Cartesian System Questions in Gujarati

(C) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,ઉગમબિંદુ એ એવું બિંદુ છે જ્યાં $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ એકબીજાને છેદે છે. વ્યાખ્યા મુજબ,ઉગમબિંદુના યામ $(0, 0)$ છે.

(B) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,આડી રેખાને $x$-અક્ષ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાને $y$-અક્ષ કહેવામાં આવે છે. તેથી,સાચો જવાબ $y$-અક્ષ છે.

(C) કાર્તેઝિયન સમતલમાં,અક્ષો $XOX'$ અને $YOY'$ સમતલને ચાર ચરણોમાં વિભાજિત કરે છે.
- પ્રથમ ચરણ ધન $X$-અક્ષ અને ધન $Y$-અક્ષ વચ્ચેના પ્રદેશ દ્વારા રચાય છે.
- દ્વિતીય ચરણ ઋણ $X$-અક્ષ $(OX')$ અને ધન $Y$-અક્ષ $(OY)$ વચ્ચેના પ્રદેશ દ્વારા રચાય છે.
- તૃતીય ચરણ ઋણ $X$-અક્ષ $(OX')$ અને ઋણ $Y$-અક્ષ $(OY')$ વચ્ચેના પ્રદેશ દ્વારા રચાય છે.
- ચતુર્થ ચરણ ધન $X$-અક્ષ $(OX)$ અને ઋણ $Y$-અક્ષ $(OY')$ વચ્ચેના પ્રદેશ દ્વારા રચાય છે.
તેથી,$\angle X'OY'$ નો આંતરિક ભાગ તૃતીય ચરણને અનુરૂપ છે.

(B) યામ ભૂમિતિમાં,ચરણો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$I$ ચરણ: $(+, +)$
$II$ ચરણ: $(-, +)$
$III$ ચરણ: $(-, -)$
$IV$ ચરણ: $(+, -)$
આપેલ બિંદુ $\left(-\frac{7}{2}, \frac{5}{2}\right)$ માં,$x$-યામ ઋણ છે અને $y$-યામ ધન છે.
તેથી,આ બિંદુ $II$ ચરણમાં આવેલું છે.

(C) કાર્તેઝિયન સમતલમાં,$X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ સમતલને ચાર ચરણોમાં વિભાજિત કરે છે. $X^{\prime}OX$ રેખા $X$-અક્ષ દર્શાવે છે,જ્યાં $OX$ એ ધન $X$-અક્ષ છે અને $OX^{\prime}$ એ ઋણ $X$-અક્ષ છે. તેવી જ રીતે,$YOY^{\prime}$ એ $Y$-અક્ષ દર્શાવે છે,જ્યાં $OY$ એ ધન $Y$-અક્ષ છે અને $OY^{\prime}$ એ ઋણ $Y$-અક્ષ છે. ત્રીજું ચરણ ઋણ $X$-અક્ષ $(OX^{\prime})$ અને ઋણ $Y$-અક્ષ $(OY^{\prime})$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે. તેથી,$\angle X^{\prime}OY^{\prime}$ નો અંદરનો ભાગ ત્રીજું ચરણ દર્શાવે છે.

(A) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$y$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુનું ઉગમબિંદુથી આડું અંતર $0$ હોય છે. તેથી,$y$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુનો $x$-યામ (જેને ભુજ પણ કહેવાય છે) હંમેશા $0$ હોય છે. $y$-અક્ષ પરના બિંદુના યામ $(0, y)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) કાર્તેઝિયન સમતલમાં,જો કોઈ બિંદુ $(x, y)$ ના યામ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે એક યામ ધન છે અને બીજો યામ ઋણ છે.
કિસ્સો $1$: $x > 0$ અને $y < 0$. આ ચતુર્થ ચરણ દર્શાવે છે.
કિસ્સો $2$: $x < 0$ અને $y > 0$. આ દ્વિતીય ચરણ દર્શાવે છે.
તેથી,વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા યામવાળું બિંદુ દ્વિતીય ચરણ અથવા ચતુર્થ ચરણમાં આવેલું હોય છે.

(A) આપેલા બે બિંદુઓના યામ $(8, 8)$ અને $(-8, 8)$ છે.
બંને બિંદુઓ માટે $y$-યામ સમાન હોવાથી $(y = 8)$,આ બિંદુઓને જોડતી રેખા એક આડી રેખા છે.
આડી રેખા હંમેશા $x$-અક્ષને સમાંતર હોય છે.
તેથી,આ રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર છે.

(D) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ સમતલને ચાર ચરણોમાં વિભાજિત કરે છે.
- પ્રથમ ચરણ કિરણ $OX$ અને કિરણ $OY$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
- દ્વિતીય ચરણ કિરણ $OX'$ અને કિરણ $OY$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
- તૃતીય ચરણ કિરણ $OX'$ અને કિરણ $OY'$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
- ચતુર્થ ચરણ કિરણ $OX$ અને કિરણ $OY'$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
તેથી,કિરણ $OY'$ અને કિરણ $OX$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ ચતુર્થ ચરણ છે.

(D) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,યામ અક્ષોમાં $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષનો સમાવેશ થાય છે.
આ બંને અક્ષો ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર એકબીજાને છેદે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,યામ અક્ષોના છેદનથી બનતા ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ છે.

(B) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,કિરણ $OX$ એ ધન $x$-અક્ષ દર્શાવે છે,જ્યાં $x > 0$ હોય છે. કિરણ $OX^{\prime}$ એ ઋણ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે,જ્યાં $x < 0$ હોય છે. બિંદુ $(a, 0)$ એ કિરણ $OX^{\prime}$ પર આવેલું હોવાથી,$x$-યામ $a$ એ ઋણ સંખ્યા હોવી જોઈએ.

(A) જો કોઈ બિંદુનો $y$-યામ $0$ હોય,તો તે બિંદુ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે તેમ કહેવાય.
આપેલ બિંદુ $\left(7 \frac{3}{4}, 0\right)$ માં,$y$-યામ $0$ છે.
તેથી,આ બિંદુ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(B) આલેખપત્ર (Cartesian plane) માં ચરણો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$1$. પ્રથમ ચરણ: $x > 0, y > 0$
$2$. દ્વિતીય ચરણ: $x < 0, y > 0$
$3$. તૃતીય ચરણ: $x < 0, y < 0$
$4$. ચતુર્થ ચરણ: $x > 0, y < 0$
આપેલ બિંદુનો $x$-યામ ઋણ અને $y$-યામ ધન હોવાથી,તે બિંદુ દ્વિતીય ચરણમાં આવેલું છે.

(C) આપેલ કિંમતો $a=5, b=3, c=-8, d=-5$ છે.
આપણે બિંદુ $(a+c, b+d)$ ના યામ શોધવાના છે.
પ્રથમ,$x$-યામની ગણતરી કરો: $a+c = 5 + (-8) = -3$.
ત્યારબાદ,$y$-યામની ગણતરી કરો: $b+d = 3 + (-5) = -2$.
આમ,બિંદુ $(-3, -2)$ મળે છે.
અહીં $x$-યામ અને $y$-યામ બંને ઋણ હોવાથી,આ બિંદુ તૃતીય ચરણમાં આવેલું છે.

(B) કાર્તેઝિયન સમતલમાં,સમીકરણ $x=0$ એવા તમામ બિંદુઓ દર્શાવે છે જ્યાં $x$-યામ $0$ હોય છે. $y$-અક્ષ પરના દરેક બિંદુ માટે $x$-યામ $0$ હોવાથી,$x=0$ નો આલેખ $y$-અક્ષ છે.