Zeroes of a Polynomial Questions in Hindi

(C) माना बहुपद $p(x) = x^{3} + 7x^{2} + 17x + 25$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,भाजक $x + 4$ है,जिसे $x - (-4)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,हम $x + 4 = 0$ रखते हैं,जिससे $x = -4$ प्राप्त होता है।
अब,हम $p(-4)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-4) = (-4)^{3} + 7(-4)^{2} + 17(-4) + 25$
$p(-4) = -64 + 7(16) - 68 + 25$
$p(-4) = -64 + 112 - 68 + 25$
$p(-4) = 137 - 132$
$p(-4) = 5$
अतः,शेषफल $5$ है।

(C) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 6$ है,जिसे $x - (-6)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,हमें $p(-6)$ का मान ज्ञात करना होगा।
दिया गया है कि $p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ है।
बहुपद में $x = -6$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-6) = (-6)^{3} + (-6)^{2} - 26(-6) + 24$
$p(-6) = -216 + 36 + 156 + 24$
$p(-6) = -216 + 216$
$p(-6) = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(C) माना कि बहुपद $p(x) = x^{2} + 9x + 20$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि $p(x)$ को $(x + 2)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-2)$ प्राप्त होता है।
बहुपद में $x = -2$ रखने पर:
$p(-2) = (-2)^{2} + 9(-2) + 20$
$p(-2) = 4 - 18 + 20$
$p(-2) = 6$।
बहुपद के $(x + 2)$ से विभाज्य होने के लिए,शेषफल $0$ होना चाहिए।
इसलिए,हमें बहुपद $p(x)$ में से शेषफल $6$ को घटाना होगा ताकि नया बहुपद $(x + 2)$ से पूर्णतः विभाज्य हो जाए।

(B) बहुपद $p(x) = 2x + 3$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
चूंकि प्राप्त शून्यक $-\frac{3}{2}$ है,न कि $\frac{3}{2}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य (False) है।

(B) $p(-2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद $p(x) = x^{3} + 9x^{2} + 26x + 24$ में $x = -2$ प्रतिस्थापित करें।
$p(-2) = (-2)^{3} + 9(-2)^{2} + 26(-2) + 24$
$p(-2) = -8 + 9(4) - 52 + 24$
$p(-2) = -8 + 36 - 52 + 24$
$p(-2) = (-8 - 52) + (36 + 24)$
$p(-2) = -60 + 60$
$p(-2) = 0$

(D) बहुपद $p(x) = x^{3} + 7x^{2} + 11x + 5$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए विकल्पों को बहुपद में प्रतिस्थापित करके जाँच करते हैं।
यदि $x = -1$ है:
$p(-1) = (-1)^{3} + 7(-1)^{2} + 11(-1) + 5$
$p(-1) = -1 + 7(1) - 11 + 5$
$p(-1) = -1 + 7 - 11 + 5$
$p(-1) = 12 - 12 = 0$
चूँकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $x = -1$ बहुपद $p(x)$ का एक शून्यक है।

(C) बहुपद $p(x) = x^{3}-3x^{2}-5x+15$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$x^{2}(x-3) - 5(x-3) = 0$
$(x^{2}-5)(x-3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x-3 = 0 \implies x = 3$
$x^{2}-5 = 0 \implies x^{2} = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$
इन मानों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,$3$ एक शून्यक है।

(B) बहुपद $p(x) = 5x - 10$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$5x - 10 = 0$
$5x = 10$
$x = \frac{10}{5}$
$x = 2$
अतः,बहुपद का शून्यक $2$ है।

(A) बहुपद $p(x) = bx + m$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$bx + m = 0$
$bx = -m$
$x = -\frac{m}{b}$
अतः,बहुपद का शून्यक $-\frac{m}{b}$ है।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ के लिए $p(a) = 0$ है,तो $(x - a)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ दिया गया है कि $p(3) = 0$,इसलिए प्रमेय के अनुसार $a = 3$ रखने पर,
$(x - 3)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।