Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष के सापेक्ष उसकी स्थिति देखते हैं।
- बिंदु $B$ के लिए,$x$-निर्देशांक $-5$ है और $y$-निर्देशांक $2$ है। अतः,$B = (-5, 2)$.
- बिंदु $C$ के लिए,$x$-निर्देशांक $-2$ है और $y$-निर्देशांक $-3$ है। अतः,$C = (-2, -3)$.
- बिंदु $E$ के लिए,$x$-निर्देशांक $3$ है और $y$-निर्देशांक $-1$ है। अतः,$E = (3, -1)$.
$(ii)$ निर्देशांक $(0, -2)$ का अर्थ है कि $x = 0$ और $y = -2$ है। ग्राफ को देखने पर,यह बिंदु $Y$-अक्ष पर $-2$ पर स्थित है,जो बिंदु $F$ है।
$(iii)$ भुज (abscissa) किसी बिंदु का $x$-निर्देशांक होता है। बिंदु $H$ के निर्देशांक $(1, 4)$ हैं। इसलिए,भुज $1$ है।
$(iv)$ कोटि (ordinate) किसी बिंदु का $y$-निर्देशांक होता है। बिंदु $D$ के निर्देशांक $(4, 0)$ हैं। इसलिए,कोटि $0$ है।

(N/A) $1$. ग्राफ पेपर पर निर्देशांक अक्ष $X'OX$ और $Y'OY$ खींचिए।
$2$. बिंदुओं $P(-3, 2)$,$Q(-7, -3)$,$R(6, -3)$,और $S(2, 2)$ को उनके संबंधित $x$ और $y$ निर्देशांकों द्वारा ग्राफ पर अंकित कीजिए।
$3$. बिंदुओं को $P$ से $Q$,$Q$ से $R$,$R$ से $S$,और $S$ से $P$ के क्रम में जोड़िए।
$4$. प्राप्त आकृति का अवलोकन कीजिए। भुजा $PS$,भुजा $QR$ के समांतर है क्योंकि दोनों क्षैतिज रेखाओं पर स्थित हैं (क्रमशः $y=2$ और $y=-3$),लेकिन उनकी लंबाई अलग-अलग है ($PS = 5$ इकाई,$QR = 13$ इकाई)।
$5$. चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है और दूसरा नहीं,इसलिए प्राप्त आकृति एक समलंब चतुर्भुज (Trapezium) है।

(N/A) $1$. कार्तीय तल पर बिंदुओं $A(1,3)$,$B(-1,-1)$,और $C(-2,-3)$ को आलेखित कीजिए।
$2$. अवलोकन कीजिए कि तीनों बिंदु $A$,$B$,और $C$ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
$3$. चूँकि बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं,इसलिए वे संरेख हैं।

(N/A) $1$. कार्तीय तल पर बिंदुओं $A(1, 1)$,$B(2, -3)$,और $C(-1, -2)$ को आलेखित कीजिए।
$2$. ग्राफ पर इन बिंदुओं की स्थिति का अवलोकन कीजिए।
$3$. यदि बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं,तो उन्हें संरेख बिंदु कहा जाता है।
$4$. इन बिंदुओं को जोड़ने पर,हम देख सकते हैं कि वे एक सीधी रेखा नहीं बनाते हैं।
$5$. अतः,दिए गए बिंदु संरेख नहीं हैं।

(N/A) $1$. कार्तीय तल पर बिंदुओं $A(0,0)$,$B(2,2)$,और $C(5,5)$ को आलेखित कीजिए।
$2$. अवलोकन कीजिए कि तीनों बिंदु मूल बिंदु से होकर गुजरने वाली एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
$3$. चूँकि बिंदु $A, B,$ और $C$ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं,इसलिए वे संरेख हैं।

(A) $x$-अक्ष पर स्थित बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होता है। चूँकि $y$-अक्ष से इसकी दूरी $7$ इकाई है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $7$ है। अतः,इसके निर्देशांक $(7, 0)$ हैं।
$y$-अक्ष पर स्थित बिंदु का $x$-निर्देशांक $0$ होता है। $x$-अक्ष से इसकी दूरी $-7$ इकाई दी गई है। निर्देशांक ज्यामिति में,$x$-अक्ष से दूरी $y$-निर्देशांक को दर्शाती है। इसलिए,$y$-निर्देशांक $-7$ है। अतः,इसके निर्देशांक $(0, -7)$ हैं।

(C) $1$. कार्तीय तल पर बिंदुओं $A(5,3)$,$B(-2,3)$ और $D(5,-4)$ को आलेखित कीजिए।
$2$. बिंदुओं $AB$ और $AD$ को मिलाइए। चूंकि $ABCD$ एक वर्ग है,इसलिए इसकी सभी भुजाएं समान लंबाई की हैं और प्रत्येक आंतरिक कोण $90^{\circ}$ का है।
$3$. भुजा $AB$ क्षैतिज ($x$-अक्ष के समानांतर) है,जिसकी लंबाई $|5 - (-2)| = 7$ इकाई है। भुजा $AD$ ऊर्ध्वाधर ($y$-अक्ष के समानांतर) है,जिसकी लंबाई $|3 - (-4)| = 7$ इकाई है।
$4$. वर्ग को पूरा करने के लिए,शीर्ष $C$ का $x$-निर्देशांक $B$ के समान (अर्थात $-2$) और $y$-निर्देशांक $D$ के समान (अर्थात $-4$) होना चाहिए।
$5$. अतः,शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(-2,-4)$ हैं।

(N/A) दिया गया है कि आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $5$ और $3$ इकाई है।
एक शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
लंबी भुजा (लंबाई $= 5$) $x$-अक्ष पर स्थित है।
चूंकि एक शीर्ष तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए आयत को ऋणात्मक $x$-अक्ष और ऋणात्मक $y$-अक्ष की ओर विस्तारित होना चाहिए।
अतः,शीर्ष इस प्रकार हैं:
$1$. मूल बिंदु: $(0,0)$
$2$. ऋणात्मक $x$-अक्ष पर $5$ इकाई की दूरी पर: $(-5,0)$
$3$. $(-5,0)$ से $3$ इकाई नीचे तीसरे चतुर्थांश में: $(-5,-3)$
$4$. मूल बिंदु से $y$-अक्ष पर $3$ इकाई नीचे: $(0,-3)$
इस प्रकार,शीर्षों के निर्देशांक $(0,0), (-5,0), (-5,-3),$ और $(0,-3)$ हैं।

(N/A) $(i)$ किसी बिंदु का भुज उसका $x$-निर्देशांक होता है। जिन बिंदुओं का भुज $0$ होता है,वे $y$-अक्ष पर स्थित होते हैं। आकृति से,$y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $A(0, 3)$,$L(0, -4)$ और मूलबिंदु $O(0, 0)$ हैं।
$(ii)$ किसी बिंदु की कोटि उसका $y$-निर्देशांक होता है। जिन बिंदुओं की कोटि $0$ होती है,वे $x$-अक्ष पर स्थित होते हैं। आकृति से,$x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $I(-2, 0)$,$G(5, 0)$ और मूलबिंदु $O(0, 0)$ हैं।
$(iii)$ किसी बिंदु का भुज उसका $x$-निर्देशांक होता है। हमें वे बिंदु ज्ञात करने हैं जिनका $x$-निर्देशांक $-5$ है। आकृति से,ये बिंदु $D(-5, 1)$ और $H(-5, -3)$ हैं।

(N/A) $A(1, -1)$ और $B(4, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार है:
प्रवणता $m = \frac{5 - (-1)}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$.
बिंदु-प्रवणता रूप का उपयोग करने पर: $y - (-1) = 2(x - 1) \implies y + 1 = 2x - 2 \implies y = 2x - 3$.
$(i)$ $A$ और $B$ के बीच एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $1$ और $4$ के बीच का एक $x$-निर्देशांक चुन सकते हैं। मान लीजिए $x = 2$,तो $y = 2(2) - 3 = 1$। अतः,$M(2, 1)$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित एक बिंदु है।
$(ii)$ रेखाखंड $AB$ के बाहर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $4$ से बड़ा या $1$ से छोटा $x$-निर्देशांक चुन सकते हैं। मान लीजिए $x = 5$,तो $y = 2(5) - 3 = 7$। अतः,$N(5, 7)$ रेखा पर स्थित एक ऐसा बिंदु है जो रेखाखंड $AB$ के बाहर स्थित है।

(N/A) किसी भी बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम $Y$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी (जो $x$-निर्देशांक देती है) और $X$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी (जो $y$-निर्देशांक देती है) निर्धारित करते हैं। दिए गए पैमाने $1 \,cm = 5$ इकाई के अनुसार,हम ग्रिड इकाइयों की गणना करते हैं।

बिंदु	निर्देशांक $(x, y)$
$P$	$(10, 15)$
$Q$	$(-15, 0)$
$R$	$(20, -15)$
$S$	$(0, 25)$
$T$	$(-20, 20)$
$U$	$(-20, -25)$
$V$	$(0, -15)$
$W$	$(25, 0)$

(N/A) किसी भी बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम $Y$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी ($x$-निर्देशांक देती है) और $X$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी ($y$-निर्देशांक देती है) निर्धारित करते हैं। दिए गए पैमाने $1 \, cm = 10$ इकाई के अनुसार,हम ग्रिड इकाइयों की गणना करते हैं।

बिंदु	निर्देशांक
$P$	$(-50, 40)$
$Q$	$(80, -60)$
$R$	$(0, 40)$
$S$	$(-70, 0)$
$T$	$(-70, -70)$
$U$	$(0, -40)$
$V$	$(80, 0)$
$W$	$(30, 30)$

(N/A)

बिंदु के निर्देशांक	बिंदु की स्थिति
$A(5, 0)$	$x$-अक्ष पर
$B(3, -2)$	$4^{th}$ चतुर्थांश में
$C(-2, 5)$	$2^{nd}$ चतुर्थांश में
$D(0, 4)$	$y$-अक्ष पर
$E(-3, -4)$	$3^{rd}$ चतुर्थांश में
$F(4, 3)$	$1^{st}$ चतुर्थांश में
$G(0, -4)$	$y$-अक्ष पर
$H(-5, 0)$	$x$-अक्ष पर

(B) $x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(x, 0)$ के रूप में होते हैं,जहाँ $x$ कोई भी वास्तविक संख्या है।
चूँकि दिया गया बिंदु $(5, -5)$ है,इसका $y$-निर्देशांक $-5$ है,जो $0$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,बिंदु $(5, -5)$ $x$-अक्ष पर स्थित नहीं है।
अतः,यह कथन असत्य है।

(C) रेखाखंड बिंदुओं $P(5,3)$ और $Q(5,-8)$ को जोड़ता है।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $x$-निर्देशांक $5$ के बराबर हैं,इसलिए यह रेखा $x = 5$ समीकरण द्वारा निरूपित एक ऊर्ध्वाधर (vertical) रेखा है।
एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 5$,$y$-अक्ष के समानांतर होती है और $x$-अक्ष को उस बिंदु पर काटती है जहाँ $y = 0$ होता है।
अतः,यह रेखा $x$-अक्ष को $(5,0)$ पर प्रतिच्छेद करती है।

(D) बिंदुओं $A(3, -8)$ और $B(3, 5)$ का $x$-निर्देशांक समान है,जो कि $3$ है।
इसका अर्थ है कि इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जिसका समीकरण $x = 3$ है।
एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$,$y$-अक्ष के समानांतर होती है और $x$-अक्ष को उस बिंदु पर काटती है जहाँ $y$-निर्देशांक $0$ होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 0)$ है।

(B) दिया गया है कि $a=5$ और $b=7$ है।
इन मानों को निर्देशांक $(a-b, b-a)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x$-निर्देशांक $= a - b = 5 - 7 = -2$.
$y$-निर्देशांक $= b - a = 7 - 5 = 2$.
अतः बिंदु $(-2, 2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$-निर्देशांक ऋणात्मक है और $y$-निर्देशांक धनात्मक है,इसलिए बिंदु $(-2, 2)$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

(D) मूलबिंदु $(0, 0)$ से किसी बिंदु $(x, y)$ की दूरी ज्ञात करने का सूत्र $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।
दिए गए बिंदु $(0, -6)$ के निर्देशांकों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{0^2 + (-6)^2}$
$d = \sqrt{0 + 36}$
$d = \sqrt{36}$
$d = 6$
अतः,दूरी $6$ इकाई है।

(A) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(3, 2)$ हैं और बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(3, -5)$ हैं।
चूंकि दोनों बिंदुओं के लिए $x$-निर्देशांक $3$ है,इसलिए इन बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जिसे समीकरण $x = 3$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$y$-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x$-अक्ष को $(3, 0)$ बिंदु पर काटती है।
अतः,यह रेखा $x$-अक्ष को काटती है।