Polynomials in One Variable Questions in Hindi

(A) बहुपद की घात को बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए बहुपद $x^{5}-x^{4}+3$ में,चर $x$ की घातें $5$,$4$ और $0$ हैं (क्योंकि $3 = 3x^{0}$)।
इनमें सबसे बड़ी घात $5$ है।
अतः,बहुपद की घात $5$ है।

(B) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिए गए बहुपद $2 - y^{2} - y^{3} + 2y^{8}$ में,चर $y$ की घातें $0, 2, 3$ और $8$ हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $8$ है।
अतः,बहुपद की घात $8$ है।

(C) दिया गया बहुपद एक अचर बहुपद $2$ है।
किसी भी शून्येतर अचर बहुपद को $a x^{0}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $a$ एक शून्येतर अचर है।
अतः,$2$ को $2 x^{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ चर $x$ का घातांक $0$ है।
इसलिए,अचर बहुपद $2$ की घात $0$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $4 x^{2}-3 x+7$ है।
इस व्यंजक में,चर $x$ है।
पदों $4 x^{2}$,$-3 x^{1}$ और $7 x^{0}$ में $x$ के घातांक क्रमशः $2, 1$ और $0$ हैं।
चूंकि चर $x$ के सभी घातांक ऋणोत्तर पूर्णांक (पूर्ण संख्याएँ) हैं,इसलिए व्यंजक $4 x^{2}-3 x+7$ एक चर वाला बहुपद है।

(A) $(i)$ व्यंजक $2+x^2+x$ में,$x^2$ वाला पद $1x^2$ है।
अतः,$x^2$ का गुणांक $1$ है।
$(ii)$ व्यंजक $2-x^2+x^3$ में,$x^2$ वाला पद $-1x^2$ है।
अतः,$x^2$ का गुणांक $-1$ है।

(N/A) बहुपद की घात,बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है।
द्विपद वह बहुपद है जिसमें दो पद होते हैं। इसलिए,$35$ घात वाले द्विपद को $x^{35} + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एकपदी वह बहुपद है जिसमें केवल एक पद होता है। इसलिए,$100$ घात वाले एकपदी को $x^{100}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) बहुपद की घात बहुपद में चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
$(i)$ बहुपद $5x^3 + 4x^2 + 7x$ के लिए:
यहाँ चर $x$ है। $x$ की घातें $3, 2$ और $1$ हैं। उच्चतम घात $3$ है। अतः,इस बहुपद की घात $3$ है।
$(ii)$ बहुपद $4 - y^2$ के लिए:
यहाँ चर $y$ है। $y$ की घात $2$ है। अतः,इस बहुपद की घात $2$ है।

(N/A) $(i)$ $x^{2}+x$
चूंकि $x^{2}+x$ की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात बहुपद है।
$(ii)$ $x-x^{3}$
चूंकि $x-x^{3}$ की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात बहुपद है।
$(iii)$ $y+y^{2}+4$
चूंकि $y+y^{2}+4$ की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात बहुपद है।

(9) दिया गया बहुपद $p(x) = 5x^2 - 3x + 7$ है।
$x = 1$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $1$ प्रतिस्थापित करेंगे:
$p(1) = 5(1)^2 - 3(1) + 7$
$p(1) = 5(1) - 3 + 7$
$p(1) = 5 - 3 + 7$
$p(1) = 2 + 7$
$p(1) = 9$
अतः,$x = 1$ पर बहुपद का मान $9$ है।

(A) माना कि बहुपद $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ है।
$x = 0$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $0$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(0) = 5(0) - 4(0)^2 + 3$
$p(0) = 0 - 4(0) + 3$
$p(0) = 0 - 0 + 3$
$p(0) = 3$
अतः,$x = 0$ पर बहुपद का मान $3$ है।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(y) = y^{2} - y + 1$.
$p(0)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $y = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = (0)^{2} - (0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.
$p(1)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1)^{2} - (1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$.
$p(2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $y = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2)^{2} - (2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$.

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(t) = 2 + t + 2t^2 - t^3$.
$p(0)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $t = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = 2 + (0) + 2(0)^2 - (0)^3 = 2 + 0 + 0 - 0 = 2$.
$p(1)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $t = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = 2 + (1) + 2(1)^2 - (1)^3 = 2 + 1 + 2(1) - 1 = 2 + 1 + 2 - 1 = 4$.
$p(2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $t = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = 2 + (2) + 2(2)^2 - (2)^3 = 2 + 2 + 2(4) - 8 = 2 + 2 + 8 - 8 = 4$.

दिया गया बहुपद $p(x) = x^{3}$ है।
$p(0)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = (0)^{3} = 0$.
$p(1)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1)^{3} = 1$.
$p(2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2)^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

(B) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1$ और भाजक $x - \frac{1}{2}$ है।
भाजक को शून्य के बराबर रखने पर,$x - \frac{1}{2} = 0$,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{2}$।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p\left(\frac{1}{2}\right)$ की गणना करते हैं:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + 3\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + 3\left(\frac{1}{2}\right) + 1$
$= \frac{1}{8} + 3\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2} + 1$
$= \frac{1}{8} + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + 1$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $8$ लेने पर:
$= \frac{1 + 6 + 12 + 8}{8} = \frac{27}{8}$।
अतः,अभीष्ट शेषफल $\frac{27}{8}$ है।

(C) माना $p(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,हम $x$ से विभाजित कर रहे हैं,जो $(x - 0)$ के बराबर है। अतः,$a = 0$ है।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(0)$ की गणना करते हैं:
$p(0) = (0)^{3} + 3(0)^{2} + 3(0) + 1$
$p(0) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$।
अतः,शेषफल $1$ है।

(B) बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक हमेशा पूर्ण संख्या (अऋण पूर्णांक) होते हैं।
$(A)$ $\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x^{2}} = \frac{1}{2}x^{2} - 2x^{-2}$. यहाँ घातांक $-2$ एक पूर्ण संख्या नहीं है,इसलिए यह बहुपद नहीं है।
$(B)$ $x^{2}+\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x}} = x^{2} + 3x^{\frac{1}{6}}$. यहाँ घातांक $\frac{1}{6}$ एक पूर्ण संख्या नहीं है। यदि प्रश्न में टाइपिंग त्रुटि है और इसे $x^2+3x$ माना जाए,तो यह बहुपद होगा। दिए गए विकल्पों में $(B)$ को ही बहुपद के रूप में लक्षित किया गया है।

(C) $\sqrt{2}$ एक अचर बहुपद है।
एक अचर बहुपद की घात हमेशा $0$ होती है।
हम $\sqrt{2}$ को $\sqrt{2} \cdot x^0$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ चर $x$ का घातांक $0$ है।
अतः,बहुपद $\sqrt{2}$ की घात $0$ है।
इसलिए,$(c)$ सही उत्तर है।

(D) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिया गया बहुपद: $P(x) = 4 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{5} + 5 x + 7$.
शून्य गुणांक वाले पदों को हटाकर बहुपद को सरल करने पर: $P(x) = 4 x^{4} + 5 x + 7$.
यहाँ $x$ की घातें $4, 1$ और $0$ हैं (क्योंकि $7 = 7 x^{0}$)।
चर $x$ की उच्चतम घात $4$ है।
अतः,दिए गए बहुपद की घात $4$ है।

(A) शून्य बहुपद को $P(x) = 0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,एक गैर-शून्य अचर बहुपद की घात $0$ होती है,लेकिन शून्य बहुपद के लिए घात परिभाषित नहीं है क्योंकि चर $x$ की किसी भी घात को $0$ से गुणा करने पर परिणाम $0$ प्राप्त होता है (अर्थात,किसी भी $n \ge 0$ के लिए $0 \cdot x^n = 0$)।
इसलिए,शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{2} - 2\sqrt{2}x + 1$ है।
$p(2\sqrt{2})$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद में $x = 2\sqrt{2}$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2})^{2} - 2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) + 1$
पदों की गणना करने पर:
$(2\sqrt{2})^{2} = 4 \times 2 = 8$
$2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) = 4 \times 2 = 8$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$p(2\sqrt{2}) = 8 - 8 + 1$
$p(2\sqrt{2}) = 1$
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) माना कि बहुपद $P(x) = 5x - 4x^2 + 3$ है।
$x = -1$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,व्यंजक में $x$ के स्थान पर $-1$ प्रतिस्थापित करें:
$P(-1) = 5(-1) - 4(-1)^2 + 3$
$P(-1) = -5 - 4(1) + 3$
$P(-1) = -5 - 4 + 3$
$P(-1) = -9 + 3$
$P(-1) = -6$
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) दी गई व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{5}} x^{\frac{1}{2}} + 1$ है।
बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें सभी चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होते हैं।
दिए गए व्यंजक में,चर $x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $\frac{1}{2}$ एक पूर्ण संख्या नहीं है,इसलिए यह व्यंजक एक बहुपद नहीं है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
औचित्य के लिए,हम दिए गए व्यंजक को सरल करते हैं:
$\frac{6 \sqrt{x} + x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} = \frac{6 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$
$= 6 + x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}$
$= 6 + x^1$
$= 6 + x$
चूंकि $6 + x$ एक ऐसा व्यंजक है जिसमें चर $x$ का घातांक एक ऋणेतर पूर्णांक $(1)$ है,यह बहुपद की परिभाषा को संतुष्ट करता है। अतः,यह कथन सत्य है।

(A) बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integers) होते हैं।
व्यंजक $8$ को $8 \times x^0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $x$ एक चर है और $0$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।
चूँकि चर का घातांक $0$ है,जो कि एक ऋणेतर पूर्णांक है,इसलिए $8$ एक बहुपद है।
विशेष रूप से,इसे एक अचर बहुपद (constant polynomial) कहा जाता है।

(A) दिया गया व्यंजक $\sqrt{3} x^{2}-2 x$ है।
इस व्यंजक में,चर $x$ है।
पदों $\sqrt{3} x^{2}$ और $-2 x$ में चर $x$ के घातांक क्रमशः $2$ और $1$ हैं।
चूंकि $2$ और $1$ दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं,इसलिए यह व्यंजक बहुपद होने की शर्त को पूरा करता है।
अतः,$\sqrt{3} x^{2}-2 x$ एक बहुपद है।

(B) दिया गया व्यंजक $1-\sqrt{5x} = 1-\sqrt{5} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ है।
बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें सभी चरों के घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होने चाहिए।
पद $\sqrt{5} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ में,चर $x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है,जो एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः,दिया गया व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{5 x^{-2}}+5 x+7$
घातांक के नियम $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{5} x^{2}+5 x+7$
इस व्यंजक में,चर $x$ के घातांक $2$,$1$,और $0$ हैं (क्योंकि $7 = 7x^0$ होता है)।
चूंकि चर $x$ के सभी घातांक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्याएँ) हैं,इसलिए दिया गया व्यंजक एक बहुपद है।

(N/A) सबसे पहले,अंश का विस्तार करें: $(x-2)(x-4) = x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 - 6x + 8$.
अब,प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें: $\frac{x^2 - 6x + 8}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{6x}{x} + \frac{8}{x} = x - 6 + 8x^{-1}$.
बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होने चाहिए।
व्यंजक $x - 6 + 8x^{-1}$ में,तीसरे पद $8x^{-1}$ का घातांक $-1$ है,जो कि एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः,दिया गया व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(N/A) बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्याएँ) होते हैं।
दिया गया व्यंजक $\frac{1}{x+1} = (x+1)^{-1}$ है।
इस व्यंजक में,चर $x$ का घातांक $-1$ है,जो कि एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः,दिया गया बीजीय व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{1}{7} a^{3}-\frac{2}{\sqrt{3}} a^{2}+4 a-7$ है।
बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक अऋण पूर्णांक (पूर्ण संख्याएँ) होते हैं।
दिए गए व्यंजक में,चर $a$ के घातांक $3$,$2$ और $1$ (पद $4a$ के लिए) हैं,और अचर पद $-7$ को $-7a^0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि सभी घातांक $(3, 2, 1, 0)$ पूर्ण संख्याएँ हैं,इसलिए यह व्यंजक एक बहुपद है।

(N/A) $\frac{1}{2x} = \frac{1}{2} x^{-1}$
यहाँ,चर $x$ का घातांक $-1$ है,जो कि एक पूर्ण संख्या नहीं है।
बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें सभी चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होते हैं।
चूँकि $-1$ एक पूर्ण संख्या नहीं है,इसलिए यह बीजीय व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(B) दिया गया कथन $False$ (असत्य) है।
द्विपद को एक ऐसे बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें ठीक $2$ पद होते हैं। यदि किसी बहुपद में $2$ से कम पद हैं,तो वह एकपदी है,और यदि उसमें $2$ से अधिक पद हैं,तो वह त्रिपद या सामान्य बहुपद है। इसलिए,एक द्विपद में 'अधिकतम' दो पद नहीं हो सकते; इसमें ठीक $2$ पद होने चाहिए।

(FALSE) एक बहुपद एकपदी,द्विपद,त्रिपद हो सकता है या इसमें पदों की कोई भी परिमित संख्या हो सकती है।
उदाहरण के लिए,$x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1$ एक बहुपद है,लेकिन यह द्विपद नहीं है क्योंकि इसमें चार पद हैं।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(A) यह कथन सत्य है।
द्विपद एक ऐसा बहुपद है जिसमें ठीक दो पद होते हैं।
बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
द्विपद की घात पर कोई प्रतिबंध नहीं है,सिवाय इसके कि यह एक ऋणोत्तर पूर्णांक होनी चाहिए।
उदाहरण के लिए,व्यंजक $x^{5} + 2$ एक द्विपद है क्योंकि इसमें दो पद हैं और इसकी घात $5$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $x^{2}+x+1$ है।
इस व्यंजक में केवल एक ही चर $x$ मौजूद है।
चूंकि इसमें केवल एक ही चर का उपयोग किया गया है,इसलिए यह एक चर वाला बहुपद है।

(A) दिया गया व्यंजक $y^{3}-5y$ है।
इस व्यंजक में केवल एक ही चर $y$ उपस्थित है।
चूंकि इसमें केवल एक ही चर का उपयोग किया गया है,इसलिए यह एक चर वाला बहुपद है।

(N/A) व्यंजक $x y + y z + z x$ में तीन अलग-अलग चर $x$,$y$ और $z$ शामिल हैं। अतः,यह तीन चरों वाला एक बहुपद है।

(1) बहुपद की घात बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिए गए बहुपद $2x - 1$ में,चर $x$ है।
पद $2x$ को $2x^1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि चर $x$ की उच्चतम घात $1$ है,इसलिए बहुपद $2x - 1$ की घात $1$ है।

(0) दिया गया व्यंजक $-10$ है।
$-10$ को $-10 \times x^0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि चर $x$ का घातांक $0$ है,इसलिए एक शून्येतर अचर बहुपद की घात $0$ होती है।

(B) बहुपद की घात को बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए बहुपद $x^{3}-9x+3x^{5}$ में,$x$ की घातें $3$,$1$ और $5$ हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $5$ है।
अतः,बहुपद $x^{3}-9x+3x^{5}$ की घात $5$ है।

(7) बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए,पहले व्यंजक को सरल कीजिए:
$y^{3}(1-y^{4}) = y^{3} - y^{3+4} = y^{3} - y^{7}$.
बहुपद की घात को व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
व्यंजक $y^{3} - y^{7}$ में,$y$ की घातें $3$ और $7$ हैं।
उच्चतम घात $7$ है।
अतः,बहुपद की घात $7$ है।

(N/A) $(i)$ बहुपद की घात बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है। दिए गए बहुपद $\frac{1}{5}x^{3} + \frac{2}{5}x + \frac{1}{5} - \frac{7}{2}x^{2} - x^{6}$ में,$x$ की उच्चतम घात $6$ है। अतः,बहुपद की घात $6$ है।
$(ii)$ $x^{3}$ वाला पद $\frac{x^{3}}{5}$ है,जिसे $\frac{1}{5}x^{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए,$x^{3}$ का गुणांक $\frac{1}{5}$ है।
$(iii)$ $x^{6}$ वाला पद $-x^{6}$ है,जो $-1 \cdot x^{6}$ है। इसलिए,$x^{6}$ का गुणांक $-1$ है।
$(iv)$ अचर पद वह पद है जिसमें $x$ नहीं होता है। विस्तारित रूप $\frac{1}{5}x^{3} - \frac{7}{2}x^{2} + \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}$ में,अचर पद $\frac{1}{5}$ है।

(N/A) $(i)$ दिया गया बहुपद $\frac{\pi}{6} x + 1 \cdot x^{2} - 1$ है। इसे मानक रूप से तुलना करने पर,$x^{2}$ का गुणांक $1$ है।
$(ii)$ दिए गए बहुपद $3x - 5$ को $0 \cdot x^{2} + 3x - 5$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,इस बहुपद में $x^{2}$ का गुणांक $0$ है।

(N/A) $(i)$ दिए गए बहुपद का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:
$(x-1)(3 x-4) = 3 x^{2} - 4 x - 3 x + 4$
$= 3 x^{2} - 7 x + 4$
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c$ से तुलना करने पर,$x^{2}$ का गुणांक $3$ है।
$(ii)$ दिए गए बहुपद का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:
$(2 x-5)(2 x^{2}-3 x+1) = 2 x(2 x^{2}-3 x+1) - 5(2 x^{2}-3 x+1)$
$= 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x - 10 x^{2} + 15 x - 5$
$= 4 x^{3} - 16 x^{2} + 17 x - 5$
इसे मानक रूप से तुलना करने पर,$x^{2}$ का गुणांक $-16$ है।

(D) $n$ घात वाले बहुपद को व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 2 - x^{2} + x^{3}$ के लिए,चर $x$ की उच्चतम घात $3$ है।
$3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$2 - x^{2} + x^{3}$ एक त्रिघात बहुपद है।

(D) $3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
चूंकि बहुपद $3x^3$ की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात बहुपद है।

(B) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
व्यंजक $5t - \sqrt{7}$ में,चर $t$ की घात $1$ है।
चूंकि चर की अधिकतम घात $1$ है,इसलिए $5t - \sqrt{7}$ एक रैखिक बहुपद है।

(C) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
$3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
व्यंजक $4-5 y^{2}$ में,चर $y$ की उच्चतम घात $2$ है।
चूंकि बहुपद की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात बहुपद है।

(A) व्यंजक $3$ एक अचर बहुपद है।
इसका कारण यह है कि $3$ को $3x^0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ चर $x$ का घातांक $0$ है।
$0$ घात वाले बहुपद को अचर बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(B) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
दिया गया बहुपद $p(x) = 2+x$ है।
इस व्यंजक में चर $x$ की उच्चतम घात $1$ है।
अतः,$2+x$ एक रैखिक बहुपद है।