Factorisation of Polynomials Questions in Gujarati

(N/A) આપણે ભાગાકારની પ્રક્રિયા નીચેના સોપાન દ્વારા કરીશું:
સોપાન $1$: આપણે ભાજ્ય $x + 3x^2 - 1$ અને ભાજક $1 + x$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ,એટલે કે પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીએ છીએ. તેથી,ભાજ્ય $3x^2 + x - 1$ છે અને ભાજક $x + 1$ છે.
સોપાન $2$: આપણે ભાજ્યના પ્રથમ પદને ભાજકના પ્રથમ પદ વડે ભાગીએ છીએ,એટલે કે $3x^2$ ને $x$ વડે ભાગતા $3x$ મળે છે. આ આપણને ભાગફળનું પ્રથમ પદ આપે છે.
સોપાન $3$: આપણે ભાજકને ભાગફળના પ્રથમ પદ વડે ગુણીએ છીએ અને આ ગુણાકારને ભાજ્યમાંથી બાદ કરીએ છીએ,એટલે કે $x + 1$ ને $3x$ વડે ગુણીએ છીએ અને $3x^2 + 3x$ ને ભાજ્ય $3x^2 + x - 1$ માંથી બાદ કરીએ છીએ. આનાથી આપણને શેષ $-2x - 1$ મળે છે.
સોપાન $4$: આપણે શેષ $-2x - 1$ ને નવા ભાજ્ય તરીકે લઈએ છીએ. ભાજક સમાન રહે છે. આપણે ભાગફળનું બીજું પદ મેળવવા માટે સોપાન $2$ નું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ,એટલે કે નવા ભાજ્યના પ્રથમ પદ $-2x$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $x$ વડે ભાગતા $-2$ મળે છે. આમ,$-2$ એ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
સોપાન $5$: આપણે ભાજકને ભાગફળના બીજા પદ વડે ગુણીએ છીએ અને ગુણાકારને ભાજ્યમાંથી બાદ કરીએ છીએ. એટલે કે,$x + 1$ ને $-2$ વડે ગુણીએ છીએ અને ગુણાકાર $-2x - 2$ ને ભાજ્ય $-2x - 1$ માંથી બાદ કરીએ છીએ. આનાથી આપણને શેષ $1$ મળે છે.
સોપાન $6$: આમ,ભાગફળ $3x - 2$ છે અને શેષ $1$ છે.
ચકાસણી: $3x^2 + x - 1 = (x + 1)(3x - 2) + 1$.

(D) બહુપદી $p(x) = 3x^{4} - 4x^{3} - 3x - 1$ ને $x - 1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે ભાગાકારની લાંબી રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(3x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $3x^{3}$ મળે છે.
$2$. $3x^{3}$ ને $(x - 1)$ વડે ગુણતા $3x^{4} - 3x^{3}$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $-x^{3} - 3x - 1$ મળે છે.
$3$. $-x^{3}$ ને $x$ વડે ભાગતા $-x^{2}$ મળે છે. $-x^{2}$ ને $(x - 1)$ વડે ગુણતા $-x^{3} + x^{2}$ મળે છે. બાદબાકી કરતા $-x^{2} - 3x - 1$ મળે છે.
$4$. $-x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $-x$ મળે છે. $-x$ ને $(x - 1)$ વડે ગુણતા $-x^{2} + x$ મળે છે. બાદબાકી કરતા $-4x - 1$ મળે છે.
$5$. $-4x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4$ મળે છે. $-4$ ને $(x - 1)$ વડે ગુણતા $-4x + 4$ મળે છે. બાદબાકી કરતા $-5$ મળે છે.
ભાગફળ $3x^{3} - x^{2} - x - 4$ છે અને શેષ $-5$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$x - 1$ નું શૂન્ય $1$ છે. $p(x)$ માં $x = 1$ મુકતા:
$p(1) = 3(1)^{4} - 4(1)^{3} - 3(1) - 1$
$p(1) = 3 - 4 - 3 - 1 = -5$.
આમ,શેષ $-5$ છે.

(A) જ્યારે $p(x) = x^3 + 1$ ને $x + 1$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 1$ છે,જેને $x - (-1)$ તરીકે લખી શકાય છે. તેથી,$a = -1$ છે.
હવે,આપણે $p(-1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-1) = (-1)^3 + 1$
$p(-1) = -1 + 1$
$p(-1) = 0$
તેથી,મળતી શેષ $0$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^4+x^3-2x^2+x+1$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x-a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x-1$ છે,તેથી $a = 1$.
હવે,$p(1)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(1) = (1)^4 + (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 1$
$p(1) = 1 + 1 - 2(1) + 1 + 1$
$p(1) = 1 + 1 - 2 + 1 + 1$
$p(1) = 2$.
તેથી,શેષ $2$ મળે છે.

(A) જો $q(t)$ એ $2t + 1$ નો ગુણક હોય,તો $2t + 1$ એ $q(t)$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $q(-\frac{1}{2}) = 0$ થાય,તો $2t + 1$ એ $q(t)$ નો અવયવ છે.
$2t + 1 = 0$ લેતા,આપણને $t = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,બહુપદી $q(t)$ માં $t = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$q(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 + 4(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) - 1$
$q(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 1$
$q(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} - 1 = 0$.
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી $2t + 1$ એ $q(t)$ નો અવયવ છે.
આમ,$q(t)$ એ $2t + 1$ નો ગુણક છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+kx+6=(x+2)(x+3)$.
સૌ પ્રથમ,સમીકરણની જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરો:
$(x+2)(x+3) = x(x+3) + 2(x+3)$
$= x^{2} + 3x + 2x + 6$
$= x^{2} + 5x + 6$.
હવે,આને સમીકરણની ડાબી બાજુ સાથે સરખાવો: $x^{2}+kx+6 = x^{2}+5x+6$.
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $k = 5$ મળે છે.

(A) ધારો કે $p(x) = 2x^2 + kx$.
જો $(x+1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો અવયવ પ્રમેય મુજબ $p(-1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = 2(-1)^2 + k(-1) = 0$
$2(1) - k = 0$
$2 - k = 0$
$k = 2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+1)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-1) = 0$ થવું જોઈએ.
$(a)$ ધારો કે $p(x) = x^{3}+x^{2}-x+1$.
$p(-1) = (-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)+1 = -1+1+1+1 = 2 \neq 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ અવયવ નથી.
$(b)$ ધારો કે $p(x) = x^{3}+x^{2}+x+1$.
$p(-1) = (-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1 = -1+1-1+1 = 0$.
અહીં $p(-1) = 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ અવયવ છે.
$(c)$ ધારો કે $p(x) = x^{4}+x^{3}+x^{2}+1$.
$p(-1) = (-1)^{4}+(-1)^{3}+(-1)^{2}+1 = 1-1+1+1 = 2 \neq 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ અવયવ નથી.
$(d)$ ધારો કે $p(x) = x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x+1$.
$p(-1) = (-1)^{4}+3(-1)^{3}+3(-1)^{2}+(-1)+1 = 1-3+3-1+1 = 1 \neq 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ અવયવ નથી.
આમ,$(x+1)$ એ $x^{3}+x^{2}+x+1$ નો અવયવ છે. સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $4 x^{2}+8 x+3$ નું અવયવીકરણ કરવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $4 \times 3 = 12$ થાય અને જેનો સરવાળો $8$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $6$ અને $2$ છે,કારણ કે $6 \times 2 = 12$ અને $6 + 2 = 8$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $8x$ ને $6x + 2x$ તરીકે લખો:
$4 x^{2}+6 x+2 x+3$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(4 x^{2}+6 x) + (2 x+3)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$2 x(2 x+3) + 1(2 x+3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2 x+3)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(2 x+3)(2 x+1)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) બહુપદી $p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી ત્યારે જ કહેવાય જો $g(x)$ એ $p(x)$ ને નિઃશેષ ભાગે,જેનો અર્થ છે કે શેષ $0$ હોવી જોઈએ.
જ્યારે $p(x)$ ને $g(x) = 2 - 3x$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે $g(x) = 0$ લઈએ છીએ:
$2 - 3x = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે $p\left(\frac{2}{3}\right)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} - \left(\frac{2}{3}\right) + 1$
$= \frac{8}{27} - \frac{2}{3} + 1$
$= \frac{8 - 18 + 27}{27} = \frac{17}{27}$.
અહીં શેષ $\frac{17}{27} \neq 0$ હોવાથી,$p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી નથી.

(YES) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $g(x)$ નું શૂન્ય $a$ હોય અને $p(a) = 0$ થાય,તો $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
પ્રથમ,$g(x)$ નું શૂન્ય શોધો:
$g(x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{4} = 0$
$\frac{x}{3} = \frac{1}{4}$
$x = \frac{3}{4}$
હવે,$p\left(\frac{3}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો:
$p\left(\frac{3}{4}\right) = 8\left(\frac{3}{4}\right)^3 - 6\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{3}{4}\right) + 3$
$= 8 \times \frac{27}{64} - 6 \times \frac{9}{16} - 3 + 3$
$= \frac{27}{8} - \frac{54}{16} - 3 + 3$
$= \frac{27}{8} - \frac{27}{8} - 3 + 3 = 0$
અહીં $p\left(\frac{3}{4}\right) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+1$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બહુપદી $p(x)$ ને $(x-a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x+\pi$ છે,જેને $x-(-\pi)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,આપણે $p(-\pi)$ શોધવાની જરૂર છે.
$p(x)$ માં $x = -\pi$ મૂકતા:
$p(-\pi) = (-\pi)^{3} + 3(-\pi)^{2} + 3(-\pi) + 1$
$p(-\pi) = -\pi^{3} + 3\pi^{2} - 3\pi + 1$
આમ,જરૂરી શેષ $-\pi^{3}+3\pi^{2}-3\pi+1$ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{3} - ax^{2} + 6x - a$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $p(a)$ મળે છે.
ભાજક $(x - a)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $x - a = 0$ લઈએ,જેથી $x = a$ મળે.
હવે,બહુપદી $p(x)$ માં $x = a$ મૂકતા:
$p(a) = (a)^{3} - a(a)^{2} + 6(a) - a$
$p(a) = a^{3} - a^{3} + 6a - a$
$p(a) = 0 + 5a$
$p(a) = 5a$
તેથી,મળતી શેષ $5a$ છે.

(B) ધારો કે $p(x) = 3x^3 + 7x$.
$(7+3x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $(7+3x)$ નું શૂન્ય શોધીએ:
$7 + 3x = 0 \implies 3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3}$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(7+3x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ ત્યારે જ કહેવાય જો $p(-\frac{7}{3}) = 0$ થાય.
હવે,$p(-\frac{7}{3})$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-\frac{7}{3}) = 3(-\frac{7}{3})^3 + 7(-\frac{7}{3})$
$= 3(-\frac{343}{27}) + (-\frac{49}{3})$
$= -\frac{343}{9} - \frac{49}{3}$
$= \frac{-343 - 147}{9} = -\frac{490}{9}$.
અહીં $p(-\frac{7}{3}) = -\frac{490}{9} \neq 0$ હોવાથી,શેષ $0$ મળતી નથી.
તેથી,$(7+3x)$ એ $3x^3+7x$ નો અવયવ નથી.

(N/A) $x+2$ નું શૂન્ય $-2$ છે. ધારો કે $p(x) = x^{3}+3x^{2}+5x+6$ અને $s(x) = 2x+4$.
$p(x)$ માટે:
$p(-2) = (-2)^{3} + 3(-2)^{2} + 5(-2) + 6$
$p(-2) = -8 + 3(4) - 10 + 6$
$p(-2) = -8 + 12 - 10 + 6 = 0$.
અહીં $p(-2) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$x+2$ એ $x^{3}+3x^{2}+5x+6$ નો અવયવ છે.
$s(x)$ માટે:
$s(-2) = 2(-2) + 4$
$s(-2) = -4 + 4 = 0$.
અહીં $s(-2) = 0$ હોવાથી,$x+2$ એ $2x+4$ નો અવયવ છે. વૈકલ્પિક રીતે,$2x+4 = 2(x+2)$ હોવાથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $x+2$ તેનો અવયવ છે.

(B) ધારો કે $p(x) = 4x^{3} + 3x^{2} - 4x + k$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 1$ મુકતા:
$p(1) = 4(1)^{3} + 3(1)^{2} - 4(1) + k = 0$
$4(1) + 3(1) - 4 + k = 0$
$4 + 3 - 4 + k = 0$
$3 + k = 0$
તેથી,$k = -3$.

(N/A) ઉકેલ $1:$ (મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીત)
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $p + q = 17$ અને $pq = 6 \times 5 = 30$ થાય.
$30$ ના અવયવો $(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)$ છે.
આમાંથી,$2 + 15 = 17$ થાય છે.
તેથી,$6x^2 + 17x + 5 = 6x^2 + 2x + 15x + 5$
$= 2x(3x + 1) + 5(3x + 1)$
$= (3x + 1)(2x + 5)$.
ઉકેલ $2:$ (અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને)
ધારો કે $p(x) = 6x^2 + 17x + 5 = 6(x^2 + \frac{17}{6}x + \frac{5}{6})$.
ધારો કે $a$ અને $b$ એ દ્વિઘાત પદાવલિના શૂન્યો છે. તો $ab = \frac{5}{6}$.
શક્ય સંમેય બીજ $\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{2}, \pm 1$ છે.
$p(-\frac{1}{3}) = 6(-\frac{1}{3})^2 + 17(-\frac{1}{3}) + 5 = 6(\frac{1}{9}) - \frac{17}{3} + 5 = \frac{2}{3} - \frac{17}{3} + \frac{15}{3} = 0$ મળે છે.
તેથી,$(x + \frac{1}{3})$ એક અવયવ છે.
$p(-\frac{5}{2}) = 6(-\frac{5}{2})^2 + 17(-\frac{5}{2}) + 5 = 6(\frac{25}{4}) - \frac{85}{2} + 5 = \frac{75}{2} - \frac{85}{2} + \frac{10}{2} = 0$ મળે છે.
તેથી,$(x + \frac{5}{2})$ એક અવયવ છે.
તેથી,$6x^2 + 17x + 5 = 6(x + \frac{1}{3})(x + \frac{5}{2}) = 6(\frac{3x+1}{3})(\frac{2x+5}{2}) = (3x + 1)(2x + 5)$.

(N/A) ધારો કે $p(y) = y^2 - 5y + 6$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(y - a)$ એ $p(y)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
આપણે અચળ પદ $6$ ના અવયવો શોધીએ,જે $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ છે.
$y = 2$ માટે ચકાસતા: $p(2) = (2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$.
તેથી,$(y - 2)$ એ $p(y)$ નો અવયવ છે.
$y = 3$ માટે ચકાસતા: $p(3) = (3)^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
તેથી,$(y - 3)$ એ $p(y)$ નો અવયવ છે.
આમ,$y^2 - 5y + 6$ નું અવયવીકરણ $(y - 2)(y - 3)$ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = x^{3}-23 x^{2}+142 x-120$.
અચળ પદ $-120$ ના અવયવો શોધીએ. તેમાંથી કેટલાક $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 8, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 60$ છે.
પ્રયત્ન કરતા,આપણને મળે છે કે $p(1) = 1^{3} - 23(1)^{2} + 142(1) - 120 = 1 - 23 + 142 - 120 = 0$. તેથી,$(x-1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,બહુપદીને ફરીથી લખતા:
$x^{3}-23 x^{2}+142 x-120 = x^{3}-x^{2}-22 x^{2}+22 x+120 x-120$
$= x^{2}(x-1) - 22x(x-1) + 120(x-1)$
$= (x-1)(x^{2}-22x+120)$.
આગળ,દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-22x+120$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડીએ:
$x^{2}-22x+120 = x^{2}-12x-10x+120$
$= x(x-12) - 10(x-12)$
$= (x-12)(x-10)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $x^{3}-23 x^{2}+142 x-120 = (x-1)(x-10)(x-12)$ છે.

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x - a)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,ભાજક $(x + 1)$ છે,જેને $(x - (-1))$ તરીકે લખી શકાય છે. તેથી,આપણે $a = -1$ લઈએ છીએ.
ધારો કે $p(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$.
હવે,$p(-1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-1) = (-1)^{3} + (-1)^{2} + (-1) + 1$
$p(-1) = -1 + 1 - 1 + 1$
$p(-1) = 0$
અહીં શેષ $p(-1) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x + 1)$ એ બહુપદી $x^{3} + x^{2} + x + 1$ નો અવયવ છે.

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $g(x) = x - a$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,$g(x) = x + 1$ છે,જેને $x - (-1)$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$a = -1$.
આપણે $p(-1)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) - 1$
$p(-1) = 2(-1) + 1 + 2 - 1$
$p(-1) = -2 + 1 + 2 - 1$
$p(-1) = 0$
કારણ કે $p(-1) = 0$ છે,તેથી અવયવ પ્રમેય મુજબ $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} + x + k$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x - 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(1) = 0$ થવું જોઈએ.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{2} + 1 + k$
$p(1) = 1 + 1 + k$
$p(1) = 2 + k$
કારણ કે $p(1) = 0$,તેથી:
$2 + k = 0$
$k = -2$

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = 2x^2 + kx + \sqrt{2}$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ, જો $(x - 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય, તો $p(1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = 2(1)^2 + k(1) + \sqrt{2} = 0$
$2 + k + \sqrt{2} = 0$
$k$ માટે ઉકેલતા:
$k = -2 - \sqrt{2}$
તેથી, $k$ ની કિંમત $-(2 + \sqrt{2})$ છે.

(B) અહીં $p(x) = kx^2 - \sqrt{2}x + 1$ આપેલ છે અને $(x - 1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ, જો $(x - 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય, તો $p(1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = k(1)^2 - \sqrt{2}(1) + 1 = 0$
$k - \sqrt{2} + 1 = 0$
$k$ માટે ઉકેલતા:
$k = \sqrt{2} - 1$.

(C) આપેલ છે કે $x - 1$ એ $p(x) = kx^2 - 3x + k$ નો એક અવયવ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x - a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
અહીં,$a = 1$ છે,તેથી $p(1) = 0$.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = k(1)^2 - 3(1) + k = 0$
$k - 3 + k = 0$
$2k - 3 = 0$
$2k = 3$
$k = 3/2$.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $12 x^{2}-7 x+1$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$x^{2}$ નો સહગુણક $a = 12$ છે,$x$ નો સહગુણક $b = -7$ છે અને અચળ પદ $c = 1$ છે.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $l$ અને $m$ શોધવાની છે જેનો સરવાળો $l + m = b = -7$ થાય અને ગુણાકાર $lm = a \times c = 12 \times 1 = 12$ થાય.
આ શરતોને સંતોષતી બે સંખ્યાઓ $-4$ અને $-3$ છે,કારણ કે $(-4) + (-3) = -7$ અને $(-4) \times (-3) = 12$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-7x$ ને $-4x - 3x$ તરીકે લખતા:
$12 x^{2} - 7 x + 1 = 12 x^{2} - 4 x - 3 x + 1$
પદોના જૂથ બનાવીને સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતા:
$= 4 x(3 x - 1) - 1(3 x - 1)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(3 x - 1)$ ને સામાન્ય લેતા:
$= (3 x - 1)(4 x - 1)$
આમ,અવયવો $(3 x - 1)(4 x - 1)$ છે.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $2 x^{2}+7 x+3$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,પદાવલિ $ax^{2} + bx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2$,$b = 7$,અને $c = 3$ છે.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $l$ અને $m$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $l + m = b = 7$ અને $l \times m = a \times c = 2 \times 3 = 6$ થાય.
આ શરતોને સંતોષતી બે સંખ્યાઓ $1$ અને $6$ છે,કારણ કે $1 + 6 = 7$ અને $1 \times 6 = 6$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $7x$ ને $x + 6x$ તરીકે લખતા:
$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + x + 6 x + 3$
પદોને જૂથમાં વહેંચીને સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતા:
$= x(2 x + 1) + 3(2 x + 1)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2 x + 1)$ ને સામાન્ય લેતા:
$= (2 x + 1)(x + 3)$
આમ,અવયવો $(2 x + 1)(x + 3)$ છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $6x^2 + 5x - 6$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $l$ અને $m$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $l + m = 5$ ($x$ નો સહગુણક) અને $lm = 6 \times (-6) = -36$ ($x^2$ નો સહગુણક અને અચળ પદનો ગુણાકાર) થાય.
આપણે જોઈએ છીએ કે $9 + (-4) = 5$ અને $9 \times (-4) = -36$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $5x$ ને $9x - 4x$ તરીકે લખતા:
$6x^2 + 9x - 4x - 6$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$(6x^2 + 9x) - (4x + 6)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદ બહાર કાઢતા:
$3x(2x + 3) - 2(2x + 3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2x + 3)$ ને સામાન્ય લેતા:
$(2x + 3)(3x - 2)$

(A) આપેલ બહુપદી: $3x^{2}-x-4$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=3$,$b=-1$ અને $c=-4$ મળે છે.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $l$ અને $m$ શોધવાની છે કે જેથી $l+m = b = -1$ અને $lm = a \times c = 3 \times (-4) = -12$ થાય.
આ શરતોને સંતોષતી બે સંખ્યાઓ $-4$ અને $3$ છે,કારણ કે $-4+3 = -1$ અને $(-4) \times 3 = -12$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-x$ ને $-4x+3x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$3x^{2}-4x+3x-4$
પદોના જૂથ બનાવો:
$= x(3x-4) + 1(3x-4)$
સામાન્ય દ્વિપદી $(3x-4)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$= (3x-4)(x+1)$
આમ,અવયવો $(3x-4)(x+1)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $x^{3}-2x^{2}-x+2$
પગલું $1$: પદોને એવી રીતે ગોઠવો કે જેથી સામાન્ય અવયવ કાઢી શકાય.
$x^{3}-2x^{2}-x+2 = (x^{3}-2x^{2}) - (x-2)$
પગલું $2$: દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદ બહાર કાઢો.
$= x^{2}(x-2) - 1(x-2)$
પગલું $3$: સામાન્ય દ્વિપદી $(x-2)$ ને સામાન્ય લો.
$= (x^{2}-1)(x-2)$
પગલું $4$: નિત્યસમ $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને $(x^{2}-1)$ ના અવયવ પાડો.
$= (x-1)(x+1)(x-2)$
આમ,આપેલ પદાવલિના અવયવો $(x-1)(x+1)(x-2)$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}-3x^{2}-9x-5$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ. ધારો કે $x = -1$:
$p(-1) = (-1)^{3} - 3(-1)^{2} - 9(-1) - 5$
$p(-1) = -1 - 3(1) + 9 - 5$
$p(-1) = -1 - 3 + 9 - 5 = 0$.
તેથી $p(-1) = 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$p(x)$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$x^{3}-3x^{2}-9x-5 = (x+1)(x^{2}-4x-5)$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}-4x-5$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડતા:
$x^{2}-5x+x-5 = x(x-5) + 1(x-5) = (x-5)(x+1)$.
તેથી,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ:
$x^{3}-3x^{2}-9x-5 = (x+1)(x+1)(x-5) = (x+1)^{2}(x-5)$.

(D) ધારો કે $p(x) = x^{3}+13x^{2}+32x+20$.
પ્રયત્ન દ્વારા,$p(1)$ શોધીએ:
$p(1) = (1)^{3}+13(1)^{2}+32(1)+20 = 1+13+32+20 = 66 \neq 0$.
હવે,$p(-1)$ શોધીએ:
$p(-1) = (-1)^{3}+13(-1)^{2}+32(-1)+20 = -1+13-32+20 = 0$.
$\therefore$ અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x+1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$p(x)$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$x^{3}+13x^{2}+32x+20 = (x+1)(x^{2}+12x+20)$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+12x+20$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડો:
$x^{2}+12x+20 = x^{2}+2x+10x+20$
$= x(x+2)+10(x+2)$
$= (x+2)(x+10)$.
તેથી,અવયવો $(x+1)(x+2)(x+10)$ છે.

(A) ધારો કે $p(y) = 2y^{3} + y^{2} - 2y - 1$.
પ્રયત્ન દ્વારા,આપણે $p(1)$ ચકાસીએ:
$p(1) = 2(1)^{3} + (1)^{2} - 2(1) - 1 = 2 + 1 - 2 - 1 = 0$.
અહીં $p(1) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(y - 1)$ એ $p(y)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$p(y)$ ને $(y - 1)$ વડે ભાગતા:
$2y^{3} + y^{2} - 2y - 1 = 2y^{2}(y - 1) + 3y(y - 1) + 1(y - 1)$
$= (y - 1)(2y^{2} + 3y + 1)$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $2y^{2} + 3y + 1$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડતા:
$2y^{2} + 2y + y + 1 = 2y(y + 1) + 1(y + 1) = (y + 1)(2y + 1)$.
આમ,અવયવો $(y - 1)(y + 1)(2y + 1)$ છે.

(A) બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું અવયવીકરણ કરી શકીએ છીએ.
અહીં,$27 y^{3}+125 z^{3} = (3 y)^{3}+(5 z)^{3}$ છે.
આને $a^{3}+b^{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3y$ અને $b = 5z$ મળે છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3 y)^{3}+(5 z)^{3} = (3 y+5 z)((3 y)^{2}-(3 y)(5 z)+(5 z)^{2})$
$= (3 y+5 z)(9 y^{2}-15 y z+25 z^{2})$.

(A) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \text{Length} \times \text{Breadth}$ (લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ).
આપેલ ક્ષેત્રફળ: $25a^2 - 35a + 12$.
લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત બહુપદી $25a^2 - 35a + 12$ ના અવયવો પાડવા પડશે.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ જેનો ગુણાકાર $25 \times 12 = 300$ થાય અને જેનો સરવાળો $-35$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-20$ અને $-15$ છે,કારણ કે $(-20) \times (-15) = 300$ અને $(-20) + (-15) = -35$.
હવે,પદાવલિને ફરીથી લખતા:
$25a^2 - 20a - 15a + 12$
સમૂહ બનાવીને અવયવ પાડતા:
$= 5a(5a - 4) - 3(5a - 4)$
$= (5a - 4)(5a - 3)$
આમ,લંબાઈ અને પહોળાઈ માટેની શક્ય પદાવલિઓ $(5a - 3)$ અને $(5a - 4)$ છે.

(A) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = (લંબાઈ) $\times$ (પહોળાઈ).
આપેલ ક્ષેત્રફળ $35y^2 + 13y - 12$ છે,તેથી આપણે આ દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવો પાડવા પડશે.
$35y^2 + 13y - 12$ ના અવયવો પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $13y$ ને એવી રીતે વિભાજિત કરીશું કે જેથી તેમનો સરવાળો $13y$ થાય અને તેમનો ગુણાકાર $y^2$ ના સહગુણક અને અચળ પદના ગુણાકાર $(35 \times -12 = -420)$ જેટલો થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $28y$ અને $-15y$ આ શરતોનું પાલન કરે છે કારણ કે $28y - 15y = 13y$ અને $28y \times (-15y) = -420y^2$.
હવે,પદાવલિને ફરીથી લખતા:
$35y^2 + 28y - 15y - 12$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$(35y^2 + 28y) - (15y + 12)$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$7y(5y + 4) - 3(5y + 4)$
$(7y - 3)(5y + 4)$
આમ,લંબાઈ અને પહોળાઈ માટેની શક્ય પદાવલિઓ $(7y - 3)$ અને $(5y + 4)$ છે.

(N/A) લંબઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ઘનફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ ઘનફળ $= 3x^2 - 12x$.
શક્ય પરિમાણો શોધવા માટે,આપણે પદાવલિના અવયવો પાડીશું:
$3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$.
આમ,આ પદાવલિને ત્રણ અવયવોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે: $3$,$x$,અને $(x - 4)$.
તેથી,લંબઘનના શક્ય પરિમાણો $3$,$x$,અને $(x - 4)$ એકમ છે.

(A) લંબઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ઘનફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ ઘનફળ $= 12ky^{2} + 8ky - 20k$.
સૌ પ્રથમ,સામાન્ય પદ $4k$ ને બહાર કાઢતા:
$12ky^{2} + 8ky - 20k = 4k(3y^{2} + 2y - 5)$.
હવે,દ્વિઘાત પદાવલિ $(3y^{2} + 2y - 5)$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડતા:
$3y^{2} + 2y - 5 = 3y^{2} + 5y - 3y - 5$
$= y(3y + 5) - 1(3y + 5)$
$= (3y + 5)(y - 1)$.
આમ,ઘનફળ $= 4k \times (3y + 5) \times (y - 1)$.
તેથી,લંબઘનની શક્ય પરિમાણો $4k$,$(3y + 5)$ અને $(y - 1)$ એકમ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3} - ax^{2} + 2x + a - 1$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x - a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = a$ મૂકતા:
$p(a) = (a)^{3} - a(a)^{2} + 2(a) + a - 1 = 0$.
$a^{3} - a^{3} + 2a + a - 1 = 0$.
$3a - 1 = 0$.
$3a = 1$.
તેથી,$a = 1/3$.

(N/A) $x^{4}+1$ ને $x+1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે લાંબી ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
ભાજક $x+1$ છે અને ભાજ્ય $x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x+1$ છે.
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x^{3}$ મળે છે.
$2$. $x^{3}(x+1) = x^{4}+x^{3}$ નો ગુણાકાર કરો અને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(x^{4}+0x^{3}) - (x^{4}+x^{3}) = -x^{3}$.
$3$. આગળનું પદ $(0x^{2})$ નીચે ઉતારતા $-x^{3}+0x^{2}$ મળે છે.
$4$. $-x^{3}$ ને $x$ વડે ભાગતા $-x^{2}$ મળે છે. $-x^{2}(x+1) = -x^{3}-x^{2}$ નો ગુણાકાર કરો અને બાદબાકી કરો: $(-x^{3}+0x^{2}) - (-x^{3}-x^{2}) = x^{2}$.
$5$. $0x$ ને નીચે ઉતારતા $x^{2}+0x$ મળે છે. $x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે. $x(x+1) = x^{2}+x$ નો ગુણાકાર કરો અને બાદબાકી કરો: $(x^{2}+0x) - (x^{2}+x) = -x$.
$6$. $1$ ને નીચે ઉતારતા $-x+1$ મળે છે. $-x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-1$ મળે છે. $-1(x+1) = -x-1$ નો ગુણાકાર કરો અને બાદબાકી કરો: $(-x+1) - (-x-1) = 2$.
આમ,ભાગફળ $x^{3}-x^{2}+x-1$ છે અને શેષ $2$ છે.

(B) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં $g(x) = x + 1$ આપેલ છે,તેથી $x$ ની કિંમત શોધવા માટે $g(x) = 0$ લેતા:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
હવે,$p(x)$ માં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} - 2(-1)^{2} - 4(-1) - 1$
$p(-1) = -1 - 2(1) + 4 - 1$
$p(-1) = -1 - 2 + 4 - 1$
$p(-1) = -4 + 4 = 0$.
આમ,શેષ $0$ છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(ax - b)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p\left(\frac{b}{a}\right)$ મળે છે.
અહીં $g(x) = 2x - 1$ આપેલ છે,તેથી $g(x) = 0$ લેતા:
$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
હવે,$p(x)$ માં $x = \frac{1}{2}$ મુકતા:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 12\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 14\left(\frac{1}{2}\right) - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{8}\right) - 12\left(\frac{1}{4}\right) + 7 - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - 3 + 7 - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
આમ,શેષ $\frac{3}{2}$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી ત્યારે જ કહેવાય જો $g(x)$ એ $p(x)$ ને નિઃશેષ ભાગે,એટલે કે શેષ $0$ મળે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો $g(x) = x - 2$ હોય,તો $x - 2 = 0$ લેતા $x = 2$ મળે.
હવે,$p(2)$ ની કિંમત શોધીને શેષ મેળવીએ:
$p(2) = (2)^{3} - 5(2)^{2} + 4(2) - 3$
$p(2) = 8 - 5(4) + 8 - 3$
$p(2) = 8 - 20 + 8 - 3$
$p(2) = -7$
અહીં શેષ $-7$ મળે છે,જે $0$ નથી,તેથી $p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી નથી.

(B) બહુપદી $p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી ત્યારે જ કહેવાય જો $g(x)$ એ $p(x)$ ને સંપૂર્ણપણે ભાગે,જેનો અર્થ છે કે શેષ $0$ હોવી જોઈએ.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો આપણે $p(x)$ ને $g(x) = 2x + 1$ વડે ભાગીએ,તો $x$ ની કિંમત શોધવા માટે $g(x) = 0$ લઈએ:
$2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.
હવે,$p(-\frac{1}{2})$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 - 11(-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{1}{2}) + 5$
$= 2(-\frac{1}{8}) - 11(\frac{1}{4}) + 2 + 5$
$= -\frac{1}{4} - \frac{11}{4} + 7$
$= \frac{-1 - 11 + 28}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
અહીં શેષ $4$ મળે છે,જે $0$ નથી,તેથી $p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી નથી.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 69 + 11x - x^2 + x^3$ અને $g(x) = x + 3$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $g(a) = 0$ હોય ત્યારે $p(a) = 0$ થાય,તો $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$g(x) = x + 3 = 0$ લેતા,આપણને $x = -3$ મળે છે.
હવે,$p(-3)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-3) = 69 + 11(-3) - (-3)^2 + (-3)^3$
$p(-3) = 69 - 33 - 9 - 27$
$p(-3) = 69 - 69 = 0$.
અહીં $p(-3) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $x + 3$ એ $69 + 11x - x^2 + x^3$ નો અવયવ છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 2x^3 - 9x^2 + x + 12$ અને $g(x) = 2x - 3$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $g(x)$ નું શૂન્ય $x = a$ હોય અને $p(a) = 0$ થાય,તો $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$g(x) = 0$ લેતા,$2x - 3 = 0$,તેથી $x = \frac{3}{2}$ મળે.
હવે,$p\left(\frac{3}{2}\right)$ ની કિંમત શોધતા:
$p\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 9\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right) + 12$
$= 2\left(\frac{27}{8}\right) - 9\left(\frac{9}{4}\right) + \frac{3}{2} + 12$
$= \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + \frac{6}{4} + \frac{48}{4}$
$= \frac{27 - 81 + 6 + 48}{4} = \frac{81 - 81}{4} = \frac{0}{4} = 0$.
અહીં $p\left(\frac{3}{2}\right) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $2x - 3$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
$(i)$ ધારો કે $p(x) = 3x^2 + 6x - 24$.
જો $(x-2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(2)$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
$p(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 24 = 3(4) + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$.
અહીં $p(2) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x-2)$ એ $3x^2 + 6x - 24$ નો અવયવ છે.
$(ii)$ ધારો કે $p(x) = 4x^2 + x - 2$.
જો $(x-2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(2)$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
$p(2) = 4(2)^2 + 2 - 2 = 4(4) + 0 = 16$.
અહીં $p(2) \neq 0$ હોવાથી,$(x-2)$ એ $4x^2 + x - 2$ નો અવયવ નથી.

(N/A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-a)$ એ બહુપદી $f(x)$ નો અવયવ હોય,તો $f(a) = 0$ થાય.
બહુપદી $f(p) = p^{10}-1$ માટે,આપણે $p=1$ મૂકીને અવયવ $(p-1)$ ની ચકાસણી કરીએ:
$f(1) = (1)^{10} - 1 = 1 - 1 = 0$.
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$(p-1)$ એ $p^{10}-1$ નો અવયવ છે.
બહુપદી $g(p) = p^{11}-1$ માટે,આપણે $p=1$ મૂકીને અવયવ $(p-1)$ ની ચકાસણી કરીએ:
$g(1) = (1)^{11} - 1 = 1 - 1 = 0$.
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$(p-1)$ એ $p^{11}-1$ નો અવયવ છે.
આમ,સાબિત થાય છે કે $(p-1)$ એ $p^{10}-1$ અને $p^{11}-1$ બંનેનો અવયવ છે.

(A) જો $x^{3}-2 m x^{2}+16$ એ $x+2$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો અવયવ પ્રમેય મુજબ,$x+2$ એ $p(x) = x^{3}-2 m x^{2}+16$ નો એક અવયવ છે.
$x+2$ અવયવ હોવા માટે,$p(-2) = 0$ થવું જોઈએ.
બહુપદીમાં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = (-2)^{3} - 2m(-2)^{2} + 16$
$p(-2) = -8 - 2m(4) + 16$
$p(-2) = -8 - 8m + 16$
$p(-2) = 8 - 8m$
$p(-2) = 0$ લેતા:
$8 - 8m = 0$
$8m = 8$
$m = 1$
આમ,$m = 1$ માટે,બહુપદી $x+2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{5}-4a^{2}x^{3}+2x+2a+3$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+2a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-2a) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -2a$ મૂકતા:
$p(-2a) = (-2a)^{5} - 4a^{2}(-2a)^{3} + 2(-2a) + 2a + 3$
$p(-2a) = -32a^{5} - 4a^{2}(-8a^{3}) - 4a + 2a + 3$
$p(-2a) = -32a^{5} + 32a^{5} - 2a + 3$
$p(-2a) = -2a + 3$
કારણ કે $p(-2a) = 0$,તેથી:
$-2a + 3 = 0$
$2a = 3$
$a = \frac{3}{2}$