Polynomials in One Variable Questions in Gujarati

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $ax^3 + bx^2 + cx + d$ માં ચલ $x$ છે.
પદોમાં $x$ ની ઘાત $3, 2, 1$ અને $0$ છે (કારણ કે $d = dx^0$).
આમાં સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $3$ છે.

(C) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{8} - 6561$ માં,ચલ $x$ છે.
ચલ $x$ નો સૌથી મોટો ઘાતાંક $8$ છે.
તેથી,બહુપદી $x^{8} - 6561$ ની ઘાત $8$ છે.

(C) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેની ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે કરવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3} + 5x^{2} + 12$ માટે,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
$3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$x^{3} + 5x^{2} + 12$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(B) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેના ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે કરવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $4x^{2} - 49$ માટે,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$4x^{2} - 49$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(A) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેના ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે કરવામાં આવે છે.
$1$. આપેલી પદાવલિ $5 - 3t$ છે.
$2$. આ પદાવલિમાં ચલ $t$ છે.
$3$. ચલ $t$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ છે.
$4$. $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$5 - 3t$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(A) બહુપદીને તેની ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $4y + 11$ માટે,ચલ $y$ છે અને તેની સૌથી મોટી ઘાત $1$ છે.
$1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$4y + 11$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(C) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેના ઘાત (ચલની મહત્તમ ઘાત) ના આધારે કરવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3}+2x^{2}+3x+2$ માટે,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે.
$3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,આપેલ પદાવલિ એક ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(B) બહુપદીને તેની ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$1$. $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
$2$. $2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
$3$. $3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $35x^{2} - 16x - 12$ માં,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
બહુપદીની ઘાત $2$ હોવાથી,તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} + 5x - 24$ છે.
$x = 3$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $3$ મૂકીશું:
$p(3) = (3)^{2} + 5(3) - 24$
$= 9 + 15 - 24$
$= 24 - 24$
$= 0$
તેથી,$x = 3$ આગળ $p(x)$ ની કિંમત $0$ છે.

(N/A) $q(y) = 5y^3 - 4y^2 + 14y - \sqrt{3}$
$y$ ની જગ્યાએ $2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$q(2) = 5(2)^3 - 4(2)^2 + 14(2) - \sqrt{3}$
$= 5(8) - 4(4) + 28 - \sqrt{3}$
$= 40 - 16 + 28 - \sqrt{3}$
$= 24 + 28 - \sqrt{3}$
$= 52 - \sqrt{3}$
તેથી,$y = 2$ આગળ $q(y)$ નું મૂલ્ય $52 - \sqrt{3}$ છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી $p(t) = 5t^{2} - 11t + 7$ છે.
$t = a$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,આપેલ પદાવલિમાં $t$ ની જગ્યાએ $a$ મૂકો.
$p(a) = 5(a)^{2} - 11(a) + 7$
$p(a) = 5a^{2} - 11a + 7$
તેથી,$t = a$ આગળ બહુપદી $p(t)$ ની કિંમત $5a^{2} - 11a + 7$ છે.

(D) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{2}-7x+12$ છે.
$x=-2$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય શોધવા માટે,પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $-2$ મૂકો:
$p(-2) = (-2)^{2} - 7(-2) + 12$
$p(-2) = 4 + 14 + 12$
$p(-2) = 30$.
આમ,$x=-2$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $30$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 7x + 12$ માં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$p(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{2} - 7(\frac{1}{2}) + 12$
$p(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{7}{2} + 12$
છેદ સમાન કરતા (લસાઅ $4$ લેતા):
$p(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{14}{4} + \frac{48}{4}$
$p(\frac{1}{2}) = \frac{1 - 14 + 48}{4}$
$p(\frac{1}{2}) = \frac{35}{4}$
મિશ્ર સંખ્યામાં ફેરવતા:
$\frac{35}{4} = 8 \frac{3}{4}$

(N/A) બહુપદી $p(y) = y^{2} - 5y + 4$ ની આપેલા બિંદુઓ પર કિંમત શોધવા માટે,આપણે $y$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકીશું:
$1$. $y = 1$ માટે: $p(1) = (1)^{2} - 5(1) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$.
$2$. $y = 2$ માટે: $p(2) = (2)^{2} - 5(2) + 4 = 4 - 10 + 4 = -2$.
$3$. $y = 4$ માટે: $p(4) = (4)^{2} - 5(4) + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$.
આમ,કિંમતો $p(1) = 0$,$p(2) = -2$ અને $p(4) = 0$ છે.

(N/A) કિંમતો શોધવા માટે,$t$ ની આપેલી કિંમતોને બહુપદી $p(t) = t^{2} - 6t + 8$ માં મૂકો.
$t = 1$ માટે: $p(1) = (1)^{2} - 6(1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3$.
$t = 2$ માટે: $p(2) = (2)^{2} - 6(2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$.
$t = 4$ માટે: $p(4) = (4)^{2} - 6(4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0$.

કિંમતો શોધવા માટે,$x$ ની આપેલી કિંમતોને બહુપદી $p(x) = x^3 + 9x^2 + 23x + 15$ માં મૂકો:
$1$. $x = 1$ માટે:
$p(1) = (1)^3 + 9(1)^2 + 23(1) + 15 = 1 + 9 + 23 + 15 = 48$.
$2$. $x = 2$ માટે:
$p(2) = (2)^3 + 9(2)^2 + 23(2) + 15 = 8 + 9(4) + 46 + 15 = 8 + 36 + 46 + 15 = 105$.
$3$. $x = 4$ માટે:
$p(4) = (4)^3 + 9(4)^2 + 23(4) + 15 = 64 + 9(16) + 92 + 15 = 64 + 144 + 92 + 15 = 315$.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} - 4x + 3$ છે.
સૌ પ્રથમ,$p(2)$ ની ગણતરી કરો:
$p(2) = (2)^{2} - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
ત્યારબાદ,$p(-1)$ ની ગણતરી કરો:
$p(-1) = (-1)^{2} - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$.
પછી,$p(1/2)$ ની ગણતરી કરો:
$p(1/2) = (1/2)^{2} - 4(1/2) + 3 = 1/4 - 2 + 3 = 1/4 + 1 = 5/4$.
અંતે,આ કિંમતોને $p(2) - p(-1) + p(1/2)$ પદાવલિમાં મૂકો:
$-1 - 8 + 5/4 = -9 + 5/4 = (-36 + 5) / 4 = -31/4$.

(C) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 1$ છે,જેને $x - (-1)$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,આપણે $p(-1)$ શોધવાની જરૂર છે.
આપેલ છે કે $p(x) = x^3 + x^2 - 26x + 24$.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 26(-1) + 24$
$p(-1) = -1 + 1 + 26 + 24$
$p(-1) = 0 + 50$
$p(-1) = 50$.
આમ,શેષ $50$ છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2}-5x+4$ છે.
જો કોઈ બહુપદીની ઘાત (ચલનો મહત્તમ ઘાતાંક) $1$ હોય,તો તેને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $x^{2}-5x+4$ માં,ચલ $x$ નો મહત્તમ ઘાતાંક $2$ છે.
બહુપદીની ઘાત $2$ હોવાથી,તે દ્વિઘાત બહુપદી છે,સુરેખ બહુપદી નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની મહત્તમ ઘાત.
બહુપદી $5x^{2} - 7x + 2$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $2$,$1$ અને $0$ છે (કારણ કે $2 = 2x^{0}$).
આમાં સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
તેથી,બહુપદી $5x^{2} - 7x + 2$ ની ઘાત $2$ છે,$5$ નથી.
આથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
બહુપદી $5x^{3} - 3x^{2} + 11x - 14$ માં,$x^{3}$ વાળું પદ $5x^{3}$ છે.
$x^{3}$ નો સહગુણક એ $x^{3}$ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ છે,જે $5$ છે,$3$ નથી.

(B) બહુપદીને તેના ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$4 x^{2}+11 x-3$ પદાવલિ માટે,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$4 x^{2}+11 x-3$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(A) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $5x^{2} - 7x - 11$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $2$,$1$ અને $0$ છે (કારણ કે $11 = 11x^{0}$).
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $2$ છે.

(A) આપેલી બહુપદી $p(x) = 5x^{3} - 3x^{2} + 11x - 4$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ ધરાવતું પદ જોઈએ,જે $-3x^{2}$ છે.
$x^{2}$ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ $-3$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $-3$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + 8x + 12$ છે.
$p(-1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} - 3(-1)^{2} + 8(-1) + 12$
$p(-1) = -1 - 3(1) - 8 + 12$
$p(-1) = -1 - 3 - 8 + 12$
$p(-1) = -12 + 12$
$p(-1) = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બહુપદીની ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$7x^5 - 4x^4 + 2(x^3)^2 - x^2 + 35$
$= 7x^5 - 4x^4 + 2x^6 - x^2 + 35$
બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
સાદું રૂપ આપેલ પદાવલિ $2x^6 + 7x^5 - 4x^4 - x^2 + 35$ માં,$x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $6$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $6$ છે.

(A) $p(2)$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} - 7x + 12$ માં $x = 2$ મૂકો.
$p(2) = (2)^{2} - 7(2) + 12$
$p(2) = 4 - 14 + 12$
$p(2) = 16 - 14$
$p(2) = 2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $p(-2)$ શોધવા માટે,આપેલ બહુપદી $p(x) = 5x^2 - 11x + 3$ માં $x = -2$ મૂકો.
$p(-2) = 5(-2)^2 - 11(-2) + 3$
$p(-2) = 5(4) + 22 + 3$
$p(-2) = 20 + 22 + 3$
$p(-2) = 45$
તેથી,$p(-2)$ નું મૂલ્ય $45$ છે.