Polynomials in One Variable Questions in Gujarati

(A) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $x^{5}-x^{4}+3$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $5$,$4$ અને $0$ છે (કારણ કે $3 = 3x^{0}$).
આમાં સૌથી મોટી ઘાત $5$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $5$ છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $2 - y^{2} - y^{3} + 2y^{8}$ માં,ચલ $y$ ની ઘાત $0, 2, 3$ અને $8$ છે.
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $8$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $8$ છે.

(C) આપેલ બહુપદી એ અચળ બહુપદી $2$ છે.
કોઈપણ શૂન્યતર અચળ બહુપદીને $a x^{0}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $a$ એ શૂન્યતર અચળ સંખ્યા છે.
આમ,$2$ ને $2 x^{0}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં ચલ $x$ નો ઘાતાંક $0$ છે.
તેથી,અચળ બહુપદી $2$ ની ઘાત $0$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $4 x^{2}-3 x+7$ છે.
આ પદાવલિમાં,ચલ $x$ છે.
પદ $4 x^{2}$,$-3 x^{1}$ અને $7 x^{0}$ માં $x$ ના ઘાતાંકો અનુક્રમે $2, 1$ અને $0$ છે.
ચલ $x$ ના તમામ ઘાતાંકો અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યાઓ) હોવાથી,પદાવલિ $4 x^{2}-3 x+7$ એ એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(A) $(i)$ પદાવલિ $2+x^2+x$ માં,$x^2$ વાળું પદ $1x^2$ છે.
તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $1$ છે.
$(ii)$ પદાવલિ $2-x^2+x^3$ માં,$x^2$ વાળું પદ $-1x^2$ છે.
તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $-1$ છે.

(N/A) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની મહત્તમ ઘાત.
દ્વિપદી એટલે એવી બહુપદી જેમાં બે પદ હોય છે. તેથી,$35$ ઘાતવાળી દ્વિપદીને $x^{35} + 1$ તરીકે લખી શકાય.
એકપદી એટલે એવી બહુપદી જેમાં માત્ર એક જ પદ હોય છે. તેથી,$100$ ઘાતવાળી એકપદીને $x^{100}$ તરીકે લખી શકાય.

(C) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
$(i)$ બહુપદી $5x^3 + 4x^2 + 7x$ માટે:
અહીં ચલ $x$ છે. $x$ ની ઘાત $3, 2$ અને $1$ છે. સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે. તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $3$ છે.
$(ii)$ બહુપદી $4 - y^2$ માટે:
અહીં ચલ $y$ છે. $y$ ની ઘાત $2$ છે. તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $2$ છે.

(N/A) $(i)$ $x^{2}+x$
કારણ કે $x^{2}+x$ ની ઘાત $2$ છે,તેથી તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.
$(ii)$ $x-x^{3}$
કારણ કે $x-x^{3}$ ની ઘાત $3$ છે,તેથી તે ત્રિઘાત બહુપદી છે.
$(iii)$ $y+y^{2}+4$
કારણ કે $y+y^{2}+4$ ની ઘાત $2$ છે,તેથી તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(9) આપેલ બહુપદી $p(x) = 5x^2 - 3x + 7$ છે.
$x = 1$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $1$ મૂકીશું:
$p(1) = 5(1)^2 - 3(1) + 7$
$p(1) = 5(1) - 3 + 7$
$p(1) = 5 - 3 + 7$
$p(1) = 2 + 7$
$p(1) = 9$
આમ,$x = 1$ આગળ બહુપદીની કિંમત $9$ છે.

(A) ધારો કે બહુપદી $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ છે.
$x = 0$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $0$ મૂકીશું.
$p(0) = 5(0) - 4(0)^2 + 3$
$p(0) = 0 - 4(0) + 3$
$p(0) = 0 - 0 + 3$
$p(0) = 3$
તેથી,$x = 0$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $3$ છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(y) = y^{2} - y + 1$.
$p(0)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $y = 0$ મૂકતા:
$p(0) = (0)^{2} - (0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.
$p(1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $y = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{2} - (1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$.
$p(2)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $y = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2)^{2} - (2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(t) = 2 + t + 2t^2 - t^3$.
$p(0)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $t = 0$ મૂકતા:
$p(0) = 2 + (0) + 2(0)^2 - (0)^3 = 2 + 0 + 0 - 0 = 2$.
$p(1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $t = 1$ મૂકતા:
$p(1) = 2 + (1) + 2(1)^2 - (1)^3 = 2 + 1 + 2(1) - 1 = 2 + 1 + 2 - 1 = 4$.
$p(2)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $t = 2$ મૂકતા:
$p(2) = 2 + (2) + 2(2)^2 - (2)^3 = 2 + 2 + 2(4) - 8 = 2 + 2 + 8 - 8 = 4$.

આપેલી બહુપદી $p(x) = x^{3}$ છે.
$p(0)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 0$ મૂકતા:
$p(0) = (0)^{3} = 0$.
$p(1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{3} = 1$.
$p(2)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2)^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

(B) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$p(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1$ અને ભાજક $x - \frac{1}{2}$ છે.
ભાજકને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,$x - \frac{1}{2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{2}$.
શેષ શોધવા માટે,આપણે $p\left(\frac{1}{2}\right)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + 3\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + 3\left(\frac{1}{2}\right) + 1$
$= \frac{1}{8} + 3\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2} + 1$
$= \frac{1}{8} + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + 1$
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $8$ લેતા:
$= \frac{1 + 6 + 12 + 8}{8} = \frac{27}{8}$.
આમ,જરૂરી શેષ $\frac{27}{8}$ છે.

(C) ધારો કે $p(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,આપણે $x$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ,જે $(x - 0)$ ને સમાન છે. તેથી,$a = 0$.
શેષ શોધવા માટે,આપણે $p(0)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(0) = (0)^{3} + 3(0)^{2} + 3(0) + 1$
$p(0) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$.
તેથી,મળતી શેષ $1$ છે.

(B) બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક હંમેશા પૂર્ણ સંખ્યા (અન-ઋણ પૂર્ણાંક) હોય છે.
$(A)$ $\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x^{2}} = \frac{1}{2}x^{2} - 2x^{-2}$. અહીં ઘાતાંક $-2$ એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી,તેથી આ બહુપદી નથી.
$(B)$ $x^{2}+\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x}} = x^{2} + 3x^{\frac{1}{6}}$. અહીં ઘાતાંક $\frac{1}{6}$ એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી. જો પ્રશ્નમાં ટાઈપિંગ ભૂલ હોય અને તે $x^2+3x$ હોય,તો તે બહુપદી ગણાય. આપેલા વિકલ્પોમાં $(B)$ ને બહુપદી તરીકે દર્શાવવાનો પ્રયાસ થયો છે.

(C) $\sqrt{2}$ એ અચળ બહુપદી છે.
અચળ બહુપદીની ઘાત હંમેશા $0$ હોય છે.
આપણે $\sqrt{2}$ ને $\sqrt{2} \cdot x^0$ તરીકે લખી શકીએ છીએ,જ્યાં ચલ $x$ નો ઘાતાંક $0$ છે.
તેથી,બહુપદી $\sqrt{2}$ ની ઘાત $0$ છે.
આમ,$(c)$ સાચો જવાબ છે.

(D) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી: $P(x) = 4 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{5} + 5 x + 7$.
શૂન્ય સહગુણક વાળા પદોને દૂર કરીને બહુપદીને સરળ બનાવતા: $P(x) = 4 x^{4} + 5 x + 7$.
અહીં $x$ ની ઘાત $4, 1$ અને $0$ છે (કારણ કે $7 = 7 x^{0}$).
ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $4$ છે.
તેથી,આપેલ બહુપદીની ઘાત $4$ છે.

(A) શૂન્ય બહુપદીને $P(x) = 0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,શૂન્યતર અચળ બહુપદીની ઘાત $0$ હોય છે,પરંતુ શૂન્ય બહુપદી માટે ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી કારણ કે ચલ $x$ ની કોઈપણ ઘાતને $0$ વડે ગુણતા પરિણામ $0$ મળે છે (એટલે કે,કોઈપણ $n \ge 0$ માટે $0 \cdot x^n = 0$).
તેથી,શૂન્ય બહુપદીની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
આથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} - 2\sqrt{2}x + 1$ છે.
$p(2\sqrt{2})$ શોધવા માટે,આપણે બહુપદીમાં $x = 2\sqrt{2}$ મૂકીશું.
$p(2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2})^{2} - 2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) + 1$
પદોની ગણતરી કરતા:
$(2\sqrt{2})^{2} = 4 \times 2 = 8$
$2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) = 4 \times 2 = 8$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$p(2\sqrt{2}) = 8 - 8 + 1$
$p(2\sqrt{2}) = 1$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $P(x) = 5x - 4x^2 + 3$ છે.
$x = -1$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $-1$ મૂકો:
$P(-1) = 5(-1) - 4(-1)^2 + 3$
$P(-1) = -5 - 4(1) + 3$
$P(-1) = -5 - 4 + 3$
$P(-1) = -9 + 3$
$P(-1) = -6$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{\sqrt{5}} x^{\frac{1}{2}} + 1$ છે.
બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં તમામ ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોય છે.
આપેલ પદાવલિમાં,ચલ $x$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે.
$\frac{1}{2}$ એ પૂર્ણ સંખ્યા ન હોવાથી,આ પદાવલિ બહુપદી નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
સમર્થન માટે,આપણે આપેલ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$\frac{6 \sqrt{x} + x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} = \frac{6 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$
$= 6 + x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}$
$= 6 + x^1$
$= 6 + x$
અહીં $6 + x$ એ એવી પદાવલિ છે જેમાં ચલ $x$ નો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક $(1)$ છે,જે બહુપદીની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે. તેથી,આ વિધાન સત્ય છે.

(A) બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોય છે.
પદાવલિ $8$ ને $8 \times x^0$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $x$ એ ચલ છે અને $0$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
ચલનો ઘાતાંક $0$ હોવાથી,જે એક અનૃણ પૂર્ણાંક છે,તેથી $8$ એ બહુપદી છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,તેને અચળ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{3} x^{2}-2 x$ છે.
આ પદાવલિમાં,ચલ $x$ છે.
પદ $\sqrt{3} x^{2}$ અને $-2 x$ માં ચલ $x$ ના ઘાતાંક અનુક્રમે $2$ અને $1$ છે.
અહીં $2$ અને $1$ બંને પૂર્ણ સંખ્યાઓ હોવાથી,આ પદાવલિ બહુપદી હોવાની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\sqrt{3} x^{2}-2 x$ એ બહુપદી છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $1-\sqrt{5x} = 1-\sqrt{5} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ છે.
બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં તમામ ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોવા જોઈએ.
પદ $\sqrt{5} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ માં,ચલ $x$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
તેથી,આપેલ પદાવલિ બહુપદી નથી.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{5 x^{-2}}+5 x+7$
ઘાતાંકના નિયમ $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\frac{1}{5} x^{2}+5 x+7$
આ પદાવલિમાં,ચલ $x$ ના ઘાતાંકો $2$,$1$,અને $0$ છે (કારણ કે $7 = 7x^0$ થાય).
બધા જ ઘાતાંકો અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યાઓ) હોવાથી,આપેલ પદાવલિ એક બહુપદી છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,અંશનું વિસ્તરણ કરો: $(x-2)(x-4) = x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 - 6x + 8$.
હવે,દરેક પદને $x$ વડે ભાગો: $\frac{x^2 - 6x + 8}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{6x}{x} + \frac{8}{x} = x - 6 + 8x^{-1}$.
બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોવા જોઈએ.
પદાવલિ $x - 6 + 8x^{-1}$ માં,ત્રીજા પદ $8x^{-1}$ નો ઘાતાંક $-1$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
તેથી,આપેલી પદાવલિ બહુપદી નથી.

(N/A) બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યાઓ) હોય છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{x+1} = (x+1)^{-1}$ છે.
આ પદાવલિમાં,ચલ $x$ નો ઘાતાંક $-1$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
તેથી,આપેલ બીજગણિતીય પદાવલિ બહુપદી નથી.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{7} a^{3}-\frac{2}{\sqrt{3}} a^{2}+4 a-7$ છે.
બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યાઓ) હોય છે.
આપેલ પદાવલિમાં,ચલ $a$ ના ઘાતાંક $3$,$2$ અને $1$ (પદ $4a$ માટે) છે,અને અચળ પદ $-7$ ને $-7a^0$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં તમામ ઘાતાંક $(3, 2, 1, 0)$ પૂર્ણ સંખ્યાઓ હોવાથી,આ પદાવલિ એક બહુપદી છે.

(N/A) $\frac{1}{2x} = \frac{1}{2} x^{-1}$
અહીં,ચલ $x$ નો ઘાતાંક $-1$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
બહુપદી એટલે એવી બીજગણિતીય પદાવલિ કે જેમાં તમામ ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોય.
અહીં $-1$ એ પૂર્ણ સંખ્યા ન હોવાથી,આ બીજગણિતીય પદાવલિ બહુપદી નથી.

(B) આપેલ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
દ્વિપદીની વ્યાખ્યા એવી બહુપદી તરીકે કરવામાં આવે છે જેમાં બરાબર $2$ પદ હોય છે. જો બહુપદીમાં $2$ કરતા ઓછા પદ હોય,તો તેને એકપદી કહેવાય છે,અને જો તેમાં $2$ કરતા વધારે પદ હોય,તો તેને ત્રિપદી અથવા સામાન્ય બહુપદી કહેવાય છે. તેથી,દ્વિપદીમાં 'વધુમાં વધુ' બે પદ ન હોઈ શકે; તેમાં બરાબર $2$ પદ હોવા જ જોઈએ.

(FALSE) બહુપદી એકપદી,દ્વિપદી,ત્રિપદી હોઈ શકે છે અથવા તેમાં પદોની સંખ્યા નિશ્ચિત હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1$ એ એક બહુપદી છે,પરંતુ તે દ્વિપદી નથી કારણ કે તેમાં ચાર પદો છે.
તેથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(A) આ વિધાન ખરું છે.
દ્વિપદી એટલે એવી બહુપદી જેમાં બરાબર બે પદ હોય.
બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
દ્વિપદીની ઘાત પર કોઈ પ્રતિબંધ નથી,સિવાય કે તે અનૃણ પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,પદાવલિ $x^{5} + 2$ એ એક દ્વિપદી છે કારણ કે તેમાં બે પદ છે અને તેની ઘાત $5$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $x^{2}+x+1$ છે.
આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $x$ નો ઉપયોગ થયો છે.
તેથી,આ એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $y^{3}-5y$ છે.
આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $y$ રહેલો છે.
તેથી,આ એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(N/A) પદાવલિ $x y + y z + z x$ માં ત્રણ અલગ-અલગ ચલ $x$,$y$ અને $z$ નો સમાવેશ થાય છે. તેથી,આ ત્રણ ચલવાળી બહુપદી છે.

(1) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $2x - 1$ માં,ચલ $x$ છે.
પદ $2x$ ને $2x^1$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $1$ હોવાથી,બહુપદી $2x - 1$ ની ઘાત $1$ છે.

(0) આપેલ પદ $-10$ છે.
$-10$ ને $-10 \times x^0$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં ચલ $x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવાથી,શૂન્યતર અચળ બહુપદીની ઘાત $0$ થાય છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $x^{3}-9x+3x^{5}$ માં,$x$ ની ઘાત $3$,$1$ અને $5$ છે.
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $5$ છે.
તેથી,બહુપદી $x^{3}-9x+3x^{5}$ ની ઘાત $5$ છે.

(7) બહુપદીની ઘાત શોધવા માટે,પહેલા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો:
$y^{3}(1-y^{4}) = y^{3} - y^{3+4} = y^{3} - y^{7}$.
બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
$y^{3} - y^{7}$ પદાવલિમાં,$y$ ની ઘાત $3$ અને $7$ છે.
સૌથી મોટી ઘાત $7$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $7$ છે.

(N/A) $(i)$ બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત. આપેલી બહુપદી $\frac{1}{5}x^{3} + \frac{2}{5}x + \frac{1}{5} - \frac{7}{2}x^{2} - x^{6}$ માં,$x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $6$ છે. તેથી,બહુપદીની ઘાત $6$ છે.
$(ii)$ $x^{3}$ વાળું પદ $\frac{x^{3}}{5}$ છે,જેને $\frac{1}{5}x^{3}$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$x^{3}$ નો સહગુણક $\frac{1}{5}$ છે.
$(iii)$ $x^{6}$ વાળું પદ $-x^{6}$ છે,જે $-1 \cdot x^{6}$ છે. તેથી,$x^{6}$ નો સહગુણક $-1$ છે.
$(iv)$ અચળ પદ એટલે $x$ થી સ્વતંત્ર પદ. વિસ્તૃત સ્વરૂપ $\frac{1}{5}x^{3} - \frac{7}{2}x^{2} + \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}$ માં,અચળ પદ $\frac{1}{5}$ છે.

(N/A) $(i)$ આપેલ બહુપદી $\frac{\pi}{6} x + 1 \cdot x^{2} - 1$ છે. આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ મળે છે.
$(ii)$ આપેલ બહુપદી $3x - 5$ ને $0 \cdot x^{2} + 3x - 5$ તરીકે લખી શકાય છે. તેથી,આ બહુપદીમાં $x^{2}$ નો સહગુણક $0$ છે.

(N/A) $(i)$ આપેલ બહુપદીનું વિસ્તરણ નીચે મુજબ કરી શકાય:
$(x-1)(3 x-4) = 3 x^{2} - 4 x - 3 x + 4$
$= 3 x^{2} - 7 x + 4$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c$ સાથે સરખાવતા,$x^{2}$ નો સહગુણક $3$ મળે છે.
$(ii)$ આપેલ બહુપદીનું વિસ્તરણ નીચે મુજબ કરી શકાય:
$(2 x-5)(2 x^{2}-3 x+1) = 2 x(2 x^{2}-3 x+1) - 5(2 x^{2}-3 x+1)$
$= 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x - 10 x^{2} + 15 x - 5$
$= 4 x^{3} - 16 x^{2} + 17 x - 5$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$x^{2}$ નો સહગુણક $-16$ મળે છે.

(D) $n$ ઘાતવાળી બહુપદીને પદાવલિમાં રહેલા ચલના સૌથી મોટા ઘાતાંકના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 2 - x^{2} + x^{3}$ માટે,ચલ $x$ નો સૌથી મોટો ઘાતાંક $3$ છે.
$3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$2 - x^{2} + x^{3}$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(D) $3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
બહુપદી $3x^3$ ની ઘાત $3$ હોવાથી,તે એક ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(B) $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
$5t - \sqrt{7}$ પદાવલિમાં,ચલ $t$ ની ઘાત $1$ છે.
ચલની મહત્તમ ઘાત $1$ હોવાથી,$5t - \sqrt{7}$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(C) $1$ ઘાતવાળી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
$2$ ઘાતવાળી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
$3$ ઘાતવાળી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
પદાવલિ $4-5 y^{2}$ માં,ચલ $y$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
આથી,આ બહુપદીની ઘાત $2$ હોવાથી,તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(A) પદાવલિ $3$ એ અચળ બહુપદી છે.
આનું કારણ એ છે કે $3$ ને $3x^0$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં ચલ $x$ નો ઘાતાંક $0$ છે.
$0$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને અચળ બહુપદી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(B) $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 2+x$ છે.
આ પદાવલિમાં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ છે.
તેથી,$2+x$ એ સુરેખ બહુપદી છે.