Factorisation of Polynomials Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $p(x) = 8x^4 + 4x^3 - 16x^2 + 10x + m$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(2x - 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(\frac{1}{2}) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$8(\frac{1}{2})^4 + 4(\frac{1}{2})^3 - 16(\frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2}) + m = 0$
$8(\frac{1}{16}) + 4(\frac{1}{8}) - 16(\frac{1}{4}) + 5 + m = 0$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 4 + 5 + m = 0$
$1 - 4 + 5 + m = 0$
$2 + m = 0$
તેથી,$m = -2$ મળે છે.

(C) ધારો કે $p(x) = ax^3 + x^2 - 2x + 4a - 9$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$a(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 4a - 9 = 0$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$-a + 1 + 2 + 4a - 9 = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$3a - 6 = 0$
$a$ માટે ઉકેલતા:
$3a = 6$
$a = 2$

(A) દ્વિઘાત પદાવલી $x^{2}+9x+18$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધવી પડશે કે જેથી તેમનો સરવાળો $p+q = 9$ અને તેમનો ગુણાકાર $pq = 18$ થાય.
$18$ ના અવયવો જોતા,આપણને મળે છે કે $6+3 = 9$ અને $6 \times 3 = 18$.
હવે,આપણે મધ્યમ પદ $9x$ ને $6x + 3x$ તરીકે વિભાજિત કરીએ છીએ:
$x^{2}+9x+18 = x^{2}+6x+3x+18$
આગળ,આપણે પદોના જૂથ બનાવીએ અને સામાન્ય પદો બહાર કાઢીએ:
$= x(x+6) + 3(x+6)$
અંતે,$(x+6)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$= (x+6)(x+3)$

(N/A) દ્વિઘાત પદાવલિ $6x^{2} + 7x - 3$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $p + q = 7$ ($x$ નો સહગુણક) અને $p \times q = 6 \times (-3) = -18$ ($x^{2}$ નો સહગુણક અને અચળ પદનો ગુણાકાર) થાય.
સ્પષ્ટ છે કે,$9 + (-2) = 7$ અને $9 \times (-2) = -18$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $7x$ ને $9x - 2x$ તરીકે લખતા:
$6x^{2} + 9x - 2x - 3$
સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢવા માટે પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$= 3x(2x + 3) - 1(2x + 3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2x + 3)$ ને સામાન્ય લેતા:
$= (2x + 3)(3x - 1)$

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $2 x^{2}-7 x-15$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધીએ છીએ જેનો સરવાળો $x$ નો સહગુણક એટલે કે $-7$ થાય અને જેનો ગુણાકાર $x^{2}$ ના સહગુણક અને અચળ પદનો ગુણાકાર એટલે કે $2 \times (-15) = -30$ થાય.
આપણે $p+q = -7$ અને $p q = -30$ જોઈએ છે.
$-30$ ના અવયવો તપાસતા,આપણને મળે છે કે $-10$ અને $3$ આ શરતોનું પાલન કરે છે: $(-10) + 3 = -7$ અને $(-10) \times 3 = -30$.
હવે,મધ્યમ પદ $-7 x$ ને $-10 x + 3 x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$2 x^{2}-7 x-15 = 2 x^{2}-10 x+3 x-15$
સમૂહ બનાવીને અવયવ પાડો:
$= 2 x(x-5) + 3(x-5)$
$(x-5)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$= (x-5)(2 x+3)$

(B) $84 - 2r - 2r^2$ ના અવયવ પાડવા માટે,પહેલા પદોને $r$ ની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવો:
$-2r^2 - 2r + 84$
સામાન્ય પદ $-2$ ને બહાર કાઢો:
$-2(r^2 + r - 42)$
હવે,દ્વિઘાત પદાવલિ $r^2 + r - 42$ ના અવયવ પાડો. આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $-42$ થાય અને સરવાળો $1$ થાય:
આ સંખ્યાઓ $7$ અને $-6$ છે.
તેથી,$r^2 + 7r - 6r - 42 = r(r + 7) - 6(r + 7) = (r - 6)(r + 7)$.
આમ,અંતિમ અવયવ સ્વરૂપ છે:
$-2(r - 6)(r + 7)$

(D) ધારો કે $f(x) = 2x^{3}-3x^{2}-17x+30$ એ આપેલ બહુપદી છે.
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે $f(2) = 2(8) - 3(4) - 17(2) + 30 = 16 - 12 - 34 + 30 = 0$. તેથી,$(x-2)$ એક અવયવ છે.
$f(-3) = 2(-27) - 3(9) - 17(-3) + 30 = -54 - 27 + 51 + 30 = 0$ ચકાસતા. તેથી,$(x+3)$ એક અવયવ છે.
જેহেতু $(x-2)$ અને $(x+3)$ અવયવો છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $(x-2)(x+3) = x^{2}+x-6$ પણ એક અવયવ છે.
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30$ ને $(x^{2}+x-6)$ વડે ભાગતા:
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30 = (x^{2}+x-6)(2x-5)$.
$(x^{2}+x-6)$ ના અવયવ $(x-2)(x+3)$ પાડતા,આપણને મળે છે:
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30 = (x-2)(x+3)(2x-5)$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{3}-6x^{2}+11x-6$ એ આપેલ બહુપદી છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે અચળ પદ $-6$ ના અવયવો ચકાસીએ,જે $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ છે.
$x = 1$ માટે,$f(1) = (1)^{3}-6(1)^{2}+11(1)-6 = 1-6+11-6 = 0$. તેથી,$(x-1)$ એક અવયવ છે.
$x = 2$ માટે,$f(2) = (2)^{3}-6(2)^{2}+11(2)-6 = 8-24+22-6 = 0$. તેથી,$(x-2)$ એક અવયવ છે.
$x = 3$ માટે,$f(3) = (3)^{3}-6(3)^{2}+11(3)-6 = 27-54+33-6 = 0$. તેથી,$(x-3)$ એક અવયવ છે.
બહુપદીની ઘાત $3$ હોવાથી,તેના વધુમાં વધુ $3$ સુરેખ અવયવો હોઈ શકે છે.
તેથી,$x^{3}-6x^{2}+11x-6$ ના અવયવો $(x-1)(x-2)(x-3)$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{3} + x^{2} - 4x - 4$.
આપણે પદોને જૂથમાં વહેંચીને અવયવ પાડી શકીએ છીએ:
$f(x) = (x^{3} + x^{2}) - (4x + 4)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$f(x) = x^{2}(x + 1) - 4(x + 1)$
હવે,$(x + 1)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$f(x) = (x + 1)(x^{2} - 4)$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x^{2} - 4$ ના અવયવ $(x - 2)(x + 2)$ પાડી શકીએ છીએ:
$f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)$
આમ,અવયવો $(x - 2)(x + 1)(x + 2)$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 3x^{3}-x^{2}-3x+1$ એ આપેલ બહુપદી છે.
આપણે પદોને જૂથ બનાવીને અવયવ પાડી શકીએ છીએ:
$f(x) = (3x^{3}-3x) - (x^{2}-1)$
$f(x) = 3x(x^{2}-1) - 1(x^{2}-1)$
$f(x) = (3x-1)(x^{2}-1)$
કારણ કે $x^{2}-1$ એ બે વર્ગોનો તફાવત છે,આપણે તેને $(x-1)(x+1)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$f(x) = (3x-1)(x-1)(x+1)$.

(N/A) દ્વિઘાત પદાવલિ $9 x^{2}-12 x+3$ નું અવયવીકરણ કરવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $9 \times 3 = 27$ થાય અને જેનો સરવાળો $-12$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-9$ અને $-3$ છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-12 x$ ને $-9 x - 3 x$ તરીકે ફરીથી લખો:
$9 x^{2}-9 x-3 x+3$
પદોના જૂથ બનાવો:
$=9 x(x-1)-3(x-1)$
સામાન્ય દ્વિપદી $(x-1)$ ને સામાન્ય કાઢો:
$=(9 x-3)(x-1)$
અંતે,પ્રથમ દ્વિપદીમાંથી સામાન્ય અચળ $3$ ને સામાન્ય કાઢો:
$=3(3 x-1)(x-1)$

(A) આપેલ પદાવલિ $1-64 a^{3}-12 a+48 a^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને $1^{3}-(4 a)^{3}-3(1)(4 a)(1-4 a)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આ બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x-y)^{3} = x^{3}-y^{3}-3xy(x-y)$ સાથે બંધ બેસે છે,જ્યાં $x=1$ અને $y=4a$ છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $(1-4 a)^{3}$ થાય છે.
આમ,અવયવીકરણ સ્વરૂપ $(1-4 a)(1-4 a)(1-4 a)$ છે.

(A) આપણી પાસે છે,
$1+64 x^{3} = (1)^{3} + (4 x)^{3}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1$ અને $b = 4x$ છે:
$= (1 + 4x)((1)^{2} - (1)(4x) + (4x)^{2})$
$= (1 + 4x)(1 - 4x + 16x^{2})$
$= (1 + 4x)(16x^{2} - 4x + 1)$

(A) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ બહુપદી $4 a^{2}+4 a-3$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો સરવાળો $+4$ થાય અને જેનો ગુણાકાર $4 \times (-3) = -12$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $+6$ અને $-2$ છે,કારણ કે $6 + (-2) = 4$ અને $6 \times (-2) = -12$.
મધ્યમ પદ $4 a$ ને $6 a - 2 a$ તરીકે વિભાજિત કરતા,આપણને મળે છે:
$4 a^{2} + 6 a - 2 a - 3$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$= 2 a(2 a + 3) - 1(2 a + 3)$
સામાન્ય દ્વિપદી $(2 a + 3)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$= (2 a - 1)(2 a + 3)$
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,પરિમાણો માટેની શક્ય પદાવલિઓ નીચે મુજબ છે:
લંબાઈ $= (2 a - 1)$ અને પહોળાઈ $= (2 a + 3)$ અથવા લંબાઈ $= (2 a + 3)$ અને પહોળાઈ $= (2 a - 1)$.

(A) ધારો કે $f(x) = p x^{2} + 5 x + r$.
કારણ કે $(x-2)$ એ $f(x)$ નો અવયવ છે,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$f(2) = 0$.
$p(2)^{2} + 5(2) + r = 0$
$4p + 10 + r = 0$
$4p + r = -10$ --- $(1)$
કારણ કે $(x - \frac{1}{2})$ એ $f(x)$ નો અવયવ છે,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$f(\frac{1}{2}) = 0$.
$p(\frac{1}{2})^{2} + 5(\frac{1}{2}) + r = 0$
$\frac{1}{4}p + \frac{5}{2} + r = 0$
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$p + 10 + 4r = 0$
$p + 4r = -10$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,બંને $-10$ ની બરાબર હોવાથી:
$4p + r = p + 4r$
$4p - p = 4r - r$
$3p = 3r$
$p = r$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$ અને $g(x) = x^2 - 3x + 2$.
પ્રથમ,ભાજક $g(x)$ ના અવયવો પાડો:
$g(x) = x^2 - 3x + 2 = x^2 - x - 2x + 2 = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x - 2)$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ એ $g(x)$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે $(x - 1)$ અને $(x - 2)$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
$(x - 1)$ માટે ચકાસો:
$p(1) = 2(1)^4 - 5(1)^3 + 2(1)^2 - 1 + 2 = 2 - 5 + 2 - 1 + 2 = 0$.
$p(1) = 0$ હોવાથી,$(x - 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$(x - 2)$ માટે ચકાસો:
$p(2) = 2(2)^4 - 5(2)^3 + 2(2)^2 - 2 + 2 = 2(16) - 5(8) + 2(4) - 2 + 2 = 32 - 40 + 8 = 0$.
$p(2) = 0$ હોવાથી,$(x - 2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
આમ,$(x - 1)$ અને $(x - 2)$ બંને $p(x)$ ના અવયવો હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ પણ $p(x)$ નો અવયવ થાય.
તેથી,$2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$ એ $x^2 - 3x + 2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x + 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ ત્યારે જ કહેવાય જો $p(-1) = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $p(x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{4} + (-1)^{3} + (-1)^{2} + (-1) + 1$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$p(-1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$p(-1) = 1$
અહીં $p(-1) \neq 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x + 1)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ નથી.

(NONE) અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x + 1)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ ત્યારે જ હોય જો $p(-1) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(x) = x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} + x + 1$.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{4} + 3(-1)^{3} + 3(-1)^{2} + (-1) + 1$
$p(-1) = 1 + 3(-1) + 3(1) - 1 + 1$
$p(-1) = 1 - 3 + 3 - 1 + 1$
$p(-1) = 1$
અહીં $p(-1) = 1 \neq 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x + 1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ નથી.

(NONE) અવયવ પ્રમેય મુજબ, જો $p(-1) = 0$ હોય, તો $(x + 1)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ છે.
ધારો કે $p(x) = x^{3} - x^{2} - (2 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}$.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} - (-1)^{2} - (2 + \sqrt{2})(-1) + \sqrt{2}$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$p(-1) = -1 - 1 + (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2}$
$p(-1) = -2 + 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$p(-1) = 2\sqrt{2}$
અહીં $p(-1) = 2\sqrt{2} \neq 0$ હોવાથી, $(x + 1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ નથી.

(D) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો જ $g(x) = x - a$ એ $p(x)$ નો અવયવ કહેવાય.
અહીં,$g(x) = x + 2$ છે,તેથી $x + 2 = 0$ લેતા,આપણને $x = -2$ મળે છે.
હવે,આપણે $p(-2)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 1$
$p(-2) = -8 + 3(4) - 6 + 1$
$p(-2) = -8 + 12 - 6 + 1$
$p(-2) = 4 - 6 + 1 = -1$
અહીં $p(-2) \neq 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ નથી.

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય તો $g(x) = x - a$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,$g(x) = x - 3$ છે,તેથી $a = 3$ લેતા.
$p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ માં $x = 3$ મૂકીને $p(3)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + (3) + 6$
$p(3) = 27 - 4(9) + 3 + 6$
$p(3) = 27 - 36 + 3 + 6$
$p(3) = 36 - 36 = 0$
અહીં $p(3) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $g(x) = x - 3$ એ $p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ નો અવયવ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3} + 9x^{2} + 26x + 24$ એ આપેલી બહુપદી છે.
$(x+2)$ એ અવયવ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સુરેખ બહુપદી $x+2$ નું શૂન્ય શોધીએ છીએ,$x+2 = 0$ લેતા $x = -2$ મળે છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(-2) = 0$ હોય,તો $(x+2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
હવે,$p(x)$ માં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = (-2)^{3} + 9(-2)^{2} + 26(-2) + 24$
$p(-2) = -8 + 9(4) - 52 + 24$
$p(-2) = -8 + 36 - 52 + 24$
$p(-2) = 60 - 60 = 0$
અહીં $p(-2) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x+2)$ એ $x^{3} + 9x^{2} + 26x + 24$ નો અવયવ છે.

(A) બહુપદી $p(x)$ એ $x + 2$ નો ગુણક ત્યારે જ કહેવાય જો $x + 2$ વડે $p(x)$ ને ભાગતા શેષ $0$ મળે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x - a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$x + 2 = 0$ લેતા,આપણને $x = -2$ મળે છે.
હવે,આપણે $p(-2)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-2) = (-2)^{3} + 9(-2)^{2} + 26(-2) + 24$
$p(-2) = -8 + 9(4) - 52 + 24$
$p(-2) = -8 + 36 - 52 + 24$
$p(-2) = (-8 - 52) + (36 + 24)$
$p(-2) = -60 + 60$
$p(-2) = 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$(x + 2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
તેથી,$p(x)$ એ $x + 2$ નો ગુણક છે.

(N/A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $2x^2 / 2x = x$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. ભાજક $(2x+1)$ ને $x$ વડે ગુણો: $x(2x+1) = 2x^2 + x$.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 + x) = -8x - 15$.
$4$. નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(-8x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $-8x / 2x = -4$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$5$. ભાજક $(2x+1)$ ને $-4$ વડે ગુણો: $-4(2x+1) = -8x - 4$.
$6$. આને વર્તમાન પદાવલિમાંથી બાદ કરો: $(-8x - 15) - (-8x - 4) = -8x - 15 + 8x + 4 = -11$.
તેથી,ભાગફળ $x-4$ છે અને શેષ $-11$ છે.

(N/A) $2x^2 - 7x - 15$ ને $2x + 3$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $2x^2 / 2x = x$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. ભાજક $(2x + 3)$ ને $x$ વડે ગુણો: $x(2x + 3) = 2x^2 + 3x$.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 + 3x) = -10x - 15$.
$4$. નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(-10x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $-10x / 2x = -5$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$5$. ભાજક $(2x + 3)$ ને $-5$ વડે ગુણો: $-5(2x + 3) = -10x - 15$.
$6$. આને વર્તમાન પદાવલિમાંથી બાદ કરો: $(-10x - 15) - (-10x - 15) = 0$.
આમ,ભાગફળ $x - 5$ છે અને શેષ $0$ છે.

(A) $2x^2 - 7x - 15$ ને $2x - 3$ વડે ભાગવા માટે,આપણે લાંબી ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $2x^2 / 2x = x$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. ભાજક $(2x - 3)$ ને $x$ વડે ગુણો: $x(2x - 3) = 2x^2 - 3x$.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 - 3x) = -4x - 15$.
$4$. નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(-4x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $-4x / 2x = -2$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$5$. ભાજક $(2x - 3)$ ને $-2$ વડે ગુણો: $-2(2x - 3) = -4x + 6$.
$6$. આને વર્તમાન પદાવલિમાંથી બાદ કરો: $(-4x - 15) - (-4x + 6) = -4x - 15 + 4x - 6 = -21$.
આમ,ભાગફળ $x - 2$ છે અને શેષ $-21$ છે.

(N/A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $2x^2 - 7x - 15$ નો $x - 2$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું.
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $2x$ મળે છે.
પગલું $2$: $2x$ નો $(x - 2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $2x^2 - 4x$ મળે છે.
પગલું $3$: $(2x^2 - 7x)$ માંથી $(2x^2 - 4x)$ બાદ કરતા $-3x$ મળે છે.
પગલું $4$: બાકી રહેલું પદ $-15$ નીચે ઉતારતા $-3x - 15$ મળે છે.
પગલું $5$: નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(-3x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $-3$ મળે છે.
પગલું $6$: $-3$ નો $(x - 2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-3x + 6$ મળે છે.
પગલું $7$: $(-3x - 15)$ માંથી $(-3x + 6)$ બાદ કરતા $-15 - 6 = -21$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $= 2x - 3$ અને શેષ $= -21$ છે.

(A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ નો $(x-1)$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું.
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $x^3$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $x$ વડે ભાગતા $x^2$ મળે છે.
પગલું $2$: $x^2$ નો $(x-1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $(x^3-x^2)$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3-x^2) = 2x^2-10x+8$.
પગલું $3$: નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $2x^2$ ને $x$ વડે ભાગતા $2x$ મળે છે.
પગલું $4$: $2x$ નો $(x-1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $(2x^2-2x)$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(2x^2-10x+8) - (2x^2-2x) = -8x+8$.
પગલું $5$: પ્રથમ પદ $-8x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-8$ મળે છે.
પગલું $6$: $-8$ નો $(x-1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $(-8x+8)$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(-8x+8) - (-8x+8) = 0$.
આમ,ભાગફળ $x^{2}+2x-8$ છે અને શેષ $0$ છે.

(A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ નો $(x-2)$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે છે.
$2$. $x^{2}$ નો $(x-2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3}-2x^{2}$ મળે છે.
$3$. $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ માંથી $(x^{3}-2x^{2})$ બાદ કરતા $3x^{2}-10x+8$ મળે છે.
$4$. $3x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $3x$ મળે છે. $3x$ નો $(x-2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $3x^{2}-6x$ મળે છે.
$5$. $(3x^{2}-10x+8)$ માંથી $(3x^{2}-6x)$ બાદ કરતા $-4x+8$ મળે છે.
$6$. $-4x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4$ મળે છે. $-4$ નો $(x-2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-4x+8$ મળે છે.
$7$. $(-4x+8)$ માંથી $(-4x+8)$ બાદ કરતા $0$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $= x^{2}+3x-4$ અને શેષ $= 0$ છે.

(N/A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ ને $(x+3)$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^3)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x^2$ મળે છે.
$2$. $x^2$ નો $(x+3)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^3+3x^2$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3+3x^2) = -2x^2-10x+8$ મળે છે.
$3$. નવા પ્રથમ પદ $(-2x^2)$ ને $x$ વડે ભાગતા $-2x$ મળે છે.
$4$. $-2x$ નો $(x+3)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-2x^2-6x$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(-2x^2-10x+8) - (-2x^2-6x) = -4x+8$ મળે છે.
$5$. નવા પ્રથમ પદ $(-4x)$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4$ મળે છે.
$6$. $-4$ નો $(x+3)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-4x-12$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(-4x+8) - (-4x-12) = 20$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $= x^{2}-2x-4$ અને શેષ $= 20$ છે.

(A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ નો $(x+4)$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^3)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x^2$ મળે છે.
$2$. $x^2$ ને $(x+4)$ સાથે ગુણતા $x^3+4x^2$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3+4x^2) = -3x^2-10x+8$.
$3$. નવા પ્રથમ પદ $(-3x^2)$ ને $x$ વડે ભાગતા $-3x$ મળે છે.
$4$. $-3x$ ને $(x+4)$ સાથે ગુણતા $-3x^2-12x$ મળે છે. તેને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા: $(-3x^2-10x+8) - (-3x^2-12x) = 2x+8$.
$5$. નવા પ્રથમ પદ $(2x)$ ને $x$ વડે ભાગતા $2$ મળે છે.
$6$. $2$ ને $(x+4)$ સાથે ગુણતા $2x+8$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(2x+8) - (2x+8) = 0$.
આમ,ભાગફળ $= x^{2}-3x+2$ અને શેષ $= 0$ છે.

(D) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ અને ભાજક $(x - 1)$ છે,તેથી $a = 1$ થશે.
શેષ શોધવા માટે,આપણે $p(1)$ ની કિંમત શોધીશું:
$p(1) = (1)^{3} + (1)^{2} - 26(1) + 24$
$p(1) = 1 + 1 - 26 + 24$
$p(1) = 2 - 26 + 24$
$p(1) = -24 + 24 = 0$.
તેથી,શેષ $0$ છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 4$ છે,જેને $x - (-4)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$a = -4$.
હવે,બહુપદી $p(x) = x^3 + x^2 - 26x + 24$ માં $x = -4$ મૂકતા:
$p(-4) = (-4)^3 + (-4)^2 - 26(-4) + 24$
$p(-4) = -64 + 16 + 104 + 24$
$p(-4) = -64 + 144$
$p(-4) = 80$.
આમ,શેષ $80$ છે.

(B) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ અને ભાજક $x - 4$ છે,તેથી $a = 4$ લેતા.
શેષ શોધવા માટે,આપણે $p(4)$ ની ગણતરી કરીશું:
$p(4) = (4)^{3} + (4)^{2} - 26(4) + 24$
$p(4) = 64 + 16 - 104 + 24$
$p(4) = 80 - 104 + 24$
$p(4) = -24 + 24 = 0$.
તેથી,શેષ $0$ મળે છે.

(D) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ અને ભાજક $x - 6$ છે,તેથી $a = 6$ થશે.
હવે,બહુપદીમાં $x = 6$ મૂકતા:
$p(6) = (6)^{3} + (6)^{2} - 26(6) + 24$
$p(6) = 216 + 36 - 156 + 24$
$p(6) = 252 - 156 + 24$
$p(6) = 96 + 24$
$p(6) = 120$
તેથી,શેષ $120$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3} + 13x^{2} + ax + 35$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $x+5$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-5) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -5$ મૂકતા:
$(-5)^{3} + 13(-5)^{2} + a(-5) + 35 = 0$
$-125 + 13(25) - 5a + 35 = 0$
$-125 + 325 - 5a + 35 = 0$
$235 - 5a = 0$
$5a = 235$
$a = 47$.

(A) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{3} + ax^{2} - x + 30$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-2) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = (-2)^{3} + a(-2)^{2} - (-2) + 30 = 0$
$-8 + 4a + 2 + 30 = 0$
$4a + 24 = 0$
$4a = -24$
$a = -6$.

(B) ધારો કે $p(x) = x^{3} + ax^{2} + 19x + 20$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે $p(x)$ ને $(x + 3)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $p(-3)$ મળે છે.
આપેલ છે કે શેષ $a$ છે,તેથી $p(-3) = a$.
બહુપદીમાં $x = -3$ મૂકતા:
$(-3)^{3} + a(-3)^{2} + 19(-3) + 20 = a$
$-27 + 9a - 57 + 20 = a$
$9a - 64 = a$
$8a = 64$
$a = 8$.

(A) ધારો કે $p(x) = 2x^3 + 21x^2 + 67x + 60$.
$2x + 3$ અવયવ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનું શૂન્ય શોધીએ,$2x + 3 = 0$ લેતા $x = -\frac{3}{2}$ મળે છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(-\frac{3}{2}) = 0$ થાય,તો $2x + 3$ એ અવયવ છે.
$p(-\frac{3}{2}) = 2(-\frac{3}{2})^3 + 21(-\frac{3}{2})^2 + 67(-\frac{3}{2}) + 60$
$= 2(-\frac{27}{8}) + 21(\frac{9}{4}) - \frac{201}{2} + 60$
$= -\frac{27}{4} + \frac{189}{4} - \frac{402}{4} + \frac{240}{4}$
$= \frac{-27 + 189 - 402 + 240}{4}$
$= \frac{429 - 429}{4} = 0$.
અહીં $p(-\frac{3}{2}) = 0$ હોવાથી,$2x + 3$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = x^{2}-7x+12$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
આપણે અચળ પદ $12$ ના અવયવો શોધીએ છીએ. શક્ય અવયવો $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ છે.
$x = 3$ માટે ચકાસણી કરતા:
$p(3) = (3)^{2} - 7(3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0$.
તેથી $p(3) = 0$ હોવાથી,$(x-3)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$x = 4$ માટે ચકાસણી કરતા:
$p(4) = (4)^{2} - 7(4) + 12 = 16 - 28 + 12 = 0$.
તેથી $p(4) = 0$ હોવાથી,$(x-4)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
આમ,$x^{2}-7x+12$ ના અવયવો $(x-3)(x-4)$ છે.

(A) મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને $10 x^{2}-x-24$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $p+q = -1$ ($x$ નો સહગુણક) અને $p \times q = 10 \times (-24) = -240$ ($x^{2}$ નો સહગુણક અને અચળ પદનો ગુણાકાર) થાય.
આપણે $-240$ ના એવા અવયવો શોધીએ જેનો સરવાળો $-1$ થાય. આ સંખ્યાઓ $15$ અને $-16$ છે,કારણ કે $15 + (-16) = -1$ અને $15 \times (-16) = -240$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-x$ ને $15x - 16x$ તરીકે ફરીથી લખો:
$10 x^{2} - x - 24 = 10 x^{2} + 15 x - 16 x - 24$
સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢવા માટે પદોને જૂથમાં ગોઠવો:
$= (10 x^{2} + 15 x) - (16 x + 24)$
$= 5 x(2 x + 3) - 8(2 x + 3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2 x + 3)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$= (2 x + 3)(5 x - 8)$

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+x^{2}-26 x+24$.
બહુપદીના તમામ સહગુણકોનો સરવાળો $1+1-26+24 = 0$ છે.
જેથી,$(x-1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,બહુપદીને અવયવ પાડવા માટે ફરીથી લખીએ:
$x^{3}+x^{2}-26 x+24 = x^{3}-x^{2}+2x^{2}-2x-24x+24$
$= x^{2}(x-1)+2x(x-1)-24(x-1)$
$= (x-1)(x^{2}+2x-24)$
હવે,દ્વિઘાત પદાવલિ $(x^{2}+2x-24)$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડીએ:
$x^{2}+6x-4x-24 = x(x+6)-4(x+6) = (x-4)(x+6)$
તેથી,અવયવો $(x-1)(x-4)(x+6)$ છે.

(D) ધારો કે $p(x) = x^{3}-x^{2}-17 x-15$.
અવયવ શોધવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કિંમતો ચકાસીએ. ચાલો $x = -1$ માટે ચકાસીએ:
$p(-1) = (-1)^{3} - (-1)^{2} - 17(-1) - 15 = -1 - 1 + 17 - 15 = 0$.
કારણ કે $p(-1) = 0$ છે,તેથી $(x+1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,આપણે $p(x)$ ને $(x+1)$ વડે ભાગીએ અથવા પદોને વિભાજિત કરીએ:
$x^{3}-x^{2}-17 x-15 = x^{3}+x^{2}-2x^{2}-2x-15x-15$
$= x^{2}(x+1) - 2x(x+1) - 15(x+1)$
$= (x+1)(x^{2}-2x-15)$
હવે,મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને દ્વિઘાત પદાવલિ $(x^{2}-2x-15)$ ના અવયવ પાડો:
$x^{2}-5x+3x-15 = x(x-5)+3(x-5) = (x-5)(x+3)$.
આમ,અવયવો $(x+1)(x-5)(x+3)$ છે.

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(1) = 0$ હોય તો $(x-1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{3} - 7(1)^{2} + 14(1) - 8$
$p(1) = 1 - 7 + 14 - 8$
$p(1) = 15 - 15 = 0$
અહીં $p(1) = 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{3}+4x^{2}+x-6$ નો અવયવ $(x-1)$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,$a = 1$ છે.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{3} + 4(1)^{2} + (1) - 6$
$p(1) = 1 + 4(1) + 1 - 6$
$p(1) = 1 + 4 + 1 - 6$
$p(1) = 6 - 6 = 0$
અહીં $p(1) = 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ છે.

(B) બહુપદી $p(x) = x^{3}+6x^{2}-9x-14$ નો અવયવ $(x-1)$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(c) = 0$ હોય,તો $(x-c)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,$c = 1$ છે.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{3} + 6(1)^{2} - 9(1) - 14$
$p(1) = 1 + 6 - 9 - 14$
$p(1) = 7 - 23$
$p(1) = -16$
અહીં $p(1) \neq 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ નથી.

(A) બહુપદી $p(x) = 2x^3 + 5x^2 - x - 6$ નો અવયવ $(x-1)$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,$a = 1$ છે.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = 2(1)^3 + 5(1)^2 - (1) - 6$
$p(1) = 2(1) + 5(1) - 1 - 6$
$p(1) = 2 + 5 - 1 - 6$
$p(1) = 7 - 7 = 0$.
અહીં $p(1) = 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{3} + 10x^{2} + 23x + 14$ નો અવયવ $(x+1)$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(-1) = 0$ હોય,તો $(x+1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} + 10(-1)^{2} + 23(-1) + 14$
$p(-1) = -1 + 10(1) - 23 + 14$
$p(-1) = -1 + 10 - 23 + 14$
$p(-1) = 9 - 23 + 14$
$p(-1) = -14 + 14 = 0$
અહીં $p(-1) = 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ છે.

(A) અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તપાસીએ કે $(x+1)$ એ $p(x) = x^{3} - 5x^{2} + 2x + 8$ નો અવયવ છે કે નહીં.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(-1) = 0$ હોય,તો $(x+1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} - 5(-1)^{2} + 2(-1) + 8$
$p(-1) = -1 - 5(1) - 2 + 8$
$p(-1) = -1 - 5 - 2 + 8$
$p(-1) = -8 + 8 = 0$
અહીં $p(-1) = 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ છે.

(B) જો $(x+1)$ એ $p(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$ નો અવયવ હોય,તો અવયવ પ્રમેય મુજબ $p(-1) = 0$ થવું જોઈએ.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} - 2(-1)^{2} - 5(-1) + 6$
$p(-1) = -1 - 2(1) + 5 + 6$
$p(-1) = -1 - 2 + 5 + 6$
$p(-1) = 8$
અહીં $p(-1) \neq 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ નથી.