Factorisation of Polynomials Questions in Hindi

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x+1)$,$P(x) = 6x^3 + 11x^2 - 5x - 12$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$,$P(x)$ का एक गुणनखंड है यदि और केवल यदि $P(-1) = 0$ हो।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(-1) = 6(-1)^3 + 11(-1)^2 - 5(-1) - 12$
$P(-1) = 6(-1) + 11(1) + 5 - 12$
$P(-1) = -6 + 11 + 5 - 12$
$P(-1) = 5 + 5 - 12$
$P(-1) = 10 - 12$
$P(-1) = -2$
चूंकि $P(-1) \neq 0$,इसलिए $(x+1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(A) द्विघात बहुपद $x^{2}+10x+16$ का मध्यम पद को विभाजित करके गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका योग $10$ ($x$ का गुणांक) हो और जिनका गुणनफल $16$ (अचर पद) हो।
$1$. $16$ के गुणनखंड ज्ञात कीजिए: $(1, 16), (2, 8), (4, 4)$।
$2$. इनमें से,$(2, 8)$ जोड़ी का योग $10$ होता है।
$3$. मध्यम पद $10x$ को $2x + 8x$ के रूप में फिर से लिखें:
$x^{2} + 2x + 8x + 16$
$4$. पदों के समूह बनाएं और उभयनिष्ठ तत्वों को बाहर निकालें:
$x(x + 2) + 8(x + 2)$
$5$. उभयनिष्ठ द्विपद $(x + 2)$ को बाहर निकालने पर:
$(x + 2)(x + 8)$

(A) द्विघात बहुपद $x^{2}-12x+20$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $20$ हो और जिनका योग $-12$ हो।
ये दो संख्याएँ $-2$ और $-10$ हैं,क्योंकि $(-2) \times (-10) = 20$ और $(-2) + (-10) = -12$ होता है।
अब,मध्य पद $-12x$ को $-2x - 10x$ के रूप में विभाजित करें:
$x^{2} - 2x - 10x + 20$
पदों के समूह बनाएँ:
$(x^{2} - 2x) - (10x - 20)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालें:
$x(x - 2) - 10(x - 2)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(x - 2)$ को बाहर निकालें:
$(x - 2)(x - 10)$

(A) $6x^2 + 19x + 10$ का मध्यम पद विभाजित करके गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $6 \times 10 = 60$ हो और जिनका योग $19$ हो।
ये दो संख्याएँ $15$ और $4$ हैं,क्योंकि $15 \times 4 = 60$ और $15 + 4 = 19$ होता है।
अब,मध्यम पद $19x$ को $15x + 4x$ के रूप में लिखें:
$6x^2 + 15x + 4x + 10$
उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने के लिए पदों के समूह बनाएँ:
$(6x^2 + 15x) + (4x + 10)$
$3x(2x + 5) + 2(2x + 5)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2x + 5)$ को बाहर निकालने पर:
$(2x + 5)(3x + 2)$

(N/A) मध्य पद को विभाजित करके द्विघात बहुपद $x^{2}+14x+33$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका योग $14$ हो और गुणनफल $33$ हो।
$1$. गुणांकों की पहचान करें: $a=1, b=14, c=33$.
$2$. ऐसी दो संख्याएँ $p$ और $q$ ज्ञात करें कि $p+q=14$ और $p \times q=33$ हो।
$3$. $33$ के गुणनखंड $(1, 33)$ और $(3, 11)$ हैं।
$4$. चूँकि $3+11=14$ होता है,इसलिए वे संख्याएँ $3$ और $11$ हैं।
$5$. मध्य पद को पुन: लिखें: $x^{2}+3x+11x+33$.
$6$. समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करें: $x(x+3)+11(x+3)$.
$7$. अंतिम गुणनखंडित रूप: $(x+3)(x+11)$.

(A) द्विघात बहुपद $x^{2}-3x-40$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $-40$ हो और जिनका योग $-3$ हो।
$1$. $-40$ के गुणनखंड $(1, -40), (-1, 40), (2, -20), (-2, 20), (4, -10), (-4, 10), (5, -8), (-5, 8)$ हैं।
$2$. इन युग्मों में से,$(5, -8)$ युग्म शर्त को पूरा करता है: $5 + (-8) = -3$।
$3$. अब,मध्यम पद $-3x$ को $5x - 8x$ के रूप में विभाजित करें:
$x^{2} + 5x - 8x - 40$
$4$. पदों को समूहबद्ध करें और उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें:
$x(x + 5) - 8(x + 5)$
$5$. उभयनिष्ठ द्विपद $(x + 5)$ को बाहर निकालने पर:
$(x + 5)(x - 8)$

(A) $6 x^{2}+7 x-20$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $6 \times (-20) = -120$ हो और जिनका योग $7$ हो।
ये दो संख्याएँ $15$ और $-8$ हैं,क्योंकि $15 \times (-8) = -120$ और $15 + (-8) = 7$ होता है।
अब,मध्य पद $7x$ को $15x - 8x$ के रूप में लिखें:
$6 x^{2} + 15 x - 8 x - 20$
उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने के लिए पदों को समूह में व्यवस्थित करें:
$(6 x^{2} + 15 x) - (8 x + 20)$
$3 x(2 x + 5) - 4(2 x + 5)$
$(2 x + 5)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$(2 x + 5)(3 x - 4)$

(A) द्विघात बहुपद $15x^2 + 7x - 2$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $15 \times (-2) = -30$ हो और जिनका योग $7$ हो।
इन शर्तों को पूरा करने वाली दो संख्याएँ $10$ और $-3$ हैं।
अब,मध्य पद $7x$ को $10x - 3x$ के रूप में लिखें:
$15x^2 + 10x - 3x - 2$
पदों के समूह बनाएँ:
$(15x^2 + 10x) - (3x + 2)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पद बाहर निकालें:
$5x(3x + 2) - 1(3x + 2)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(3x + 2)$ को बाहर निकालने पर:
$(3x + 2)(5x - 1)$

(A) द्विघात बहुपद $x^{2}-4x-77$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $-77$ हो और जिनका योग $-4$ हो।
$1$. $-77$ के गुणनखंड $(1, -77), (-1, 77), (7, -11), (-7, 11)$ हैं।
$2$. इनमें से,$(7, -11)$ का युग्म $7 + (-11) = -4$ की शर्त को पूरा करता है।
$3$. अब,मध्यम पद $-4x$ को $7x - 11x$ के रूप में विभाजित करें:
$x^{2} + 7x - 11x - 77$
$4$. पदों के समूह बनाएँ और उभयनिष्ठ तत्वों को बाहर निकालें:
$x(x + 7) - 11(x + 7)$
$5$. उभयनिष्ठ द्विपद $(x + 7)$ को बाहर निकालने पर:
$(x + 7)(x - 11)$

(A) द्विघात बहुपद $x^{2}+2x-143$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $-143$ हो और जिनका योग $2$ हो।
मान लीजिए कि वे दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
हमें प्राप्त होता है $a \times b = -143$ और $a + b = 2$।
$143$ के गुणनखंड $1, 11, 13, 143$ हैं।
चिह्नों को ध्यान में रखते हुए,हम $13$ और $-11$ लेते हैं क्योंकि $13 \times (-11) = -143$ और $13 + (-11) = 2$।
अब,मध्यम पद $2x$ को $13x - 11x$ के रूप में विभाजित करें:
$x^{2} + 13x - 11x - 143$
पदों के समूह बनाएँ:
$(x^{2} + 13x) - (11x + 143)$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालें:
$x(x + 13) - 11(x + 13)$
अंत में,$(x + 13)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(x + 13)(x - 11)$

(N/A) $12x^2 + 23x + 5$ का मध्यम पद विभाजित करके गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $12 \times 5 = 60$ हो और जिनका योग $23$ हो।
ये दो संख्याएँ $20$ और $3$ हैं।
अब,मध्यम पद $23x$ को $20x + 3x$ के रूप में लिखें:
$12x^2 + 20x + 3x + 5$
पदों के समूह बनाएँ:
$(12x^2 + 20x) + (3x + 5)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालें:
$4x(3x + 5) + 1(3x + 5)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(3x + 5)$ को बाहर निकालने पर:
$(4x + 1)(3x + 5)$

(A) माना $p(x) = x^{3}+8x^{2}+9x-18$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं। यदि $x=1$ है,तो $p(1) = 1^{3} + 8(1)^{2} + 9(1) - 18 = 1 + 8 + 9 - 18 = 0$.
चूँकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$x^{3}+8x^{2}+9x-18$ को $(x-1)$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}+8x^{2}+9x-18 = (x-1)(x^{2}+9x+18)$.
अब,द्विघात व्यंजक $x^{2}+9x+18$ का गुणनखंड करने पर:
$x^{2}+6x+3x+18 = x(x+6) + 3(x+6) = (x+3)(x+6)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंड $(x-1)(x+3)(x+6)$ है।

(A) माना $p(x) = x^{3}+12 x^{2}+39 x+28$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+a)$ एक गुणनखंड है,तो $p(-a) = 0$ होगा।
$x = -1$ रखने पर: $p(-1) = (-1)^{3} + 12(-1)^{2} + 39(-1) + 28 = -1 + 12 - 39 + 28 = 0$.
अतः,$(x+1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$p(x)$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}+12 x^{2}+39 x+28 = (x+1)(x^{2}+11 x+28)$.
द्विघात व्यंजक $x^{2}+11 x+28$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
$x^{2} + 7x + 4x + 28 = x(x+7) + 4(x+7) = (x+4)(x+7)$.
इस प्रकार,पूर्ण गुणनखंड $(x+1)(x+4)(x+7)$ प्राप्त होता है।

(N/A) माना कि $p(x) = x^{3}+2x^{2}-13x+10$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम अचर पद $10$ के गुणनखंडों (अर्थात $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$) की जाँच करते हैं।
$x = 1$ के लिए,$p(1) = (1)^{3} + 2(1)^{2} - 13(1) + 10 = 1 + 2 - 13 + 10 = 0$.
चूँकि $p(1) = 0$,इसलिए $(x-1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$p(x)$ को $(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $x^{2}(x-1) + 3x(x-1) - 10(x-1) = (x-1)(x^{2}+3x-10)$ प्राप्त होता है।
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक $x^{2}+3x-10$ का गुणनखंड कीजिए:
$x^{2} + 5x - 2x - 10 = x(x+5) - 2(x+5) = (x-2)(x+5)$.
अतः,गुणनखंड $(x-1)(x-2)(x+5)$ हैं।

(A) माना $p(x) = x^{3}-11 x^{2}+20 x+32$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं। माना $x = -1$:
$p(-1) = (-1)^{3} - 11(-1)^{2} + 20(-1) + 32 = -1 - 11 - 20 + 32 = 0$.
चूँकि $p(-1) = 0$,इसलिए $(x+1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$x^{3}-11 x^{2}+20 x+32$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}+x^{2} - 12x^{2}-12x + 32x+32 = x^{2}(x+1) - 12x(x+1) + 32(x+1) = (x+1)(x^{2}-12x+32)$.
द्विघात बहुपद $x^{2}-12x+32$ का गुणनखंड करने पर:
$x^{2}-8x-4x+32 = x(x-8)-4(x-8) = (x-4)(x-8)$.
अतः,गुणनखंड $(x+1)(x-4)(x-8)$ हैं।

(A) माना $p(x) = 6x^{3}-23x^{2}+29x-12$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं।
$x = 1$ के लिए,$p(1) = 6(1)^{3}-23(1)^{2}+29(1)-12 = 6-23+29-12 = 0$.
अतः,$(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$6x^{3}-23x^{2}+29x-12$ को $(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें भागफल $6x^{2}-17x+12$ प्राप्त होता है।
अब,द्विघात बहुपद $6x^{2}-17x+12$ का गुणनखंड कीजिए:
$6x^{2}-9x-8x+12 = 3x(2x-3)-4(2x-3) = (3x-4)(2x-3)$.
इस प्रकार,गुणनखंड $(x-1)(2x-3)(3x-4)$ हैं।

(N/A) माना $p(x) = 6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम $x$ के मानों की जाँच करते हैं। माना $x = -1$:
$p(-1) = 6(-1)^{3} + 7(-1)^{2} - 14(-1) - 15 = -6 + 7 + 14 - 15 = 0$.
चूँकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x + 1)$ एक गुणनखंड है।
अब,$6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15$ को $(x + 1)$ से भाग देने पर:
$6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15 = (x + 1)(6x^{2} + x - 15)$.
अब,द्विघात बहुपद $6x^{2} + x - 15$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करें:
$6x^{2} + 10x - 9x - 15 = 2x(3x + 5) - 3(3x + 5) = (2x - 3)(3x + 5)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंड $(x + 1)(3x + 5)(2x - 3)$ है।

(N/A) माना $p(x) = 8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं। माना $x = 1$:
$p(1) = 8(1)^{3} - 26(1)^{2} + 13(1) + 5 = 8 - 26 + 13 + 5 = 0$.
चूँकि $p(1) = 0$,इसलिए $(x - 1)$ एक गुणनखंड है।
अब,$8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5$ को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर:
$8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5 = (x - 1)(8x^{2} - 18x - 5)$.
अब,द्विघात बहुपद $8x^{2} - 18x - 5$ के मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड कीजिए:
$8x^{2} - 20x + 2x - 5 = 4x(2x - 5) + 1(2x - 5) = (4x + 1)(2x - 5)$.
अतः,गुणनखंड $(x - 1)(4x + 1)(2x - 5)$ हैं।

(A) माना $p(x) = 12x^3 + 17x^2 + 3x - 2$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं। माना $x = -1$:
$p(-1) = 12(-1)^3 + 17(-1)^2 + 3(-1) - 2 = -12 + 17 - 3 - 2 = 0$.
चूँकि $p(-1) = 0$,इसलिए $(x+1)$ एक गुणनखंड है।
अब,$12x^3 + 17x^2 + 3x - 2$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$12x^3 + 17x^2 + 3x - 2 = (x+1)(12x^2 + 5x - 2)$.
अब,द्विघात बहुपद $12x^2 + 5x - 2$ के मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करें:
$12x^2 + 8x - 3x - 2 = 4x(3x + 2) - 1(3x + 2) = (4x - 1)(3x + 2)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंड $(x+1)(4x-1)(3x+2)$ है।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-c)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(c) = 0$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} + 7x^{2} + ax - 3$ और गुणनखंड $(x-1)$ है,इसलिए $c = 1$ है।
$p(1) = 0$ रखने पर:
$(1)^{3} + 7(1)^{2} + a(1) - 3 = 0$
$1 + 7 + a - 3 = 0$
$8 + a - 3 = 0$
$5 + a = 0$
$a = -5$

(A) माना $p(x) = 6x^3 + 19x^2 + 16x + 4$ है। गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+2)$ एक गुणनखंड है यदि $p(-2) = 0$ हो।
$p(-2) = 6(-2)^3 + 19(-2)^2 + 16(-2) + 4 = 6(-8) + 19(4) - 32 + 4 = -48 + 76 - 32 + 4 = 0$ है।
चूंकि $p(-2) = 0$ है,इसलिए $(x+2)$ एक गुणनखंड है।
अब,$6x^3 + 19x^2 + 16x + 4$ को $(x+2)$ से विभाजित करने पर हमें द्विघात बहुपद $6x^2 + 7x + 2$ प्राप्त होता है।
$6x^2 + 7x + 2$ का गुणनखंडन करने पर: $6x^2 + 4x + 3x + 2 = 2x(3x+2) + 1(3x+2) = (2x+1)(3x+2)$।
अतः,पूर्ण गुणनखंडन $(x+2)(2x+1)(3x+2)$ है।

(A) चरण $1$: यह दर्शाने के लिए कि $(x-3)$ एक गुणनखंड है,हम $p(3)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$p(3) = 12(3)^3 - 31(3)^2 - 18(3) + 9$
$p(3) = 12(27) - 31(9) - 54 + 9$
$p(3) = 324 - 279 - 54 + 9 = 0$.
चूंकि $p(3) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $(x-3)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
चरण $2$: $p(x)$ को $(x-3)$ से विभाजित करने पर द्विघात बहुपद प्राप्त होता है।
$12x^3 - 31x^2 - 18x + 9 = (x-3)(12x^2 + 5x - 3)$.
चरण $3$: द्विघात बहुपद $12x^2 + 5x - 3$ का गुणनखंडन कीजिए।
$12x^2 + 9x - 4x - 3 = 3x(4x + 3) - 1(4x + 3) = (3x - 1)(4x + 3)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंडन $(x-3)(3x-1)(4x+3)$ है।

(B) द्विघात व्यंजक $4 x^{2}+4 x y-3 y^{2}$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करेंगे।
हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $(4) \times (-3) = -12$ हो और जिनका योग $4$ हो।
ये दो संख्याएँ $6$ और $-2$ हैं।
अब,मध्य पद $4xy$ को $6xy - 2xy$ के रूप में लिखें:
$4 x^{2}+6 x y-2 x y-3 y^{2}$
पदों के समूह बनाएँ:
$= (4 x^{2}+6 x y) - (2 x y+3 y^{2})$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालें:
$= 2 x(2 x+3 y)-y(2 x+3 y)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2 x+3 y)$ को बाहर निकालने पर:
$= (2 x+3 y)(2 x-y)$

(A) द्विघात व्यंजक $16 x^{2}-16 x-21$ का गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $16 \times (-21) = -336$ हो और जिनका योग $-16$ हो।
ये दो संख्याएँ $-28$ और $12$ हैं,क्योंकि $(-28) \times 12 = -336$ और $(-28) + 12 = -16$ होता है।
अब,मध्य पद $-16 x$ को $-28 x + 12 x$ के रूप में विभाजित करें:
$16 x^{2} - 28 x + 12 x - 21$
पदों के समूह बनाएँ:
$(16 x^{2} - 28 x) + (12 x - 21)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पद बाहर निकालें:
$4 x(4 x - 7) + 3(4 x - 7)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(4 x - 7)$ को बाहर निकालने पर:
$(4 x - 7)(4 x + 3)$।

(A) द्विघात व्यंजक $25 x^{2}+25 x+6$ का गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $25 \times 6 = 150$ हो और जिनका योग $25$ हो।
ये दो संख्याएँ $15$ और $10$ हैं,क्योंकि $15 \times 10 = 150$ और $15 + 10 = 25$ होता है।
अब,मध्य पद $25 x$ को $15 x + 10 x$ के रूप में विभाजित करें:
$25 x^{2} + 15 x + 10 x + 6$
पदों को समूह में व्यवस्थित करें:
$(25 x^{2} + 15 x) + (10 x + 6)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालें:
$5 x(5 x + 3) + 2(5 x + 3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(5 x + 3)$ को बाहर निकालने पर:
$(5 x + 3)(5 x + 2)$.

(A) द्विघात व्यंजक $9 x^{2}-21 x y+10 y^{2}$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करेंगे।
हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल $9 \times 10 = 90$ हो और जिनका योग $-21$ हो।
वे दो संख्याएँ $-15$ और $-6$ हैं,क्योंकि $(-15) \times (-6) = 90$ और $(-15) + (-6) = -21$ होता है।
अब,मध्य पद $-21 x y$ को $-15 x y - 6 x y$ के रूप में लिखें:
$9 x^{2} - 15 x y - 6 x y + 10 y^{2}$
पदों के समूह बनाएँ:
$(9 x^{2} - 15 x y) - (6 x y - 10 y^{2})$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालें:
$3 x(3 x - 5 y) - 2 y(3 x - 5 y)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(3 x - 5 y)$ को बाहर निकालने पर:
$(3 x - 5 y)(3 x - 2 y)$

(A) द्विघात व्यंजक $49 x^{2}-35 x+6$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल $49 \times 6 = 294$ हो और जिनका योग $-35$ हो।
वे दो संख्याएँ $-21$ और $-14$ हैं,क्योंकि $(-21) \times (-14) = 294$ और $(-21) + (-14) = -35$ होता है।
अब,मध्य पद को फिर से लिखते हैं:
$49 x^{2}-21 x-14 x+6$
पदों के समूह बनाते हैं:
$(49 x^{2}-21 x) - (14 x-6)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालते हैं:
$7 x(7 x-3) - 2(7 x-3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(7 x-3)$ को बाहर निकालते हैं:
$(7 x-3)(7 x-2)$

(A) व्यंजक $144 x^{2}-289 y^{2}$ का गुणनखंड करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,दिए गए पदों को पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करें:
$144 x^{2} = (12 x)^{2}$
$289 y^{2} = (17 y)^{2}$
अब,इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें:
$144 x^{2}-289 y^{2} = (12 x)^{2}-(17 y)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=12 x$ और $b=17 y$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(12 x-17 y)(12 x+17 y)$.

(A) $16 x^{4}-y^{4}$ का गुणनखंड करने के लिए,हम वर्ग के अंतर की सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,व्यंजक को $(4 x^{2})^{2}-(y^{2})^{2}$ के रूप में लिखें।
सर्वसमिका लागू करने पर,हमें $(4 x^{2}-y^{2})(4 x^{2}+y^{2})$ प्राप्त होता है।
अब,$(4 x^{2}-y^{2})$ पद को $(2 x)^{2}-(y)^{2}$ के रूप में लिखकर और गुणनखंड करें।
सर्वसमिका का पुनः उपयोग करने पर,$(4 x^{2}-y^{2}) = (2 x-y)(2 x+y)$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को मिलाने पर,अंतिम गुणनखंडित रूप $(2 x-y)(2 x+y)(4 x^{2}+y^{2})$ है।

(A) आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के बराबर होता है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.
दिया गया क्षेत्रफल = $20 x^{2} + 22 x + 6$.
लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करेंगे:
$20 x^{2} + 22 x + 6 = 20 x^{2} + 10 x + 12 x + 6$.
पदों को समूहबद्ध करने पर: $(20 x^{2} + 10 x) + (12 x + 6)$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $10 x(2 x + 1) + 6(2 x + 1)$.
इस प्रकार,गुणनखंड $(10 x + 6)(2 x + 1)$ या $(5 x + 3)(4 x + 2)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,लंबाई और चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक $(5 x + 3)$ इकाई और $(4 x + 2)$ इकाई हैं।

(A) घनाभ का आयतन उसकी विमाओं के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$.
दिया गया है $V = 2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$.
विमाओं को ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद का गुणनखंड करेंगे।
मान लीजिए $p(x) = 2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$.
मानों की जाँच करने पर, यदि $x = -1$ है, तो $p(-1) = 2(-1)^3 + 15(-1)^2 + 33(-1) + 20 = -2 + 15 - 33 + 20 = 0$.
अतः, $(x + 1)$ एक गुणनखंड है।
$2x^3 + 15x^2 + 33x + 20$ को $(x + 1)$ से विभाजित करने पर हमें $2x^2 + 13x + 20$ प्राप्त होता है।
अब, द्विघात बहुपद $2x^2 + 13x + 20$ का गुणनखंड करने पर:
$2x^2 + 8x + 5x + 20 = 2x(x + 4) + 5(x + 4) = (2x + 5)(x + 4)$.
इसलिए, संभावित विमाएँ $(2x + 5), (x + 4), (x + 1)$ हैं।

(D) माना बहुपद $p(x) = x^{2} - 8x + 10$ है। माना जोड़ी जाने वाली संख्या $k$ है। नया बहुपद $g(x) = x^{2} - 8x + 10 + k$ होगा। $g(x)$ के $x - 3$ से विभाज्य होने के लिए,जब $g(x)$ को $x - 3$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $0$ होना चाहिए। शेषफल प्रमेय के अनुसार,शेषफल $g(3)$ है। अतः,$g(3) = 0$। $g(x)$ में $x = 3$ रखने पर: $(3)^{2} - 8(3) + 10 + k = 0$। $9 - 24 + 10 + k = 0$। $-15 + 10 + k = 0$। $-5 + k = 0$। इसलिए,$k = 5$।

(A) कथन की जाँच करने के लिए,हम दाईं ओर का विस्तार करते हैं:
$(x-6)(x-2) = x(x-2) - 6(x-2)$
$= x^{2} - 2x - 6x + 12$
$= x^{2} - 8x + 12$
चूंकि विस्तारित रूप बाईं ओर से मेल खाता है,इसलिए यह कथन सत्य है।

(C) गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ के लिए $p(a) = 0$ है,तो $(x - a)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ दिया गया है कि $p(7) = 0,$ इसलिए प्रमेय के अनुसार $a = 7$ रखने पर,$(x - 7)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(D) दी गई द्विघात व्यंजक $x^{2}-10x+21 = (x+m)(x+n)$ है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,हमें $(x+m)(x+n) = x^{2} + nx + mx + mn = x^{2} + (m+n)x + mn$ प्राप्त होता है।
मूल व्यंजक $x^{2}-10x+21$ के साथ $x$ के गुणांकों और अचर पद की तुलना करने पर:
$m+n = -10$
$mn = 21$
अतः,$m+n$ का मान $-10$ है।

(A) माना $p(x) = x^{3}-3x^{2}+ax+24$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(2) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2)^{3} - 3(2)^{2} + a(2) + 24 = 0$.
$8 - 3(4) + 2a + 24 = 0$.
$8 - 12 + 2a + 24 = 0$.
$20 + 2a = 0$.
$2a = -20$.
$a = -10$.

(C) द्विघात बहुपद $x^{2}-23x+120$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका योग $-23$ हो और गुणनफल $120$ हो।
मान लीजिए कि वे दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
हमारे पास $a+b = -23$ और $ab = 120$ है।
$120$ के गुणनखंडों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $-15$ और $-8$ इन शर्तों को पूरा करते हैं क्योंकि $(-15) + (-8) = -23$ और $(-15) \times (-8) = 120$ है।
अब,मध्य पद $-23x$ को $-15x - 8x$ के रूप में लिखें:
$x^{2}-15x-8x+120$
पदों को समूहबद्ध करें:
$(x^{2}-15x) - (8x-120)$
उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें:
$x(x-15) - 8(x-15)$
$(x-15)(x-8)$
अतः,गुणनखंड $(x-15)(x-8)$ हैं।

(D) बहुपद $p(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 5$ का गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
आइए दिए गए विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $D$ के लिए,$x-1 = 0$ का अर्थ है $x = 1$।
$p(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 7(1) - 5$
$p(1) = 1 - 3 + 7 - 5$
$p(1) = 8 - 8 = 0$।
चूंकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,हम $p(x) = x^{2} + 12x + 36$ को $(x + 5)$ से विभाजित कर रहे हैं,जो $(x - (-5))$ के बराबर है।
इसलिए,शेषफल $p(-5)$ होगा।
बहुपद में $x = -5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-5) = (-5)^{2} + 12(-5) + 36$
$p(-5) = 25 - 60 + 36$
$p(-5) = 61 - 60$
$p(-5) = 1$
अतः,शेषफल $1$ है।

(B) दिया गया द्विघात व्यंजक $x^{2}-8x-20 = (x+a)(x+b)$ है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,हमें $(x+a)(x+b) = x^{2} + (a+b)x + ab$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $x^{2}-8x-20$ से करने पर,हम अचर पदों की तुलना करते हैं।
बाईं ओर का अचर पद $-20$ है।
दाहिनी ओर का अचर पद $ab$ है।
अतः,$ab = -20$।

(D) माना $p(x) = x^{3} + 12x^{2} + ax + 60$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+3)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-3) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -3$ रखने पर:
$(-3)^{3} + 12(-3)^{2} + a(-3) + 60 = 0$
$-27 + 12(9) - 3a + 60 = 0$
$-27 + 108 - 3a + 60 = 0$
$141 - 3a = 0$
$3a = 141$
$a = 47$.

(B) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $(x - a)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ दिया गया है कि $p(-3) = 0$,इसलिए हम $(x - a)$ में $a = -3$ प्रतिस्थापित करते हैं।
इससे हमें $(x - (-3)) = x + 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x + 3)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(B) गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ के लिए $p(a) = 0$ है,तो $(x - a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ दिया गया है कि $p(7) = 0$,इसलिए प्रमेय में $a = 7$ रखने पर।
अतः,$(x - 7)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(D) जब $p(x) = 3x^3 - 6x^2 + 5x - 10$ को $(x - 2)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हैं।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$a = 2$ है।
बहुपद $p(x)$ में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = 3(2)^3 - 6(2)^2 + 5(2) - 10$
$p(2) = 3(8) - 6(4) + 10 - 10$
$p(2) = 24 - 24 + 10 - 10$
$p(2) = 0$
अतः,शेषफल $0$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x-1)$ बहुपद $p(x) = 3x^2 + 7x - 10$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ,$a = 1$ है।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = 3(1)^2 + 7(1) - 10$
$p(1) = 3(1) + 7 - 10$
$p(1) = 3 + 7 - 10$
$p(1) = 10 - 10 = 0$.
चूंकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$,$3x^2 + 7x - 10$ का एक गुणनखंड है।

(B) $16x^2 - 24x + 9$ को $4x - 3$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम शेषफल प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं या बहुपद का भाग दे सकते हैं।
विधि $1$: गुणनखंडन
यहाँ $16x^2 - 24x + 9$ एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है।
$16x^2 - 24x + 9 = (4x)^2 - 2(4x)(3) + (3)^2 = (4x - 3)^2$.
चूंकि $(4x - 3)^2$ को $(4x - 3)$ से पूरी तरह विभाजित किया जा सकता है,इसलिए शेषफल $0$ है।
विधि $2$: शेषफल प्रमेय
भाजक को शून्य के बराबर रखने पर: $4x - 3 = 0 \implies x = 3/4$.
अब,बहुपद $P(x) = 16x^2 - 24x + 9$ में $x = 3/4$ रखने पर:
$P(3/4) = 16(3/4)^2 - 24(3/4) + 9$
$P(3/4) = 16(9/16) - 18 + 9$
$P(3/4) = 9 - 18 + 9 = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $(x+1)$ बहुपद $p(x) = 4x^3 + 7x^2 - 2x - 5$ का एक गुणनखंड है,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,हम $x+1 = 0$ रखते हैं,जिससे हमें $x = -1$ प्राप्त होता है।
अब,हम $p(-1)$ की गणना करते हैं:
$p(-1) = 4(-1)^3 + 7(-1)^2 - 2(-1) - 5$
$p(-1) = 4(-1) + 7(1) + 2 - 5$
$p(-1) = -4 + 7 + 2 - 5$
$p(-1) = 0$
चूंकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x+1)$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।

(A) व्यंजक $x^{3}-125$ का गुणनखंड करने के लिए,हम दो घनों के अंतर के बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$.
यहाँ,$x^{3}-125$ को $x^{3}-5^{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $a^{3}-b^{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = x$ और $b = 5$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: $x^{3}-5^{3} = (x-5)(x^{2} + x(5) + 5^{2})$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(x-5)(x^{2}+5x+25)$.