Factorisation of Polynomials Questions in Hindi

(N/A) हम विभाजन की प्रक्रिया को निम्नलिखित चरणों द्वारा पूरा करते हैं:
चरण $1$: हम भाज्य $x + 3x^2 - 1$ और भाजक $1 + x$ को मानक रूप में लिखते हैं,अर्थात पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं। अतः,भाज्य $3x^2 + x - 1$ है और भाजक $x + 1$ है।
चरण $2$: हम भाज्य के पहले पद को भाजक के पहले पद से विभाजित करते हैं,अर्थात $3x^2$ को $x$ से विभाजित करने पर $3x$ प्राप्त होता है। यह हमें भागफल का पहला पद देता है।
चरण $3$: हम भाजक को भागफल के पहले पद से गुणा करते हैं और इस गुणनफल को भाज्य से घटाते हैं,अर्थात $x + 1$ को $3x$ से गुणा करते हैं और $3x^2 + 3x$ को भाज्य $3x^2 + x - 1$ से घटाते हैं। इससे हमें शेषफल $-2x - 1$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: हम शेषफल $-2x - 1$ को नए भाज्य के रूप में लेते हैं। भाजक वही रहता है। हम भागफल का अगला पद प्राप्त करने के लिए चरण $2$ को दोहराते हैं,अर्थात नए भाज्य के पहले पद $-2x$ को भाजक के पहले पद $x$ से विभाजित करते हैं और $-2$ प्राप्त करते हैं। अतः,$-2$ भागफल का दूसरा पद है।
चरण $5$: हम भाजक को भागफल के दूसरे पद से गुणा करते हैं और गुणनफल को भाज्य से घटाते हैं। अर्थात,$x + 1$ को $-2$ से गुणा करते हैं और गुणनफल $-2x - 2$ को भाज्य $-2x - 1$ से घटाते हैं। इससे हमें शेषफल $1$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: अतः,भागफल $3x - 2$ है और शेषफल $1$ है।
सत्यापन: $3x^2 + x - 1 = (x + 1)(3x - 2) + 1$.

(D) बहुपद $p(x) = 3x^{4} - 4x^{3} - 3x - 1$ को $x - 1$ से विभाजित करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(3x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $3x^{3}$ प्राप्त होता है।
$2$. $3x^{3}$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $3x^{4} - 3x^{3}$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $-x^{3} - 3x - 1$ प्राप्त होता है।
$3$. $-x^{3}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-x^{2}$ प्राप्त होता है। $-x^{2}$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $-x^{3} + x^{2}$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-x^{2} - 3x - 1$ प्राप्त होता है।
$4$. $-x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-x$ प्राप्त होता है। $-x$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $-x^{2} + x$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-4x - 1$ प्राप्त होता है।
$5$. $-4x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4$ प्राप्त होता है। $-4$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $-4x + 4$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-5$ प्राप्त होता है।
भागफल $3x^{3} - x^{2} - x - 4$ है और शेषफल $-5$ है।
वैकल्पिक रूप से,शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हुए,$x - 1$ का शून्यक $1$ है। $p(x)$ में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = 3(1)^{4} - 4(1)^{3} - 3(1) - 1$
$p(1) = 3 - 4 - 3 - 1 = -5$.
अतः,शेषफल $-5$ है।

(A) जब $p(x) = x^3 + 1$ को $x + 1$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 1$ है,जिसे $x - (-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$a = -1$ है।
अब,हम $p(-1)$ की गणना करते हैं:
$p(-1) = (-1)^3 + 1$
$p(-1) = -1 + 1$
$p(-1) = 0$
अतः,प्राप्त शेषफल $0$ है।

(A) माना कि $p(x) = x^4+x^3-2x^2+x+1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x-1$ है,इसलिए $a = 1$ है।
अब,$p(1)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(1) = (1)^4 + (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 1$
$p(1) = 1 + 1 - 2(1) + 1 + 1$
$p(1) = 1 + 1 - 2 + 1 + 1$
$p(1) = 2$।
अतः,शेषफल $2$ है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $q(t)$,$2t + 1$ का एक गुणज है,हमें यह निर्धारित करना होगा कि क्या $2t + 1$,$q(t)$ का एक गुणनखंड है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$2t + 1$,$q(t)$ का एक गुणनखंड है यदि $q(-\frac{1}{2}) = 0$ हो।
$2t + 1 = 0$ रखने पर,हमें $t = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,बहुपद $q(t)$ में $t = -\frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$q(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 + 4(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) - 1$
$q(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 1$
$q(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} - 1 = 0$.
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए $2t + 1$,$q(t)$ का एक गुणनखंड है।
अतः,$q(t)$,$2t + 1$ का एक गुणज है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^{2}+kx+6=(x+2)(x+3)$ है।
सबसे पहले,समीकरण के दाईं ओर का विस्तार करें:
$(x+2)(x+3) = x(x+3) + 2(x+3)$
$= x^{2} + 3x + 2x + 6$
$= x^{2} + 5x + 6$.
अब,इसकी तुलना समीकरण के बाईं ओर से करें: $x^{2}+kx+6 = x^{2}+5x+6$.
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $k = 5$ प्राप्त होता है।

(A) माना $p(x) = 2x^2 + kx$ है।
यदि $(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $p(-1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = 2(-1)^2 + k(-1) = 0$
$2(1) - k = 0$
$2 - k = 0$
$k = 2$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+1)$ किसी बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-1) = 0$ होना चाहिए।
$(a)$ मान लीजिए $p(x) = x^{3}+x^{2}-x+1$.
$p(-1) = (-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)+1 = -1+1+1+1 = 2 \neq 0$.
अतः,$(x+1)$ गुणनखंड नहीं है।
$(b)$ मान लीजिए $p(x) = x^{3}+x^{2}+x+1$.
$p(-1) = (-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1 = -1+1-1+1 = 0$.
यहाँ $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x+1)$ एक गुणनखंड है।
$(c)$ मान लीजिए $p(x) = x^{4}+x^{3}+x^{2}+1$.
$p(-1) = (-1)^{4}+(-1)^{3}+(-1)^{2}+1 = 1-1+1+1 = 2 \neq 0$.
अतः,$(x+1)$ गुणनखंड नहीं है।
$(d)$ मान लीजिए $p(x) = x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x+1$.
$p(-1) = (-1)^{4}+3(-1)^{3}+3(-1)^{2}+(-1)+1 = 1-3+3-1+1 = 1 \neq 0$.
अतः,$(x+1)$ गुणनखंड नहीं है।
अतः,$(x+1)$ बहुपद $x^{3}+x^{2}+x+1$ का एक गुणनखंड है। सही विकल्प $(b)$ है।

(A) द्विघात व्यंजक $4 x^{2}+8 x+3$ का गुणनखंडन करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $4 \times 3 = 12$ हो और जिनका योग $8$ हो।
ये दो संख्याएँ $6$ और $2$ हैं,क्योंकि $6 \times 2 = 12$ और $6 + 2 = 8$ होता है।
अब,मध्य पद $8x$ को $6x + 2x$ के रूप में लिखें:
$4 x^{2}+6 x+2 x+3$
पदों का समूह बनाएँ:
$(4 x^{2}+6 x) + (2 x+3)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालें:
$2 x(2 x+3) + 1(2 x+3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2 x+3)$ को बाहर निकालने पर:
$(2 x+3)(2 x+1)$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक बहुपद $p(x)$,$g(x)$ का गुणज तभी होता है जब $g(x)$,$p(x)$ को पूर्णतः विभाजित करे,जिसका अर्थ है कि शेषफल $0$ होना चाहिए।
जब $p(x)$ को $g(x) = 2 - 3x$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम $g(x) = 0$ रखते हैं:
$2 - 3x = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
अब,हम $p\left(\frac{2}{3}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} - \left(\frac{2}{3}\right) + 1$
$= \frac{8}{27} - \frac{2}{3} + 1$
$= \frac{8 - 18 + 27}{27} = \frac{17}{27}$.
चूंकि शेषफल $\frac{17}{27} \neq 0$ है,इसलिए $p(x)$,$g(x)$ का गुणज नहीं है।

(YES) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $g(x)$ का शून्यक $a$ है और $p(a) = 0$ है,तो $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
सबसे पहले,$g(x)$ का शून्यक ज्ञात करें:
$g(x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{4} = 0$
$\frac{x}{3} = \frac{1}{4}$
$x = \frac{3}{4}$
अब,$p\left(\frac{3}{4}\right)$ का मान ज्ञात करें:
$p\left(\frac{3}{4}\right) = 8\left(\frac{3}{4}\right)^3 - 6\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{3}{4}\right) + 3$
$= 8 \times \frac{27}{64} - 6 \times \frac{9}{16} - 3 + 3$
$= \frac{27}{8} - \frac{54}{16} - 3 + 3$
$= \frac{27}{8} - \frac{27}{8} - 3 + 3 = 0$
चूँकि $p\left(\frac{3}{4}\right) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(A) माना $p(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $p(x)$ को $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x+\pi$ है,जिसे $x-(-\pi)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,हमें $p(-\pi)$ ज्ञात करना है।
$p(x)$ में $x = -\pi$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-\pi) = (-\pi)^{3} + 3(-\pi)^{2} + 3(-\pi) + 1$
$p(-\pi) = -\pi^{3} + 3\pi^{2} - 3\pi + 1$
इस प्रकार,अभीष्ट शेषफल $-\pi^{3}+3\pi^{2}-3\pi+1$ है।

(C) माना कि बहुपद $p(x) = x^{3} - ax^{2} + 6x - a$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
भाजक $(x - a)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $x - a = 0$ रखते हैं,जिससे $x = a$ प्राप्त होता है।
अब,बहुपद $p(x)$ में $x = a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(a) = (a)^{3} - a(a)^{2} + 6(a) - a$
$p(a) = a^{3} - a^{3} + 6a - a$
$p(a) = 0 + 5a$
$p(a) = 5a$
अतः,शेषफल $5a$ है।

(B) माना $p(x) = 3x^3 + 7x$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $(7+3x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,हम $(7+3x)$ का शून्यक ज्ञात करते हैं:
$7 + 3x = 0 \implies 3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3}$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(7+3x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड तभी होगा यदि $p(-\frac{7}{3}) = 0$ हो।
अब,$p(-\frac{7}{3})$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-\frac{7}{3}) = 3(-\frac{7}{3})^3 + 7(-\frac{7}{3})$
$= 3(-\frac{343}{27}) + (-\frac{49}{3})$
$= -\frac{343}{9} - \frac{49}{3}$
$= \frac{-343 - 147}{9} = -\frac{490}{9}$.
चूँकि $p(-\frac{7}{3}) = -\frac{490}{9} \neq 0$ है,इसलिए शेषफल $0$ नहीं है।
अतः,$(7+3x)$,$3x^3+7x$ का गुणनखंड नहीं है।

(N/A) $x+2$ का शून्यक $-2$ है। मान लीजिए $p(x) = x^{3}+3x^{2}+5x+6$ और $s(x) = 2x+4$ है।
$p(x)$ के लिए:
$p(-2) = (-2)^{3} + 3(-2)^{2} + 5(-2) + 6$
$p(-2) = -8 + 3(4) - 10 + 6$
$p(-2) = -8 + 12 - 10 + 6 = 0$.
चूँकि $p(-2) = 0$ है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$x+2$,$x^{3}+3x^{2}+5x+6$ का एक गुणनखंड है।
$s(x)$ के लिए:
$s(-2) = 2(-2) + 4$
$s(-2) = -4 + 4 = 0$.
चूँकि $s(-2) = 0$ है,$x+2$,$2x+4$ का एक गुणनखंड है। वैकल्पिक रूप से,$2x+4 = 2(x+2)$ है,जिससे स्पष्ट होता है कि $x+2$ इसका एक गुणनखंड है।

(B) माना $p(x) = 4x^{3} + 3x^{2} - 4x + k$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = 4(1)^{3} + 3(1)^{2} - 4(1) + k = 0$
$4(1) + 3(1) - 4 + k = 0$
$4 + 3 - 4 + k = 0$
$3 + k = 0$
अतः,$k = -3$।

(N/A) हल $1:$ (मध्य पद को विभाजित करने की विधि)
हमें दो ऐसी संख्याएँ $p$ और $q$ ज्ञात करनी हैं कि $p + q = 17$ और $pq = 6 \times 5 = 30$ हो।
$30$ के गुणनखंड $(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)$ हैं।
इनमें से,$2 + 15 = 17$ होता है।
अतः,$6x^2 + 17x + 5 = 6x^2 + 2x + 15x + 5$
$= 2x(3x + 1) + 5(3x + 1)$
$= (3x + 1)(2x + 5)$.
हल $2:$ (गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके)
माना $p(x) = 6x^2 + 17x + 5 = 6(x^2 + \frac{17}{6}x + \frac{5}{6})$ है।
माना $a$ और $b$ द्विघात व्यंजक के शून्यक हैं। तब $ab = \frac{5}{6}$ होगा।
संभावित परिमेय मूल $\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{2}, \pm 1$ हैं।
$p(-\frac{1}{3}) = 6(-\frac{1}{3})^2 + 17(-\frac{1}{3}) + 5 = 6(\frac{1}{9}) - \frac{17}{3} + 5 = \frac{2}{3} - \frac{17}{3} + \frac{15}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x + \frac{1}{3})$ एक गुणनखंड है।
$p(-\frac{5}{2}) = 6(-\frac{5}{2})^2 + 17(-\frac{5}{2}) + 5 = 6(\frac{25}{4}) - \frac{85}{2} + 5 = \frac{75}{2} - \frac{85}{2} + \frac{10}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x + \frac{5}{2})$ एक गुणनखंड है।
इसलिए,$6x^2 + 17x + 5 = 6(x + \frac{1}{3})(x + \frac{5}{2}) = 6(\frac{3x+1}{3})(\frac{2x+5}{2}) = (3x + 1)(2x + 5)$.

(N/A) माना $p(y) = y^2 - 5y + 6$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(y - a)$,$p(y)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होगा।
हम अचर पद $6$ के गुणनखंडों को देखते हैं,जो $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ हैं।
$y = 2$ के लिए जाँच करने पर: $p(2) = (2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ है।
चूँकि $p(2) = 0$ है,इसलिए $(y - 2)$,$p(y)$ का एक गुणनखंड है।
$y = 3$ के लिए जाँच करने पर: $p(3) = (3)^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ है।
चूँकि $p(3) = 0$ है,इसलिए $(y - 3)$,$p(y)$ का एक गुणनखंड है।
अतः,$y^2 - 5y + 6$ का गुणनखंड $(y - 2)(y - 3)$ है।

(N/A) माना $p(x) = x^{3}-23 x^{2}+142 x-120$ है।
हम अचर पद $-120$ के गुणनखंडों को देखते हैं। इनमें से कुछ $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 8, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 60$ हैं।
प्रयत्न करने पर,हम पाते हैं कि $p(1) = 1^{3} - 23(1)^{2} + 142(1) - 120 = 1 - 23 + 142 - 120 = 0$ है। इसलिए,$(x-1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,हम बहुपद को पुनः लिखते हैं:
$x^{3}-23 x^{2}+142 x-120 = x^{3}-x^{2}-22 x^{2}+22 x+120 x-120$
$= x^{2}(x-1) - 22x(x-1) + 120(x-1)$
$= (x-1)(x^{2}-22x+120)$.
अगले चरण में,हम द्विघात बहुपद $x^{2}-22x+120$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करते हैं:
$x^{2}-22x+120 = x^{2}-12x-10x+120$
$= x(x-12) - 10(x-12)$
$= (x-12)(x-10)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंड $x^{3}-23 x^{2}+142 x-120 = (x-1)(x-10)(x-12)$ है।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x - a)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,भाजक $(x + 1)$ है,जिसे $(x - (-1))$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,हम $a = -1$ लेते हैं।
माना $p(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$.
अब,$p(-1)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-1) = (-1)^{3} + (-1)^{2} + (-1) + 1$
$p(-1) = -1 + 1 - 1 + 1$
$p(-1) = 0$
चूँकि शेषफल $p(-1) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x + 1)$ बहुपद $x^{3} + x^{2} + x + 1$ का एक गुणनखंड है।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $g(x) = x - a$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ,$g(x) = x + 1$ है,जिसे $x - (-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$a = -1$ है।
हम $p(-1)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) - 1$
$p(-1) = 2(-1) + 1 + 2 - 1$
$p(-1) = -2 + 1 + 2 - 1$
$p(-1) = 0$
चूँकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{2} + x + k$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x - 1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(1) = 0$ होना चाहिए।
बहुपद में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = (1)^{2} + 1 + k$
$p(1) = 1 + 1 + k$
$p(1) = 2 + k$
चूंकि $p(1) = 0$,इसलिए:
$2 + k = 0$
$k = -2$

(A) दिया गया बहुपद $p(x) = 2x^2 + kx + \sqrt{2}$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $(x - 1)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है, तो $p(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = 2(1)^2 + k(1) + \sqrt{2} = 0$
$2 + k + \sqrt{2} = 0$
$k$ के लिए हल करने पर:
$k = -2 - \sqrt{2}$
अतः, $k$ का मान $-(2 + \sqrt{2})$ है।

(B) यहाँ $p(x) = kx^2 - \sqrt{2}x + 1$ दिया गया है और $(x - 1)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $(x - 1)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है, तो $p(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = k(1)^2 - \sqrt{2}(1) + 1 = 0$
$k - \sqrt{2} + 1 = 0$
$k$ के लिए हल करने पर:
$k = \sqrt{2} - 1$.

(C) दिया गया है कि $x - 1$,$p(x) = kx^2 - 3x + k$ का एक गुणनखंड है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x - a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ है,इसलिए $p(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = k(1)^2 - 3(1) + k = 0$
$k - 3 + k = 0$
$2k - 3 = 0$
$2k = 3$
$k = 3/2$.

(A) द्विघात बहुपद $12 x^{2}-7 x+1$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x^{2}$ का गुणांक $a = 12$ है,$x$ का गुणांक $b = -7$ है और अचर पद $c = 1$ है।
हमें ऐसी दो संख्याएँ $l$ और $m$ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $l + m = b = -7$ हो और जिनका गुणनफल $lm = a \times c = 12 \times 1 = 12$ हो।
इन शर्तों को पूरा करने वाली दो संख्याएँ $-4$ और $-3$ हैं,क्योंकि $(-4) + (-3) = -7$ और $(-4) \times (-3) = 12$ होता है।
अब,मध्य पद $-7x$ को $-4x - 3x$ के रूप में लिखने पर:
$12 x^{2} - 7 x + 1 = 12 x^{2} - 4 x - 3 x + 1$
पदों के समूह बनाकर उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$= 4 x(3 x - 1) - 1(3 x - 1)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(3 x - 1)$ को बाहर लेने पर:
$= (3 x - 1)(4 x - 1)$
अतः,गुणनखंड $(3 x - 1)(4 x - 1)$ हैं।

(A) द्विघात व्यंजक $2 x^{2}+7 x+3$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
यहाँ,व्यंजक $ax^{2} + bx + c$ के रूप में है,जहाँ $a = 2$,$b = 7$,और $c = 3$ है।
हमें ऐसी दो संख्याएँ $l$ और $m$ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $l + m = b = 7$ हो और गुणनफल $l \times m = a \times c = 2 \times 3 = 6$ हो।
ये दो संख्याएँ $1$ और $6$ हैं,क्योंकि $1 + 6 = 7$ और $1 \times 6 = 6$ होता है।
अब,मध्य पद $7x$ को $x + 6x$ के रूप में लिखने पर:
$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + x + 6 x + 3$
पदों का समूह बनाकर उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$= x(2 x + 1) + 3(2 x + 1)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2 x + 1)$ को बाहर लेने पर:
$= (2 x + 1)(x + 3)$
अतः,गुणनखंड $(2 x + 1)(x + 3)$ हैं।

(A) द्विघात बहुपद $6x^2 + 5x - 6$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
हमें दो ऐसी संख्याएँ $l$ और $m$ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $l + m = 5$ ($x$ का गुणांक) हो और गुणनफल $lm = 6 \times (-6) = -36$ ($x^2$ के गुणांक और अचर पद का गुणनफल) हो।
हम देखते हैं कि $9 + (-4) = 5$ और $9 \times (-4) = -36$ होता है।
अब,मध्य पद $5x$ को $9x - 4x$ के रूप में लिखने पर:
$6x^2 + 9x - 4x - 6$
पदों का समूह बनाने पर:
$(6x^2 + 9x) - (4x + 6)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पद बाहर निकालने पर:
$3x(2x + 3) - 2(2x + 3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2x + 3)$ को बाहर लेने पर:
$(2x + 3)(3x - 2)$

(A) दी गई बहुपद: $3x^{2}-x-4$
मानक द्विघात रूप $ax^{2}+bx+c$ से तुलना करने पर,हमें $a=3$,$b=-1$ और $c=-4$ प्राप्त होता है।
हमें दो ऐसी संख्याएँ $l$ और $m$ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $l+m = b = -1$ हो और गुणनफल $lm = a \times c = 3 \times (-4) = -12$ हो।
इन शर्तों को पूरा करने वाली दो संख्याएँ $-4$ और $3$ हैं,क्योंकि $-4+3 = -1$ और $(-4) \times 3 = -12$ होता है।
अब,मध्य पद $-x$ को $-4x+3x$ के रूप में विभाजित करें:
$3x^{2}-4x+3x-4$
पदों का समूह बनाएं:
$= x(3x-4) + 1(3x-4)$
उभयनिष्ठ द्विपद $(3x-4)$ को बाहर निकालने पर:
$= (3x-4)(x+1)$
अतः,गुणनखंड $(3x-4)(x+1)$ हैं।

(A) दी गई व्यंजक: $x^{3}-2x^{2}-x+2$
चरण $1$: पदों को इस प्रकार समूहित करें कि गुणनखंडन आसान हो जाए।
$x^{3}-2x^{2}-x+2 = (x^{3}-2x^{2}) - (x-2)$
चरण $2$: प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पद बाहर निकालें।
$= x^{2}(x-2) - 1(x-2)$
चरण $3$: उभयनिष्ठ द्विपद $(x-2)$ को बाहर निकालें।
$= (x^{2}-1)(x-2)$
चरण $4$: सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके $(x^{2}-1)$ का गुणनखंड करें।
$= (x-1)(x+1)(x-2)$
अतः,गुणनखंड $(x-1)(x+1)(x-2)$ हैं।

(A) माना $p(x) = x^{3}-3x^{2}-9x-5$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं। माना $x = -1$:
$p(-1) = (-1)^{3} - 3(-1)^{2} - 9(-1) - 5$
$p(-1) = -1 - 3(1) + 9 - 5$
$p(-1) = -1 - 3 + 9 - 5 = 0$.
चूँकि $p(-1) = 0$,इसलिए $(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$p(x)$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}-3x^{2}-9x-5 = (x+1)(x^{2}-4x-5)$.
द्विघात व्यंजक $x^{2}-4x-5$ के मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
$x^{2}-5x+x-5 = x(x-5) + 1(x-5) = (x-5)(x+1)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंडन है:
$x^{3}-3x^{2}-9x-5 = (x+1)(x+1)(x-5) = (x+1)^{2}(x-5)$.

(D) माना $p(x) = x^{3}+13x^{2}+32x+20$.
प्रयास द्वारा,$p(1)$ ज्ञात करते हैं:
$p(1) = (1)^{3}+13(1)^{2}+32(1)+20 = 1+13+32+20 = 66 \neq 0$.
अब,$p(-1)$ ज्ञात करते हैं:
$p(-1) = (-1)^{3}+13(-1)^{2}+32(-1)+20 = -1+13-32+20 = 0$.
$\therefore$ गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$p(x)$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}+13x^{2}+32x+20 = (x+1)(x^{2}+12x+20)$.
द्विघात व्यंजक $x^{2}+12x+20$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड कीजिए:
$x^{2}+12x+20 = x^{2}+2x+10x+20$
$= x(x+2)+10(x+2)$
$= (x+2)(x+10)$.
अतः,गुणनखंड $(x+1)(x+2)(x+10)$ हैं।

(A) माना कि $p(y) = 2y^{3} + y^{2} - 2y - 1$.
प्रयास द्वारा,हम $p(1)$ की जाँच करते हैं:
$p(1) = 2(1)^{3} + (1)^{2} - 2(1) - 1 = 2 + 1 - 2 - 1 = 0$.
चूँकि $p(1) = 0$ है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(y - 1)$ बहुपद $p(y)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$p(y)$ को $(y - 1)$ से विभाजित करने पर:
$2y^{3} + y^{2} - 2y - 1 = 2y^{2}(y - 1) + 3y(y - 1) + 1(y - 1)$
$= (y - 1)(2y^{2} + 3y + 1)$.
द्विघात व्यंजक $2y^{2} + 3y + 1$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
$2y^{2} + 2y + y + 1 = 2y(y + 1) + 1(y + 1) = (y + 1)(2y + 1)$.
अतः,गुणनखंड $(y - 1)(y + 1)(2y + 1)$ हैं।

(A) बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ का उपयोग करके,हम व्यंजक का गुणनखंड कर सकते हैं।
यहाँ,$27 y^{3}+125 z^{3} = (3 y)^{3}+(5 z)^{3}$ है।
इसकी तुलना $a^{3}+b^{3}$ से करने पर,हमें $a = 3y$ और $b = 5z$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3 y)^{3}+(5 z)^{3} = (3 y+5 z)((3 y)^{2}-(3 y)(5 z)+(5 z)^{2})$
$= (3 y+5 z)(9 y^{2}-15 y z+25 z^{2})$.

(A) आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Area} = \text{Length} \times \text{Breadth}$ (लंबाई $\times$ चौड़ाई)।
दिया गया क्षेत्रफल: $25a^2 - 35a + 12$ है।
लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करने के लिए,हमें द्विघात बहुपद $25a^2 - 35a + 12$ का गुणनखंड करना होगा।
हमें ऐसी दो संख्याएँ ढूँढनी हैं जिनका गुणनफल $25 \times 12 = 300$ हो और जिनका योग $-35$ हो।
ये दो संख्याएँ $-20$ और $-15$ हैं,क्योंकि $(-20) \times (-15) = 300$ और $(-20) + (-15) = -35$ होता है।
अब,व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करते हुए:
$25a^2 - 20a - 15a + 12$
समूह बनाकर गुणनखंड करने पर:
$= 5a(5a - 4) - 3(5a - 4)$
$= (5a - 4)(5a - 3)$
अतः,लंबाई और चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक $(5a - 3)$ और $(5a - 4)$ हैं।

(A) आयत का क्षेत्रफल = (लंबाई) $\times$ (चौड़ाई)।
दिया गया क्षेत्रफल $35y^2 + 13y - 12$ है,इसलिए हमें इस द्विघात बहुपद का गुणनखंड करना होगा।
$35y^2 + 13y - 12$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद $13y$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करते हैं कि उनका योग $13y$ हो और उनका गुणनफल $y^2$ के गुणांक और अचर पद के गुणनफल $(35 \times -12 = -420)$ के बराबर हो।
हम पाते हैं कि $28y$ और $-15y$ इन शर्तों को पूरा करते हैं क्योंकि $28y - 15y = 13y$ और $28y \times (-15y) = -420y^2$।
अब,व्यंजक को फिर से लिखते हैं:
$35y^2 + 28y - 15y - 12$
पदों का समूह बनाने पर:
$(35y^2 + 28y) - (15y + 12)$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$7y(5y + 4) - 3(5y + 4)$
$(7y - 3)(5y + 4)$
अतः,लंबाई और चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक $(7y - 3)$ और $(5y + 4)$ हैं।

(N/A) घनाभ का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{आयतन} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$.
दिया गया आयतन $= 3x^2 - 12x$.
संभव विमाएँ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक का गुणनखंड करेंगे:
$3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$.
इस प्रकार,व्यंजक को तीन गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है: $3$,$x$,और $(x - 4)$.
अतः,घनाभ की संभव विमाएँ $3$,$x$,और $(x - 4)$ इकाई हैं।

(A) घनाभ का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{आयतन} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$.
दिया गया आयतन $= 12ky^{2} + 8ky - 20k$.
सबसे पहले,उभयनिष्ठ पद $4k$ को बाहर निकालने पर:
$12ky^{2} + 8ky - 20k = 4k(3y^{2} + 2y - 5)$.
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक $(3y^{2} + 2y - 5)$ का गुणनखंड करने पर:
$3y^{2} + 2y - 5 = 3y^{2} + 5y - 3y - 5$
$= y(3y + 5) - 1(3y + 5)$
$= (3y + 5)(y - 1)$.
इस प्रकार,आयतन $= 4k \times (3y + 5) \times (y - 1)$.
अतः,घनाभ के संभावित आयाम $4k$,$(3y + 5)$ और $(y - 1)$ इकाई हैं।

(A) माना $p(x) = x^{3} - ax^{2} + 2x + a - 1$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x - a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(a) = (a)^{3} - a(a)^{2} + 2(a) + a - 1 = 0$.
$a^{3} - a^{3} + 2a + a - 1 = 0$.
$3a - 1 = 0$.
$3a = 1$.
अतः,$a = 1/3$.

(N/A) $x^{4}+1$ को $x+1$ से विभाजित करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
भाजक $x+1$ है और भाज्य $x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x+1$ है।
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^{3}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{3}(x+1) = x^{4}+x^{3}$ का गुणा करें और भाज्य से घटाएं: $(x^{4}+0x^{3}) - (x^{4}+x^{3}) = -x^{3}$।
$3$. अगले पद $(0x^{2})$ को नीचे उतारने पर $-x^{3}+0x^{2}$ प्राप्त होता है।
$4$. $-x^{3}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-x^{2}$ प्राप्त होता है। $-x^{2}(x+1) = -x^{3}-x^{2}$ का गुणा करें और घटाएं: $(-x^{3}+0x^{2}) - (-x^{3}-x^{2}) = x^{2}$।
$5$. $0x$ को नीचे उतारने पर $x^{2}+0x$ प्राप्त होता है। $x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है। $x(x+1) = x^{2}+x$ का गुणा करें और घटाएं: $(x^{2}+0x) - (x^{2}+x) = -x$।
$6$. $1$ को नीचे उतारने पर $-x+1$ प्राप्त होता है। $-x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-1$ प्राप्त होता है। $-1(x+1) = -x-1$ का गुणा करें और घटाएं: $(-x+1) - (-x-1) = 2$।
अतः,भागफल $x^{3}-x^{2}+x-1$ है और शेषफल $2$ है।

(B) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ $g(x) = x + 1$ दिया गया है,इसलिए $x$ का मान ज्ञात करने के लिए $g(x) = 0$ रखने पर:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
अब,$p(x)$ में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} - 2(-1)^{2} - 4(-1) - 1$
$p(-1) = -1 - 2(1) + 4 - 1$
$p(-1) = -1 - 2 + 4 - 1$
$p(-1) = -4 + 4 = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि बहुपद $p(x)$ को $(ax - b)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p\left(\frac{b}{a}\right)$ होता है।
यहाँ $g(x) = 2x - 1$ दिया गया है,इसलिए $g(x) = 0$ रखने पर:
$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
अब,$p(x)$ में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 12\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 14\left(\frac{1}{2}\right) - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{8}\right) - 12\left(\frac{1}{4}\right) + 7 - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - 3 + 7 - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
अतः,शेषफल $\frac{3}{2}$ है।

(N/A) एक बहुपद $p(x)$,$g(x)$ का गुणज तब होता है यदि $g(x)$,$p(x)$ को पूरी तरह विभाजित करे,जिसका अर्थ है कि शेषफल $0$ होना चाहिए।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि $g(x) = x - 2$ है,तो $x - 2 = 0$ रखने पर $x = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$p(2)$ का मान ज्ञात करके शेषफल की गणना करते हैं:
$p(2) = (2)^{3} - 5(2)^{2} + 4(2) - 3$
$p(2) = 8 - 5(4) + 8 - 3$
$p(2) = 8 - 20 + 8 - 3$
$p(2) = -7$
चूंकि शेषफल $-7$ है,जो $0$ के बराबर नहीं है,इसलिए $p(x)$,$g(x)$ का गुणज नहीं है।

(B) एक बहुपद $p(x)$,$g(x)$ का गुणज तब होता है यदि $g(x)$,$p(x)$ को पूर्णतः विभाजित करे,जिसका अर्थ है कि शेषफल $0$ होना चाहिए।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि हम $p(x)$ को $g(x) = 2x + 1$ से विभाजित करते हैं,तो $x$ का मान ज्ञात करने के लिए $g(x) = 0$ रखते हैं:
$2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.
अब,$p(-\frac{1}{2})$ की गणना करते हैं:
$p(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 - 11(-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{1}{2}) + 5$
$= 2(-\frac{1}{8}) - 11(\frac{1}{4}) + 2 + 5$
$= -\frac{1}{4} - \frac{11}{4} + 7$
$= \frac{-1 - 11 + 28}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
चूँकि शेषफल $4$ है,जो $0$ के बराबर नहीं है,इसलिए $p(x)$,$g(x)$ का गुणज नहीं है।

(N/A) माना $p(x) = 69 + 11x - x^2 + x^3$ और $g(x) = x + 3$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $g(a) = 0$ होने पर $p(a) = 0$ हो,तो $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
$g(x) = x + 3 = 0$ रखने पर,हमें $x = -3$ प्राप्त होता है।
अब,$p(-3)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-3) = 69 + 11(-3) - (-3)^2 + (-3)^3$
$p(-3) = 69 - 33 - 9 - 27$
$p(-3) = 69 - 69 = 0$.
चूंकि $p(-3) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $x + 3$,$69 + 11x - x^2 + x^3$ का एक गुणनखंड है।

(N/A) माना $p(x) = 2x^3 - 9x^2 + x + 12$ और $g(x) = 2x - 3$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $g(x)$ का शून्यक $x = a$ है और $p(a) = 0$ है,तो $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$g(x) = 0$ रखने पर,$2x - 3 = 0$,जिससे $x = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$p\left(\frac{3}{2}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 9\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right) + 12$
$= 2\left(\frac{27}{8}\right) - 9\left(\frac{9}{4}\right) + \frac{3}{2} + 12$
$= \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + \frac{6}{4} + \frac{48}{4}$
$= \frac{27 - 81 + 6 + 48}{4} = \frac{81 - 81}{4} = \frac{0}{4} = 0$.
चूंकि $p\left(\frac{3}{2}\right) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $2x - 3$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(A) हम जानते हैं कि यदि $(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होगा।
$(i)$ मान लीजिए $p(x) = 3x^2 + 6x - 24$ है।
यदि $(x-2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(2)$ का मान $0$ होना चाहिए।
$p(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 24 = 3(4) + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$।
चूंकि $p(2) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-2)$,$3x^2 + 6x - 24$ का एक गुणनखंड है।
$(ii)$ मान लीजिए $p(x) = 4x^2 + x - 2$ है।
यदि $(x-2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(2)$ का मान $0$ होना चाहिए।
$p(2) = 4(2)^2 + 2 - 2 = 4(4) + 0 = 16$।
चूंकि $p(2) \neq 0$ है,इसलिए $(x-2)$,$4x^2 + x - 2$ का गुणनखंड नहीं है।

(N/A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-a)$ एक बहुपद $f(x)$ का गुणनखंड है,तो $f(a) = 0$ होता है।
बहुपद $f(p) = p^{10}-1$ के लिए,हम $p=1$ प्रतिस्थापित करके गुणनखंड $(p-1)$ की जाँच करते हैं:
$f(1) = (1)^{10} - 1 = 1 - 1 = 0$.
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए $(p-1)$,$p^{10}-1$ का एक गुणनखंड है।
बहुपद $g(p) = p^{11}-1$ के लिए,हम $p=1$ प्रतिस्थापित करके गुणनखंड $(p-1)$ की जाँच करते हैं:
$g(1) = (1)^{11} - 1 = 1 - 1 = 0$.
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए $(p-1)$,$p^{11}-1$ का एक गुणनखंड है।
अतः,यह सिद्ध होता है कि $(p-1)$,$p^{10}-1$ और $p^{11}-1$ दोनों का एक गुणनखंड है।

(A) यदि $x^{3}-2 m x^{2}+16$,$x+2$ से विभाज्य है,तो गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$x+2$,$p(x) = x^{3}-2 m x^{2}+16$ का एक गुणनखंड है।
$x+2$ के गुणनखंड होने के लिए,$p(-2) = 0$ होना चाहिए।
बहुपद में $x = -2$ रखने पर:
$p(-2) = (-2)^{3} - 2m(-2)^{2} + 16$
$p(-2) = -8 - 2m(4) + 16$
$p(-2) = -8 - 8m + 16$
$p(-2) = 8 - 8m$
$p(-2) = 0$ रखने पर:
$8 - 8m = 0$
$8m = 8$
$m = 1$
अतः,$m = 1$ के लिए,बहुपद $x+2$ से विभाज्य है।

(A) माना $p(x) = x^{5}-4a^{2}x^{3}+2x+2a+3$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+2a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-2a) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -2a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2a) = (-2a)^{5} - 4a^{2}(-2a)^{3} + 2(-2a) + 2a + 3$
$p(-2a) = -32a^{5} - 4a^{2}(-8a^{3}) - 4a + 2a + 3$
$p(-2a) = -32a^{5} + 32a^{5} - 2a + 3$
$p(-2a) = -2a + 3$
चूँकि $p(-2a) = 0$,इसलिए:
$-2a + 3 = 0$
$2a = 3$
$a = \frac{3}{2}$