Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(A) माना $p(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 1$ है,जिसे $x - (-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$a = -1$ है।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(-1)$ की गणना करते हैं:
$p(-1) = (-1)^{3} + 3(-1)^{2} + 3(-1) + 1$
$p(-1) = -1 + 3(1) - 3 + 1$
$p(-1) = -1 + 3 - 3 + 1$
$p(-1) = 0$.
अतः,अभीष्ट शेषफल $0$ है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = x + 3$ है।
$p(-x)$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $-x$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$p(-x) = -x + 3.$
अब,हम योग $p(x) + p(-x)$ की गणना करते हैं:
$p(x) + p(-x) = (x + 3) + (-x + 3).$
व्यंजक को सरल करने पर:
$p(x) + p(-x) = x + 3 - x + 3 = 6.$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $x + a$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{51} + 51$ को $x + 1$ से विभाजित किया गया है।
इसलिए,शेषफल $p(-1) = (-1)^{51} + 51$ होगा।
चूंकि $(-1)$ की विषम घात $-1$ होती है,इसलिए $p(-1) = -1 + 51 = 50$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया व्यंजक: $(25 x^{2}-1)+(1+5 x)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,हम $(25 x^{2}-1)$ को $(5 x)^{2}-1^{2}=(5 x-1)(5 x+1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(5 x-1)(5 x+1)+(5 x+1)^{2}$
$(5 x+1)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$(5 x+1) \times [(5 x-1)+(5 x+1)]$
बड़े कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$(5 x+1) \times (5 x-1+5 x+1) = (5 x+1)(10 x)$
अतः,गुणनखंड $10 x$ और $(5 x+1)$ हैं।
इसलिए,$(c)$ सही उत्तर है।

(FALSE) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य: बहुपद की घात बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है।
दो बहुपद $P(x) = -x^{5} + 3x^{2} + 4$ और $Q(x) = x^{5} + x^{4} + 2x^{3} + 3$ पर विचार कीजिए।
इन दोनों बहुपदों की घात $5$ है।
अब,इनका योग ज्ञात कीजिए: $P(x) + Q(x) = (-x^{5} + 3x^{2} + 4) + (x^{5} + x^{4} + 2x^{3} + 3) = x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 7$.
परिणामी बहुपद की घात $4$ है,जो कि $5$ नहीं है। अतः,यह कथन असत्य है।

(B) दिया गया व्यंजक $x^{2}-2xy+y^{2}+1$ है।
इस व्यंजक में $x$ और $y$ दो चर मौजूद हैं।
चूंकि इसमें दो अलग-अलग चर हैं,इसलिए यह दो चरों वाला बहुपद है।

(N/A) जिस बहुपद में केवल एक पद होता है उसे एकपदी कहा जाता है,जिस बहुपद में केवल दो पद होते हैं उसे द्विपद कहा जाता है,और जिस बहुपद में केवल तीन पद होते हैं उसे त्रिपद कहा जाता है।
$(i)$ $3x$,$1$ घात वाला एकपदी है।
$(ii)$ $x^{20} - 7$,$20$ घात वाला द्विपद है।
$(iii)$ $5x^2 + 3x - 1$,$2$ घात वाला त्रिपद है।

(B) माना $p(z) = az^{3} + 4z^{2} + 3z - 4$ और $q(z) = z^{3} - 4z + a$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $f(z)$ को $(z - c)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $f(c)$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों बहुपदों को $z - 3$ से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है,इसलिए $p(3) = q(3)$ होगा।
सबसे पहले,$p(3)$ की गणना करते हैं:
$p(3) = a(3)^{3} + 4(3)^{2} + 3(3) - 4$
$p(3) = 27a + 36 + 9 - 4 = 27a + 41$.
अब,$q(3)$ की गणना करते हैं:
$q(3) = (3)^{3} - 4(3) + a$
$q(3) = 27 - 12 + a = 15 + a$.
दोनों शेषफलों को बराबर रखने पर:
$27a + 41 = 15 + a$
$27a - a = 15 - 41$
$26a = -26$
$a = -1$.
अतः,$a$ का मान $-1$ है।

(C) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - c)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(c)$ होता है।
दिया गया है कि $p(x) = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - ax + 3a - 7$ को $x + 1$ से विभाजित करने पर शेषफल $p(-1) = 19$ प्राप्त होता है।
$p(x)$ में $x = -1$ रखने पर:
$p(-1) = (-1)^{4} - 2(-1)^{3} + 3(-1)^{2} - a(-1) + 3a - 7 = 19$
$1 - 2(-1) + 3(1) + a + 3a - 7 = 19$
$1 + 2 + 3 + 4a - 7 = 19$
$4a - 1 = 19$
$4a = 20$
$a = 5$
अब,जब $p(x)$ को $x + 2$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-2)$ होगा,जहाँ $a = 5$ है:
$p(x) = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 3(5) - 7 = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 8$
$p(-2) = (-2)^{4} - 2(-2)^{3} + 3(-2)^{2} - 5(-2) + 8$
$p(-2) = 16 - 2(-8) + 3(4) + 10 + 8$
$p(-2) = 16 + 16 + 12 + 10 + 8 = 62$.

(N/A) व्यंजक $x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3}$ एक बहुपद है क्योंकि चर $x$ और $y$ के सभी घातांक ऋणेतर पूर्णांक हैं। चूंकि इसमें दो अलग-अलग चर $x$ और $y$ शामिल हैं,इसलिए यह दो चरों वाला बहुपद है,न कि एक चर वाला बहुपद।

(N/A) $p(x)=21+10 x+x^{2}$
$\therefore p(x)=x^{2}+10 x+21$ और $g(x)=2+x$
$\therefore g(x)=x+2$
$\therefore$ भागफल $=x+8$ और शेषफल $=5$
विभाजन प्रक्रिया के चरण:
चरण $1:$ हम भाज्य $21+10 x+x^{2}$ और भाजक $2+x$ को मानक रूप में लिखते हैं,अर्थात,पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद। इसलिए,भाज्य $x^{2}+10 x+21$ है और भाजक $x+2$ है।
चरण $2:$ हम भाज्य के पहले पद को भाजक के पहले पद से विभाजित करते हैं,अर्थात,हम $x^{2}$ को $x$ से विभाजित करते हैं और $x$ प्राप्त करते हैं। यह हमें भागफल का पहला पद देता है।
$\frac{x^{2}}{x}=x=$ भागफल का पहला पद।
चरण $3:$ हम भाजक को भागफल के पहले पद से गुणा करते हैं और इस गुणनफल को भाज्य से घटाते हैं,अर्थात,हम $x+2$ को $x$ से गुणा करते हैं और गुणनफल $x^{2}+2 x$ को भाज्य $x^{2}+10 x+21$ से घटाते हैं। यह हमें शेषफल के रूप में $8 x+21$ देता है।
चरण $4:$ हम शेषफल $8 x+21$ को नए भाज्य के रूप में मानते हैं। भाजक वही रहता है। हम भागफल का अगला पद प्राप्त करने के लिए चरण $2$ को दोहराते हैं,अर्थात,हम (नए) भाज्य के पहले पद $8 x$ को भाजक के पहले पद $x$ से विभाजित करते हैं और $8$ प्राप्त करते हैं।
इस प्रकार,$8$ भागफल का दूसरा पद है।
$\frac{8 x}{x}=8=$ भागफल का दूसरा पद।
नया भागफल $=x+8$
चरण $5:$ हम भाजक को भागफल के दूसरे पद से गुणा करते हैं और गुणनफल को भाज्य से घटाते हैं। अर्थात,हम $x+2$ को $8$ से गुणा करते हैं और गुणनफल $8 x+16$ को भाज्य $8 x+21$ से घटाते हैं। यह हमें शेषफल के रूप में $5$ देता है।
यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक शेषफल $0$ न हो जाए या नए भाज्य की घात भाजक की घात से कम न हो जाए। इस चरण पर,यह नया भाज्य शेषफल बन जाता है और भागफलों का योग हमें पूर्ण भागफल देता है।
चरण $6:$ इस प्रकार,पूर्ण भागफल $x+8$ है और शेषफल $5$ है।

(N/A) $p(x) = x^{3} + 7x^{2} + 14x + 1$ को $x + 3$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x + 3)$ से गुणा करने पर $x^{3} + 3x^{2}$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $4x^{2} + 14x + 1$ प्राप्त होता है।
$3$. $4x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $4x$ प्राप्त होता है। $4x$ को $(x + 3)$ से गुणा करने पर $4x^{2} + 12x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $2x + 1$ प्राप्त होता है।
$4$. $2x$ को $x$ से विभाजित करने पर $2$ प्राप्त होता है। $2$ को $(x + 3)$ से गुणा करने पर $2x + 6$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $-5$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2} + 4x + 2$ है और शेषफल $-5$ है।

(N/A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $2x^2 - 7x - 15$ को $x + 1$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करेंगे।
$1$. भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करें: $2x^2 / x = 2x$. यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(x + 1)$ को $2x$ से गुणा करें: $2x(x + 1) = 2x^2 + 2x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाएं: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 + 2x) = -9x - 15$.
$4$. नए व्यंजक के पहले पद $(-9x)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करें: $-9x / x = -9$. यह भागफल का दूसरा पद है।
$5$. भाजक $(x + 1)$ को $-9$ से गुणा करें: $-9(x + 1) = -9x - 9$.
$6$. इसे वर्तमान व्यंजक से घटाएं: $(-9x - 15) - (-9x - 9) = -9x - 15 + 9x + 9 = -6$.
अतः,भागफल $2x - 9$ है और शेषफल $-6$ है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि $p(x)$ को $(x + 1)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-1)$ होता है।
दिया गया है कि $p(-1) = 16$,इसलिए:
$2(-1)^3 - 3(-1)^2 + a(-1) - 3a + 9 = 16$
$-2 - 3 - a - 3a + 9 = 16$
$4 - 4a = 16$
$-4a = 12$
$a = -3$.
अब,$a = -3$ को $p(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x - 3(-3) + 9 = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 18$.
$p(x)$ को $(x + 2)$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(-2)$ की गणना करेंगे:
$p(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 3(-2) + 18$
$p(-2) = 2(-8) - 3(4) + 6 + 18$
$p(-2) = -16 - 12 + 6 + 18 = -4$.
अतः,$a = -3$ और शेषफल $-4$ है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $f(x)$ को $(x - c)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $f(c)$ होता है।
$p(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5ax - 7$ को $(x + 1)$ से विभाजित करने पर,$R_{1} = p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} - 5a(-1) - 7 = -1 + 2 + 5a - 7 = 5a - 6$.
$q(x) = x^{3} + ax^{2} - 12x + 6$ को $(x - 2)$ से विभाजित करने पर,$R_{2} = q(2) = (2)^{3} + a(2)^{2} - 12(2) + 6 = 8 + 4a - 24 + 6 = 4a - 10$.
दिया गया है कि $2R_{1} + R_{2} = 6$,अतः $R_{1}$ और $R_{2}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2(5a - 6) + (4a - 10) = 6$
$10a - 12 + 4a - 10 = 6$
$14a - 22 = 6$
$14a = 28$
$a = 2$.

(C) माना $p(x) = ax^3 + 4x^2 + 3x - 4$ और $q(x) = x^3 - 4x + a$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $f(x)$ को $x - c$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $f(c)$ होता है।
यहाँ,$c = 3$ है। इसलिए,$p(x)$ के लिए शेषफल $p(3)$ और $q(x)$ के लिए शेषफल $q(3)$ होगा।
$p(3) = a(3)^3 + 4(3)^2 + 3(3) - 4 = 27a + 36 + 9 - 4 = 27a + 41$.
$q(3) = (3)^3 - 4(3) + a = 27 - 12 + a = 15 + a$.
चूँकि शेषफल समान हैं,इसलिए $p(3) = q(3)$ होगा।
$27a + 41 = 15 + a$.
$27a - a = 15 - 41$.
$26a = -26$.
$a = -1$.

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि $p(x)$ को $(x + 1)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-1)$ होता है।
दिया गया है कि $p(-1) = 19$.
$p(-1) = (-1)^{4} - 2(-1)^{3} + 3(-1)^{2} - a(-1) + 3a - 7 = 19$
$1 + 2 + 3 + a + 3a - 7 = 19$
$4a - 1 = 19$
$4a = 20 \implies a = 5$.
अब,$p(x) = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 3(5) - 7 = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 8$.
जब $p(x)$ को $(x + 2)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम $p(-2)$ की गणना करेंगे।
$p(-2) = (-2)^{4} - 2(-2)^{3} + 3(-2)^{2} - 5(-2) + 8$
$p(-2) = 16 - 2(-8) + 3(4) + 10 + 8$
$p(-2) = 16 + 16 + 12 + 10 + 8 = 62$.
अतः,$a = 5$ और शेषफल $62$ है।

(A) जब बहुपद $p(x) = x^{3} + 125$ को $(x - 5)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हैं।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$a = 5$ है।
अतः,शेषफल $p(5) = (5)^{3} + 125$ होगा।
$p(5) = 125 + 125 = 250$.
इसलिए,शेषफल $250$ है।