$ है।
फेस कार्ड निकालने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता $P = \frac{\text{फेस कार्ड की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{12}{52}$।
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{3}{13}$ प्राप्त होता है।

(A) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
ताश की गड्डी में $4$ प्रकार के सूट होते हैं: पान (hearts),ईंट (diamonds),चिड़ी (clubs) और हुकुम (spades)।
प्रत्येक सूट में $13$ पत्ते होते हैं।
इसलिए,ईंट के पत्तों की संख्या $13$ है।
ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता $P = \frac{\text{ईंट के पत्तों की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.

(B) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $n(S) = 52$ है।
ताश की गड्डी में दो काले रंग के सूट होते हैं: हुकुम और चिड़ी।
प्रत्येक सूट में ठीक एक राजा होता है।
इसलिए,काले रंग के राजाओं की संख्या $n(E) = 2$ है (एक हुकुम का राजा और एक चिड़ी का राजा)।
काले रंग का राजा निकालने की प्रायिकता $P(E)$ सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P(E) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ प्राप्त होता है।

(C) $50$ अंकों की परीक्षा में,एक छात्र द्वारा प्राप्त किए जा सकने वाले संभावित अंक $0$ से $50$ तक हैं।
संभावित परिणामों की कुल संख्या = $50 - 0 + 1 = 51$.
छात्र $0, 1, 2, \dots, 50$ में से कोई भी पूर्णांक अंक प्राप्त कर सकता है।
अनुकूल परिणाम $30$ अंक या $35$ अंक प्राप्त करना है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $2$ (विशेष रूप से $30$ और $35$ अंक)।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभावित परिणामों की कुल संख्या}} = \frac{2}{51}$.

(D) कक्षा में छात्रों की कुल संख्या = $35 \text{ (लड़के)} + 25 \text{ (लड़कियाँ)} = 60$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (एक लड़की का चयन) = $25$.
किसी घटना की प्रायिकता $P$ का सूत्र है: $P(\text{लड़की}) = \frac{\text{लड़कियों की संख्या}}{\text{छात्रों की कुल संख्या}}$.
$P(\text{लड़की}) = \frac{25}{60}$.
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $P(\text{लड़की}) = \frac{5}{12}$.

(A) खराब बॉलपेन की कुल संख्या = $12$.
अच्छे (बिना खराब) बॉलपेन की कुल संख्या = $132$.
ढेर में बॉलपेन की कुल संख्या = $12 + 132 = 144$.
खराब बॉलपेन चुनने की प्रायिकता खराब बॉलपेन की संख्या और कुल बॉलपेन की संख्या का अनुपात है。
$P(\text{खराब}) = \frac{\text{खराब बॉलपेन की संख्या}}{\text{कुल बॉलपेन की संख्या}} = \frac{12}{144} = \frac{1}{12}$.
अतः,प्रायिकता $\frac{1}{12}$ है。

(A) चाय के पैकेटों की कुल संख्या = $50$ है।
वजन में कम पैकेटों की संख्या = $5$ है।
किसी घटना $E$ की प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
यहाँ, अनुकूल परिणाम वजन में कम पैकेट का चयन करना है।
इसलिए, $P(\text{वजन में कम}) = \frac{5}{50} = \frac{1}{10} = 0.1$ है।
अतः, वजन में कम पैकेट चुने जाने की प्रायिकता $0.1$ है।

(B) गेंदों की कुल संख्या = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
मान लीजिए $E$ सफेद या नीली गेंद चुनने की घटना है।
सफेद गेंदों की संख्या = $5$.
नीली गेंदों की संख्या = $2$.
अनुकूल परिणामों की संख्या = $5 + 2 = 7$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{7}{18}$.

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
लाल गेंदों की संख्या $= 7$.
काली गेंदों की संख्या $= 4$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (लाल या काली) $= 7 + 4 = 11$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{11}{18}$.

(A) गेंदों की कुल संख्या = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
सफेद गेंदों की संख्या = $5$.
काली गेंदों की संख्या = $4$.
ऐसी गेंदों की संख्या जो न तो सफेद हैं और न ही काली = कुल गेंदें - (सफेद गेंदें + काली गेंदें) = $18 - (5 + 4) = 18 - 9 = 9$.
जो गेंदें न तो सफेद हैं और न ही काली,वे लाल और नीली गेंदें हैं,जिनकी संख्या $7 + 2 = 9$ है।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

(C) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर संख्याओं का गुणनफल विषम होने के लिए,दोनों संख्याओं का विषम होना आवश्यक है।
पासे पर विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $3 \times 3 = 9$ है।
अनुकूल परिणाम हैं: $(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)$।
प्रायिकता $P$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$।

(A) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
वे परिणाम जिनमें दोनों पासों पर संख्याएँ समान हैं: $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ हैं।
ऐसे कुल $6$ अनुकूल परिणाम हैं।
समान संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P$,अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(B) पेंचों की कुल संख्या = $500$।
खराब पेंचों की संख्या = $80$।
खराब न होने वाले पेंचों की संख्या = $500 - 80 = 420$।
खराब न होने वाले पेंच को चुनने की प्रायिकता,खराब न होने वाले पेंचों की संख्या और पेंचों की कुल संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता = $\frac{\text{खराब न होने वाले पेंचों की संख्या}}{\text{पेंचों की कुल संख्या}} = \frac{420}{500}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{420}{500} = \frac{42}{50} = \frac{21}{25}$।
अतः,प्रायिकता $\frac{21}{25}$ है।

(C) डिब्बे में कुल पर्चियों की संख्या $n(S) = 20$ है।
पर्चियों पर $1$ से $20$ तक की संख्याएँ अंकित हैं।
$1$ और $20$ के बीच की विषम संख्याएँ $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$ हैं।
विषम संख्या वाली पर्चियों की संख्या $n(E) = 10$ है।
विषम संख्या वाली पर्ची निकालने की प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
मान रखने पर,हमें $P(E) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) कुल परिणामों की संख्या $20$ है (क्योंकि पर्चियाँ $1$ से $20$ तक क्रमांकित हैं)।
$1$ से $20$ के बीच अभाज्य संख्याएँ हैं: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $8$ है।
अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P$,अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है।
$P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$।

(A) बॉक्स में कुल पर्चियों की संख्या = $20$.
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या = $20$.
$1$ से $20$ के बीच $5$ के गुणज $5, 10, 15, 20$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $4$.
घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
इसलिए,$P(E) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

(B) जब एक निष्पक्ष सिक्के को $3$ बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
घटना $A$ को ठीक $2$ चित प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है।
घटना $A$ के लिए अनुकूल परिणाम $\{HHT, HTH, THH\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 3$ है।
अतः,प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{8}$ है।

(C) जब एक निष्पक्ष सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है: $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$।
घटना $B$ को कम से कम $2$ चित प्राप्त होने के रूप में परिभाषित किया गया है।
घटना $B$ के लिए अनुकूल परिणाम हैं: $\{HHH, HHT, HTH, THH\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(B) = 4$ है।
घटना $B$ की प्रायिकता $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

(D) जब एक निष्पक्ष सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
घटना $C$ को अधिकतम $2$ चित प्राप्त होने के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसका अर्थ है कि हमें $0, 1,$ या $2$ चित मिल सकते हैं।
घटना $C$ के अनुकूल परिणाम हैं:
$0$ चित: ${TTT}$
$1$ चित: ${HTT, THT, TTH}$
$2$ चित: ${HHT, HTH, THH}$
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $n(C) = 1 + 3 + 3 = 7$ है।
वैकल्पिक रूप से,केवल एक परिणाम ${HHH}$ (जिसमें $3$ चित हैं) इसमें शामिल नहीं है।
अतः,$P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{7}{8}$.

(A) बॉक्स में बोर्डों की कुल संख्या = $50$ है।
अतः, कुल संभावित परिणामों की संख्या = $50$ है।
माना $E$ एक ऐसे बोर्ड को चुनने की घटना है जिस पर अंकित संख्या $11$ का गुणज है।
$1$ से $50$ के बीच $11$ के गुणज $11, 22, 33,$ और $44$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $4$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$.
$P(E) = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}$.

(B) कुल परिणामों की संख्या $50$ है (क्योंकि तख्तियों पर $1$ से $50$ तक की संख्याएँ अंकित हैं)।
$1$ से $50$ के बीच अभाज्य संख्याएँ हैं: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$।
इनकी गणना करने पर,हमें कुल $15$ अभाज्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
अभाज्य संख्या चुनने की प्रायिकता $P$,अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{15}{50} = \frac{3}{10}$।

(C) कुल बोर्डों की संख्या = $50$।
$1$ से $50$ के बीच $10$ के गुणज हैं: $10, 20, 30, 40, 50$।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $5$।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}$।

(D) बक्से में गेंदों की कुल संख्या = $5$ (सफेद) + $7$ (लाल) + $4$ (काली) + $2$ (नीली) = $18$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (काली या सफेद गेंद चुनना) = $5$ (सफेद) + $4$ (काली) = $9$.
काली या सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P$, अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

(A) डिब्बे में गेंदों की कुल संख्या सभी रंगों की गेंदों का योग है:
कुल गेंदें $= 5 + 7 + 4 + 2 = 18$।
लाल गेंदों की संख्या $7$ है।
लाल गेंद चुनने की प्रायिकता लाल गेंदों की संख्या और गेंदों की कुल संख्या का अनुपात है:
$P(\text{लाल}) = \frac{\text{लाल गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{7}{18}$।

(C) $1$. सबसे पहले,वर्गाकार बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $\text{वर्ग का क्षेत्रफल} = \text{भुजा}^2 = 20 \, cm \times 20 \, cm = 400 \, cm^2$.
$2$. इसके बाद,त्रिभुज का प्रकार पहचानें। चूँकि $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
$3$. त्रिकोणीय लक्ष्य का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $\text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 5 \, cm \times 12 \, cm = 30 \, cm^2$.
$4$. डार्ट के लक्ष्य पर लगने की प्रायिकता $P$,लक्ष्य के क्षेत्रफल और बोर्ड के क्षेत्रफल का अनुपात है: $P = \frac{\text{त्रिभुज का क्षेत्रफल}}{\text{वर्ग का क्षेत्रफल}} = \frac{30}{400} = \frac{3}{40}$.

(D) एक-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 9$ है।
इनमें सम संख्याओं का समुच्चय $E = \{2, 4, 6, 8\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{9}$ है।

(A) एक-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 9$ है।
इनमें $3$ के गुणज $E = \{3, 6, 9\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
अतः,$P(E) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।

(B) जब एक संतुलित पासे को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
पासे के फलकों पर $3$ के गुणज $3$ और $6$ हैं।
माना $E$ एक $3$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है। तब $E = \{3, 6\}$,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
अतः,$3$ का गुणज प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।

(C) जब एक संतुलित पासे को फेंका जाता है तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ होती है,जो $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
मान लीजिए $E$,$4$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने की घटना है।
पासे पर $4$ से बड़ी संख्याएँ $5$ और $6$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(D) एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं।
$365$ दिन $= 52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन।
$52$ सप्ताह में $52$ शुक्रवार होते हैं।
वर्ष में $53$ शुक्रवार होने के लिए,शेष $1$ अतिरिक्त दिन का शुक्रवार होना आवश्यक है।
अतिरिक्त दिन के लिए संभावित परिणाम हैं: {सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार,रविवार}।
कुल परिणामों की संख्या $= 7$।
अनुकूल परिणामों की संख्या (शुक्रवार) $= 1$।
अतः,प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{7}$।

(A) दिसंबर के महीने में $31$ दिन होते हैं।
$31$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $3$ अतिरिक्त दिन होते हैं $(31 = 7 \times 4 + 3)$।
ये $3$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित संयोजनों में से कोई भी हो सकते हैं: (रविवार,सोमवार,मंगलवार),(सोमवार,मंगलवार,बुधवार),(मंगलवार,बुधवार,गुरुवार),(बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार),(गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार),(शुक्रवार,शनिवार,रविवार),या (शनिवार,रविवार,सोमवार)।
इन $7$ संभावित परिणामों में से,शनिवार वाले संयोजन हैं: (गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार),(शुक्रवार,शनिवार,रविवार),और (शनिवार,रविवार,सोमवार)।
कुल $7$ संभावनाओं में से $3$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{3}{7}$ है।

(B) एक सामान्य वर्ष के फरवरी महीने में $28$ दिन होते हैं।
$28$ दिनों में ठीक $4$ सप्ताह होते हैं ($4 \times 7 = 28$ दिन)।
इसलिए,एक सामान्य वर्ष के फरवरी महीने में सप्ताह का प्रत्येक दिन ठीक $4$ बार आता है।
चूंकि इसमें कोई अतिरिक्त दिन नहीं होता है,इसलिए $5$ बुधवार होना असंभव है।
अतः,इसकी प्रायिकता $0$ है।

(C) एक लीप वर्ष में फरवरी के महीने में $29$ दिन होते हैं।
$29$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होता है $(29 = 4 \times 7 + 1)$।
इन $4$ सप्ताहों में $4$ मंगलवार,$4$ बुधवार,$4$ गुरुवार,$4$ शुक्रवार,$4$ शनिवार,$4$ रविवार और $4$ सोमवार शामिल होते हैं।
शेष $1$ अतिरिक्त दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी हो सकता है: {सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार,रविवार}।
फरवरी में $5$ मंगलवार होने के लिए,यह अतिरिक्त दिन मंगलवार होना चाहिए।
कुल $7$ संभावित परिणामों में से केवल $1$ अनुकूल परिणाम (मंगलवार) है।
अतः,प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।

(D) अप्रैल के महीने में $30$ दिन होते हैं।
$30$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन होते हैं।
$4 \times 7 = 28$ दिन।
$30 - 28 = 2$ दिन शेष बचते हैं।
ये $2$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित जोड़ों में से कोई भी हो सकते हैं: (रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),या (शनिवार,रविवार)।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
महीने में $5$ शुक्रवार होने के लिए,$2$ अतिरिक्त दिनों में शुक्रवार का होना आवश्यक है।
अनुकूल परिणाम (गुरुवार,शुक्रवार) और (शुक्रवार,शनिवार) हैं।
इस प्रकार,$2$ अनुकूल परिणाम प्राप्त होते हैं।
अतः,प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{7}$।

(A) अप्रैल के महीने में $30$ दिन होते हैं।
$30$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन होते हैं $(30 = 7 \times 4 + 2)$।
ये $2$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित जोड़ों में से कोई भी हो सकते हैं: (रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार) या (शनिवार,रविवार)।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
महीने में $5$ रविवार होने के लिए,$2$ अतिरिक्त दिनों में से एक रविवार होना आवश्यक है।
अनुकूल परिणाम (रविवार,सोमवार) और (शनिवार,रविवार) हैं।
कुल $7$ संभावनाओं में से $2$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,प्रायिकता $2/7$ है।

(B) $100$ अंकों की परीक्षा में,एक छात्र $0$ से $100$ तक अंक प्राप्त कर सकता है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या = $100 - 0 + 1 = 101$।
हमें $60$ से अधिक और $66$ से कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
संभावित अंक $61, 62, 63, 64, 65$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $5$।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{101}$।

(C) सूर्य का पश्चिम में अस्त होना एक 'निश्चित घटना' है।
परिभाषा के अनुसार,एक निश्चित घटना की प्रायिकता हमेशा $1$ होती है।

(D) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
$52$ पत्तों की एक मानक गड्डी में $4$ गुलाम (jacks) होते हैं (प्रत्येक सूट के लिए एक: पान,ईंट,चिड़ी और हुकुम)।
किसी घटना की प्रायिकता $P$ का सूत्र है: $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
यहाँ,अनुकूल परिणामों की संख्या (गुलाम निकालना) $4$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $52$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।

(A) जब एक संतुलित पासे को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
मान लीजिए $E$,$3$ से छोटी संख्या प्राप्त करने की घटना है।
अनुकूल परिणाम $E = \{1, 2\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
अतः,$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(C) जब एक निष्पक्ष सिक्के को एक बार उछाला जाता है,तो संभावित परिणाम चित $(H)$ और पट $(T)$ होते हैं।
जब उसी सिक्के को दो बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ सभी संभावित परिणामों के क्रमित युग्मों का समुच्चय होता है।
$S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$.
इनकी गणना करने पर,हम पाते हैं कि कुल $4$ संभावित परिणाम हैं।
अतः,कुल परिणामों की संख्या $4$ है।

(B) जब एक निष्पक्ष सिक्के को दो बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है: $S = \{HH, HT, TH, TT\}$.
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 4$ है।
मान लीजिए कि $A$ दो चित प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणाम केवल $HH$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 1$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता का सूत्र $P(A) = \frac{m}{n}$ है।
अतः,$P(A) = \frac{1}{4}$।

(D) एक संतुलित पासे को एक बार फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 6$ है,जो $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
मान लीजिए $A$ सम संख्या प्राप्त करने की घटना है। घटना $A$ के लिए अनुकूल परिणाम $\{2, 4, 6\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 3$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।

(C) एक मानक संतुलित पासे में $1$ से $6$ तक की संख्याएँ अंकित होती हैं।
चूंकि पासे के किसी भी फलक पर संख्या $7$ मौजूद नहीं है,इसलिए एक बार फेंकने पर $7$ प्राप्त करना एक असंभव घटना है।
जो घटना घटित नहीं हो सकती,उसे असंभव घटना कहा जाता है और इसकी प्रायिकता हमेशा $0$ होती है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $0$ है।

(C) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $n = 52$ है।
तस्वीर वाला पत्ता (face card) का अर्थ है राजा,रानी या गुलाम। एक गड्डी में $4$ राजा,$4$ रानी और $4$ गुलाम होते हैं।
इसलिए,तस्वीर वाला पत्ता निकालने के लिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $m = 4 + 4 + 4 = 12$ है।
तस्वीर वाला पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(A)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.

(B) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 52$ है।
मान लीजिए कि घटना $A$ वह घटना है जिसमें निकाला गया पत्ता एक इक्का है।
चूंकि $52$ पत्तों की एक मानक गड्डी में $4$ इक्के होते हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 4$ है।
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{m}{n}$ होता है।
अतः,$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$।

(C) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकालने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 52$ है।
ताश की एक मानक गड्डी में दो काले रंग के सूट होते हैं: हुकुम (Spades) और चिड़ी (Clubs)।
प्रत्येक सूट में $13$ पत्ते होते हैं,इसलिए काले पत्तों की कुल संख्या $13 + 13 = 26$ है।
मान लीजिए कि घटना $A$ वह घटना है जिसमें निकाला गया पत्ता काले रंग का है।
घटना $A$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 26$ है।
प्रायिकता $P(A)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.