Polynomials in One Variable Questions in Hindi

(D) बहुपद का वर्गीकरण उसकी घात के आधार पर किया जाता है,जो व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $p(y) = y^{3}-y$ के लिए,चर $y$ की उच्चतम घात $3$ है।
$3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$y^{3}-y$ एक त्रिघात बहुपद है।

(C) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद,$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद और $3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
दिए गए व्यंजक $1+x+x^{2}$ में,चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है।
चूंकि बहुपद की घात $2$ है,इसलिए इसे द्विघात बहुपद के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(QUADRATIC) $2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
चूंकि बहुपद $t^{2}$ की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात बहुपद है।

(B) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
दिया गया व्यंजक $\sqrt{2} x - 1$ है।
चूंकि चर $x$ की उच्चतम घात $1$ है,इसलिए बहुपद की घात $1$ है।
अतः,$\sqrt{2} x - 1$ एक रैखिक बहुपद है।

(B) माना बहुपद $p(x) = 3x^{3} - 4x^{2} + 7x - 5$ है।
$x = 3$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$p(3) = 3(3)^{3} - 4(3)^{2} + 7(3) - 5$
घातों की गणना करने पर:
$p(3) = 3(27) - 4(9) + 21 - 5$
गुणा करने पर:
$p(3) = 81 - 36 + 21 - 5$
जोड़ने और घटाने पर:
$p(3) = 45 + 21 - 5 = 66 - 5 = 61$.
अतः,$x = 3$ पर बहुपद का मान $61$ है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = x^2 - 4x + 3$ है।
सबसे पहले,$p(2)$ का मान ज्ञात करें:
$p(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
इसके बाद,$p(-1)$ का मान ज्ञात करें:
$p(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$.
फिर,$p\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात करें:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
अंत में,व्यंजक $p(2) - p(-1) + p\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान निकालें:
$= -1 - 8 + \frac{5}{4} = -9 + \frac{5}{4} = \frac{-36 + 5}{4} = \frac{-31}{4}$.

दिया गया बहुपद $p(x) = 10x - 4x^{2} - 3$ है।
$(i)$ $p(0)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = 10(0) - 4(0)^{2} - 3 = 0 - 0 - 3 = -3$.
$(ii)$ $p(1)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = 10(1) - 4(1)^{2} - 3 = 10 - 4 - 3 = 3$.
$(iii)$ $p(-2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2) = 10(-2) - 4(-2)^{2} - 3 = -20 - 4(4) - 3 = -20 - 16 - 3 = -39$.

(C) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ $g(x) = x - 3$ दिया गया है,इसलिए $x$ का मान ज्ञात करने के लिए $g(x) = 0$ रखने पर:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.
अब,$p(x)$ में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(3) = (3)^{3} - 3(3)^{2} + 4(3) + 50$
$p(3) = 27 - 3(9) + 12 + 50$
$p(3) = 27 - 27 + 12 + 50$
$p(3) = 0 + 62 = 62$.
अतः,शेषफल $62$ है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि बहुपद $p(x)$ को $g(x) = ax + b$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-b/a)$ होता है।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए $g(x) = 0$ रखें:
$1 - \frac{3}{2}x = 0$
$\frac{3}{2}x = 1$
$x = \frac{2}{3}$
अब,$p(x)$ में $x = \frac{2}{3}$ रखें:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} - 6\left(\frac{2}{3}\right)^{2} + 2\left(\frac{2}{3}\right) - 4$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - 6\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{4}{3} - 4$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{24}{9} + \frac{4}{3} - 4$
इन्हें जोड़ने के लिए,उभयनिष्ठ हर $27$ लें:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{72}{27} + \frac{36}{27} - \frac{108}{27}$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8 - 72 + 36 - 108}{27}$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{-136}{27}$

(A) दिया गया व्यंजक $\pi x^{2}-\sqrt{3} x+11$ है।
$1$. बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर के घातांक सदैव पूर्ण संख्या (अऋण पूर्णांक) होते हैं।
$2$. व्यंजक $\pi x^{2}-\sqrt{3} x+11$ में,चर $x$ के घातांक $2$,$1$ और $0$ हैं (क्योंकि $11 = 11x^{0}$)।
$3$. चूँकि सभी घातांक पूर्ण संख्याएँ हैं,इसलिए यह व्यंजक एक बहुपद है।
$4$. चूँकि इस व्यंजक में केवल एक ही चर $x$ है,इसलिए यह एक चर वाला बहुपद है।

(D) दिया गया व्यंजक $x^{2} + x - 3 + \frac{4}{x}$ है।
हम पद $\frac{4}{x}$ को $4x^{-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,व्यंजक $x^{2} + x - 3 + 4x^{-1}$ हो जाता है।
बहुपद की परिभाषा के अनुसार,बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integer) होते हैं।
इस व्यंजक में,पद $4x^{-1}$ में $x$ का घातांक $-1$ है,जो कि एक ऋणात्मक पूर्णांक है।
इसलिए,दिया गया व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(D) दिया गया व्यंजक $5 x^{2}-7 x+3 \sqrt{x}$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि कोई व्यंजक बहुपद है या नहीं,चर का घातांक एक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integer) होना चाहिए।
दिए गए व्यंजक में,पद $3 \sqrt{x}$ को $3 x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है,जो एक ऋणेतर पूर्णांक नहीं है।
इसलिए,$5 x^{2}-7 x+3 \sqrt{x}$ एक बहुपद नहीं है।

(N/A) दिया गया व्यंजक $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$ एक बहुपद है क्योंकि इसके प्रत्येक पद में चर का घातांक एक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्या) है।
हालाँकि,इस व्यंजक में तीन अलग-अलग चर $x$,$y$ और $z$ शामिल हैं।
इसलिए,यह एक बहुपद तो है,लेकिन यह एक चर वाला बहुपद नहीं है।

(D) दिया गया व्यंजक $x^{2}+2xy+y^{2}$ है।
$1$. बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक अऋण पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होते हैं।
$2$. दिए गए व्यंजक में,$x$ और $y$ के घातांक $2, 1$ और $0$ हैं,जो सभी पूर्ण संख्याएँ हैं। इसलिए,यह एक बहुपद है।
$3$. हालाँकि,इस व्यंजक में दो अलग-अलग चर $x$ और $y$ शामिल हैं।
$4$. चूँकि इसमें एक से अधिक चर हैं,इसलिए यह एक चर वाला बहुपद नहीं है।

(A) दिया गया व्यंजक $x^{2}-8x+15$ है।
इस व्यंजक में चर $x$ है।
पदों $x^{2}$,$-8x^{1}$ और $15x^{0}$ में $x$ के घातांक क्रमशः $2, 1$ और $0$ हैं।
चूंकि ये सभी घातांक अऋण पूर्णांक हैं,इसलिए यह व्यंजक एक बहुपद है।
इसके अलावा,चूंकि इस व्यंजक में केवल एक ही चर $x$ मौजूद है,इसलिए यह एक चर वाला बहुपद है।

(A) दिया गया व्यंजक $y^{2} + \sqrt{2}$ है।
इसे $y^{2} + \sqrt{2}y^{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एक चर वाला बहुपद वह बीजीय व्यंजक है जिसमें चर का घातांक एक ऋणोत्तर पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होता है।
व्यंजक $y^{2} + \sqrt{2}$ में,चर $y$ का घातांक $2$ है,जो एक पूर्ण संख्या है।
अतः,$y^{2} + \sqrt{2}$ एक चर वाला बहुपद है।

(D) दिया गया व्यंजक $3 \sqrt{t} + t \sqrt{2}$ है।
इसे $3 t^{1/2} + \sqrt{2} \cdot t$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एक चर वाला बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर का घातांक एक पूर्ण संख्या (non-negative integer) होनी चाहिए।
पद $3 t^{1/2}$ में,चर $t$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है,जो एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः,$3 \sqrt{t} + t \sqrt{2}$ एक बहुपद नहीं है।

(D) दिया गया व्यंजक $y + \frac{2}{y}$ है।
इसे $y + 2 \cdot y^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एक चर वाला बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक होता है जिसमें चर का घातांक एक अऋण पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होना चाहिए।
पद $2 \cdot y^{-1}$ में,चर $y$ का घातांक $-1$ है।
चूंकि $-1$ एक पूर्ण संख्या नहीं है,इसलिए व्यंजक $y + \frac{2}{y}$ एक बहुपद नहीं है।

(D) दिया गया व्यंजक $x^{10} + y^{3} + t^{50}$ है।
$1$. एक चर वाला बहुपद वह बीजीय व्यंजक है जिसमें चर का घातांक एक पूर्ण संख्या होती है और केवल एक ही चर उपस्थित होता है।
$2$. व्यंजक $x^{10} + y^{3} + t^{50}$ में तीन अलग-अलग चर हैं: $x$,$y$,और $t$।
$3$. यद्यपि प्रत्येक चर का घातांक $(10, 3, 50)$ एक पूर्ण संख्या है,लेकिन इस व्यंजक में तीन चर शामिल हैं।
$4$. अतः,$x^{10} + y^{3} + t^{50}$ तीन चरों वाला एक बहुपद है,न कि एक चर वाला।

(A) $(i)$ व्यंजक $\frac{\pi}{2} x^2 + x$ में,$x^2$ वाला पद $\frac{\pi}{2} x^2$ है। अतः,$x^2$ का गुणांक $\frac{\pi}{2}$ है।
$(ii)$ व्यंजक $\sqrt{2} x - 1$ में,$x^2$ का कोई पद नहीं है। हम इस व्यंजक को $\sqrt{2} x - 1 + 0 \cdot x^2$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$x^2$ का गुणांक $0$ है।

(B) बहुपद की घात बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
$(i)$ $5t - \sqrt{7}$
यह चर $t$ में एक बहुपद है। चर $t$ की उच्चतम घात $1$ है। इसलिए,इस बहुपद की घात $1$ है।
$(ii)$ $3$
यह एक अचर बहुपद है। किसी भी शून्येतर अचर बहुपद की घात हमेशा $0$ होती है,क्योंकि $3$ को $3 \times t^0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(N/A) $(i)$ $1+x$
चूंकि $1+x$ की घात $1$ है,इसलिए यह एक रैखिक बहुपद है।
$(ii)$ $3t$
चूंकि $3t$ की घात $1$ है,इसलिए यह एक रैखिक बहुपद है।
$(iii)$ $r^{2}$
चूंकि $r^{2}$ की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघाती बहुपद है।
$(iv)$ $7x^{3}$
चूंकि $7x^{3}$ की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघाती बहुपद है।

$(16+\sqrt{11})$ दिया गया बहुपद $q(y) = 3y^3 - 4y + \sqrt{11}$ है।
$y = 2$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $y$ के स्थान पर $2$ प्रतिस्थापित करेंगे:
$q(2) = 3(2)^3 - 4(2) + \sqrt{11}$
घात की गणना करने पर: $2^3 = 8$.
मान रखने पर: $q(2) = 3(8) - 8 + \sqrt{11}$.
गुणा करने पर: $q(2) = 24 - 8 + \sqrt{11}$.
घटाने पर: $q(2) = 16 + \sqrt{11}$.

(N/A) दिया गया बहुपद $p(t) = 4t^4 + 5t^3 - t^2 + 6$ है।
$t = a$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $t$ के स्थान पर $a$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(a) = 4(a)^4 + 5(a)^3 - (a)^2 + 6$.
अतः,$t = a$ पर बहुपद का मान $4a^4 + 5a^3 - a^2 + 6$ है।

(B) माना कि बहुपद $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ है।
$x = -1$ पर मान ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x$ के स्थान पर $-1$ प्रतिस्थापित करें:
$p(-1) = 5(-1) - 4(-1)^2 + 3$
$p(-1) = -5 - 4(1) + 3$
$p(-1) = -5 - 4 + 3$
$p(-1) = -9 + 3$
$p(-1) = -6$

(C) दिया गया बहुपद $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ है।
$x = 2$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,व्यंजक में $x$ के स्थान पर $2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = 5(2) - 4(2)^2 + 3$
$p(2) = 10 - 4(4) + 3$
$p(2) = 10 - 16 + 3$
$p(2) = -6 + 3$
$p(2) = -3$
अतः,$x = 2$ पर बहुपद का मान $-3$ है।

(A) दिया गया बहुपद $5-7 x-3 x^{2}$ है।
$x^{2}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x^{2}$ वाले पद को देखते हैं,जो $-3 x^{2}$ है।
$x^{2}$ के साथ गुणा होने वाला संख्यात्मक गुणनखंड $-3$ है।
अतः,$x^{2}$ का गुणांक $-3$ है।

(A) दिया गया बहुपद $\sqrt{3} x^{2}+11$ है।
$x^{2}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x^{2}$ वाले पद को देखते हैं।
व्यंजक $\sqrt{3} x^{2}+11$ में,$x^{2}$ वाला पद $\sqrt{3} x^{2}$ है।
$x^{2}$ के साथ गुणा होने वाला संख्यात्मक गुणनखंड $\sqrt{3}$ है।
अतः,$x^{2}$ का गुणांक $\sqrt{3}$ है।

(A) दिया गया बहुपद $\pi x^{2}-\frac{22}{7} x+3.14$ है।
$x^{2}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x^{2}$ वाले पद को देखते हैं,जो $\pi x^{2}$ है।
$x^{2}$ के साथ गुणा होने वाला संख्यात्मक गुणनखंड $\pi$ है।
अतः,$x^{2}$ का गुणांक $\pi$ है।

(0) बहुपद $7 x^{3}-11 x+24$ में,$x^{2}$ वाला पद उपस्थित नहीं है।
इसे $7 x^{3} + 0x^{2} - 11 x + 24$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$x^{2}$ का गुणांक $0$ है।

(3) बहुपद की घात को बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए बहुपद $7 x^{3}-9 x^{2}+4 x-22$ में,चर $x$ की घातें $3, 2, 1$ और $0$ (अचर पद के लिए) हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $3$ है।
अतः,बहुपद की घात $3$ है।

(0) एक अचर बहुपद $0$ घात वाला बहुपद होता है।
चूंकि $5$ को $5 \times x^{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए चर $x$ का घातांक $0$ है।
अतः,अचर बहुपद $5$ की घात $0$ है।

(2) बहुपद की घात को व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए बहुपद $11-2 y^{2}$ में,चर $y$ है।
पद $11$ को $11y^{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है,और पद $-2y^{2}$ की घात $2$ है।
घातों $0$ और $2$ की तुलना करने पर,उच्चतम घात $2$ है।
अतः,बहुपद $11-2 y^{2}$ की घात $2$ है।

(1) दिया गया बहुपद $p(t) = \sqrt{11} t + 14$ है।
एक बहुपद में,घात को व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यहाँ,चर $t$ है और इसकी घात $1$ है।
अतः,बहुपद $\sqrt{11} t + 14$ की घात $1$ है।

(A) बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
बहुपद $5t + 3$ के लिए,चर $t$ है और इसकी उच्चतम घात $1$ है।
$1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
अतः,$5t + 3$ एक रैखिक बहुपद है।

(B) बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $x^{2}-9x+14$ के लिए,चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$x^{2}-9x+14$ एक द्विघात बहुपद है।

(C) किसी बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
बहुपद $8x^{3} - 343$ के लिए,चर $x$ की उच्चतम घात $3$ है।
चूंकि बहुपद की घात $3$ है,इसलिए इसे त्रिघाती बहुपद के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(A) दिया गया व्यंजक $x^{2}-15x+50$ है।
$1$. बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक होते हैं।
$2$. व्यंजक $x^{2}-15x+50$ में,चर $x$ है। $x$ के घातांक $2$ और $1$ हैं,जो कि ऋणेतर पूर्णांक हैं।
$3$. अतः,यह एक बहुपद है।
$4$. चूंकि इस व्यंजक में केवल एक ही चर $x$ है,इसलिए यह एक चर वाला बहुपद है।

(N/A) व्यंजक $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx$ एक बहुपद है क्योंकि इसमें चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक हैं और गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं। चूँकि इसमें तीन अलग-अलग चर $(x, y, z)$ शामिल हैं,इसलिए यह तीन चरों वाला बहुपद है,न कि एक चर वाला बहुपद।

(N/A) दिया गया व्यंजक $5x^2 + 11x - 2\sqrt{x}$ है।
पद $-2\sqrt{x}$ में,$x$ का घातांक $1/2$ है,जो एक ऋणेतर पूर्णांक नहीं है।
चूंकि एक बहुपद में चर के घातांक केवल ऋणेतर पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए यह व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(N/A) दिया गया व्यंजक $3x^2 + 5x - 7 + \frac{8}{x}$ है।
इसे $3x^2 + 5x - 7 + 8x^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integers) होते हैं।
इस व्यंजक में,पद $8x^{-1}$ का घातांक $-1$ है,जो कि एक ऋणात्मक पूर्णांक है।
इसलिए,यह व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(A) यदि किसी व्यंजक में चर के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integers) होते हैं,तो वह व्यंजक एक बहुपद कहलाता है। व्यंजक $\sqrt{3} x^{2}+\pi x-9$ में,चर $x$ है। $x$ के घातांक $2$ और $1$ हैं,जो कि ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसलिए,यह एक बहुपद है। चूँकि इस व्यंजक में केवल एक चर $x$ है,इसलिए यह एक चर वाला बहुपद है।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{3} + 27$ है।
$x^{2}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद को $p(x) = 1 \cdot x^{3} + 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x + 27$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे मानक रूप से तुलना करने पर,$x^{2}$ वाला पद $0 \cdot x^{2}$ है।
अतः,$x^{2}$ का गुणांक $0$ है।

(C) दिया गया बहुपद $4+7x+3x^{2}$ है।
$x^{2}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x^{2}$ वाले पद को देखते हैं।
व्यंजक $4+7x+3x^{2}$ में,$x^{2}$ वाला पद $3x^{2}$ है।
गुणांक वह संख्यात्मक मान है जो चर के साथ गुणा में होता है।
अतः,$x^{2}$ का गुणांक $3$ है।

(N/A) दिया गया बहुपद $p(x) = \sqrt{5}x^{2} - 7x + 13$ है।
$x^{2}$ का गुणांक वह संख्यात्मक गुणनखंड है जो $x^{2}$ पद के साथ गुणा में है।
इस व्यंजक में,$x^{2}$ वाला पद $\sqrt{5}x^{2}$ है।
अतः,$x^{2}$ का गुणांक $\sqrt{5}$ है।

(A) दिया गया बहुपद $3x^{3} - 8x^{2} + 14x - 5$ है।
$x^{2}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x^{2}$ वाले पद को देखते हैं,जो $-8x^{2}$ है।
$x^{2}$ के साथ गुणा होने वाला संख्यात्मक गुणनखंड $-8$ है।
अतः,$x^{2}$ का गुणांक $-8$ है।

(B) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिए गए बहुपद $p(x) = x^{50} - 1$ में,चर $x$ है।
यहाँ $x$ की घातें $50$ (जो $x^{50}$ में है) और $0$ (क्योंकि $1 = 1 \cdot x^0$) हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $50$ है।
अतः,बहुपद $x^{50} - 1$ की घात $50$ है।

(C) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिए गए बहुपद $8x^{5} + 3x^{2} - 4x + 7$ में,चर $x$ की घातें $5, 2, 1$ और $0$ हैं (क्योंकि $7 = 7x^{0}$)।
इनमें सबसे बड़ी घात $5$ है।
अतः,बहुपद की घात $5$ है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{3} - 3(x^{2})^{4} - 15$ है।
सबसे पहले,घात के घात नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करके पद $(x^{2})^{4}$ को सरल करें।
$(x^{2})^{4} = x^{2 \times 4} = x^{8}$।
इस मान को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p(x) = x^{3} - 3x^{8} - 15$ प्राप्त होता है।
बहुपद की घात को व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
व्यंजक $x^{3} - 3x^{8} - 15$ में,$x$ की घातें $3$,$8$ और $0$ हैं (क्योंकि $15 = 15x^{0}$)।
उच्चतम घात $8$ है।
अतः,बहुपद की घात $8$ है।

(A) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिए गए बहुपद $5x^{2} + 12x + 4$ में,चर $x$ की घातें $2$,$1$ और $0$ हैं (क्योंकि $4 = 4x^{0}$)।
इनमें सबसे बड़ी घात $2$ है।
अतः,बहुपद $5x^{2} + 12x + 4$ की घात $2$ है।