Spherical Lenses, Lens Formula and Power Questions in Hindi

(N/A) लेंस की क्षमता को उस पर आपतित प्रकाश की किरणों को अभिसरित या अपसरित करने की क्षमता के माप के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से,इसे मीटर में मापी गई फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अर्थात,$P = 1 / f$ (जहाँ $f$ मीटर में है)।
क्षमता का $SI$ मात्रक डायोप्टर $(D)$ है।
जब दो या दो से अधिक पतले लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो संयोजन की कुल क्षमता $(P)$ व्यक्तिगत लेंसों की क्षमताओं का बीजगणितीय योग होती है:
$P = P_1 + P_2 + P_3 + ...$

(A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +10\, cm$,आवर्धन $m = +2$ (आभासी प्रतिबिंब के लिए)।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,हमें $v = mu = 2u$ प्राप्त होता है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{10} = \frac{1}{2u} - \frac{1}{u} = \frac{1-2}{2u} = -\frac{1}{2u}$.
$u$ के लिए हल करने पर: $2u = -10$,इसलिए $u = -5\, cm$।
वस्तु को लेंस के सामने $5\, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।
$(b)$ यदि प्रतिबिंब वास्तविक बनता है,तो आवर्धन $m$ ऋणात्मक होता है। दोगुने आकार के वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m = -2$। $v$ और $u$ के बीच का संबंध $m = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $v = mu = -2u$।

(N/A) निर्मित प्रतिबिंब किरण आरेख में दिखाए अनुसार है। लेंस का प्रत्येक भाग प्रतिबिंब के निर्माण में योगदान देता है। इसलिए,यदि लेंस का निचला आधा भाग ढका हुआ है,तो भी यह लेंस के दूसरी ओर वस्तु के समान आकार का एक पूर्ण,वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब $2F_{2}$ पर बनाएगा। हालाँकि,प्रतिबिंब की तीव्रता (चमक) कम हो जाएगी क्योंकि लेंस से कम प्रकाश गुजरता है।
$(b)$ दूसरे मामले में (खुला लेंस),प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा,$2F_{2}$ पर बनेगा और वस्तु के समान आकार का होगा। इसकी तीव्रता पहले मामले में बने प्रतिबिंब से अधिक होगी क्योंकि लेंस के पूरे द्वारक (aperture) से अधिक प्रकाश किरणें अपवर्तित होती हैं। आरेख दिखाए अनुसार है।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h = +5 \, cm$,अवतल लेंस की फोकस दूरी $f = -10 \, cm$,वस्तु की दूरी $u = -20 \, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{-10} + \frac{1}{-20} = \frac{-2 - 1}{20} = \frac{-3}{20}$.
अतः,$v = -\frac{20}{3} \, cm \approx -6.67 \, cm$. ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही बनता है।
प्रकृति: चूंकि $v$ ऋणात्मक है,इसलिए प्रतिबिंब आभासी और सीधा है।
प्रतिबिंब का आकार $(h')$: आवर्धन $m = \frac{h'}{h} = \frac{v}{u}$ का उपयोग करते हुए।
$h' = \frac{v}{u} \times h = \frac{-20/3}{-20} \times 5 = \frac{1}{3} \times 5 = +\frac{5}{3} \, cm \approx +1.67 \, cm$.

(N/A) जब किसी वस्तु को उत्तल लेंस के सामने $F$ और $2F$ के बीच रखा जाता है,तो प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर $2F$ के पीछे बनता है।
बने हुए प्रतिबिंब की दो विशेषताएँ निम्नलिखित हैं:
$1$. प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा होता है।
$2$. प्रतिबिंब आवर्धित (वस्तु से बड़ा) होता है।

(N/A) उत्तल लेंस वस्तु की स्थिति के आधार पर निम्नलिखित प्रकार से प्रतिबिंब बनाता है:
$(a)$ जब वस्तु अनंत पर हो: प्रतिबिंब मुख्य फोकस $F_2$ पर बनता है,जो वास्तविक,उल्टा और अत्यधिक छोटा होता है।
$(b)$ जब वस्तु $2F_1$ से परे रखी हो: प्रतिबिंब $F_2$ और $2F_2$ के बीच बनता है,जो वास्तविक,उल्टा और छोटा होता है।
$(c)$ जब वस्तु $2F_1$ पर रखी हो: प्रतिबिंब $2F_2$ पर बनता है,जो वास्तविक,उल्टा और वस्तु के आकार के बराबर होता है।
$(d)$ जब वस्तु $F_1$ और $2F_1$ के बीच रखी हो: प्रतिबिंब $2F_2$ से परे बनता है,जो वास्तविक,उल्टा और आवर्धित (बड़ा) होता है।
$(e)$ जब वस्तु $F_1$ पर रखी हो: प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,जो वास्तविक,उल्टा और अत्यधिक आवर्धित होता है।
$(f)$ जब वस्तु प्रकाशिक केंद्र $O$ और मुख्य फोकस $F_1$ के बीच रखी हो: प्रतिबिंब लेंस के उसी ओर बनता है जिस ओर वस्तु रखी है,जो आभासी,सीधा और आवर्धित होता है।

(N/A) अवलोकन तालिका से यह स्पष्ट है कि अवलोकन $(iii)$ के लिए, $u = 30 \, cm$ और $v = 30 \, cm$ है। इसका अर्थ है कि $u$ और $v$ दोनों उत्तल लेंस की फोकस दूरी के दोगुने $(2f)$ के बराबर हैं।
अतः, $2f = 30 \, cm$, जिससे फोकस दूरी $f = 15 \, cm$ प्राप्त होती है।
$(b)$ अवलोकन $(v)$ गलत है। इस अवलोकन के लिए, $u = 15 \, cm$, जो कि फोकस दूरी $(f = 15 \, cm)$ के बराबर है। जब किसी वस्तु को उत्तल लेंस के फोकस पर रखा जाता है, तो प्रतिबिंब अनंत पर बनता है, न कि $70 \, cm$ पर।
$(c)$ प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार के बराबर तब होता है जब आवर्धन $m = 1$ हो। चूँकि $m = \frac{v}{u}$, इसलिए यदि $v = u$ हो तो प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार के बराबर होगा। यह अवलोकन $(iii)$ में होता है, जहाँ $u = 30 \, cm$ और $v = 30 \, cm$ है।

$(D)$ लेंस की क्षमता को उसकी फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है (जब फोकस दूरी मीटर में हो)। यह लेंस की प्रकाश की किरणों को अभिसरित या अपसरित करने की क्षमता को दर्शाता है। इसका $SI$ मात्रक डायोप्टर $(D)$ है।
$(b)$ दिया गया है कि प्रतिबिंब वास्तविक, उल्टा और वस्तु के आकार के बराबर है, इसलिए वस्तु को लेंस से $2f$ (फोकस दूरी का दोगुना) दूरी पर रखा जाना चाहिए, और प्रतिबिंब भी दूसरी ओर $2f$ पर बनता है।
यहाँ $v = 50\, cm$ दिया गया है, इसलिए $2f = 50\, cm$, जिसका अर्थ है कि $f = 25\, cm = 0.25\, m$।
अतः, सुई को लेंस के सामने $50\, cm$ की दूरी पर रखा गया है।
लेंस की क्षमता $P = \frac{1}{f(\text{मीटर में})} = \frac{1}{0.25} = +4\, D$ होगी।

(A) लेंस की क्षमता को उसकी मीटर में मापी गई फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह लेंस की प्रकाश किरणों को अभिसरित या अपसरित करने की क्षमता को दर्शाता है।
$SI$ मात्रक: क्षमता का $SI$ मात्रक डायोप्टर $(D)$ है। $1$ डायोप्टर उस लेंस की क्षमता है जिसकी फोकस दूरी $1\, m$ है।
लेंस $A$ के लिए: फोकस दूरी $f_A = +10\, cm = +0.1\, m$। चूंकि फोकस दूरी धनात्मक है,यह एक उत्तल (अभिसारी) लेंस है। क्षमता $P_A = 1 / f_A = 1 / (+0.1\, m) = +10\, D$।
लेंस $B$ के लिए: फोकस दूरी $f_B = -10\, cm = -0.1\, m$। चूंकि फोकस दूरी ऋणात्मक है,यह एक अवतल (अपसारी) लेंस है। क्षमता $P_B = 1 / f_B = 1 / (-0.1\, m) = -10\, D$।
एक उत्तल लेंस आभासी और आवर्धित प्रतिबिंब तब बनाता है जब वस्तु को प्रकाशिक केंद्र और मुख्य फोकस $(f = 10\, cm)$ के बीच रखा जाता है। चूंकि वस्तु $8\, cm$ की दूरी पर रखी गई है,जो फोकस दूरी से कम है,इसलिए लेंस $A$ आभासी और आवर्धित प्रतिबिंब बनाएगा।

(N/A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +10 \, cm$ और वस्तु की दूरी $u = -8 \, cm$.
लेंस सूत्र के अनुसार:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$
$v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-8} = \frac{1}{10} - \frac{1}{8} = \frac{4 - 5}{40} = -\frac{1}{40}$
अतः,$v = -40 \, cm$.
इस प्रकार,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि:
$(a)$ प्रतिबिंब लेंस के उसी ओर $40 \, cm$ की दूरी पर बनता है जिस ओर वस्तु स्थित है।
$(b)$ प्रतिबिंब आभासी और सीधा है।
$(c)$ प्रतिबिंब आवर्धित है,अर्थात आकार में वस्तु से बड़ा है।

(N/A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +20 \, cm$,वस्तु की दूरी $u = -30 \, cm$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-30} = \frac{3 - 2}{60} = \frac{1}{60}$
अतः,$v = +60 \, cm$।
प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर $60 \, cm$ की दूरी पर बनता है। किरण आरेख नीचे दर्शाया गया है।

(N/A) $(i)$ वस्तु लेंस के $F_1$ और $2F_1$ के बीच रखी जाती है।
$(ii)$ वस्तु लेंस के प्रकाशिक केंद्र $O$ और मुख्य फोकस $F_1$ के बीच रखी जाती है।
$(b)$ दिए गए किरण आरेखों को देखें।
$(c)$ $(i)$ लेंस की फोकस दूरी अपरिवर्तित रहती है क्योंकि लेंस की वक्रता और पदार्थ का अपवर्तनांक समान रहता है।
$(ii)$ प्रतिबिंब की तीव्रता कम हो जाती है क्योंकि लेंस का द्वारक (aperture) कम हो जाता है,जिससे लेंस से गुजरने वाला प्रकाश कम हो जाता है।

(N/A) दिया गया है: प्रतिबिंब दूरी $v = 100 \, cm$। चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है, इसलिए आवर्धन $m = -2$ होगा।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर, $-2 = \frac{100}{u}$, जिससे $u = -50 \, cm$ प्राप्त होता है।
अतः, वस्तु को लेंस के सामने $50 \, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर, $\frac{1}{f} = \frac{1}{100} - \frac{1}{-50} = \frac{1+2}{100} = \frac{3}{100}$।
इसलिए, $f = \frac{100}{3} \, cm = \frac{1}{3} \, m$।
लेंस की क्षमता $P = \frac{1}{f(\text{मीटर में})} = \frac{1}{1/3} = 3 \, D$।
$(b)$ अपवर्तन के नियम निम्नलिखित हैं:
$1$. आपतित किरण, अपवर्तित किरण तथा दो माध्यमों के अंतरापृष्ठ के आपतन बिंदु पर अभिलंब, तीनों एक ही तल में होते हैं।
$2$. स्नेल का नियम: प्रकाश के किसी निश्चित रंग तथा माध्यमों के किसी निश्चित युग्म के लिए आपतन कोण की ज्या $(\sin i)$ तथा अपवर्तन कोण की ज्या $(\sin r)$ का अनुपात स्थिर होता है, अर्थात $\frac{\sin i}{\sin r} = \text{स्थिरांक}$।

(N/A) परिभाषाएँ:
$(i)$ प्रकाशिक केंद्र: लेंस का वह केंद्रीय बिंदु जिससे होकर गुजरने वाली प्रकाश की किरण बिना किसी विचलन के निकल जाती है।
$(ii)$ वक्रता केंद्र: लेंस की सतहें जिन काल्पनिक गोलों का हिस्सा होती हैं,उनके केंद्रों को वक्रता केंद्र कहते हैं।
$(iii)$ मुख्य अक्ष: लेंस के प्रकाशिक केंद्र और वक्रता केंद्रों से होकर गुजरने वाली एक काल्पनिक रेखा।
$(iv)$ द्वारक (एपरचर): गोलीय लेंस की वृत्ताकार रूपरेखा का प्रभावी व्यास।
$(v)$ मुख्य फोकस: मुख्य अक्ष पर स्थित वह बिंदु जहाँ मुख्य अक्ष के समानांतर प्रकाश किरणें अपवर्तन के बाद अभिसरित होती हैं (उत्तल लेंस में) या अपसरित होती हुई प्रतीत होती हैं (अवतल लेंस में)।
$(vi)$ फोकस दूरी: लेंस के प्रकाशिक केंद्र और मुख्य फोकस के बीच की दूरी।
$(b)$ दिया गया है: फोकस दूरी $f = +12 \, cm$ (अभिसारी लेंस के लिए),प्रतिबिंब दूरी $v = +48 \, cm$ (दूसरी ओर वास्तविक प्रतिबिंब)।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$
$\frac{1}{12} = \frac{1}{48} - \frac{1}{u}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{48} - \frac{1}{12}$
$\frac{1}{u} = \frac{1 - 4}{48} = \frac{-3}{48} = -\frac{1}{16}$
अतः,$u = -16 \, cm$। वस्तु को लेंस के सामने $16 \, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(D) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h = 5\, cm$,वस्तु की दूरी $u = -25\, cm$,फोकस दूरी $f = 10\, cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{u} + \frac{1}{f} = \frac{1}{-25} + \frac{1}{10} = \frac{-2 + 5}{50} = \frac{3}{50}$.
अतः,$v = \frac{50}{3}\, cm \approx 16.67\, cm$.
धनात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर बनता है (वास्तविक प्रतिबिंब)।
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{h'}{h}$.
$h' = h \times \frac{v}{u} = 5 \times \frac{16.67}{-25} = -3.33\, cm$.
$h'$ का ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब उल्टा है।
इसलिए,प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा,छोटा और लेंस से $16.67\, cm$ की दूरी पर बनता है।

(B) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -50\, cm$,प्रतिबिंब की दूरी $v = -10\, cm$ (चूंकि आभासी प्रतिबिंब लेंस के सामने बनता है)।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{-50}$.
$\frac{1}{f} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{50} = \frac{-5 + 1}{50} = \frac{-4}{50}$.
अतः,$f = -\frac{50}{4} = -12.5\, cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि यह अवतल लेंस है।

(A) लेंस की क्षमता का सूत्र $P = \frac{1}{f}$ है,जहाँ $f$ मीटर में फोकस दूरी है।
दिया गया है,क्षमता $P = 2.5 \text{ D}$।
सूत्र में मान रखने पर: $2.5 = \frac{1}{f}$।
अतः,$f = \frac{1}{2.5} \text{ m} = 0.4 \text{ m}$।
मीटर को सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.4 \text{ m} = 0.4 \times 100 \text{ cm} = 40 \text{ cm}$।
चूंकि क्षमता धनात्मक $(+2.5 \text{ D})$ है,इसलिए फोकस दूरी भी धनात्मक है,जो यह दर्शाता है कि लेंस एक उत्तल लेंस है।

(A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +10 \ cm$,प्रतिबिंब दूरी $v = +12 \ cm$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है और लेंस के दूसरी ओर दीवार पर बनता है)।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{12} - \frac{1}{u} = \frac{1}{10}$.
$u$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{u} = \frac{1}{12} - \frac{1}{10}$.
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर: $\frac{1}{u} = \frac{5 - 6}{60} = \frac{-1}{60}$.
अतः,$u = -60 \ cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि वस्तु को लेंस के सामने $60 \ cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(B) यह दिया गया है कि प्रतिबिंब वास्तविक, उल्टा और वस्तु के आकार का है, इसलिए वस्तु को उत्तल लेंस से $2f$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।
चूंकि प्रतिबिंब $v = 50\, cm$ की दूरी पर बनता है, इसलिए $2f = 50\, cm$ है।
अतः, फोकस दूरी $f = 25\, cm = 0.25\, m$ है।
वस्तु के समान आकार का प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए, वस्तु को लेंस के सामने $2f$ यानी $50\, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।
लेंस की क्षमता $P$ का सूत्र $P = \frac{1}{f(\text{मीटर में})}$ है।
मान रखने पर, $P = \frac{1}{0.25} = 4\, D$ प्राप्त होता है।

(A) जब लेंसों को संपर्क में रखा जाता है,तो संयोजन की प्रभावी क्षमता $(P)$ लेंसों की व्यक्तिगत क्षमताओं का बीजगणितीय योग होती है।
$P = P_1 + P_2$
यहाँ $P_1 = +3.5 D$ और $P_2 = -2.5 D$ दिया गया है।
अतः,$P = +3.5 D + (-2.5 D) = +1.0 D$.
संयोजन की फोकस दूरी $(f)$ कुल क्षमता के व्युत्क्रम के बराबर होती है $(f = 1/P)$.
$f = 1 / 1.0 D = 1.0 m$.
चूंकि क्षमता धनात्मक है,इसलिए यह संयोजन $1.0 m$ फोकस दूरी वाले उत्तल लेंस की तरह व्यवहार करता है।

(D) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +25\, cm$,प्रतिबिंब दूरी $v = +75\, cm$ (क्योंकि यह लेंस के दूसरी ओर है)।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{75} - \frac{1}{u} = \frac{1}{25}$.
$u$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{u} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1 - 3}{75} = \frac{-2}{75}$.
अतः,$u = -37.5\, cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि वस्तु लेंस के सामने $37.5\, cm$ की दूरी पर रखी गई है।
चूंकि $v$ धनात्मक है और प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है। साथ ही,चूंकि $|v| > |u|$ $(75 > 37.5)$ है,इसलिए प्रतिबिंब आवर्धित (बड़ा) है।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = 5 \, cm$,वस्तु की दूरी $u = -30 \, cm$,फोकस दूरी $f = +20 \, cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v = 60 \, cm$। धनात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर बनता है।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{I}{O} = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर:
$m = \frac{I}{5} = \frac{60}{-30} = -2$.
$I = 5 \times (-2) = -10 \, cm$.
$(i)$ स्थिति: लेंस के दूसरी ओर $60 \, cm$ की दूरी पर।
(ii) प्रकृति: वास्तविक और उल्टा (चूंकि $v$ धनात्मक है और $I$ ऋणात्मक है)।
(iii) आकार: $10 \, cm$ लंबा।

(D) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = 10 \, cm$,वस्तु की दूरी $u = -20 \, cm$,फोकस दूरी $f = +30 \, cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-20} = \frac{2 - 3}{60} = -\frac{1}{60}$.
अतः,प्रतिबिंब की स्थिति $v = -60 \, cm$ है (प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही बनता है)।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{I}{O} = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{I}{10} = \frac{-60}{-20} = 3$.
अतः,प्रतिबिंब का आकार $I = 30 \, cm$ है।
चूंकि $v$ ऋणात्मक है,इसलिए प्रतिबिंब आभासी और सीधा है। चूंकि ऊँचाई $I$ धनात्मक है और $O$ से बड़ी है,इसलिए प्रतिबिंब आवर्धित (बड़ा) है।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = 3 \, cm$,वस्तु की दूरी $u = -20 \, cm$,फोकस दूरी $f = +12 \, cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{12} + \frac{1}{-20} = \frac{5 - 3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$.
अतः,$v = +30 \, cm$। धनात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर बनता है।
आवर्धन $m = \frac{I}{O} = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{I}{3} = \frac{30}{-20} = -1.5$.
$I = 3 \times (-1.5) = -4.5 \, cm$.
प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और $4.5 \, cm$ आकार का है।

(D) दिया है: वस्तु की ऊँचाई $O = 4 \ cm$,वस्तु की दूरी $u = -27 \ cm$,फोकस दूरी $f = +18 \ cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{18} + \frac{1}{-27} = \frac{3-2}{54} = \frac{1}{54}$।
अतः,प्रतिबिंब की स्थिति $v = +54 \ cm$ है।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{I}{O} = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{I}{4} = \frac{54}{-27} = -2$।
अतः,प्रतिबिंब का आकार $I = 4 \times (-2) = -8 \ cm$ है।
$v$ का धनात्मक मान यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर बनता है,और $I$ का ऋणात्मक मान यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = 3.0 \text{ cm}$,फोकस दूरी $f = -7.5 \text{ cm}$,प्रतिबिंब दूरी $v = -5.0 \text{ cm}$.
$(i)$ लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{u} = \frac{1}{v} - \frac{1}{f} = \frac{1}{-5.0} - \frac{1}{-7.5} = -0.2 + 0.1333 = -0.0667 \text{ cm}^{-1}$.
अतः,$u = -15 \text{ cm}$. वस्तु को अवतल लेंस के सामने $15 \text{ cm}$ की दूरी पर रखा गया है।
(ii) आवर्धन $m = \frac{I}{O} = \frac{v}{u}$.
$I = \frac{v}{u} \times O = \frac{-5.0}{-15.0} \times 3.0 = 1.0 \text{ cm}$.
चूँकि आवर्धन धनात्मक है $(m = +0.33)$,प्रतिबिंब आभासी,सीधा और $1.0 \text{ cm}$ आकार का है।

(A) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -12 \, cm$,प्रतिबिंब की दूरी $v = 18 \, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{18} - \frac{1}{-12} = \frac{1}{18} + \frac{1}{12}$.
$18$ और $12$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $36$ लेने पर: $\frac{1}{f} = \frac{2+3}{36} = \frac{5}{36}$.
अतः,$f = \frac{36}{5} = 7.2 \, cm$.
आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{v}{u} = \frac{18}{-12} = -1.5$ है।
चूंकि आवर्धन का परिमाण $|m| = 1.5 > 1$ है,इसलिए प्रतिबिंब आवर्धित (magnified) है।

(D) $(i)$ क्षमता $P = +2 \text{ D}$ के लिए,लेंस उत्तल लेंस है। फोकस दूरी $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{+2} = +0.5 \text{ m} = +50 \text{ cm}$ है।
$(ii)$ क्षमता $P = -4 \text{ D}$ के लिए,लेंस अवतल लेंस है। फोकस दूरी $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-4} = -0.25 \text{ m} = -25 \text{ cm}$ है।
$(b)$ दिया गया है: क्षमता $P = -4 \text{ D}$,वस्तु की दूरी $u = -100 \text{ cm}$।
फोकस दूरी $f = \frac{1}{P} = -25 \text{ cm}$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{-25} + \frac{1}{-100} = \frac{-4 - 1}{100} = \frac{-5}{100} = -\frac{1}{20}$।
अतः,$v = -20 \text{ cm}$। प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही $20 \text{ cm}$ की दूरी पर बनता है।

(A) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = 2.0 \text{ cm}$,फोकस दूरी $f = +10 \text{ cm}$,वस्तु की दूरी $u = -15 \text{ cm}$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$.
अतः,$v = +30 \text{ cm}$। धनात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर बनता है।
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{I}{O}$.
$I = \frac{v}{u} \times O = \frac{30}{-15} \times 2.0 = -4 \text{ cm}$.
प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और $4 \text{ cm}$ लंबा है,जो लेंस से $30 \text{ cm}$ की दूरी पर बनता है।

(N/A) प्रकाश की किरण लेंस के प्रकाशिक केंद्र (optical centre) से गुजर रही होगी।
जब प्रकाश की किरण लेंस के प्रकाशिक केंद्र से गुजरती है,तो उसमें कोई अपवर्तन या विचलन नहीं होता है।
इसका कारण यह है कि लेंस का मध्य भाग एक बहुत पतली कांच की स्लैब की तरह कार्य करता है,जिससे प्रकाश अपने पथ को बदले बिना सीधे निकल जाता है।

(N/A) $(i)$ जब वस्तु को प्रकाशिक केंद्र और मुख्य फोकस के बीच रखा जाता है,तो उत्तल लेंस एक आवर्धित और आभासी प्रतिबिंब उत्पन्न कर सकता है।
$(ii)$ अवतल लेंस वस्तु की किसी भी स्थिति के लिए हमेशा एक छोटा और आभासी प्रतिबिंब ही उत्पन्न करता है।

(A) हाँ,यह संभव है। लेंस मेकर सूत्र के अनुसार माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $f$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
यदि आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक $(n_m)$ लेंस सामग्री के अपवर्तनांक $(n_l)$ से अधिक है,तो पद $(\frac{n_l}{n_m} - 1)$ ऋणात्मक हो जाता है।
इसके कारण लेंस की प्रकृति बदल जाती है: एक उत्तल लेंस (अभिसारी) एक अवतल लेंस (अपसारी) के रूप में व्यवहार करेगा,और इसके विपरीत भी संभव है।

(B) कांच के दिए गए टुकड़े को किसी मुद्रित सामग्री (छपे हुए अक्षरों) के ऊपर रखें।
$(i)$ यदि अक्षर आवर्धित (बड़े) दिखाई देते हैं,तो दिया गया टुकड़ा उत्तल लेंस है।
$(ii)$ यदि अक्षर छोटे दिखाई देते हैं,तो दिया गया टुकड़ा अवतल लेंस है।
$(iii)$ यदि अक्षर समान आकार के दिखाई देते हैं,तो यह एक समतल कांच का टुकड़ा है।

(N/A) $(i)$ जब $n_{1} > n_{2}$ होता है,तो लेंस आसपास के माध्यम की तुलना में सघन माध्यम के रूप में कार्य करता है। इसलिए,अवतल लेंस एक अपसारी (diverging) लेंस के रूप में व्यवहार करता है,और समानांतर किरणें इससे गुजरने के बाद फैल जाती हैं।
$(ii)$ जब $n_{1} = n_{2}$ होता है,तो लेंस और आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक समान होता है। प्रकाशीय घनत्व में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए प्रकाश की किरणें बिना किसी विचलन या अपवर्तन के लेंस से सीधे गुजर जाती हैं।
$(iii)$ जब $n_{1} < n_{2}$ होता है,तो लेंस आसपास के माध्यम की तुलना में विरल माध्यम के रूप में कार्य करता है। इस स्थिति में,लेंस की प्रकृति उलट जाती है और अवतल लेंस एक अभिसारी (converging) लेंस के रूप में व्यवहार करता है,जिससे समानांतर किरणें इससे गुजरने के बाद एक बिंदु पर केंद्रित हो जाती हैं।

(N/A) $(i)$ अपवर्तित किरण $BD$ चित्र में दिखाई गई है।
$(ii)$ वह बिंदु जिससे होकर अपवर्तित किरण मुख्य अक्ष पर गुजरती है,लेंस का मुख्य फोकस (चित्र में $F_2$ के रूप में दर्शाया गया है) कहलाता है।

(N/A) जब किसी वस्तु को उत्तल लेंस के मुख्य फोकस $(F)$ पर रखा जाता है,तो अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के समानांतर हो जाती हैं और अनंत पर मिलती हैं। इसके परिणामस्वरूप अनंत पर एक वास्तविक,उल्टा और अत्यधिक आवर्धित प्रतिबिंब बनता है।
इसलिए,वस्तु को लेंस के प्रकाशिक केंद्र से $10\, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।
किरण आरेख नीचे दिखाया गया है।

(N/A) $(i)$ निर्मित प्रतिबिंब का आवर्धन इकाई (या $1$) है।
$(ii)$ निर्मित प्रतिबिंब $(1)$ वास्तविक और $(2)$ उल्टा है,और यह वस्तु के स्थान पर ही बनता है।
$(iii)$ वस्तु और लेंस के प्रकाशिक केंद्र के बीच की दूरी को लेंस की फोकस दूरी कहा जाता है।

(CONCAVE LENS) चूंकि मुख्य अक्ष के समानांतर आपतित प्रकाश किरण लेंस द्वारा अपसरित (diverge) हो रही है,इसलिए प्रयुक्त लेंस एक अवतल लेंस है।
किरण आरेख को पूरा करने के लिए:
$1$. इंगित स्थान पर एक अवतल लेंस बनाएँ।
$2$. अपसरित किरण को पीछे की ओर तब तक बढ़ाएँ जब तक कि वह मुख्य फोकस $F_2$ से गुजरती हुई प्रतीत न हो।
$3$. वस्तु $B$ के शीर्ष से एक दूसरी किरण खींचें जो लेंस के प्रकाशिक केंद्र से होकर गुजरती है। यह किरण बिना किसी विचलन के सीधी निकल जाएगी।
$4$. जिस बिंदु पर ये दोनों किरणें प्रतिच्छेद करती हुई प्रतीत होती हैं,वहाँ प्रतिबिंब $A'B'$ की स्थिति प्राप्त होती है।
पूर्ण आकृति नीचे दर्शाई गई है।

(N/A) $(i)$ इस संयोजन द्वारा बना लेंस अवतल लेंस (concave lens) है।
$(ii)$ यह लेंस एक अपसारी लेंस (diverging lens) है।
$(iii)$ अवतल लेंस प्रकाश की समानांतर किरणों को अपवर्तन के बाद फैला देता है (अपसारित करता है)। ये किरणें मुख्य अक्ष पर स्थित एक बिंदु से आती हुई प्रतीत होती हैं,जिसे मुख्य फोकस कहा जाता है। इसे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है।

(N/A) वस्तु $AB$ को उत्तल लेंस के प्रकाशिक केंद्र $O$ और मुख्य फोकस $F_{1}$ के बीच रखा गया है।
$(i)$ $B$ से शुरू होकर प्रकाशिक केंद्र $O$ से गुजरने वाली प्रकाश की किरण बिना किसी विचलन के सीधी निकल जाती है।
$(ii)$ $B$ से शुरू होकर मुख्य अक्ष के समानांतर चलने वाली प्रकाश की किरण लेंस द्वारा अपवर्तन के बाद मुख्य फोकस $F_{2}$ से होकर गुजरती है।
$(iii)$ दोनों अपवर्तित किरणें बिंदु $B'$ से अपसरित होती हुई प्रतीत होती हैं। $B'$ से मुख्य अक्ष पर लंब डालने पर,हमें बिंदु $A'$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$A'B'$ वस्तु $AB$ का आभासी प्रतिबिंब है।
$(iv)$ बनने वाला प्रतिबिंब आभासी और सीधा है।

(N/A) $(i)$ दूरी $OS$ को लेंस की फोकस दूरी कहा जाता है।
$(ii)$ किरणें अभी भी उसी बिंदु $S$ पर वापस लौटेंगी। जब समतल दर्पण $M$ को उत्तल लेंस $L$ के संपर्क में रखा जाता है,तो बिंदु स्रोत $S$ (जो मुख्य फोकस पर स्थित है) से आने वाली किरणें लेंस से गुजरने के बाद मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती हैं। ये समानांतर किरणें समतल दर्पण $M$ पर लंबवत पड़ती हैं और उसी पथ पर वापस परावर्तित हो जाती हैं। लेंस से दोबारा गुजरने के बाद,वे बिंदु स्रोत $S$ पर ही अभिसरित (converge) होती हैं।

(N/A) उपयोग किया गया लेंस अवतल लेंस है क्योंकि यह अपने सामने कहीं भी रखी वस्तु के लिए सीधा,आभासी और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
$(i)$ अवतल लेंस की रूपरेखा $L$ स्थिति पर बनाई गई है।
(ii) $B$ से निकलने वाली और प्रकाशीय केंद्र $O$ से गुजरने वाली किरण बिना विचलित हुए सीधी निकल जाती है।
(iii) $B$ से मुख्य अक्ष के समानांतर निकलने वाली किरण,अपवर्तन के बाद मुख्य फोकस $F_2$ से अपसरित होती हुई प्रतीत होती है।
(iv) अंतिम प्रतिबिंब $A'B'$,प्रकाशीय केंद्र $O$ और मुख्य फोकस $F_2$ के बीच,वस्तु की ओर ही बनता है।

(N/A) यह लेंस एक उत्तल लेंस है।
चूंकि प्रतिबिंब आभासी,सीधा और आवर्धित है,इसलिए वस्तु को उत्तल लेंस के प्रकाशिक केंद्र और मुख्य फोकस के बीच रखा जाना चाहिए।
लेंस वस्तु $O$ और प्रतिबिंब $I$ के बीच स्थित है।
लेंस का पता लगाने के लिए,वस्तु के शीर्ष से प्रतिबिंब के शीर्ष तक एक रेखा खींचें और इसे मुख्य अक्ष को काटने तक बढ़ाएँ; यह बिंदु लेंस का प्रकाशिक केंद्र है।
लेंस को दर्शाने के लिए इस बिंदु से एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें।
फोकस $F$ का पता लगाने के लिए,वस्तु के शीर्ष से मुख्य अक्ष के समानांतर एक किरण खींचें,जो अपवर्तन के बाद फोकस से होकर गुजरेगी। इस अपवर्तित किरण को पीछे की ओर बढ़ाएँ ताकि यह प्रतिबिंब बिंदु से मिल सके। जिस बिंदु पर समानांतर किरण अपवर्तन के बाद मुख्य अक्ष से मिलती है,वह फोकस $F$ है।

(N/A) शक्ति और फोकस दूरी के बीच संबंध $P = \frac{1}{f}$ होता है।
शक्ति में वृद्धि का अर्थ है फोकस दूरी में कमी।
चूंकि सूर्य का प्रकाश अनंत से आता है,इसलिए प्रतिबिंब लेंस के फोकस बिंदु पर बनता है।
यदि शक्ति को दोगुना कर दिया जाए $(P' = 2P)$,तो नई फोकस दूरी मूल फोकस दूरी की आधी हो जाती है $(f' = \frac{f}{2})$।
इसलिए,सूर्य के प्रकाश को कार्ड पर केंद्रित करने के लिए,उसे लेंस को कार्ड के करीब ले जाना होगा,जो कि पिछली फोकस दूरी के आधे के बराबर दूरी पर होगा।

(N/A) जब वस्तु को प्रकाशिक केंद्र $(O)$ और मुख्य फोकस $(F_1)$ के बीच रखा जाता है,तो उत्तल लेंस एक आभासी और सीधा प्रतिबिंब बनाता है।
इसे समझाने के लिए,वस्तु के शीर्ष $(B)$ से निकलने वाली दो किरणों पर विचार करें: एक किरण मुख्य अक्ष के समानांतर चलती है और अपवर्तन के बाद फोकस $(F_2)$ से होकर गुजरती है,जबकि दूसरी किरण प्रकाशिक केंद्र $(O)$ से बिना किसी विचलन के गुजरती है।
जब इन दोनों अपवर्तित किरणों को पीछे की ओर बढ़ाया जाता है,तो वे लेंस के उसी ओर एक बिंदु $(B')$ पर मिलती हुई प्रतीत होती हैं जिस ओर वस्तु स्थित है।
इस प्रकार,बना हुआ प्रतिबिंब $(A'B')$ आभासी,सीधा और आवर्धित होता है,और यह वस्तु की ही ओर बनता है।

(C) उत्तल लेंस के लिए,जब किसी वस्तु को वक्रता केंद्र $(2F_1)$ पर रखा जाता है,तो बनने वाला प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और वस्तु के आकार के बराबर होता है।
यह प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर वक्रता केंद्र $(2F_2)$ पर बनता है।
इसलिए,सही स्थिति वक्रता केंद्र पर है।

(D) लेंस की क्षमता (पावर,$P$) उसकी मीटर में मापी गई फोकस दूरी $(f)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे सूत्र $P = \frac{1}{f(m)}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि $P \propto \frac{1}{f}$,इसलिए जिस लेंस की फोकस दूरी कम होगी,उसकी क्षमता अधिक होगी।
दी गई फोकस दूरियों की तुलना करने पर: $10 \, cm < 20 \, cm < 25 \, cm < 50 \, cm$।
अतः,$10 \, cm$ फोकस दूरी वाले लेंस की क्षमता अधिकतम होगी $(P = \frac{1}{0.1} = 10 \, D)$।

(D) लेंस की क्षमता $(P)$ को मीटर में उसकी फोकस दूरी $(f)$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र है: $P = \frac{1}{f(m)}$.
यहाँ दिया गया है,$P = +5.0 \,D$.
सूत्र में मान रखने पर: $5.0 = \frac{1}{f}$.
अतः,$f = \frac{1}{5.0} \,m = 0.2 \,m$.
फोकस दूरी को सेंटीमीटर में बदलने के लिए,$100$ से गुणा करने पर: $f = 0.2 \times 100 \,cm = +20 \,cm$.
चूंकि क्षमता धनात्मक है,इसलिए यह एक उत्तल लेंस है और इसकी फोकस दूरी धनात्मक होती है।

(B) उत्तल लेंस एक अभिसारी लेंस है। जब मुख्य अक्ष के समानांतर चलने वाली प्रकाश की किरणें उत्तल लेंस की सतह पर पड़ती हैं,तो उनका अपवर्तन होता है। लेंस से गुजरने के बाद,ये किरणें मुख्य अक्ष पर एक विशिष्ट बिंदु पर केंद्रित हो जाती हैं। इस विशिष्ट बिंदु को लेंस का मुख्य फोकस $(F)$ कहा जाता है।

(C) उत्तल लेंस के लिए,जब किसी वस्तु को मुख्य फोकस $(F)$ और वक्रता केंद्र $(2F)$ के बीच रखा जाता है,तो बनने वाला प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और आवर्धित (बड़ा) होता है।
यह प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर $2F$ से परे बनता है।
अतः,वस्तु की सही स्थिति $F$ और $2F$ के बीच है।