Zeroes of a Polynomial Questions in Hindi

(A) माना कि बहुपद $p(x) = x + 2$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $x = a$ बहुपद का शून्यक है,हम $p(a)$ का मान ज्ञात करते हैं। यदि $p(a) = 0$ है,तो $a$ एक शून्यक है।
$x = 2$ के लिए:
$p(2) = 2 + 2 = 4$.
चूंकि $p(2) \neq 0$,इसलिए $2$ बहुपद का शून्यक नहीं है।
$x = -2$ के लिए:
$p(-2) = -2 + 2 = 0$.
चूंकि $p(-2) = 0$,इसलिए $-2$ बहुपद का शून्यक है।
अतः,$-2$ बहुपद $x + 2$ का शून्यक है,लेकिन $2$ नहीं है।

(B) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं:
$p(x) = 0$
$2x + 1 = 0$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$2x = -1$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर:
$x = -\frac{1}{2}$
अतः,$-\frac{1}{2}$ बहुपद $p(x) = 2x + 1$ का शून्यक है।

(A) माना $p(x) = x^{2} - 2x$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $2$ एक शून्यक है,हम $p(2)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) = 4 - 4 = 0$ है।
चूँकि $p(2) = 0$ है,इसलिए $2$ बहुपद का एक शून्यक है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $0$ एक शून्यक है,हम $p(0)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(0) = (0)^{2} - 2(0) = 0 - 0 = 0$ है।
चूँकि $p(0) = 0$ है,इसलिए $0$ बहुपद का एक शून्यक है।
अतः,$2$ और $0$ दोनों बहुपद $x^{2} - 2x$ के शून्यक हैं।

(N/A) दिया गया बहुपद $p(x) = (x - 1)(x + 1)$ है।
$p(0)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) = -1$.
$p(1)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1 - 1)(1 + 1) = (0)(2) = 0$.
$p(2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) = 3$.

(A) यह सत्यापित करने के लिए कि क्या $x = -\frac{1}{3}$ बहुपद $p(x) = 3x + 1$ का एक शून्यक है,हम $x = -\frac{1}{3}$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं।
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = -1 + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 0$
चूंकि $x = -\frac{1}{3}$ पर बहुपद का मान $0$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $x = -\frac{1}{3}$ दिए गए बहुपद का एक शून्यक है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{4}{5}$ बहुपद $p(x) = 5x - \pi$ का एक शून्यक है,हम बहुपद में $x = \frac{4}{5}$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$p\left(\frac{4}{5}\right) = 5\left(\frac{4}{5}\right) - \pi$
$p\left(\frac{4}{5}\right) = 4 - \pi$
चूँकि $4 - \pi \neq 0$,इसलिए $x = \frac{4}{5}$ पर बहुपद का मान शून्य नहीं है।
अतः,$x = \frac{4}{5}$ दिए गए बहुपद $p(x) = 5x - \pi$ का शून्यक नहीं है।

(A) यह सत्यापित करने के लिए कि क्या $x = 1$ और $x = -1$ बहुपद $p(x) = x^{2} - 1$ के शून्यक हैं,हम इन मानों पर बहुपद का मान ज्ञात करते हैं।
$x = 1$ के लिए:
$p(1) = (1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$
$x = -1$ के लिए:
$p(-1) = (-1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$
चूंकि $p(1) = 0$ और $p(-1) = 0$ है,इसलिए $x = 1$ और $x = -1$ दिए गए बहुपद $p(x) = x^{2} - 1$ के शून्यक हैं।

(N/A) यदि $x = -1$ और $x = 2$ बहुपद $p(x) = (x + 1)(x - 2)$ के शून्यक हैं,तो $p(-1)$ और $p(2)$ का मान $0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = -1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1 + 1)(-1 - 2) = (0)(-3) = 0$।
इसके बाद,$x = 2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2 + 1)(2 - 2) = (3)(0) = 0$।
चूंकि $p(-1) = 0$ और $p(2) = 0$ दोनों ही सत्य हैं,इसलिए यह सत्यापित होता है कि $x = -1$ और $x = 2$ दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।

(A) यह सत्यापित करने के लिए कि क्या $x = 0$ बहुपद $p(x) = x^{2}$ का एक शून्यक है,हमें $p(0)$ का मान ज्ञात करना होगा।
बहुपद में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = (0)^{2} = 0$.
चूँकि $p(0) = 0$ है,इसलिए $x = 0$ दिए गए बहुपद $p(x) = x^{2}$ का एक शून्यक है।

(A) यह सत्यापित करने के लिए कि क्या $x = -\frac{m}{l}$ बहुपद $p(x) = lx + m$ का एक शून्यक है,हम $x$ का मान बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं।
$p\left(-\frac{m}{l}\right) = l\left(-\frac{m}{l}\right) + m$
$p\left(-\frac{m}{l}\right) = -m + m$
$p\left(-\frac{m}{l}\right) = 0$
चूंकि $x = -\frac{m}{l}$ पर बहुपद का मान $0$ है,इसलिए यह पुष्टि होती है कि $x = -\frac{m}{l}$ दिए गए बहुपद का एक शून्यक है।

(N/A) यह जाँचने के लिए कि क्या दिए गए मान बहुपद $p(x) = 3x^2 - 1$ के शून्यक हैं,हम $x$ के मानों को बहुपद में प्रतिस्थापित करेंगे। यदि परिणाम $0$ आता है,तो वह मान बहुपद का शून्यक है।
चरण $1$: $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए जाँच:
$p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 3\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1$
$= 3\left(\frac{1}{3}\right) - 1$
$= 1 - 1 = 0$
चूँकि $p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$ है,इसलिए $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ बहुपद का शून्यक है।
चरण $2$: $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ के लिए जाँच:
$p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 3\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1$
$= 3\left(\frac{4}{3}\right) - 1$
$= 4 - 1 = 3$
चूँकि $p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \neq 0$ है,इसलिए $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ बहुपद का शून्यक नहीं है।

(B) यदि $x = \frac{1}{2}$ बहुपद $p(x) = 2x + 1$ का एक शून्यक है,तो $p(\frac{1}{2})$ का मान $0$ होना चाहिए।
बहुपद में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2}) + 1$
$p(\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$
चूँकि $p(\frac{1}{2}) = 2 \neq 0$ है,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ दिए गए बहुपद का शून्यक नहीं है।

(B) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(x) = x + 5$।
$p(x) = 0$ रखने पर,हमें $x + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर: $x = -5$।
अतः,बहुपद $p(x) = x + 5$ का शून्यक $-5$ है।

(C) बहुपद $p(x) = x - 5$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं।
$p(x) = 0$
$x - 5 = 0$
दोनों पक्षों में $5$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 5$
अतः,बहुपद $p(x) = x - 5$ का शून्यक $5$ है।

(D) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(x) = 2x + 5$।
बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x + 5 = 0$
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर:
$2x = -5$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर:
$x = \frac{-5}{2}$
अतः,बहुपद $p(x) = 2x + 5$ का शून्यक $\frac{-5}{2}$ है।

(A) बहुपद $p(x) = 3x - 2$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3x - 2 = 0$
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर,हमें $3x = 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,बहुपद $p(x) = 3x - 2$ का शून्यक $\frac{2}{3}$ है।

(B) बहुपद $p(x) = 3x$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3x = 0$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{0}{3}$
$x = 0$
अतः,बहुपद $p(x) = 3x$ का शून्यक $0$ है।

(C) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है कि $p(x) = ax$ और $a \neq 0$ है।
बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर: $ax = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a \neq 0$ है,इसलिए हम दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित कर सकते हैं: $x = 0/a$।
अतः,$x = 0$।
इस प्रकार,बहुपद $p(x) = ax$ का शून्यक $0$ है।

(A) बहुपद $p(x) = cx + d$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$cx + d = 0$
दोनों पक्षों से $d$ घटाने पर:
$cx = -d$
दोनों पक्षों को $c$ से विभाजित करने पर (क्योंकि $c \neq 0$):
$x = -\frac{d}{c}$
अतः,बहुपद $p(x) = cx + d$ का शून्यक $-\frac{d}{c}$ है।

(B) शून्य बहुपद $p(x) = 0$ के रूप का एक बहुपद है।
परिभाषा के अनुसार,बहुपद $p(x)$ का शून्यक वह मान $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ हो।
चूंकि $p(x) = 0$ का मान $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए शून्य होता है,इसलिए प्रत्येक वास्तविक संख्या शून्य बहुपद का एक शून्यक है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।

(B) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(x) = 2x + 5$,इसलिए $2x + 5 = 0$ रखने पर।
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर,हमें $2x = -5$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-\frac{5}{2}$ बहुपद का शून्यक है।
इसलिए,$(b)$ सही उत्तर है।

(C) माना बहुपद $p(x) = 2x^2 + 7x - 4$ है।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं:
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
$2x^2 + 8x - x - 4 = 0$
$2x(x + 4) - 1(x + 4) = 0$
$(2x - 1)(x + 4) = 0$
इससे हमें $2x - 1 = 0$ या $x + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{1}{2}$ या $x = -4$ है।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$\frac{1}{2}$ एक शून्यक है।
इसलिए,विकल्प $(c)$ सही है।

(FALSE) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य: किसी बहुपद $p(x)$ का शून्यक वह मान $k$ है जिसके लिए $p(k) = 0$ होता है। उदाहरण के लिए,बहुपद $p(x) = x - 2$ पर विचार करें। $p(x) = 0$ रखने पर,हमें $x - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 2$। यहाँ,$2$ बहुपद का शून्यक है,जो $0$ नहीं है। अतः,किसी बहुपद का शून्यक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है,न कि केवल $0$।

(B) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य: एक बहुपद के एक से अधिक शून्यक हो सकते हैं। किसी बहुपद के शून्यकों की संख्या उसकी घात पर निर्भर करती है। बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ वास्तविक शून्यक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए,एक द्विघात बहुपद $(\text{degree} = 2)$ के अधिकतम $2$ शून्यक हो सकते हैं,और एक त्रिघात बहुपद $(\text{degree} = 3)$ के अधिकतम $3$ शून्यक हो सकते हैं।

(B) माना $p(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+1$ है।
जब $p(x)$ को $5+2x$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,भाजक $5+2x$ का शून्य ज्ञात कीजिए:
$5+2x = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}$.
अब,$p(-\frac{5}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:
$p(-\frac{5}{2}) = (-\frac{5}{2})^{3} + 3(-\frac{5}{2})^{2} + 3(-\frac{5}{2}) + 1$
$= -\frac{125}{8} + 3(\frac{25}{4}) - \frac{15}{2} + 1$
$= -\frac{125}{8} + \frac{75}{4} - \frac{15}{2} + 1$
$= \frac{-125 + 150 - 60 + 8}{8}$
$= \frac{-27}{8}$.
अतः,अभीष्ट शेषफल $-\frac{27}{8}$ है।

(C) माना कि बहुपद $p(x) = 3x^{3} - 4x^{2} + 7x - 5$ है।
$x = -3$ पर मान ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद में $x$ के स्थान पर $-3$ प्रतिस्थापित करेंगे:
$p(-3) = 3(-3)^{3} - 4(-3)^{2} + 7(-3) - 5$
घातों की गणना करने पर:
$p(-3) = 3(-27) - 4(9) - 21 - 5$
गुणा करने पर:
$p(-3) = -81 - 36 - 21 - 5$
ऋणात्मक संख्याओं का योग करने पर:
$p(-3) = -143$.

(B) एक बहुपद $p(x)$ का शून्यक वह संख्या $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ होता है।
माना $p(x) = x - 3$ है।
यह जाँचने के लिए कि $-3$ एक शून्यक है या नहीं,हम $p(-3)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-3) = -3 - 3 = -6$ है।
चूँकि $p(-3) = -6 \neq 0$ है,इसलिए $-3$ बहुपद $x - 3$ का शून्यक नहीं है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(A) किसी बहुपद $p(x)$ का शून्यक वह संख्या $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ हो।
माना $p(x) = 3x + 1$ है।
सत्यापित करने के लिए,$x = -\frac{1}{3}$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें:
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = -1 + 1 = 0$ है।
चूंकि $p\left(-\frac{1}{3}\right) = 0$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $-\frac{1}{3}$ बहुपद $3x + 1$ का एक शून्यक है। अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(FALSE) एक बहुपद $p(y)$ का शून्यक वह मान $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ हो।
माना $p(y) = 4 - 5y$.
बहुपद में $y = -\frac{4}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p\left(-\frac{4}{5}\right) = 4 - 5\left(-\frac{4}{5}\right)$
$p\left(-\frac{4}{5}\right) = 4 + 4 = 8$.
चूंकि $p\left(-\frac{4}{5}\right) \neq 0$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।
अतः,$-\frac{4}{5}$,$4 - 5y$ का शून्यक नहीं है।

(TRUE) किसी बहुपद $p(t)$ का शून्यक एक ऐसी संख्या $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ हो।
माना $p(t) = t^{2} - 2t$.
$t = 0$ के लिए:
$p(0) = (0)^{2} - 2(0) = 0 - 0 = 0$.
$t = 2$ के लिए:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) = 4 - 4 = 0$.
चूंकि $p(0) = 0$ और $p(2) = 0$ है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है। अतः,$0$ और $2$ बहुपद $t^{2} - 2t$ के शून्यक हैं।

(TRUE) एक बहुपद $p(y)$ का शून्यक वह संख्या $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ होता है।
माना $p(y) = y^{2} + y - 6$ है।
बहुपद में $y = -3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-3) = (-3)^{2} + (-3) - 6$
$p(-3) = 9 - 3 - 6$
$p(-3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p(-3) = 0$ है,इसलिए यह सत्य है कि $-3$,बहुपद $y^{2} + y - 6$ का एक शून्यक है।

(D) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(x) = x - 4$।
बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 4 = 0$
समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$x = 4$
अतः,बहुपद $p(x) = x - 4$ का शून्यक $4$ है।

(A) बहुपद $g(x) = 3 - 6x$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $g(x) = 0$ रखते हैं।
$3 - 6x = 0$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$-6x = -3$
दोनों पक्षों को $-6$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{-3}{-6}$
भिन्न को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{1}{2}$
अतः,बहुपद $g(x) = 3 - 6x$ का शून्यक $\frac{1}{2}$ है।

(B) बहुपद $q(x) = 2x - 7$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं:
$q(x) = 0$
$2x - 7 = 0$
दोनों पक्षों में $7$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x = 7$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{7}{2}$
अतः,बहुपद $q(x) = 2x - 7$ का शून्यक $\frac{7}{2}$ है।

(C) बहुपद $h(y) = 2y$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं।
$h(y) = 0$
$2y = 0$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 0$
अतः,$0$ बहुपद $h(y) = 2y$ का शून्यक है।

(D) बहुपद $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(x) = (x-2)^{2} - (x+2)^{2}$।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = (x-2)$ और $b = (x+2)$ है:
$p(x) = [(x-2) - (x+2)] \cdot [(x-2) + (x+2)] = 0$
$p(x) = (x - 2 - x - 2) \cdot (x - 2 + x + 2) = 0$
$p(x) = (-4) \cdot (2x) = 0$
$-8x = 0$
$x = 0$
अतः,बहुपद का शून्यक $0$ है।

(N/A) माना $p(x) = x^{2}-x-6$ है।
$x = 3$ के लिए:
$p(3) = (3)^{2} - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$ है।
चूंकि $p(3) = 0$ है,इसलिए $3$ बहुपद $x^{2}-x-6$ का एक शून्यक है।
$x = 5$ के लिए:
$p(5) = (5)^{2} - 5 - 6 = 25 - 5 - 6 = 14$ है।
चूंकि $p(5) \neq 0$ है,इसलिए $5$ बहुपद $x^{2}-x-6$ का शून्यक नहीं है।

(B) दिया गया बहुपद $p(x)=5 x-8$ है।
बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x)=0$ रखते हैं।
अतः,$5 x-8=0$।
दोनों पक्षों में $8$ जोड़ने पर,हमें $5 x=8$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $x=\frac{8}{5}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,बहुपद $p(x)=5 x-8$ का शून्यक $\frac{8}{5}$ है।

(C) $x=1$ पर बहुपद $p(x) = x^{2}-7x+12$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $1$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(1) = (1)^{2} - 7(1) + 12$
$p(1) = 1 - 7 + 12$
$p(1) = -6 + 12$
$p(1) = 6$
अतः,$x=1$ पर बहुपद का मान $6$ है।

(A) बहुपद $p(x) = x^{2} - 7x + 12$ का मान $x = 3$ पर ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $3$ प्रतिस्थापित करेंगे:
$p(3) = (3)^{2} - 7(3) + 12$
$p(3) = 9 - 21 + 12$
$p(3) = 21 - 21$
$p(3) = 0$
अतः,$x = 3$ पर बहुपद का मान $0$ है।

(B) $x=4$ पर बहुपद $p(x) = x^{2}-7x+12$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $4$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(4) = (4)^{2} - 7(4) + 12$
$p(4) = 16 - 28 + 12$
$p(4) = 28 - 28$
$p(4) = 0$
अतः,$x=4$ पर बहुपद का मान $0$ है।

मान ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$,$x = 2$ और $x = 4$ को बहुपद $p(x) = x^{3} - 7x^{2} + 14x - 8$ में प्रतिस्थापित करेंगे।
$1$. $p(1)$ के लिए:
$p(1) = (1)^{3} - 7(1)^{2} + 14(1) - 8 = 1 - 7 + 14 - 8 = 0$.
$2$. $p(2)$ के लिए:
$p(2) = (2)^{3} - 7(2)^{2} + 14(2) - 8 = 8 - 7(4) + 28 - 8 = 8 - 28 + 28 - 8 = 0$.
$3$. $p(4)$ के लिए:
$p(4) = (4)^{3} - 7(4)^{2} + 14(4) - 8 = 64 - 7(16) + 56 - 8 = 64 - 112 + 56 - 8 = 0$.
अतः,$p(1) = 0$,$p(2) = 0$ और $p(4) = 0$ है।

(N/A) बहुपद $p(x) = x^{2} - 3x + 2$ का मान $x = 1, 2, 4$ पर ज्ञात करने के लिए,हम इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करेंगे:
$1$. $x = 1$ के लिए: $p(1) = (1)^{2} - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
$2$. $x = 2$ के लिए: $p(2) = (2)^{2} - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$.
$3$. $x = 4$ के लिए: $p(4) = (4)^{2} - 3(4) + 2 = 16 - 12 + 2 = 6$.
अतः,मान $p(1) = 0$,$p(2) = 0$ और $p(4) = 6$ हैं।

(D) माना कि बहुपद $p(x) = x^{2} - 2x - 15$ है।
यह जांचने के लिए कि क्या $2$ एक शून्यक है,हम $p(2)$ की गणना करते हैं:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) - 15 = 4 - 4 - 15 = -15$.
चूंकि $p(2) \neq 0$,इसलिए $2$ बहुपद का शून्यक नहीं है।
यह जांचने के लिए कि क्या $5$ एक शून्यक है,हम $p(5)$ की गणना करते हैं:
$p(5) = (5)^{2} - 2(5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 0$.
चूंकि $p(5) = 0$,इसलिए $5$ बहुपद का शून्यक है।

(C) यह जांचने के लिए कि कोई मान बहुपद $p(x) = x^{2} - 5x - 14$ का शून्यक है या नहीं,हम उस मान को बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं और देखते हैं कि परिणाम $0$ आता है या नहीं।
$x = 3$ के लिए:
$p(3) = (3)^{2} - 5(3) - 14$
$p(3) = 9 - 15 - 14$
$p(3) = -20$
चूंकि $p(3) \neq 0$,इसलिए $3$ बहुपद का शून्यक नहीं है।
$x = 7$ के लिए:
$p(7) = (7)^{2} - 5(7) - 14$
$p(7) = 49 - 35 - 14$
$p(7) = 49 - 49$
$p(7) = 0$
चूंकि $p(7) = 0$,इसलिए $7$ बहुपद का शून्यक है।

(A) बहुपद $p(x) = 3x - 4$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3x - 4 = 0$
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x = 4$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{4}{3}$
अतः,बहुपद का शून्यक $\frac{4}{3}$ है।

(D) बहुपद $p(t)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(t) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(t) = 7t - 21$।
बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर:
$7t - 21 = 0$
दोनों पक्षों में $21$ जोड़ने पर:
$7t = 21$
दोनों पक्षों को $7$ से विभाजित करने पर:
$t = \frac{21}{7}$
$t = 3$
अतः,बहुपद का शून्यक $3$ है।

(N/A) बहुपद $q(y)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $q(y) = 0$ रखते हैं।
अतः,$\pi y + 3.14 = 0$।
दोनों पक्षों से $3.14$ घटाने पर,हमें $\pi y = -3.14$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर,हमें $y = -\frac{3.14}{\pi}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,बहुपद का शून्यक $-\frac{3.14}{\pi}$ है।

(D) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$\frac{2}{3}x + \frac{5}{4} = 0$
दोनों पक्षों से $\frac{5}{4}$ घटाने पर:
$\frac{2}{3}x = -\frac{5}{4}$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को $\frac{3}{2}$ से गुणा करने पर:
$x = -\frac{5}{4} \times \frac{3}{2}$
$x = -\frac{15}{8}$

(C) बहुपद $q(m)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $q(m) = 0$ रखते हैं।
$0.3m - 0.15 = 0$
$0.3m = 0.15$
$m = \frac{0.15}{0.3}$
$m = \frac{15}{30}$
$m = 0.5$
अतः,बहुपद का शून्यक $0.5$ है।