Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(N/A) $(i)$ બિંદુના યામ શોધવા માટે,આપણે $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાન જોઈએ છીએ.
- બિંદુ $B$ માટે,$x$-યામ $-5$ છે અને $y$-યામ $2$ છે. તેથી,$B = (-5, 2)$.
- બિંદુ $C$ માટે,$x$-યામ $-2$ છે અને $y$-યામ $-3$ છે. તેથી,$C = (-2, -3)$.
- બિંદુ $E$ માટે,$x$-યામ $3$ છે અને $y$-યામ $-1$ છે. તેથી,$E = (3, -1)$.
$(ii)$ યામ $(0, -2)$ નો અર્થ છે કે $x = 0$ અને $y = -2$. આલેખ જોતા,આ બિંદુ $Y$-અક્ષ પર $-2$ પર આવેલું છે,જે બિંદુ $F$ છે.
$(iii)$ $x$-યામ (abscissa) એ બિંદુનો $x$-નિર્દેશાંક છે. બિંદુ $H$ ના યામ $(1, 4)$ છે. તેથી,તેનો $x$-યામ $1$ છે.
$(iv)$ $y$-યામ (ordinate) એ બિંદુનો $y$-નિર્દેશાંક છે. બિંદુ $D$ ના યામ $(4, 0)$ છે. તેથી,તેનો $y$-યામ $0$ છે.

(N/A) $1$. આલેખ પેપર પર યામ અક્ષો $X'OX$ અને $Y'OY$ દોરો.
$2$. બિંદુઓ $P(-3, 2)$,$Q(-7, -3)$,$R(6, -3)$,અને $S(2, 2)$ ને તેમના અનુરૂપ $x$ અને $y$ યામો શોધીને આલેખ પર દર્શાવો.
$3$. બિંદુઓને $P$ થી $Q$,$Q$ થી $R$,$R$ થી $S$,અને $S$ થી $P$ ના ક્રમમાં જોડો.
$4$. બનતી આકૃતિનું અવલોકન કરો. બાજુ $PS$ એ બાજુ $QR$ ને સમાંતર છે કારણ કે બંને આડી રેખાઓ પર આવેલા છે (અનુક્રમે $y=2$ અને $y=-3$),પરંતુ તેમની લંબાઈ અલગ છે ($PS = 5$ એકમ,$QR = 13$ એકમ).
$5$. કારણ કે સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર છે અને બીજી જોડ સમાંતર નથી,તેથી મળતી આકૃતિ સમલંબ ચતુષ્કોણ (Trapezium) છે.

(N/A) $1$. કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $A(1,3)$,$B(-1,-1)$,અને $C(-2,-3)$ નું આલેખન કરો.
$2$. અવલોકન કરો કે ત્રણેય બિંદુઓ $A$,$B$,અને $C$ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે.
$3$. બિંદુઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હોવાથી,તેઓ સમરેખ છે.

(N/A) $1$. કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(2, -3)$,અને $C(-1, -2)$ ને આલેખિત કરો.
$2$. આલેખ પર આ બિંદુઓના સ્થાનનું અવલોકન કરો.
$3$. જો બિંદુઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હોય,તો તેમને સમરેખ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે.
$4$. આ બિંદુઓને જોડતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તેઓ એક સીધી રેખા બનાવતા નથી.
$5$. તેથી,આપેલા બિંદુઓ સમરેખ નથી.

(N/A) $1$. કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $A(0,0)$,$B(2,2)$,અને $C(5,5)$ ને આલેખો.
$2$. અવલોકન કરો કે ત્રણેય બિંદુઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે.
$3$. બિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હોવાથી,તેઓ સમરેખ છે.

(A) $x$-અક્ષ પરના બિંદુનો $y$-યામ $0$ હોય છે. $y$-અક્ષથી તેનું અંતર $7$ એકમ હોવાથી,તેનો $x$-યામ $7$ છે. તેથી,તેના યામ $(7, 0)$ છે.
$y$-અક્ષ પરના બિંદુનો $x$-યામ $0$ હોય છે. $x$-અક્ષથી તેનું અંતર $-7$ એકમ આપેલું છે. યામ ભૂમિતિમાં,$x$-અક્ષથી અંતર એ $y$-યામ દર્શાવે છે. તેથી,$y$-યામ $-7$ છે. આમ,તેના યામ $(0, -7)$ છે.

(C) $1$. કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $A(5,3)$,$B(-2,3)$ અને $D(5,-4)$ ને આલેખો.
$2$. બિંદુઓ $AB$ અને $AD$ ને જોડો. $ABCD$ એક ચોરસ હોવાથી,તેની બધી બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે અને દરેક અંતઃકોણ $90^{\circ}$ નો છે.
$3$. બાજુ $AB$ સમક્ષિતિજ ($x$-અક્ષને સમાંતર) છે,જેની લંબાઈ $|5 - (-2)| = 7$ એકમ છે. બાજુ $AD$ શિરોલંબ ($y$-અક્ષને સમાંતર) છે,જેની લંબાઈ $|3 - (-4)| = 7$ એકમ છે.
$4$. ચોરસ પૂર્ણ કરવા માટે,શિરોબિંદુ $C$ નો $x$-યામ $B$ જેવો (એટલે કે $-2$) અને $y$-યામ $D$ જેવો (એટલે કે $-4$) હોવો જોઈએ.
$5$. તેથી,શિરોબિંદુ $C$ ના યામ $(-2,-4)$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $5$ અને $3$ એકમ છે.
એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
લાંબી બાજુ (લંબાઈ $= 5$) $x$-અક્ષ પર આવેલી છે.
જેহেতু એક શિરોબિંદુ ત્રીજા ચરણમાં આવેલું છે,તેથી લંબચોરસ ઋણ $x$-અક્ષ અને ઋણ $y$-અક્ષ તરફ વિસ્તરેલો હોવો જોઈએ.
તેથી,શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. ઉગમબિંદુ: $(0,0)$
$2$. ઋણ $x$-અક્ષ પર $5$ એકમ અંતરે: $(-5,0)$
$3$. $(-5,0)$ થી $3$ એકમ નીચે ત્રીજા ચરણમાં: $(-5,-3)$
$4$. ઉગમબિંદુથી $y$-અક્ષ પર $3$ એકમ નીચે: $(0,-3)$
આમ,શિરોબિંદુઓના યામ $(0,0), (-5,0), (-5,-3),$ અને $(0,-3)$ છે.

(N/A) $(i)$ બિંદુનો $x$-યામ એટલે તેનો $x$-નિર્દેશાંક. જે બિંદુઓનો $x$-યામ $0$ હોય તે $y$-અક્ષ પર આવેલા હોય છે. આકૃતિ પરથી,$y$-અક્ષ પરના બિંદુઓ $A(0, 3)$,$L(0, -4)$ અને ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
$(ii)$ બિંદુનો $y$-યામ એટલે તેનો $y$-નિર્દેશાંક. જે બિંદુઓનો $y$-યામ $0$ હોય તે $x$-અક્ષ પર આવેલા હોય છે. આકૃતિ પરથી,$x$-અક્ષ પરના બિંદુઓ $I(-2, 0)$,$G(5, 0)$ અને ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
$(iii)$ બિંદુનો $x$-યામ એટલે તેનો $x$-નિર્દેશાંક. આપણે એવા બિંદુઓ શોધવાના છે જેનો $x$-નિર્દેશાંક $-5$ હોય. આકૃતિ પરથી,આ બિંદુઓ $D(-5, 1)$ અને $H(-5, -3)$ છે.

(N/A) $A(1, -1)$ અને $B(4, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ મેળવી શકાય:
ઢાળ $m = \frac{5 - (-1)}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા: $y - (-1) = 2(x - 1) \implies y + 1 = 2x - 2 \implies y = 2x - 3$.
$(i)$ $A$ અને $B$ ની વચ્ચેનું બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $1$ અને $4$ ની વચ્ચેનો $x$-યામ પસંદ કરી શકીએ. ધારો કે $x = 2$,તો $y = 2(2) - 3 = 1$. આમ,$M(2, 1)$ એ રેખાખંડ $AB$ પરનું એક બિંદુ છે.
$(ii)$ રેખાખંડ $AB$ ની બહારનું બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $4$ થી મોટો અથવા $1$ થી નાનો $x$-યામ પસંદ કરી શકીએ. ધારો કે $x = 5$,તો $y = 2(5) - 3 = 7$. આમ,$N(5, 7)$ એ રેખા પરનું એક બિંદુ છે જે રેખાખંડ $AB$ ની બહાર આવેલું છે.

(N/A) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ ના યામ શોધવા માટે,આપણે $Y$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર (જે $x$-યામ આપે છે) અને $X$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર (જે $y$-યામ આપે છે) નક્કી કરીએ છીએ. આપેલ માપદંડ $1 \,cm = 5$ એકમ મુજબ,આપણે ગ્રીડના એકમોની ગણતરી કરીએ છીએ.

બિંદુ	યામ $(x, y)$
$P$	$(10, 15)$
$Q$	$(-15, 0)$
$R$	$(20, -15)$
$S$	$(0, 25)$
$T$	$(-20, 20)$
$U$	$(-20, -25)$
$V$	$(0, -15)$
$W$	$(25, 0)$

(N/A) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ ના યામ શોધવા માટે,આપણે $Y$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર ($x$-યામ આપે છે) અને $X$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર ($y$-યામ આપે છે) નક્કી કરીએ છીએ. આપેલ માપદંડ $1 \, cm = 10$ એકમ મુજબ,આપણે ગ્રીડના એકમોની ગણતરી કરીએ છીએ.

બિંદુ	યામ
$P$	$(-50, 40)$
$Q$	$(80, -60)$
$R$	$(0, 40)$
$S$	$(-70, 0)$
$T$	$(-70, -70)$
$U$	$(0, -40)$
$V$	$(80, 0)$
$W$	$(30, 30)$

(N/A)

બિંદુના યામ	બિંદુનું સ્થાન
$A(5, 0)$	$x$-અક્ષ પર
$B(3, -2)$	$4^{th}$ ચરણમાં
$C(-2, 5)$	$2^{nd}$ ચરણમાં
$D(0, 4)$	$y$-અક્ષ પર
$E(-3, -4)$	$3^{rd}$ ચરણમાં
$F(4, 3)$	$1^{st}$ ચરણમાં
$G(0, -4)$	$y$-અક્ષ પર
$H(-5, 0)$	$x$-અક્ષ પર

(B) $x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(x, 0)$ સ્વરૂપના હોય છે,જ્યાં $x$ એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(5, -5)$ છે,તેનો $y$-યામ $-5$ છે,જે $0$ ની બરાબર નથી.
તેથી,બિંદુ $(5, -5)$ એ $x$-અક્ષ પર આવેલું નથી.
આમ,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(C) રેખાખંડ બિંદુઓ $P(5,3)$ અને $Q(5,-8)$ ને જોડે છે.
બંને બિંદુઓના $x$-યામ સમાન હોવાથી,તે $x = 5$ સમીકરણ ધરાવતી શિરોલંબ રેખા છે.
શિરોલંબ રેખા $x = 5$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર છે અને $x$-અક્ષને તે બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $y = 0$ હોય.
તેથી,આ રેખા $x$-અક્ષને $(5,0)$ બિંદુમાં છેદે છે.

(D) બિંદુઓ $A(3, -8)$ અને $B(3, 5)$ નો $x$-યામ સમાન છે,જે $3$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે આ બે બિંદુઓને જોડતી રેખા એક શિરોલંબ રેખા છે જેનું સમીકરણ $x = 3$ છે.
શિરોલંબ રેખા $x = 3$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર છે અને તે $x$-અક્ષને એવા બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $y$-યામ $0$ હોય છે.
તેથી,છેદબિંદુ $(3, 0)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a=5$ અને $b=7$.
આ કિંમતોને યામ $(a-b, b-a)$ માં મૂકતા:
$x$-યામ $= a - b = 5 - 7 = -2$.
$y$-યામ $= b - a = 7 - 5 = 2$.
તેથી બિંદુ $(-2, 2)$ મળે છે.
અહીં $x$-યામ ઋણ છે અને $y$-યામ ધન છે,તેથી બિંદુ $(-2, 2)$ એ દ્વિતીય ચરણમાં આવેલું છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુ $(x, y)$ નું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
આપેલ બિંદુ $(0, -6)$ ની કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{0^2 + (-6)^2}$
$d = \sqrt{0 + 36}$
$d = \sqrt{36}$
$d = 6$
આમ,અંતર $6$ એકમ છે.

(A) બિંદુ $P$ ના યામ $(3, 2)$ છે અને બિંદુ $Q$ ના યામ $(3, -5)$ છે.
બંને બિંદુઓ માટે $x$-યામ $3$ હોવાથી,આ બિંદુઓને જોડતી રેખા એ $x = 3$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી શિરોલંબ રેખા છે.
$y$-અક્ષને સમાંતર શિરોલંબ રેખા $x$-અક્ષને $(3, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,આ રેખા $x$-અક્ષને છેદે છે.