Polynomials in One Variable Questions in Gujarati

(D) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેની ઘાતને આધારે કરવામાં આવે છે,જે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત છે.
આપેલ બહુપદી $p(y) = y^{3}-y$ માટે,ચલ $y$ ની સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
$3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$y^{3}-y$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(C) $1$ ઘાતવાળી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી,$2$ ઘાતવાળી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી અને $3$ ઘાતવાળી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $1+x+x^{2}$ માં,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
બહુપદીની ઘાત $2$ હોવાથી,તેને દ્વિઘાત બહુપદી તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(QUADRATIC) $2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
બહુપદી $t^{2}$ ની ઘાત $2$ હોવાથી,તે એક દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(B) $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $\sqrt{2} x - 1$ છે.
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ હોવાથી,બહુપદીની ઘાત $1$ છે.
તેથી,$\sqrt{2} x - 1$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(B) ધારો કે બહુપદી $p(x) = 3x^{3} - 4x^{2} + 7x - 5$ છે.
$x = 3$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $3$ મૂકીશું:
$p(3) = 3(3)^{3} - 4(3)^{2} + 7(3) - 5$
ઘાતની ગણતરી કરતા:
$p(3) = 3(27) - 4(9) + 21 - 5$
ગુણાકાર કરતા:
$p(3) = 81 - 36 + 21 - 5$
સરવાળા અને બાદબાકી કરતા:
$p(3) = 45 + 21 - 5 = 66 - 5 = 61$.
આમ,$x = 3$ આગળ બહુપદીની કિંમત $61$ છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^2 - 4x + 3$ છે.
પ્રથમ,$p(2)$ ની ગણતરી કરો:
$p(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
ત્યારબાદ,$p(-1)$ ની ગણતરી કરો:
$p(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$.
પછી,$p\left(\frac{1}{2}\right)$ ની ગણતરી કરો:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
અંતે,$p(2) - p(-1) + p\left(\frac{1}{2}\right)$ પદાવલિની કિંમત શોધો:
$= -1 - 8 + \frac{5}{4} = -9 + \frac{5}{4} = \frac{-36 + 5}{4} = \frac{-31}{4}$.

આપેલ બહુપદી $p(x) = 10x - 4x^{2} - 3$ છે.
$(i)$ $p(0)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 0$ મૂકતા:
$p(0) = 10(0) - 4(0)^{2} - 3 = 0 - 0 - 3 = -3$.
$(ii)$ $p(1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = 10(1) - 4(1)^{2} - 3 = 10 - 4 - 3 = 3$.
$(iii)$ $p(-2)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = 10(-2) - 4(-2)^{2} - 3 = -20 - 4(4) - 3 = -20 - 16 - 3 = -39$.

(C) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં $g(x) = x - 3$ આપેલ છે,તેથી $x$ ની કિંમત શોધવા માટે $g(x) = 0$ લેતા:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.
હવે,$p(x)$ માં $x = 3$ મૂકતા:
$p(3) = (3)^{3} - 3(3)^{2} + 4(3) + 50$
$p(3) = 27 - 3(9) + 12 + 50$
$p(3) = 27 - 27 + 12 + 50$
$p(3) = 0 + 62 = 62$.
આમ,મળતી શેષ $62$ છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $g(x) = ax + b$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(-b/a)$ મળે છે.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે $g(x) = 0$ લો:
$1 - \frac{3}{2}x = 0$
$\frac{3}{2}x = 1$
$x = \frac{2}{3}$
હવે,$p(x)$ માં $x = \frac{2}{3}$ મૂકતા:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} - 6\left(\frac{2}{3}\right)^{2} + 2\left(\frac{2}{3}\right) - 4$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - 6\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{4}{3} - 4$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{24}{9} + \frac{4}{3} - 4$
સરવાળો કરવા માટે,સામાન્ય છેદ $27$ લો:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{72}{27} + \frac{36}{27} - \frac{108}{27}$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8 - 72 + 36 - 108}{27}$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{-136}{27}$

(A) આપેલી પદાવલિ $\pi x^{2}-\sqrt{3} x+11$ છે.
$1$. બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોય છે.
$2$. પદાવલિ $\pi x^{2}-\sqrt{3} x+11$ માં,ચલ $x$ ના ઘાતાંક $2$,$1$ અને $0$ છે (કારણ કે $11 = 11x^{0}$).
$3$. અહીં બધા ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવાથી,આ પદાવલિ એક બહુપદી છે.
$4$. આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $x$ હોવાથી,તે એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(D) આપેલી પદાવલિ $x^{2} + x - 3 + \frac{4}{x}$ છે.
આપણે પદ $\frac{4}{x}$ ને $4x^{-1}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,પદાવલિ $x^{2} + x - 3 + 4x^{-1}$ બને છે.
બહુપદીની વ્યાખ્યા મુજબ,બહુપદી એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (non-negative integer) હોય છે.
આ પદાવલિમાં,$4x^{-1}$ પદમાં $x$ નો ઘાતાંક $-1$ છે,જે ઋણ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,આપેલી પદાવલિ બહુપદી નથી.

(D) આપેલી પદાવલિ $5 x^{2}-7 x+3 \sqrt{x}$ છે.
કોઈ પદાવલિ બહુપદી છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
આપેલી પદાવલિમાં,પદ $3 \sqrt{x}$ ને $3 x^{\frac{1}{2}}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં,$x$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક નથી.
તેથી,$5 x^{2}-7 x+3 \sqrt{x}$ એ બહુપદી નથી.

(N/A) આપેલી પદાવલિ $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$ એ એક બહુપદી છે કારણ કે તેના દરેક પદમાં ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) છે.
જોકે,આ પદાવલિમાં ત્રણ અલગ-અલગ ચલ $x$,$y$ અને $z$ નો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,તે બહુપદી છે,પરંતુ તે એક ચલવાળી બહુપદી નથી.

(D) આપેલી પદાવલિ $x^{2}+2xy+y^{2}$ છે.
$1$. બહુપદી એ એક એવી બૈજિક પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોય છે.
$2$. આપેલી પદાવલિમાં,$x$ અને $y$ ના ઘાતાંક $2, 1$ અને $0$ છે,જે તમામ પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે. તેથી,તે એક બહુપદી છે.
$3$. જોકે,આ પદાવલિમાં બે અલગ-અલગ ચલ $x$ અને $y$ નો સમાવેશ થાય છે.
$4$. તેમાં એક કરતા વધારે ચલ હોવાથી,તે એક ચલવાળી બહુપદી નથી.

(A) આપેલી પદાવલિ $x^{2}-8x+15$ છે.
આ પદાવલિમાં ચલ $x$ છે.
પદો $x^{2}$,$-8x^{1}$ અને $15x^{0}$ માં $x$ ના ઘાતાંકો અનુક્રમે $2, 1$ અને $0$ છે.
આ તમામ ઘાતાંકો અનૃણ પૂર્ણાંક હોવાથી,આ પદાવલિ એક બહુપદી છે.
વધુમાં,આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $x$ હોવાથી,તે એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $y^{2} + \sqrt{2}$ છે.
આને $y^{2} + \sqrt{2}y^{0}$ તરીકે લખી શકાય છે.
એક ચલવાળી બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોય છે.
પદાવલિ $y^{2} + \sqrt{2}$ માં,ચલ $y$ નો ઘાતાંક $2$ છે,જે એક પૂર્ણ સંખ્યા છે.
તેથી,$y^{2} + \sqrt{2}$ એ એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $3 \sqrt{t} + t \sqrt{2}$ છે.
આને $3 t^{1/2} + \sqrt{2} \cdot t$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
એક ચલવાળી બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોવો જોઈએ.
પદ $3 t^{1/2}$ માં,ચલ $t$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
તેથી,$3 \sqrt{t} + t \sqrt{2}$ એ બહુપદી નથી.

(D) આપેલ પદાવલિ $y + \frac{2}{y}$ છે.
આને $y + 2 \cdot y^{-1}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
એક ચલવાળી બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોવો જોઈએ.
પદ $2 \cdot y^{-1}$ માં,ચલ $y$ નો ઘાતાંક $-1$ છે.
કારણ કે $-1$ એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી,તેથી પદાવલિ $y + \frac{2}{y}$ એ બહુપદી નથી.

(D) આપેલ પદાવલિ $x^{10} + y^{3} + t^{50}$ છે.
$1$. એક ચલવાળી બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોય અને માત્ર એક જ ચલ હોય.
$2$. પદાવલિ $x^{10} + y^{3} + t^{50}$ માં ત્રણ અલગ-અલગ ચલ છે: $x$,$y$,અને $t$.
$3$. જોકે દરેક ચલનો ઘાતાંક $(10, 3, 50)$ પૂર્ણ સંખ્યા છે,પરંતુ આ પદાવલિમાં ત્રણ ચલનો સમાવેશ થાય છે.
$4$. તેથી,$x^{10} + y^{3} + t^{50}$ એ ત્રણ ચલવાળી બહુપદી છે,એક ચલવાળી નહીં.

(A) $(i)$ પદાવલિ $\frac{\pi}{2} x^2 + x$ માં,$x^2$ વાળું પદ $\frac{\pi}{2} x^2$ છે. તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $\frac{\pi}{2}$ છે.
$(ii)$ પદાવલિ $\sqrt{2} x - 1$ માં,$x^2$ વાળું કોઈ પદ નથી. આપણે આ પદાવલિને $\sqrt{2} x - 1 + 0 \cdot x^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ. તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $0$ છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
$(i)$ $5t - \sqrt{7}$
આ $t$ ચલવાળી બહુપદી છે. અહીં ચલ $t$ ની સૌથી મોટી ઘાત $1$ છે. તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $1$ છે.
$(ii)$ $3$
આ અચળ બહુપદી છે. કોઈપણ શૂન્યતર અચળ બહુપદીની ઘાત હંમેશા $0$ હોય છે,કારણ કે $3$ ને $3 \times t^0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(N/A) $(i)$ $1+x$
કારણ કે $1+x$ ની ઘાત $1$ છે,તેથી તે સુરેખ બહુપદી છે.
$(ii)$ $3t$
કારણ કે $3t$ ની ઘાત $1$ છે,તેથી તે સુરેખ બહુપદી છે.
$(iii)$ $r^{2}$
કારણ કે $r^{2}$ ની ઘાત $2$ છે,તેથી તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.
$(iv)$ $7x^{3}$
કારણ કે $7x^{3}$ ની ઘાત $3$ છે,તેથી તે ત્રિઘાત બહુપદી છે.

$(16+\sqrt{11})$ આપેલ બહુપદી $q(y) = 3y^3 - 4y + \sqrt{11}$ છે.
$y = 2$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $y$ ની જગ્યાએ $2$ મૂકીશું:
$q(2) = 3(2)^3 - 4(2) + \sqrt{11}$
ઘાતની ગણતરી કરતા: $2^3 = 8$.
કિંમત મૂકતા: $q(2) = 3(8) - 8 + \sqrt{11}$.
ગુણાકાર કરતા: $q(2) = 24 - 8 + \sqrt{11}$.
બાદબાકી કરતા: $q(2) = 16 + \sqrt{11}$.

(N/A) આપેલ બહુપદી $p(t) = 4t^4 + 5t^3 - t^2 + 6$ છે.
બહુપદીની કિંમત $t = a$ માટે શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $t$ ની જગ્યાએ $a$ મૂકીશું.
$p(a) = 4(a)^4 + 5(a)^3 - (a)^2 + 6$.
તેથી,$t = a$ આગળ બહુપદીની કિંમત $4a^4 + 5a^3 - a^2 + 6$ થાય છે.

(B) ધારો કે બહુપદી $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ છે.
$x = -1$ આગળ કિંમત શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x$ ની જગ્યાએ $-1$ મૂકો:
$p(-1) = 5(-1) - 4(-1)^2 + 3$
$p(-1) = -5 - 4(1) + 3$
$p(-1) = -5 - 4 + 3$
$p(-1) = -9 + 3$
$p(-1) = -6$

(C) આપેલી બહુપદી $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ છે.
$x = 2$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $2$ મૂકતા:
$p(2) = 5(2) - 4(2)^2 + 3$
$p(2) = 10 - 4(4) + 3$
$p(2) = 10 - 16 + 3$
$p(2) = -6 + 3$
$p(2) = -3$
આમ,$x = 2$ આગળ બહુપદીની કિંમત $-3$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $5-7 x-3 x^{2}$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ ધરાવતું પદ જોઈએ,જે $-3 x^{2}$ છે.
$x^{2}$ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ $-3$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $-3$ છે.

(A) આપેલી બહુપદી $\sqrt{3} x^{2}+11$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ ધરાવતા પદને જોઈએ છીએ.
$\sqrt{3} x^{2}+11$ પદાવલિમાં,$x^{2}$ વાળું પદ $\sqrt{3} x^{2}$ છે.
$x^{2}$ સાથે ગુણાયેલો સંખ્યાત્મક અવયવ $\sqrt{3}$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $\sqrt{3}$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $\pi x^{2}-\frac{22}{7} x+3.14$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ વાળું પદ જોઈએ,જે $\pi x^{2}$ છે.
$x^{2}$ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ $\pi$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $\pi$ છે.

(0) બહુપદી $7 x^{3}-11 x+24$ માં,$x^{2}$ વાળું પદ હાજર નથી.
આને $7 x^{3} + 0x^{2} - 11 x + 24$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $0$ છે.

(3) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $7 x^{3}-9 x^{2}+4 x-22$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $3, 2, 1$ અને $0$ (અચળ પદ માટે) છે.
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $3$ છે.

(0) અચળ બહુપદી એ $0$ ઘાત ધરાવતી બહુપદી છે.
કારણ કે $5$ ને $5 \times x^{0}$ તરીકે લખી શકાય છે,તેથી ચલ $x$ નો ઘાતાંક $0$ છે.
તેથી,અચળ બહુપદી $5$ ની ઘાત $0$ છે.

(2) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $11-2 y^{2}$ માં,ચલ $y$ છે.
પદ $11$ ને $11y^{0}$ તરીકે લખી શકાય છે,અને પદ $-2y^{2}$ માં ઘાત $2$ છે.
ઘાત $0$ અને $2$ ની સરખામણી કરતા,સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
તેથી,બહુપદી $11-2 y^{2}$ ની ઘાત $2$ છે.

(1) આપેલી બહુપદી $p(t) = \sqrt{11} t + 14$ છે.
બહુપદીમાં,ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાતાંક.
અહીં,ચલ $t$ છે અને તેની ઘાતાંક $1$ છે.
તેથી,બહુપદી $\sqrt{11} t + 14$ ની ઘાત $1$ છે.

(A) બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
બહુપદી $5t + 3$ માટે,ચલ $t$ છે અને તેની મહત્તમ ઘાત $1$ છે.
$1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$5t + 3$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $x^{2}-9x+14$ માટે,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$x^{2}-9x+14$ એ એક દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(C) બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
બહુપદી $8x^{3} - 343$ માટે,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
બહુપદીની ઘાત $3$ હોવાથી,તેને ત્રિઘાત બહુપદી તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $x^{2}-15x+50$ છે.
$1$. બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોય છે.
$2$. પદાવલિ $x^{2}-15x+50$ માં,ચલ $x$ છે. $x$ ના ઘાતાંક $2$ અને $1$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
$3$. તેથી,આ એક બહુપદી છે.
$4$. કારણ કે આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $x$ છે,તેથી તે એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx$ એ બહુપદી છે,કારણ કે તેમાં રહેલા ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક છે અને સહગુણકો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. આ પદાવલિમાં ત્રણ અલગ-અલગ ચલ $(x, y, z)$ હોવાથી,તે ત્રણ ચલવાળી બહુપદી છે,એક ચલવાળી બહુપદી નથી.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $5x^2 + 11x - 2\sqrt{x}$ છે.
પદ $-2\sqrt{x}$ માં,$x$ નો ઘાતાંક $1/2$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક નથી.
બહુપદી માટે ચલના ઘાતાંક હંમેશા અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી આ પદાવલિ બહુપદી નથી.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $3x^2 + 5x - 7 + \frac{8}{x}$ છે.
આને $3x^2 + 5x - 7 + 8x^{-1}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (non-negative integers) હોય છે.
આ પદાવલિમાં,$8x^{-1}$ પદનો ઘાતાંક $-1$ છે,જે ઋણ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,આ પદાવલિ બહુપદી નથી.

(A) જો પદાવલિમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોય,તો તે પદાવલિને બહુપદી કહેવાય છે. પદાવલિ $\sqrt{3} x^{2}+\pi x-9$ માં,ચલ $x$ છે. $x$ ના ઘાતાંક $2$ અને $1$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક છે. તેથી,તે એક બહુપદી છે. આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $x$ હોવાથી,તે એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(B) આપેલી બહુપદી $p(x) = x^{3} + 27$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે બહુપદીને $p(x) = 1 \cdot x^{3} + 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x + 27$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$x^{2}$ વાળું પદ $0 \cdot x^{2}$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $0$ છે.

(C) આપેલી બહુપદી $4+7x+3x^{2}$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ ધરાવતું પદ જોઈએ છીએ.
$4+7x+3x^{2}$ પદાવલિમાં,$x^{2}$ વાળું પદ $3x^{2}$ છે.
સહગુણક એ ચલ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $3$ છે.

(N/A) આપેલી બહુપદી $p(x) = \sqrt{5}x^{2} - 7x + 13$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક એ $x^{2}$ પદ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ છે.
આ પદાવલિમાં,$x^{2}$ ધરાવતું પદ $\sqrt{5}x^{2}$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $\sqrt{5}$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $3x^{3} - 8x^{2} + 14x - 5$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ વાળું પદ જોઈએ,જે $-8x^{2}$ છે.
$x^{2}$ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ $-8$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $-8$ છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{50} - 1$ માં,ચલ $x$ છે.
અહીં $x$ ની ઘાત $50$ (જે $x^{50}$ માં છે) અને $0$ (કારણ કે $1 = 1 \cdot x^0$) છે.
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $50$ છે.
તેથી,બહુપદી $x^{50} - 1$ ની ઘાત $50$ છે.

(C) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $8x^{5} + 3x^{2} - 4x + 7$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $5, 2, 1$ અને $0$ છે (કારણ કે $7 = 7x^{0}$).
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી સંખ્યા $5$ છે.
તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $5$ છે.

(D) આપેલી બહુપદી $p(x) = x^{3} - 3(x^{2})^{4} - 15$ છે.
સૌ પ્રથમ,ઘાતનો ઘાતનો નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરીને પદ $(x^{2})^{4}$ ને સરળ બનાવો.
$(x^{2})^{4} = x^{2 \times 4} = x^{8}$.
આ કિંમતને બહુપદીમાં મૂકતા,આપણને $p(x) = x^{3} - 3x^{8} - 15$ મળે છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
પદાવલિ $x^{3} - 3x^{8} - 15$ માં,$x$ ની ઘાત $3$,$8$ અને $0$ છે (કારણ કે $15 = 15x^{0}$).
સૌથી મોટી ઘાત $8$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $8$ છે.

(A) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $5x^{2} + 12x + 4$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $2$,$1$ અને $0$ છે (કારણ કે $4 = 4x^{0}$).
આમાં સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
તેથી,બહુપદી $5x^{2} + 12x + 4$ ની ઘાત $2$ છે.