Factorisation of Polynomials Questions in Hindi

(B) माना $p(x) = 8x^4 + 4x^3 - 16x^2 + 10x + m$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(2x - 1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(\frac{1}{2}) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$8(\frac{1}{2})^4 + 4(\frac{1}{2})^3 - 16(\frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2}) + m = 0$
$8(\frac{1}{16}) + 4(\frac{1}{8}) - 16(\frac{1}{4}) + 5 + m = 0$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 4 + 5 + m = 0$
$1 - 4 + 5 + m = 0$
$2 + m = 0$
अतः,$m = -2$ प्राप्त होता है।

(C) माना $p(x) = ax^3 + x^2 - 2x + 4a - 9$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 4a - 9 = 0$
व्यंजक को सरल करने पर:
$-a + 1 + 2 + 4a - 9 = 0$
समान पदों को जोड़ने पर:
$3a - 6 = 0$
$a$ का मान ज्ञात करने पर:
$3a = 6$
$a = 2$

(A) द्विघात व्यंजक $x^{2}+9x+18$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें दो ऐसी संख्याएँ $p$ और $q$ ज्ञात करनी होंगी जिनका योग $p+q = 9$ और गुणनफल $pq = 18$ हो।
$18$ के गुणनखंडों को देखने पर,हम पाते हैं कि $6+3 = 9$ और $6 \times 3 = 18$ है।
अब,हम मध्य पद $9x$ को $6x + 3x$ के रूप में विभाजित करते हैं:
$x^{2}+9x+18 = x^{2}+6x+3x+18$
इसके बाद,हम पदों के समूह बनाते हैं और उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालते हैं:
$= x(x+6) + 3(x+6)$
अंत में,$(x+6)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$= (x+6)(x+3)$

(N/A) द्विघात व्यंजक $6x^{2} + 7x - 3$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
हमें दो ऐसी संख्याएँ $p$ और $q$ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $p + q = 7$ ($x$ का गुणांक) हो और गुणनफल $p \times q = 6 \times (-3) = -18$ ($x^{2}$ के गुणांक और अचर पद का गुणनफल) हो।
स्पष्ट है कि,$9 + (-2) = 7$ और $9 \times (-2) = -18$ होता है।
अब,मध्य पद $7x$ को $9x - 2x$ के रूप में लिखने पर:
$6x^{2} + 9x - 2x - 3$
उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने के लिए पदों को समूह में व्यवस्थित करने पर:
$= 3x(2x + 3) - 1(2x + 3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2x + 3)$ को कॉमन लेने पर:
$= (2x + 3)(3x - 1)$

(A) द्विघात बहुपद $2 x^{2}-7 x-15$ का गुणनखंड करने के लिए,हम दो ऐसी संख्याएँ $p$ और $q$ ढूँढते हैं जिनका योग $x$ का गुणांक यानी $-7$ हो और जिनका गुणनफल $x^{2}$ के गुणांक और अचर पद का गुणनफल यानी $2 \times (-15) = -30$ हो।
हमें $p+q = -7$ और $p q = -30$ चाहिए।
$-30$ के गुणनखंडों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $-10$ और $3$ इन शर्तों को पूरा करते हैं: $(-10) + 3 = -7$ और $(-10) \times 3 = -30$।
अब,मध्य पद $-7 x$ को $-10 x + 3 x$ के रूप में विभाजित करें:
$2 x^{2}-7 x-15 = 2 x^{2}-10 x+3 x-15$
समूह बनाकर गुणनखंड करें:
$= 2 x(x-5) + 3(x-5)$
$(x-5)$ को उभयनिष्ठ (common) गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$= (x-5)(2 x+3)$

(B) $84 - 2r - 2r^2$ का गुणनखंड करने के लिए,पहले पदों को $r$ की घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$-2r^2 - 2r + 84$
उभयनिष्ठ पद $-2$ को बाहर निकालें:
$-2(r^2 + r - 42)$
अब,द्विघात व्यंजक $r^2 + r - 42$ का गुणनखंड करें। हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $-42$ हो और योग $1$ हो:
ये संख्याएँ $7$ और $-6$ हैं।
अतः,$r^2 + 7r - 6r - 42 = r(r + 7) - 6(r + 7) = (r - 6)(r + 7)$।
इस प्रकार,अंतिम गुणनखंडित रूप है:
$-2(r - 6)(r + 7)$

(D) माना $f(x) = 2x^{3}-3x^{2}-17x+30$ एक दिया गया बहुपद है।
मानों का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं $f(2) = 2(8) - 3(4) - 17(2) + 30 = 16 - 12 - 34 + 30 = 0$. अतः,$(x-2)$ एक गुणनखंड है।
$f(-3) = 2(-27) - 3(9) - 17(-3) + 30 = -54 - 27 + 51 + 30 = 0$ का परीक्षण करने पर। अतः,$(x+3)$ एक गुणनखंड है।
चूंकि $(x-2)$ और $(x+3)$ गुणनखंड हैं,इसलिए उनका गुणनफल $(x-2)(x+3) = x^{2}+x-6$ भी एक गुणनखंड है।
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30$ को $(x^{2}+x-6)$ से विभाजित करने पर:
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30 = (x^{2}+x-6)(2x-5)$.
$(x^{2}+x-6)$ का गुणनखंड $(x-2)(x+3)$ करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30 = (x-2)(x+3)(2x-5)$.

(A) माना $f(x) = x^{3}-6x^{2}+11x-6$ एक दिया गया बहुपद है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम अचर पद $-6$ के गुणनखंडों की जाँच करते हैं,जो $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ हैं।
$x = 1$ के लिए,$f(1) = (1)^{3}-6(1)^{2}+11(1)-6 = 1-6+11-6 = 0$. अतः,$(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$x = 2$ के लिए,$f(2) = (2)^{3}-6(2)^{2}+11(2)-6 = 8-24+22-6 = 0$. अतः,$(x-2)$ एक गुणनखंड है।
$x = 3$ के लिए,$f(3) = (3)^{3}-6(3)^{2}+11(3)-6 = 27-54+33-6 = 0$. अतः,$(x-3)$ एक गुणनखंड है।
चूँकि बहुपद की घात $3$ है,इसलिए इसके अधिकतम $3$ रैखिक गुणनखंड हो सकते हैं।
अतः,$x^{3}-6x^{2}+11x-6$ के गुणनखंड $(x-1)(x-2)(x-3)$ हैं।

(B) माना $f(x) = x^{3} + x^{2} - 4x - 4$.
हम पदों को समूहित करके गुणनखंड कर सकते हैं:
$f(x) = (x^{3} + x^{2}) - (4x + 4)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$f(x) = x^{2}(x + 1) - 4(x + 1)$
अब,$(x + 1)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$f(x) = (x + 1)(x^{2} - 4)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करके,हम $x^{2} - 4$ का गुणनखंड $(x - 2)(x + 2)$ कर सकते हैं:
$f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)$
अतः,गुणनखंड $(x - 2)(x + 1)(x + 2)$ हैं।

(D) माना $f(x) = 3x^{3}-x^{2}-3x+1$ एक दिया गया बहुपद है।
हम पदों का समूह बनाकर इसका गुणनखंड कर सकते हैं:
$f(x) = (3x^{3}-3x) - (x^{2}-1)$
$f(x) = 3x(x^{2}-1) - 1(x^{2}-1)$
$f(x) = (3x-1)(x^{2}-1)$
चूंकि $x^{2}-1$ दो वर्गों का अंतर है,हम इसे $(x-1)(x+1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$f(x) = (3x-1)(x-1)(x+1)$।

(N/A) द्विघात व्यंजक $9 x^{2}-12 x+3$ का गुणनखंडन करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,हम ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करते हैं जिनका गुणनफल $9 \times 3 = 27$ हो और जिनका योग $-12$ हो।
ये दो संख्याएँ $-9$ और $-3$ हैं।
अब,मध्य पद $-12 x$ को $-9 x - 3 x$ के रूप में फिर से लिखें:
$9 x^{2}-9 x-3 x+3$
पदों के समूह बनाएँ:
$=9 x(x-1)-3(x-1)$
उभयनिष्ठ द्विपद $(x-1)$ को बाहर निकालें:
$=(9 x-3)(x-1)$
अंत में,पहले द्विपद से उभयनिष्ठ अचर $3$ को बाहर निकालें:
$=3(3 x-1)(x-1)$

(A) दी गई व्यंजक $1-64 a^{3}-12 a+48 a^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को $1^{3}-(4 a)^{3}-3(1)(4 a)(1-4 a)$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह बीजीय सर्वसमिका $(x-y)^{3} = x^{3}-y^{3}-3xy(x-y)$ के अनुरूप है,जहाँ $x=1$ और $y=4a$ है।
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $(1-4 a)^{3}$ है।
इस प्रकार,गुणनखंडित रूप $(1-4 a)(1-4 a)(1-4 a)$ है।

(A) हमारे पास है,
$1+64 x^{3} = (1)^{3} + (4 x)^{3}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1$ और $b = 4x$ है:
$= (1 + 4x)((1)^{2} - (1)(4x) + (4x)^{2})$
$= (1 + 4x)(1 - 4x + 16x^{2})$
$= (1 + 4x)(16x^{2} - 4x + 1)$

(A) आयत का क्षेत्रफल बहुपद $4 a^{2}+4 a-3$ द्वारा दिया गया है।
लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करेंगे।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $+4$ हो और जिनका गुणनफल $4 \times (-3) = -12$ हो।
ये दो संख्याएँ $+6$ और $-2$ हैं,क्योंकि $6 + (-2) = 4$ और $6 \times (-2) = -12$ होता है।
मध्य पद $4 a$ को $6 a - 2 a$ के रूप में विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4 a^{2} + 6 a - 2 a - 3$
पदों का समूह बनाने पर:
$= 2 a(2 a + 3) - 1(2 a + 3)$
उभयनिष्ठ द्विपद $(2 a + 3)$ को बाहर निकालने पर:
$= (2 a - 1)(2 a + 3)$
चूंकि आयत का क्षेत्रफल $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$ के रूप में परिभाषित है,इसलिए विमाओं के लिए संभावित व्यंजक हैं:
लंबाई $= (2 a - 1)$ और चौड़ाई $= (2 a + 3)$ या लंबाई $= (2 a + 3)$ और चौड़ाई $= (2 a - 1)$।

(A) माना $f(x) = p x^{2} + 5 x + r$.
चूँकि $(x-2)$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$f(2) = 0$.
$p(2)^{2} + 5(2) + r = 0$
$4p + 10 + r = 0$
$4p + r = -10$ --- $(1)$
चूँकि $(x - \frac{1}{2})$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$f(\frac{1}{2}) = 0$.
$p(\frac{1}{2})^{2} + 5(\frac{1}{2}) + r = 0$
$\frac{1}{4}p + \frac{5}{2} + r = 0$
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$p + 10 + 4r = 0$
$p + 4r = -10$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,चूँकि दोनों $-10$ के बराबर हैं:
$4p + r = p + 4r$
$4p - p = 4r - r$
$3p = 3r$
$p = r$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) माना $p(x) = 2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$ और $g(x) = x^2 - 3x + 2$ है।
सबसे पहले,भाजक $g(x)$ का गुणनखंड कीजिए:
$g(x) = x^2 - 3x + 2 = x^2 - x - 2x + 2 = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x - 2)$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(x)$,$g(x)$ से विभाज्य है,तो इसे $(x - 1)$ और $(x - 2)$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
$(x - 1)$ के लिए जाँच करें:
$p(1) = 2(1)^4 - 5(1)^3 + 2(1)^2 - 1 + 2 = 2 - 5 + 2 - 1 + 2 = 0$.
चूँकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x - 1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$(x - 2)$ के लिए जाँच करें:
$p(2) = 2(2)^4 - 5(2)^3 + 2(2)^2 - 2 + 2 = 2(16) - 5(8) + 2(4) - 2 + 2 = 32 - 40 + 8 = 0$.
चूँकि $p(2) = 0$ है,इसलिए $(x - 2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
चूँकि $(x - 1)$ और $(x - 2)$ दोनों $p(x)$ के गुणनखंड हैं,इसलिए उनका गुणनफल $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ भी $p(x)$ का एक गुणनखंड होगा।
अतः,$2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$,$x^2 - 3x + 2$ से विभाज्य है।

(B) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x + 1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड तभी होगा यदि $p(-1) = 0$ हो।
दिया गया है $p(x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$।
बहुपद में $x = -1$ रखने पर:
$p(-1) = (-1)^{4} + (-1)^{3} + (-1)^{2} + (-1) + 1$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$p(-1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1$
व्यंजक को सरल करने पर:
$p(-1) = 1$
चूंकि $p(-1) \neq 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x + 1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(NONE) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x + 1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड तभी होता है यदि $p(-1) = 0$ हो।
माना $p(x) = x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} + x + 1$ है।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{4} + 3(-1)^{3} + 3(-1)^{2} + (-1) + 1$
$p(-1) = 1 + 3(-1) + 3(1) - 1 + 1$
$p(-1) = 1 - 3 + 3 - 1 + 1$
$p(-1) = 1$
चूंकि $p(-1) = 1 \neq 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x + 1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(NONE) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, $(x + 1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है यदि $p(-1) = 0$ हो।
माना $p(x) = x^{3} - x^{2} - (2 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}$ है।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} - (-1)^{2} - (2 + \sqrt{2})(-1) + \sqrt{2}$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$p(-1) = -1 - 1 + (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2}$
$p(-1) = -2 + 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$p(-1) = 2\sqrt{2}$
चूंकि $p(-1) = 2\sqrt{2} \neq 0$ है, इसलिए $(x + 1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(D) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$g(x) = x - a$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,$g(x) = x + 2$ है,इसलिए $x + 2 = 0$ रखने पर,हमें $x = -2$ प्राप्त होता है।
अब,हम $p(-2)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 1$
$p(-2) = -8 + 3(4) - 6 + 1$
$p(-2) = -8 + 12 - 6 + 1$
$p(-2) = 4 - 6 + 1 = -1$
चूँकि $p(-2) \neq 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $g(x)$,$p(x)$ का गुणनखंड नहीं है।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $g(x) = x - a$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ,$g(x) = x - 3$ है,इसलिए $a = 3$ है।
$p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ में $x = 3$ रखकर $p(3)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + (3) + 6$
$p(3) = 27 - 4(9) + 3 + 6$
$p(3) = 27 - 36 + 3 + 6$
$p(3) = 36 - 36 = 0$
चूँकि $p(3) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $g(x) = x - 3$,$p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ का एक गुणनखंड है।

(A) माना $p(x) = x^{3} + 9x^{2} + 26x + 24$ दिया गया बहुपद है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $(x+2)$ एक गुणनखंड है,हम रैखिक बहुपद $x+2$ का शून्यक ज्ञात करते हैं,$x+2 = 0$ रखने पर $x = -2$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(-2) = 0$ है,तो $(x+2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$p(x)$ में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2) = (-2)^{3} + 9(-2)^{2} + 26(-2) + 24$
$p(-2) = -8 + 9(4) - 52 + 24$
$p(-2) = -8 + 36 - 52 + 24$
$p(-2) = 60 - 60 = 0$
चूँकि $p(-2) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+2)$,$x^{3} + 9x^{2} + 26x + 24$ का एक गुणनखंड है।

(A) बहुपद $p(x)$,$x + 2$ का गुणज तभी होगा यदि $x + 2$ से $p(x)$ को विभाजित करने पर शेषफल $0$ प्राप्त हो।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $(x - a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$x + 2 = 0$ रखने पर,हमें $x = -2$ प्राप्त होता है।
अब,हम $p(-2)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-2) = (-2)^{3} + 9(-2)^{2} + 26(-2) + 24$
$p(-2) = -8 + 9(4) - 52 + 24$
$p(-2) = -8 + 36 - 52 + 24$
$p(-2) = (-8 - 52) + (36 + 24)$
$p(-2) = -60 + 60$
$p(-2) = 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए $(x + 2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अतः,$p(x)$,$x + 2$ का एक गुणज है।

(N/A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद का विभाजन करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $2x^2 / 2x = x$. यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(2x+1)$ को $x$ से गुणा करें: $x(2x+1) = 2x^2 + x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाएं: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 + x) = -8x - 15$.
$4$. नए व्यंजक के पहले पद $(-8x)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $-8x / 2x = -4$. यह भागफल का दूसरा पद है।
$5$. भाजक $(2x+1)$ को $-4$ से गुणा करें: $-4(2x+1) = -8x - 4$.
$6$. इसे वर्तमान व्यंजक से घटाएं: $(-8x - 15) - (-8x - 4) = -8x - 15 + 8x + 4 = -11$.
अतः,भागफल $x-4$ है और शेषफल $-11$ है।

(N/A) $2x^2 - 7x - 15$ को $2x + 3$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $2x^2 / 2x = x$. यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(2x + 3)$ को $x$ से गुणा करें: $x(2x + 3) = 2x^2 + 3x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाएं: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 + 3x) = -10x - 15$.
$4$. नए व्यंजक के पहले पद $(-10x)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $-10x / 2x = -5$. यह भागफल का दूसरा पद है।
$5$. भाजक $(2x + 3)$ को $-5$ से गुणा करें: $-5(2x + 3) = -10x - 15$.
$6$. इसे वर्तमान व्यंजक से घटाएं: $(-10x - 15) - (-10x - 15) = 0$.
अतः,भागफल $x - 5$ है और शेषफल $0$ है।

(A) $2x^2 - 7x - 15$ को $2x - 3$ से विभाजित करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $2x^2 / 2x = x$. यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(2x - 3)$ को $x$ से गुणा करें: $x(2x - 3) = 2x^2 - 3x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाएं: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 - 3x) = -4x - 15$.
$4$. नए व्यंजक के पहले पद $(-4x)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $-4x / 2x = -2$. यह भागफल का दूसरा पद है।
$5$. भाजक $(2x - 3)$ को $-2$ से गुणा करें: $-2(2x - 3) = -4x + 6$.
$6$. इसे वर्तमान व्यंजक से घटाएं: $(-4x - 15) - (-4x + 6) = -4x - 15 + 4x - 6 = -21$.
अतः,भागफल $x - 2$ है और शेषफल $-21$ है।

(N/A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $2x^2 - 7x - 15$ को $x - 2$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करेंगे।
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $2x$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $2x$ को $(x - 2)$ से गुणा करने पर $2x^2 - 4x$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $(2x^2 - 7x)$ में से $(2x^2 - 4x)$ को घटाने पर $-3x$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: अगले पद $-15$ को नीचे लाने पर $-3x - 15$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: नए व्यंजक के पहले पद $(-3x)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $-3$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $-3$ को $(x - 2)$ से गुणा करने पर $-3x + 6$ प्राप्त होता है।
चरण $7$: $(-3x - 15)$ में से $(-3x + 6)$ को घटाने पर $-15 - 6 = -21$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $= 2x - 3$ और शेषफल $= -21$ है।

(A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ को $(x-1)$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करते हैं।
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $x^3$ को भाजक के पहले पद $x$ से विभाजित करने पर $x^2$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $x^2$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $(x^3-x^2)$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3-x^2) = 2x^2-10x+8$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: नए बहुपद के पहले पद $2x^2$ को $x$ से विभाजित करने पर $2x$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $2x$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $(2x^2-2x)$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(2x^2-10x+8) - (2x^2-2x) = -8x+8$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: पहले पद $-8x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-8$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $-8$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $(-8x+8)$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(-8x+8) - (-8x+8) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2}+2x-8$ है और शेषफल $0$ है।

(A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ को $(x-2)$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x-2)$ से गुणा करने पर $x^{3}-2x^{2}$ प्राप्त होता है।
$3$. $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ में से $(x^{3}-2x^{2})$ घटाने पर $3x^{2}-10x+8$ प्राप्त होता है।
$4$. $3x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $3x$ प्राप्त होता है। $3x$ को $(x-2)$ से गुणा करने पर $3x^{2}-6x$ प्राप्त होता है।
$5$. $(3x^{2}-10x+8)$ में से $(3x^{2}-6x)$ घटाने पर $-4x+8$ प्राप्त होता है।
$6$. $-4x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4$ प्राप्त होता है। $-4$ को $(x-2)$ से गुणा करने पर $-4x+8$ प्राप्त होता है।
$7$. $(-4x+8)$ में से $(-4x+8)$ घटाने पर $0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $= x^{2}+3x-4$ और शेषफल $= 0$ है।

(N/A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ को $(x+3)$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^3)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^2$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^2$ को $(x+3)$ से गुणा करने पर $x^3+3x^2$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3+3x^2) = -2x^2-10x+8$ प्राप्त होता है।
$3$. नए पहले पद $(-2x^2)$ को $x$ से विभाजित करने पर $-2x$ प्राप्त होता है।
$4$. $-2x$ को $(x+3)$ से गुणा करने पर $-2x^2-6x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(-2x^2-10x+8) - (-2x^2-6x) = -4x+8$ प्राप्त होता है।
$5$. नए पहले पद $(-4x)$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4$ प्राप्त होता है।
$6$. $-4$ को $(x+3)$ से गुणा करने पर $-4x-12$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(-4x+8) - (-4x-12) = 20$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $= x^{2}-2x-4$ और शेषफल $= 20$ है।

(A) भागफल और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ को $(x+4)$ से बहुपद विभाजन विधि द्वारा विभाजित करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^3)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^2$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^2$ को $(x+4)$ से गुणा करने पर $x^3+4x^2$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3+4x^2) = -3x^2-10x+8$ प्राप्त होता है।
$3$. नए पहले पद $(-3x^2)$ को $x$ से विभाजित करने पर $-3x$ प्राप्त होता है।
$4$. $-3x$ को $(x+4)$ से गुणा करने पर $-3x^2-12x$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान शेषफल से घटाने पर: $(-3x^2-10x+8) - (-3x^2-12x) = 2x+8$ प्राप्त होता है।
$5$. नए पहले पद $(2x)$ को $x$ से विभाजित करने पर $2$ प्राप्त होता है।
$6$. $2$ को $(x+4)$ से गुणा करने पर $2x+8$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(2x+8) - (2x+8) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $= x^{2}-3x+2$ और शेषफल $= 0$ है।

(D) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ और भाजक $(x - 1)$ है,इसलिए $a = 1$ होगा।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(1)$ का मान निकालते हैं:
$p(1) = (1)^{3} + (1)^{2} - 26(1) + 24$
$p(1) = 1 + 1 - 26 + 24$
$p(1) = 2 - 26 + 24$
$p(1) = -24 + 24 = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 4$ है,जिसे $x - (-4)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,$a = -4$ है।
अब,बहुपद $p(x) = x^3 + x^2 - 26x + 24$ में $x = -4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-4) = (-4)^3 + (-4)^2 - 26(-4) + 24$
$p(-4) = -64 + 16 + 104 + 24$
$p(-4) = -64 + 144$
$p(-4) = 80$.
अतः,शेषफल $80$ है।

(B) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ और भाजक $x - 4$ है,इसलिए $a = 4$ है।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(4)$ की गणना करेंगे:
$p(4) = (4)^{3} + (4)^{2} - 26(4) + 24$
$p(4) = 64 + 16 - 104 + 24$
$p(4) = 80 - 104 + 24$
$p(4) = -24 + 24 = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(D) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ और भाजक $x - 6$ है,इसलिए $a = 6$ होगा।
अब,बहुपद में $x = 6$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(6) = (6)^{3} + (6)^{2} - 26(6) + 24$
$p(6) = 216 + 36 - 156 + 24$
$p(6) = 252 - 156 + 24$
$p(6) = 96 + 24$
$p(6) = 120$
अतः,शेषफल $120$ है।

(A) माना $p(x) = x^{3} + 13x^{2} + ax + 35$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $x+5$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-5) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -5$ रखने पर:
$(-5)^{3} + 13(-5)^{2} + a(-5) + 35 = 0$
$-125 + 13(25) - 5a + 35 = 0$
$-125 + 325 - 5a + 35 = 0$
$235 - 5a = 0$
$5a = 235$
$a = 47$.

(A) माना बहुपद $p(x) = x^{3} + ax^{2} - x + 30$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-2) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -2$ रखने पर:
$p(-2) = (-2)^{3} + a(-2)^{2} - (-2) + 30 = 0$
$-8 + 4a + 2 + 30 = 0$
$4a + 24 = 0$
$4a = -24$
$a = -6$.

(B) माना $p(x) = x^{3} + ax^{2} + 19x + 20$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब $p(x)$ को $(x + 3)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-3)$ होता है।
दिया गया है कि शेषफल $a$ है,इसलिए $p(-3) = a$।
बहुपद में $x = -3$ रखने पर:
$(-3)^{3} + a(-3)^{2} + 19(-3) + 20 = a$
$-27 + 9a - 57 + 20 = a$
$9a - 64 = a$
$8a = 64$
$a = 8$.

(A) माना $p(x) = 2x^3 + 21x^2 + 67x + 60$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $2x + 3$ एक गुणनखंड है,हम इसका शून्य ज्ञात करते हैं,$2x + 3 = 0$ रखने पर $x = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(-\frac{3}{2}) = 0$ है,तो $2x + 3$ एक गुणनखंड है।
$p(-\frac{3}{2}) = 2(-\frac{3}{2})^3 + 21(-\frac{3}{2})^2 + 67(-\frac{3}{2}) + 60$
$= 2(-\frac{27}{8}) + 21(\frac{9}{4}) - \frac{201}{2} + 60$
$= -\frac{27}{4} + \frac{189}{4} - \frac{402}{4} + \frac{240}{4}$
$= \frac{-27 + 189 - 402 + 240}{4}$
$= \frac{429 - 429}{4} = 0$.
चूँकि $p(-\frac{3}{2}) = 0$ है,इसलिए $2x + 3$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(N/A) माना $p(x) = x^{2}-7x+12$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होगा।
हम अचर पद $12$ के गुणनखंडों की जाँच करते हैं। संभावित गुणनखंड $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ हैं।
$x = 3$ के लिए जाँच करने पर:
$p(3) = (3)^{2} - 7(3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0$।
चूँकि $p(3) = 0$ है,इसलिए $(x-3)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$x = 4$ के लिए जाँच करने पर:
$p(4) = (4)^{2} - 7(4) + 12 = 16 - 28 + 12 = 0$।
चूँकि $p(4) = 0$ है,इसलिए $(x-4)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अतः,$x^{2}-7x+12$ के गुणनखंड $(x-3)(x-4)$ हैं।

(A) मध्य पद को विभाजित करके $10 x^{2}-x-24$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें दो ऐसी संख्याएँ $p$ और $q$ ज्ञात करनी होंगी जिनका योग $p+q = -1$ ($x$ का गुणांक) हो और गुणनफल $p \times q = 10 \times (-24) = -240$ ($x^{2}$ के गुणांक और अचर पद का गुणनफल) हो।
हम $-240$ के ऐसे गुणनखंड ढूँढते हैं जिनका योग $-1$ हो। ये संख्याएँ $15$ और $-16$ हैं,क्योंकि $15 + (-16) = -1$ और $15 \times (-16) = -240$ होता है।
अब,मध्य पद $-x$ को $15x - 16x$ के रूप में लिखें:
$10 x^{2} - x - 24 = 10 x^{2} + 15 x - 16 x - 24$
पदों को समूह में व्यवस्थित करें ताकि उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकाला जा सके:
$= (10 x^{2} + 15 x) - (16 x + 24)$
$= 5 x(2 x + 3) - 8(2 x + 3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2 x + 3)$ को बाहर निकालें:
$= (2 x + 3)(5 x - 8)$

(A) माना $p(x) = x^{3}+x^{2}-26 x+24$ है।
बहुपद के सभी गुणांकों का योग $1+1-26+24 = 0$ है।
चूंकि गुणांकों का योग $0$ है,इसलिए $(x-1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,बहुपद का गुणनखंड करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$x^{3}+x^{2}-26 x+24 = x^{3}-x^{2}+2x^{2}-2x-24x+24$
$= x^{2}(x-1)+2x(x-1)-24(x-1)$
$= (x-1)(x^{2}+2x-24)$
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक $(x^{2}+2x-24)$ का गुणनखंड करते हैं:
$x^{2}+6x-4x-24 = x(x+6)-4(x+6) = (x-4)(x+6)$
अतः,गुणनखंड $(x-1)(x-4)(x+6)$ हैं।

(D) माना $p(x) = x^{3}-x^{2}-17 x-15$.
गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके मानों की जाँच करते हैं। आइए $x = -1$ के लिए जाँच करें:
$p(-1) = (-1)^{3} - (-1)^{2} - 17(-1) - 15 = -1 - 1 + 17 - 15 = 0$.
चूँकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,हम $p(x)$ को $(x+1)$ से विभाजित करते हैं या पदों को विभाजित करते हैं:
$x^{3}-x^{2}-17 x-15 = x^{3}+x^{2}-2x^{2}-2x-15x-15$
$= x^{2}(x+1) - 2x(x+1) - 15(x+1)$
$= (x+1)(x^{2}-2x-15)$
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक $(x^{2}-2x-15)$ का गुणनखंड करें:
$x^{2}-5x+3x-15 = x(x-5)+3(x-5) = (x-5)(x+3)$.
अतः,गुणनखंड $(x+1)(x-5)(x+3)$ हैं।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है यदि $p(1) = 0$ हो।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1)^{3} - 7(1)^{2} + 14(1) - 8$
$p(1) = 1 - 7 + 14 - 8$
$p(1) = 15 - 15 = 0$
चूँकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $(x-1)$ बहुपद $p(x) = x^{3}+4x^{2}+x-6$ का एक गुणनखंड है या नहीं,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ,$a = 1$ है।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1)^{3} + 4(1)^{2} + (1) - 6$
$p(1) = 1 + 4(1) + 1 - 6$
$p(1) = 1 + 4 + 1 - 6$
$p(1) = 6 - 6 = 0$
चूंकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x-1)$ बहुपद $p(x) = x^{3}+6x^{2}-9x-14$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(c) = 0$ है,तो $(x-c)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
यहाँ,$c = 1$ है।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1)^{3} + 6(1)^{2} - 9(1) - 14$
$p(1) = 1 + 6 - 9 - 14$
$p(1) = 7 - 23$
$p(1) = -16$
चूँकि $p(1) \neq 0$ है,इसलिए $(x-1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $(x-1)$ बहुपद $p(x) = 2x^3 + 5x^2 - x - 6$ का एक गुणनखंड है या नहीं,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,$a = 1$ है।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = 2(1)^3 + 5(1)^2 - (1) - 6$
$p(1) = 2(1) + 5(1) - 1 - 6$
$p(1) = 2 + 5 - 1 - 6$
$p(1) = 7 - 7 = 0$.
चूंकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x+1)$ बहुपद $p(x) = x^{3} + 10x^{2} + 23x + 14$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है यदि $p(-1) = 0$ हो।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} + 10(-1)^{2} + 23(-1) + 14$
$p(-1) = -1 + 10(1) - 23 + 14$
$p(-1) = -1 + 10 - 23 + 14$
$p(-1) = 9 - 23 + 14$
$p(-1) = -14 + 14 = 0$
चूंकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x+1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(A) यह जाँचने के लिए कि $(x+1)$,$p(x) = x^{3} - 5x^{2} + 2x + 8$ का एक गुणनखंड है या नहीं,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है यदि $p(-1) = 0$ हो।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} - 5(-1)^{2} + 2(-1) + 8$
$p(-1) = -1 - 5(1) - 2 + 8$
$p(-1) = -1 - 5 - 2 + 8$
$p(-1) = -8 + 8 = 0$
चूँकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x+1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $(x+1)$ बहुपद $p(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$ एक गुणनखंड है यदि $p(-1) = 0$ हो।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} - 2(-1)^{2} - 5(-1) + 6$
$p(-1) = -1 - 2(1) + 5 + 6$
$p(-1) = -1 - 2 + 5 + 6$
$p(-1) = 8$
चूँकि $p(-1) \neq 0$ है,इसलिए $(x+1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।