Factorisation of Polynomials Questions in Gujarati

(A) અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે ચકાસી શકીએ કે $(x+1)$ એ $P(x) = 6x^3 + 11x^2 - 5x - 12$ નો અવયવ છે કે નહીં.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $P(-1) = 0$ થાય,તો જ $(x+1)$ એ $P(x)$ નો અવયવ કહેવાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$P(-1) = 6(-1)^3 + 11(-1)^2 - 5(-1) - 12$
$P(-1) = 6(-1) + 11(1) + 5 - 12$
$P(-1) = -6 + 11 + 5 - 12$
$P(-1) = 5 + 5 - 12$
$P(-1) = 10 - 12$
$P(-1) = -2$
અહીં $P(-1) \neq 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ નથી.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}+10x+16$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો સરવાળો $10$ ($x$ નો સહગુણક) થાય અને જેનો ગુણાકાર $16$ (અચળ પદ) થાય.
$1$. $16$ ના અવયવો શોધો: $(1, 16), (2, 8), (4, 4)$.
$2$. આમાંથી,$(2, 8)$ જોડીનો સરવાળો $10$ થાય છે.
$3$. મધ્યમ પદ $10x$ ને $2x + 8x$ તરીકે ફરીથી લખો:
$x^{2} + 2x + 8x + 16$
$4$. પદોના જૂથ બનાવો અને સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢો:
$x(x + 2) + 8(x + 2)$
$5$. સામાન્ય દ્વિપદી $(x + 2)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(x + 2)(x + 8)$

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-12x+20$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $20$ થાય અને જેનો સરવાળો $-12$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-2$ અને $-10$ છે,કારણ કે $(-2) \times (-10) = 20$ અને $(-2) + (-10) = -12$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-12x$ ને $-2x - 10x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$x^{2} - 2x - 10x + 20$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(x^{2} - 2x) - (10x - 20)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$x(x - 2) - 10(x - 2)$
છેલ્લે,સામાન્ય દ્વિપદી $(x - 2)$ ને સામાન્ય કાઢો:
$(x - 2)(x - 10)$

(A) $6x^2 + 19x + 10$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $6 \times 10 = 60$ થાય અને જેનો સરવાળો $19$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $15$ અને $4$ છે,કારણ કે $15 \times 4 = 60$ અને $15 + 4 = 19$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $19x$ ને $15x + 4x$ તરીકે લખો:
$6x^2 + 15x + 4x + 10$
સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢવા માટે પદોના જૂથ બનાવો:
$(6x^2 + 15x) + (4x + 10)$
$3x(2x + 5) + 2(2x + 5)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2x + 5)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(2x + 5)(3x + 2)$

(N/A) મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}+14x+33$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો સરવાળો $14$ થાય અને ગુણાકાર $33$ થાય.
$1$. સહગુણકો ઓળખો: $a=1, b=14, c=33$.
$2$. એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધો કે જેથી $p+q=14$ અને $p \times q=33$ થાય.
$3$. $33$ ના અવયવો $(1, 33)$ અને $(3, 11)$ છે.
$4$. કારણ કે $3+11=14$ થાય છે,તેથી તે સંખ્યાઓ $3$ અને $11$ છે.
$5$. મધ્યમ પદને ફરીથી લખો: $x^{2}+3x+11x+33$.
$6$. જૂથ બનાવીને અવયવ પાડો: $x(x+3)+11(x+3)$.
$7$. અંતિમ અવયવ સ્વરૂપ: $(x+3)(x+11)$.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-3x-40$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $-40$ થાય અને જેનો સરવાળો $-3$ થાય.
$1$. $-40$ ના અવયવો $(1, -40), (-1, 40), (2, -20), (-2, 20), (4, -10), (-4, 10), (5, -8), (-5, 8)$ છે.
$2$. આ જોડીઓમાંથી,$(5, -8)$ જોડી શરત સંતોષે છે: $5 + (-8) = -3$.
$3$. હવે,મધ્યમ પદ $-3x$ ને $5x - 8x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$x^{2} + 5x - 8x - 40$
$4$. પદોને જૂથમાં વહેંચો અને સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢો:
$x(x + 5) - 8(x + 5)$
$5$. સામાન્ય દ્વિપદી $(x + 5)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(x + 5)(x - 8)$

(A) $6 x^{2}+7 x-20$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $6 \times (-20) = -120$ થાય અને જેનો સરવાળો $7$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $15$ અને $-8$ છે,કારણ કે $15 \times (-8) = -120$ અને $15 + (-8) = 7$.
હવે,મધ્યમ પદ $7x$ ને $15x - 8x$ તરીકે ફરીથી લખો:
$6 x^{2} + 15 x - 8 x - 20$
સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢવા માટે પદોને જૂથમાં ગોઠવો:
$(6 x^{2} + 15 x) - (8 x + 20)$
$3 x(2 x + 5) - 4(2 x + 5)$
$(2 x + 5)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$(2 x + 5)(3 x - 4)$

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $15x^2 + 7x - 2$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $15 \times (-2) = -30$ થાય અને જેનો સરવાળો $7$ થાય.
આ શરતોને સંતોષતી બે સંખ્યાઓ $10$ અને $-3$ છે.
હવે,મધ્યમ પદ $7x$ ને $10x - 3x$ તરીકે લખો:
$15x^2 + 10x - 3x - 2$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(15x^2 + 10x) - (3x + 2)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$5x(3x + 2) - 1(3x + 2)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(3x + 2)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(3x + 2)(5x - 1)$

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-4x-77$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $-77$ થાય અને જેનો સરવાળો $-4$ થાય.
$1$. $-77$ ના અવયવો $(1, -77), (-1, 77), (7, -11), (-7, 11)$ છે.
$2$. આમાંથી,$(7, -11)$ ની જોડી શરત $7 + (-11) = -4$ નું પાલન કરે છે.
$3$. હવે,મધ્યમ પદ $-4x$ ને $7x - 11x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$x^{2} + 7x - 11x - 77$
$4$. પદોના જૂથ બનાવો અને સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢો:
$x(x + 7) - 11(x + 7)$
$5$. સામાન્ય દ્વિપદી $(x + 7)$ ને બહાર કાઢતા:
$(x + 7)(x - 11)$

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}+2x-143$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $-143$ થાય અને જેનો સરવાળો $2$ થાય.
ધારો કે તે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપણને મળે છે $a \times b = -143$ અને $a + b = 2$.
$143$ ના અવયવો $1, 11, 13, 143$ છે.
ચિહ્નોને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે $13$ અને $-11$ લઈએ છીએ કારણ કે $13 \times (-11) = -143$ અને $13 + (-11) = 2$.
હવે,મધ્યમ પદ $2x$ ને $13x - 11x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$x^{2} + 13x - 11x - 143$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(x^{2} + 13x) - (11x + 143)$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$x(x + 13) - 11(x + 13)$
અંતે,$(x + 13)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(x + 13)(x - 11)$

(N/A) $12x^2 + 23x + 5$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $12 \times 5 = 60$ થાય અને જેનો સરવાળો $23$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $20$ અને $3$ છે.
હવે,મધ્યમ પદ $23x$ ને $20x + 3x$ તરીકે લખો:
$12x^2 + 20x + 3x + 5$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(12x^2 + 20x) + (3x + 5)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$4x(3x + 5) + 1(3x + 5)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(3x + 5)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(4x + 1)(3x + 5)$

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+8x^{2}+9x-18$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ. જો $x=1$ લઈએ,તો $p(1) = 1^{3} + 8(1)^{2} + 9(1) - 18 = 1 + 8 + 9 - 18 = 0$.
તેથી,$p(1) = 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$x^{3}+8x^{2}+9x-18$ ને $(x-1)$ વડે ભાગતા:
$x^{3}+8x^{2}+9x-18 = (x-1)(x^{2}+9x+18)$.
હવે,દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+9x+18$ ના અવયવ પાડતા:
$x^{2}+6x+3x+18 = x(x+6) + 3(x+6) = (x+3)(x+6)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x-1)(x+3)(x+6)$ થાય છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+12 x^{2}+39 x+28$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+a)$ એ અવયવ હોય,તો $p(-a) = 0$ થાય.
$x = -1$ લેતા: $p(-1) = (-1)^{3} + 12(-1)^{2} + 39(-1) + 28 = -1 + 12 - 39 + 28 = 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$p(x)$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$x^{3}+12 x^{2}+39 x+28 = (x+1)(x^{2}+11 x+28)$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+11 x+28$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડતા:
$x^{2} + 7x + 4x + 28 = x(x+7) + 4(x+7) = (x+4)(x+7)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x+1)(x+4)(x+7)$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+2x^{2}-13x+10$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે અચળ પદ $10$ ના અવયવો $(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10)$ ચકાસીએ.
$x = 1$ માટે,$p(1) = (1)^{3} + 2(1)^{2} - 13(1) + 10 = 1 + 2 - 13 + 10 = 0$.
તેથી,$(x-1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
$p(x)$ ને $(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $x^{2}(x-1) + 3x(x-1) - 10(x-1) = (x-1)(x^{2}+3x-10)$ મળે છે.
હવે,દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+3x-10$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડો:
$x^{2} + 5x - 2x - 10 = x(x+5) - 2(x+5) = (x-2)(x+5)$.
આમ,અવયવો $(x-1)(x-2)(x+5)$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}-11 x^{2}+20 x+32$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ. ધારો કે $x = -1$:
$p(-1) = (-1)^{3} - 11(-1)^{2} + 20(-1) + 32 = -1 - 11 - 20 + 32 = 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$x^{3}-11 x^{2}+20 x+32$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$x^{3}+x^{2} - 12x^{2}-12x + 32x+32 = x^{2}(x+1) - 12x(x+1) + 32(x+1) = (x+1)(x^{2}-12x+32)$.
દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-12x+32$ ના અવયવ પાડતા:
$x^{2}-8x-4x+32 = x(x-8)-4(x-8) = (x-4)(x-8)$.
આમ,અવયવો $(x+1)(x-4)(x-8)$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = 6x^{3}-23x^{2}+29x-12$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ.
$x = 1$ માટે,$p(1) = 6(1)^{3}-23(1)^{2}+29(1)-12 = 6-23+29-12 = 0$.
તેથી,$(x-1)$ એ એક અવયવ છે.
$6x^{3}-23x^{2}+29x-12$ ને $(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને ભાગફળ $6x^{2}-17x+12$ મળે છે.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $6x^{2}-17x+12$ ના અવયવ પાડો:
$6x^{2}-9x-8x+12 = 3x(2x-3)-4(2x-3) = (3x-4)(2x-3)$.
આમ,અવયવો $(x-1)(2x-3)(3x-4)$ છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે $x$ ની કિંમતો ચકાસીએ. ધારો કે $x = -1$:
$p(-1) = 6(-1)^{3} + 7(-1)^{2} - 14(-1) - 15 = -6 + 7 + 14 - 15 = 0$.
તેથી,$(x + 1)$ એ એક અવયવ છે.
હવે,$6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15$ ને $(x + 1)$ વડે ભાગતા:
$6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15 = (x + 1)(6x^{2} + x - 15)$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $6x^{2} + x - 15$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડો:
$6x^{2} + 10x - 9x - 15 = 2x(3x + 5) - 3(3x + 5) = (2x - 3)(3x + 5)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x + 1)(3x + 5)(2x - 3)$ છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ. ધારો કે $x = 1$:
$p(1) = 8(1)^{3} - 26(1)^{2} + 13(1) + 5 = 8 - 26 + 13 + 5 = 0$.
તેથી,$(x - 1)$ એ એક અવયવ છે.
હવે,$8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5$ ને $(x - 1)$ વડે ભાગતા:
$8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5 = (x - 1)(8x^{2} - 18x - 5)$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $8x^{2} - 18x - 5$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડો:
$8x^{2} - 20x + 2x - 5 = 4x(2x - 5) + 1(2x - 5) = (4x + 1)(2x - 5)$.
આમ,અવયવો $(x - 1)(4x + 1)(2x - 5)$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = 12x^3 + 17x^2 + 3x - 2$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ. ધારો કે $x = -1$:
$p(-1) = 12(-1)^3 + 17(-1)^2 + 3(-1) - 2 = -12 + 17 - 3 - 2 = 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ બહુપદીનો એક અવયવ છે.
હવે,$12x^3 + 17x^2 + 3x - 2$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$12x^3 + 17x^2 + 3x - 2 = (x+1)(12x^2 + 5x - 2)$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $12x^2 + 5x - 2$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડો:
$12x^2 + 8x - 3x - 2 = 4x(3x + 2) - 1(3x + 2) = (4x - 1)(3x + 2)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x+1)(4x-1)(3x+2)$ છે.

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-c)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(c) = 0$ થાય.
અહીં,$p(x) = x^{3} + 7x^{2} + ax - 3$ અને અવયવ $(x-1)$ છે,તેથી $c = 1$.
$p(1) = 0$ લેતા:
$(1)^{3} + 7(1)^{2} + a(1) - 3 = 0$
$1 + 7 + a - 3 = 0$
$8 + a - 3 = 0$
$5 + a = 0$
$a = -5$

(A) ધારો કે $p(x) = 6x^3 + 19x^2 + 16x + 4$. અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(-2) = 0$ હોય તો $(x+2)$ એ અવયવ છે.
$p(-2) = 6(-2)^3 + 19(-2)^2 + 16(-2) + 4 = 6(-8) + 19(4) - 32 + 4 = -48 + 76 - 32 + 4 = 0$.
$p(-2) = 0$ હોવાથી,$(x+2)$ એ અવયવ છે.
હવે,$6x^3 + 19x^2 + 16x + 4$ ને $(x+2)$ વડે ભાગતા આપણને દ્વિઘાત બહુપદી $6x^2 + 7x + 2$ મળે છે.
$6x^2 + 7x + 2$ ના અવયવ પાડતા: $6x^2 + 4x + 3x + 2 = 2x(3x+2) + 1(3x+2) = (2x+1)(3x+2)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x+2)(2x+1)(3x+2)$ છે.

(A) પગલું $1$: $(x-3)$ અવયવ છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે $p(3)$ ની કિંમત શોધીએ.
$p(3) = 12(3)^3 - 31(3)^2 - 18(3) + 9$
$p(3) = 12(27) - 31(9) - 54 + 9$
$p(3) = 324 - 279 - 54 + 9 = 0$.
અહીં $p(3) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $(x-3)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
પગલું $2$: $p(x)$ ને $(x-3)$ વડે ભાગતા દ્વિઘાત બહુપદી મળે.
$12x^3 - 31x^2 - 18x + 9 = (x-3)(12x^2 + 5x - 3)$.
પગલું $3$: દ્વિઘાત બહુપદી $12x^2 + 5x - 3$ ના અવયવ પાડો.
$12x^2 + 9x - 4x - 3 = 3x(4x + 3) - 1(4x + 3) = (3x - 1)(4x + 3)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x-3)(3x-1)(4x+3)$ છે.

(B) દ્વિઘાત પદાવલિ $4 x^{2}+4 x y-3 y^{2}$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $(4) \times (-3) = -12$ થાય અને જેનો સરવાળો $4$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $6$ અને $-2$ છે.
હવે,મધ્યમ પદ $4xy$ ને $6xy - 2xy$ તરીકે લખો:
$4 x^{2}+6 x y-2 x y-3 y^{2}$
પદોના જૂથ બનાવો:
$= (4 x^{2}+6 x y) - (2 x y+3 y^{2})$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$= 2 x(2 x+3 y)-y(2 x+3 y)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2 x+3 y)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$= (2 x+3 y)(2 x-y)$

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $16 x^{2}-16 x-21$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $16 \times (-21) = -336$ થાય અને જેનો સરવાળો $-16$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-28$ અને $12$ છે,કારણ કે $(-28) \times 12 = -336$ અને $(-28) + 12 = -16$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-16 x$ ને $-28 x + 12 x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$16 x^{2} - 28 x + 12 x - 21$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(16 x^{2} - 28 x) + (12 x - 21)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદ બહાર કાઢો:
$4 x(4 x - 7) + 3(4 x - 7)$
છેલ્લે,સામાન્ય દ્વિપદી $(4 x - 7)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(4 x - 7)(4 x + 3)$.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $25 x^{2}+25 x+6$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $25 \times 6 = 150$ થાય અને જેનો સરવાળો $25$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $15$ અને $10$ છે,કારણ કે $15 \times 10 = 150$ અને $15 + 10 = 25$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $25 x$ ને $15 x + 10 x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$25 x^{2} + 15 x + 10 x + 6$
પદોને જૂથમાં ગોઠવો:
$(25 x^{2} + 15 x) + (10 x + 6)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$5 x(5 x + 3) + 2(5 x + 3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(5 x + 3)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(5 x + 3)(5 x + 2)$.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $9 x^{2}-21 x y+10 y^{2}$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $9 \times 10 = 90$ થાય અને જેનો સરવાળો $-21$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-15$ અને $-6$ છે,કારણ કે $(-15) \times (-6) = 90$ અને $(-15) + (-6) = -21$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-21 x y$ ને $-15 x y - 6 x y$ તરીકે ફરીથી લખો:
$9 x^{2} - 15 x y - 6 x y + 10 y^{2}$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(9 x^{2} - 15 x y) - (6 x y - 10 y^{2})$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$3 x(3 x - 5 y) - 2 y(3 x - 5 y)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(3 x - 5 y)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(3 x - 5 y)(3 x - 2 y)$

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $49 x^{2}-35 x+6$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $49 \times 6 = 294$ થાય અને જેનો સરવાળો $-35$ થાય.
આવી બે સંખ્યાઓ $-21$ અને $-14$ છે,કારણ કે $(-21) \times (-14) = 294$ અને $(-21) + (-14) = -35$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદને ફરીથી લખતા:
$49 x^{2}-21 x-14 x+6$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$(49 x^{2}-21 x) - (14 x-6)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$7 x(7 x-3) - 2(7 x-3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(7 x-3)$ ને સામાન્ય લેતા:
$(7 x-3)(7 x-2)$

(A) પદાવલિ $144 x^{2}-289 y^{2}$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
સૌ પ્રથમ,આપેલા પદોને પૂર્ણવર્ગ તરીકે દર્શાવો:
$144 x^{2} = (12 x)^{2}$
$289 y^{2} = (17 y)^{2}$
હવે,આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$144 x^{2}-289 y^{2} = (12 x)^{2}-(17 y)^{2}$
નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=12 x$ અને $b=17 y$ છે,આપણને મળે છે:
$(12 x-17 y)(12 x+17 y)$.

(A) $16 x^{4}-y^{4}$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે તફાવતની નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
સૌ પ્રથમ,પદાવલિને $(4 x^{2})^{2}-(y^{2})^{2}$ તરીકે લખો.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા,આપણને $(4 x^{2}-y^{2})(4 x^{2}+y^{2})$ મળે છે.
હવે,$(4 x^{2}-y^{2})$ પદને $(2 x)^{2}-(y)^{2}$ તરીકે લખીને વધુ અવયવ પાડો.
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$(4 x^{2}-y^{2}) = (2 x-y)(2 x+y)$ મળે છે.
આ બંનેને જોડતા,અંતિમ અવયવ સ્વરૂપ $(2 x-y)(2 x+y)(4 x^{2}+y^{2})$ છે.

(A) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની લંબાઈ અને પહોળાઈના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ = $20 x^{2} + 22 x + 6$.
લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું:
$20 x^{2} + 22 x + 6 = 20 x^{2} + 10 x + 12 x + 6$.
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $(20 x^{2} + 10 x) + (12 x + 6)$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા: $10 x(2 x + 1) + 6(2 x + 1)$.
આમ,અવયવો $(10 x + 6)(2 x + 1)$ અથવા $(5 x + 3)(4 x + 2)$ મળે છે.
તેથી,લંબાઈ અને પહોળાઈ માટેની શક્ય પદાવલિઓ $(5 x + 3)$ એકમ અને $(4 x + 2)$ એકમ છે.

(A) લંબઘનનું ઘનફળ તેની બાજુઓના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ છે $V = 2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$.
બાજુઓ શોધવા માટે, આપણે બહુપદીના અવયવો પાડીશું.
ધારો કે $p(x) = 2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$.
કિંમતો ચકાસતા, જો $x = -1$ લઈએ, તો $p(-1) = 2(-1)^3 + 15(-1)^2 + 33(-1) + 20 = -2 + 15 - 33 + 20 = 0$.
આમ, $(x + 1)$ એ એક અવયવ છે.
$2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$ ને $(x + 1)$ વડે ભાગતા આપણને $2x^2 + 13x + 20$ મળે છે.
હવે, દ્વિઘાત બહુપદી $2x^2 + 13x + 20$ ના અવયવો પાડતા:
$2x^2 + 8x + 5x + 20 = 2x(x + 4) + 5(x + 4) = (2x + 5)(x + 4)$.
તેથી, શક્ય પરિમાણો $(2x + 5), (x + 4), (x + 1)$ છે.

(D) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{2} - 8x + 10$ છે. ધારો કે ઉમેરવાની સંખ્યા $k$ છે. નવી બહુપદી $g(x) = x^{2} - 8x + 10 + k$ થશે. $g(x)$ એ $x - 3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,જ્યારે $g(x)$ ને $x - 3$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $0$ મળવી જોઈએ. શેષ પ્રમેય મુજબ,શેષ $g(3)$ થાય. તેથી,$g(3) = 0$. $g(x)$ માં $x = 3$ મૂકતા: $(3)^{2} - 8(3) + 10 + k = 0$. $9 - 24 + 10 + k = 0$. $-15 + 10 + k = 0$. $-5 + k = 0$. તેથી,$k = 5$.

(A) આ વિધાનની ચકાસણી કરવા માટે,આપણે જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(x-6)(x-2) = x(x-2) - 6(x-2)$
$= x^{2} - 2x - 6x + 12$
$= x^{2} - 8x + 12$
કારણ કે વિસ્તૃત સ્વરૂપ ડાબી બાજુ સાથે મેળ ખાય છે,તેથી આ વિધાન સત્ય છે.

(C) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ બહુપદી $p(x)$ માટે $p(a) = 0$ હોય,તો $(x - a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં આપેલ છે કે $p(7) = 0,$ તેથી પ્રમેય મુજબ $a = 7$ લેતા,$(x - 7)$ એ $p(x)$ નો અવયવ થાય.

(D) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}-10x+21 = (x+m)(x+n)$ છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(x+m)(x+n) = x^{2} + nx + mx + mn = x^{2} + (m+n)x + mn$ મળે છે.
મૂળ પદાવલિ $x^{2}-10x+21$ સાથે $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદની સરખામણી કરતા:
$m+n = -10$
$mn = 21$
તેથી,$m+n$ ની કિંમત $-10$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}-3x^{2}+ax+24$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(2) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2)^{3} - 3(2)^{2} + a(2) + 24 = 0$.
$8 - 3(4) + 2a + 24 = 0$.
$8 - 12 + 2a + 24 = 0$.
$20 + 2a = 0$.
$2a = -20$.
$a = -10$.

(C) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-23x+120$ ના અવયવો પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો સરવાળો $-23$ થાય અને ગુણાકાર $120$ થાય.
ધારો કે તે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપણને મળે છે $a+b = -23$ અને $ab = 120$.
$120$ ના અવયવો તપાસતા,આપણને મળે છે કે $-15$ અને $-8$ આ શરતોનું પાલન કરે છે કારણ કે $(-15) + (-8) = -23$ અને $(-15) \times (-8) = 120$.
હવે,મધ્યમ પદ $-23x$ ને $-15x - 8x$ તરીકે લખો:
$x^{2}-15x-8x+120$
પદોને જૂથમાં ગોઠવો:
$(x^{2}-15x) - (8x-120)$
સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢો:
$x(x-15) - 8(x-15)$
$(x-15)(x-8)$
આમ,અવયવો $(x-15)(x-8)$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 5$ નો અવયવ શોધવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
ચાલો આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $D$ માટે,$x-1 = 0$ એટલે કે $x = 1$.
$p(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 7(1) - 5$
$p(1) = 1 - 3 + 7 - 5$
$p(1) = 8 - 8 = 0$.
અહીં $p(1) = 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,આપણે $p(x) = x^{2} + 12x + 36$ ને $(x + 5)$ વડે ભાગીએ છીએ,જે $(x - (-5))$ ને સમાન છે.
તેથી,શેષ $p(-5)$ થશે.
બહુપદીમાં $x = -5$ મૂકતા:
$p(-5) = (-5)^{2} + 12(-5) + 36$
$p(-5) = 25 - 60 + 36$
$p(-5) = 61 - 60$
$p(-5) = 1$
આમ,શેષ $1$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}-8x-20 = (x+a)(x+b)$ છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(x+a)(x+b) = x^{2} + (a+b)x + ab$ મળે છે.
આને આપેલ પદાવલિ $x^{2}-8x-20$ સાથે સરખાવતા,આપણે અચળ પદોને સરખાવીએ છીએ.
ડાબી બાજુનું અચળ પદ $-20$ છે.
જમણી બાજુનું અચળ પદ $ab$ છે.
તેથી,$ab = -20$.

(D) ધારો કે $p(x) = x^{3} + 12x^{2} + ax + 60$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+3)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-3) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -3$ મૂકતા:
$(-3)^{3} + 12(-3)^{2} + a(-3) + 60 = 0$
$-27 + 12(9) - 3a + 60 = 0$
$-27 + 108 - 3a + 60 = 0$
$141 - 3a = 0$
$3a = 141$
$a = 47$.

(B) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x - a)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
અહીં આપેલ છે કે $p(-3) = 0$,તેથી આપણે $(x - a)$ માં $a = -3$ મૂકીએ.
આનાથી આપણને $(x - (-3)) = x + 3$ મળે છે.
તેથી,$(x + 3)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.

(B) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ માટે $p(a) = 0$ હોય,તો $(x - a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં આપેલ છે કે $p(7) = 0$,તેથી પ્રમેયમાં $a = 7$ લેતા.
આમ,$(x - 7)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.

(D) જ્યારે $p(x) = 3x^3 - 6x^2 + 5x - 10$ ને $(x - 2)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$a = 2$ છે.
બહુપદી $p(x)$ માં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = 3(2)^3 - 6(2)^2 + 5(2) - 10$
$p(2) = 3(8) - 6(4) + 10 - 10$
$p(2) = 24 - 24 + 10 - 10$
$p(2) = 0$
તેથી,શેષ $0$ મળે છે.

(A) શું $(x-1)$ એ બહુપદી $p(x) = 3x^2 + 7x - 10$ નો અવયવ છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય તો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,$a = 1$ છે.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = 3(1)^2 + 7(1) - 10$
$p(1) = 3(1) + 7 - 10$
$p(1) = 3 + 7 - 10$
$p(1) = 10 - 10 = 0$.
કારણ કે $p(1) = 0$ છે,તેથી $(x-1)$ એ $3x^2 + 7x - 10$ નો અવયવ છે.

(B) $16x^2 - 24x + 9$ ને $4x - 3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે,આપણે શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ અથવા બહુપદીનો ભાગાકાર કરી શકીએ.
રીત $1$: અવયવીકરણ
અહીં $16x^2 - 24x + 9$ એ પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે.
$16x^2 - 24x + 9 = (4x)^2 - 2(4x)(3) + (3)^2 = (4x - 3)^2$.
આમ,$(4x - 3)^2$ એ $(4x - 3)$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે,તેથી શેષ $0$ મળે.
રીત $2$: શેષ પ્રમેય
ભાજકને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $4x - 3 = 0 \implies x = 3/4$.
હવે,બહુપદી $P(x) = 16x^2 - 24x + 9$ માં $x = 3/4$ મૂકતા:
$P(3/4) = 16(3/4)^2 - 24(3/4) + 9$
$P(3/4) = 16(9/16) - 18 + 9$
$P(3/4) = 9 - 18 + 9 = 0$.
આમ,શેષ $0$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = 4x^3 + 7x^2 - 2x - 5$ નો અવયવ $(x+1)$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય તો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,આપણે $x+1 = 0$ લઈએ છીએ,જે આપણને $x = -1$ આપે છે.
હવે,આપણે $p(-1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-1) = 4(-1)^3 + 7(-1)^2 - 2(-1) - 5$
$p(-1) = 4(-1) + 7(1) + 2 - 5$
$p(-1) = -4 + 7 + 2 - 5$
$p(-1) = 0$
કારણ કે $p(-1) = 0$ છે,તેથી $(x+1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ છે.

(A) પદાવલિ $x^{3}-125$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે બે ઘનનો તફાવત દર્શાવતા નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું: $a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$.
અહીં,$x^{3}-125$ ને $x^{3}-5^{3}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને $a^{3}-b^{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = x$ અને $b = 5$ મળે છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા: $x^{3}-5^{3} = (x-5)(x^{2} + x(5) + 5^{2})$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $(x-5)(x^{2}+5x+25)$.