Second Law of Motion Questions in Gujarati

(D) પ્રથમ વસ્તુનું દળ,$m_1 = 100 \, g = 0.1 \, kg$.
બીજી વસ્તુનું દળ,$m_2 = 200 \, g = 0.2 \, kg$.
અથડામણ પહેલા $m_1$ નો વેગ,$u_1 = 2 \, m/s$.
અથડામણ પહેલા $m_2$ નો વેગ,$u_2 = 1 \, m/s$.
અથડામણ પછી $m_1$ નો વેગ,$v_1 = 1.67 \, m/s$.
ધારો કે અથડામણ પછી $m_2$ નો વેગ $v_2$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન = અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$(0.1 \times 2) + (0.2 \times 1) = (0.1 \times 1.67) + (0.2 \times v_2)$
$0.2 + 0.2 = 0.167 + 0.2 v_2$
$0.4 = 0.167 + 0.2 v_2$
$0.2 v_2 = 0.4 - 0.167$
$0.2 v_2 = 0.233$
$v_2 = 0.233 / 0.2 = 1.165 \, m/s$.
આમ,અથડામણ પછી બીજી વસ્તુનો વેગ $1.165 \, m/s$ થાય છે.

(D) ટ્રેનનું કુલ દળ $(M)$ = એન્જિનનું દળ + $5$ વેગનનું દળ.
એન્જિનનું દળ = $8000 \,kg$.
$5$ વેગનનું દળ = $5 \times 2000 \,kg = 10000 \,kg$.
કુલ દળ $(M)$ = $8000 + 10000 = 18000 \,kg$.
ચોખ્ખું બળ $(F_{net})$ = લાગુ પાડેલ બળ - ઘર્ષણ બળ.
$F_{net} = 40000 \,N - 5000 \,N = 35000 \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F_{net} = M \times a$.
$a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{35000}{18000} \,m/s^2$.
$a = 1.944 \,m/s^2$.

(A) વાહનનું દળ,$m = 1500 \, kg$.
વાહનનો પ્રતિપ્રવેગ,$a = -1.7 \, m \, s^{-2}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ દળ અને પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$F = m \times a$
$F = 1500 \, kg \times (-1.7 \, m \, s^{-2})$
$F = -2550 \, N$.
આમ,વાહન અને રસ્તા વચ્ચે લાગતું બળ $-2550 \, N$ છે,જે વાહનની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.

(B) કોઈપણ વસ્તુનું વેગમાન એ તેના દળ અને તેના વેગના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વસ્તુનું દળ $= m$
વસ્તુનો વેગ $= v$
તેથી, વેગમાન $(p) = \text{દળ} \times \text{વેગ} = mv$.

(B) હોકીના દડાનું દળ,$m = 200 \,g = 0.2 \,kg$.
હોકીના દડાનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 10 \,m \,s^{-1}$.
પ્રારંભિક વેગમાન,$p_i = m \times u = 0.2 \,kg \times 10 \,m \,s^{-1} = 2 \,kg \,m \,s^{-1}$.
દડો તેની મૂળ દિશામાં પાછો ફરતો હોવાથી,અંતિમ વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં હશે,$v = -5 \,m \,s^{-1}$.
અંતિમ વેગમાન,$p_f = m \times v = 0.2 \,kg \times (-5 \,m \,s^{-1}) = -1 \,kg \,m \,s^{-1}$.
વેગમાનમાં ફેરફાર,$\Delta p = p_f - p_i = -1 \,kg \,m \,s^{-1} - 2 \,kg \,m \,s^{-1} = -3 \,kg \,m \,s^{-1}$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 3 \,kg \,m \,s^{-1}$ છે.

(C) આપેલ છે:
ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 150\, m/s$
ગોળીનો અંતિમ વેગ,$v = 0\, m/s$ (કારણ કે તે સ્થિર થાય છે)
લાગતો સમય,$t = 0.03\, s$
ગોળીનું દળ,$m = 10\, g = 0.01\, kg$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 150 + a(0.03)$
$a = -150 / 0.03 = -5000\, m/s^2$
ગોળી દ્વારા કાપેલ અંતર $(s)$ શોધવા માટે ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$s = ut + (1/2)at^2$
$s = (150 \times 0.03) + (1/2 \times -5000 \times (0.03)^2)$
$s = 4.5 - (2500 \times 0.0009)$
$s = 4.5 - 2.25 = 2.25\, m$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને બળ $(F)$ શોધતા:
$F = ma$
$F = 0.01\, kg \times 5000\, m/s^2 = 50\, N$
આમ,ગોળી બ્લોકમાં $2.25\, m$ અંતર સુધી ઘૂસશે અને તેના પર લાગતું બળ $50\, N$ છે.

(D) પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ, $u = 5 \,m \,s^{-1}$.
પદાર્થનો અંતિમ વેગ, $v = 8 \,m \,s^{-1}$.
પદાર્થનું દળ, $m = 100 \,kg$.
લાગતો સમય, $t = 6 \,s$.
પ્રારંભિક વેગમાન $= m \times u = 100 \times 5 = 500 \,kg \,m \,s^{-1}$.
અંતિમ વેગમાન $= m \times v = 100 \times 8 = 800 \,kg \,m \,s^{-1}$.
પદાર્થ પર લાગતું બળ, $F = \frac{mv - mu}{t}$.
$F = \frac{800 - 500}{6} = \frac{300}{6} = 50 \,N$.
આમ, પ્રારંભિક વેગમાન $500 \,kg \,m \,s^{-1}$, અંતિમ વેગમાન $800 \,kg \,m \,s^{-1}$ અને લાગતું બળ $50 \,N$ છે.

(B) હથોડાનું દળ,$m = 500 \,g = 0.5 \,kg$.
હથોડાનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 50 \,m/s$.
ખીલી દ્વારા હથોડાને સ્થિર કરવા માટે લાગતો સમય,$t = 0.01 \,s$.
હથોડાનો અંતિમ વેગ,$v = 0 \,m/s$ (કારણ કે હથોડો સ્થિર થાય છે).
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,હથોડા પર લાગતું બળ $F = m \times a = m \times \frac{v - u}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = 0.5 \times \frac{0 - 50}{0.01} = 0.5 \times (-5000) = -2500 \,N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ખીલી દ્વારા હથોડા પર લાગતું બળ હથોડાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ખીલી દ્વારા હથોડા પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $2500 \,N$ છે.

(A) ન્યુટનના ગતિના $\text{બીજા}$ $\text{નિયમ}$ મુજબ, પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા અસંતુલિત બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે બળની દિશામાં હોય છે。
ગાણિતિક રીતે, $F = \frac{dp}{dt}$, જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $p$ એ વેગમાન છે。
તેથી, વેગમાનના ફેરફારના દરને અનુરૂપ ભૌતિક રાશિ $\text{બળ}$ $(Force)$ છે。

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta p$ એ વેગમાનમાં ફેરફાર છે અને $\Delta t$ એ લીધેલો સમય છે.
પોતાના હાથ પાછળની તરફ ખેંચીને,ગોલકીપર બોલને સ્થિર કરવા માટે લેવામાં આવતો સમય $(\Delta t)$ વધારે છે.
બળ એ સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,સમયનો ગાળો વધારવાથી બોલ દ્વારા ગોલકીપરના હાથ પર લાગતું આઘાતજનક બળ ઘટે છે,જેનાથી ઈજા થતી અટકે છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a$ એ $a = \frac{F}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ટ્રકનો પ્રવેગ $a_1 = \frac{F}{M}$ છે.
જ્યારે ટ્રકમાં ટ્રકના દળ જેટલી જ વસ્તુ લોડ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું દળ $M' = M + M = 2M$ થાય છે.
પ્રેરક બળ અડધું કરવામાં આવે છે,તેથી નવું બળ $F' = \frac{F}{2}$ થાય છે.
નવો પ્રવેગ $a_2$ એ $a_2 = \frac{F'}{M'} = \frac{F/2}{2M} = \frac{F}{4M}$ દ્વારા મળે છે.
નવા પ્રવેગની સરખામણી મૂળ પ્રવેગ સાથે કરતા: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{F/4M}{F/M} = \frac{1}{4}$.
તેથી,પ્રવેગ તેના મૂળ મૂલ્યના ચોથા ભાગનો થઈ જાય છે.

(B) તારવણી: ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F \propto \frac{dp}{dt}$. $p = mv$ હોવાથી,$F = k \frac{d(mv)}{dt} = kma$. $k=1$ લેતા,$F = ma$ મળે છે.
$(i)$ આપેલ છે: $m = 10 \, g = 0.01 \, kg$,$u = 10^3 \, m \, s^{-1}$,$v = 0$,$s = 5 \, cm = 0.05 \, m$.
$v^2 - u^2 = 2as$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (10^3)^2 = 2 \cdot a \cdot 0.05$
$-10^6 = 0.1 \cdot a$
$a = -10^7 \, m \, s^{-2}$.
અવરોધક બળ $F = |ma| = 0.01 \times 10^7 = 10^5 \, N$.
$(ii)$ $v = u + at$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 10^3 + (-10^7) \cdot t$
$10^7 \cdot t = 10^3$
$t = 10^{-4} \, s$.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$. બળનો $SI$ એકમ $kg \, m s^{-2}$ છે,જેને $1 \, N$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
બળ $F = 5 \, N$
$m_1$ દળ માટે પ્રવેગ $a_1 = 8 \, m s^{-2}$
$m_2$ દળ માટે પ્રવેગ $a_2 = 24 \, m s^{-2}$
દરેક દળની ગણતરી:
$m_1 = \frac{F}{a_1} = \frac{5}{8} \, kg$
$m_2 = \frac{F}{a_2} = \frac{5}{24} \, kg$
જ્યારે બંને દળોને એકસાથે બાંધવામાં આવે,ત્યારે કુલ દળ $M$ નીચે મુજબ થાય:
$M = m_1 + m_2 = \frac{5}{8} + \frac{5}{24} = \frac{15 + 5}{24} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6} \, kg$
સંયુક્ત દળ $M$ પર તે જ બળ $F$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $a$:
$a = \frac{F}{M} = \frac{5}{5/6} = 6 \, m s^{-2}$

(N/A) વેગમાન એટલે પદાર્થના દળ અને વેગનો ગુણાકાર. તે સદિશ રાશિ છે.
વેગમાન $(p)$ = દળ $(m)$ $\times$ વેગ $(v)$
વેગમાનનો $SI$ એકમ $kg\, m\, s^{-1}$ છે.
બળ એટલે વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું બળ તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
બળ $(F)$ = $\frac{\Delta p}{\Delta t}$
આલેખ દ્વારા નિરૂપણ:
$(a)$ કારણ કે $p = mv$,જો દળ $(m)$ નિશ્ચિત હોય,તો વેગમાન $(p)$ એ વેગ $(v)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. વેગમાન વિરુદ્ધ વેગનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા મળે છે.
$(b)$ કારણ કે $p = mv$,જો વેગ $(v)$ અચળ હોય,તો વેગમાન $(p)$ એ દળ $(m)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. વેગમાન વિરુદ્ધ દળનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા મળે છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $(F)$ એ દળ $(m)$ અને પ્રવેગ $(a)$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
સૂત્ર: $F = m \times a$
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $2 \, kg$
પ્રવેગ $(a)$ = $5 \, m s^{-2}$
ગણતરી:
$F = 2 \, kg \times 5 \, m s^{-2} = 10 \, N$
તેથી,જરૂરી બળ $10 \, N$ છે.

(N/A) વેગમાન $(p)$ એ પદાર્થનું દળ $(m)$ અને વેગ $(v)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું ગાણિતિક સૂત્ર છે: $p = m \times v$.
દળનો $SI$ એકમ કિલોગ્રામ $(kg)$ છે અને વેગનો $SI$ એકમ મીટર પ્રતિ સેકન્ડ $(m/s)$ છે.
તેથી,વેગમાનનો $SI$ એકમ કિલોગ્રામ મીટર પ્રતિ સેકન્ડ છે,જેને $kg \cdot m/s$ અથવા $kg \cdot m \cdot s^{-1}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $(F)$ એ દળ $(m)$ અને પ્રવેગ $(a)$ નો ગુણાકાર છે.
સૂત્ર: $F = m \times a$
આપેલ છે:
દળ $(m) = 6 \, kg$
પ્રવેગ $(a) = 4 \, m s^{-2}$
ગણતરી:
$F = 6 \, kg \times 4 \, m s^{-2} = 24 \, N$
તેથી,જરૂરી બળ $24 \, N$ છે.

(N/A) ન્યુટનનો ગતિનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો સમય દર,તેના પર લાગતા અસંતુલિત બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને આ ફેરફાર બળની દિશામાં થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$F = ma$,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$m$ એ દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.

(B) બળનો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે.
તેને $1 \ kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થમાં $1 \ m/s^2$ નો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(N/A) બળનો $CGS$ એકમ ડાઇન (dyne) છે.
$1 \text{ ન્યૂટન (N)} = 10^5 \text{ ડાઇન}$.
આ સંબંધ એ હકીકત પરથી તારવવામાં આવે છે કે $1 \text{ N} = 1 \text{ kg} \cdot \text{m/s}^2$,અને કારણ કે $1 \text{ kg} = 10^3 \text{ g}$ અને $1 \text{ m} = 10^2 \text{ cm}$,તેથી આપણને $1 \text{ N} = 10^3 \text{ g} \times 10^2 \text{ cm/s}^2 = 10^5 \text{ g} \cdot \text{cm/s}^2$ મળે છે,જે $10^5 \text{ ડાઇન}$ ની બરાબર છે.

(C) કાચ અથવા ચીનાઈ માટીની વસ્તુઓ નાજુક હોય છે અને અથડામણ થતા તે તૂટી શકે છે.
જ્યારે આ વસ્તુઓને પરાળ સાથે પેક કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરાળ ગાદી જેવું કામ કરે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં ફેરફાર માટે લાગતું બળ એ સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(F = \Delta p / \Delta t)$.
પરાળનો ઉપયોગ કરવાથી,અચાનક ઝટકો કે અથડામણ દરમિયાન વેગમાનમાં ફેરફાર થવા માટેનો સમય વધે છે.
પરિણામે,કાચ કે ચીનાઈ માટીની વસ્તુઓ પર લાગતું બળ નોંધપાત્ર રીતે ઘટી જાય છે,જેનાથી તે તૂટતી નથી.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ $F = \frac{dp}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $dp$ એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે અને $dt$ એ લાગતો સમય છે.
જ્યારે કોઈ ખેલાડી ગાદીવાળા પલંગ પર પડે છે,ત્યારે પલંગ દબાય છે,જેનાથી ખેલાડીને સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય $(dt)$ વધે છે.
બળ $(F)$ એ સમય $(dt)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,સમયમાં વધારો થવાથી ખેલાડી પર લાગતું આઘાતી બળ નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે.
આનાથી ખેલાડીને ઈજા થતી અટકે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બળ $F$ ની ગણતરી $F = m \times a$ સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$F_1 = m_1 \times a_1 = 1\, kg \times 10\, m s^{-2} = 10\, N$
બીજા કિસ્સા માટે:
$F_2 = m_2 \times a_2 = 2\, kg \times 4\, m s^{-2} = 8\, N$
બંને બળોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $10\, N > 8\, N$,જેનો અર્થ છે કે $F_1 > F_2$.
તેથી,$1\, kg$ દળને $10\, m s^{-2}$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા માટે વધુ બળની જરૂર પડે છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta p$ એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે અને $\Delta t$ એ સમયગાળો છે.
જ્યારે ગોલકીપર ઝડપથી આવતા બોલને રોકે છે,ત્યારે બોલનું વેગમાન તેના પ્રારંભિક મૂલ્યથી ઘટીને શૂન્ય થઈ જાય છે.
સમયગાળો $\Delta t$ ખૂબ જ નાનો હોવાથી,બોલ દ્વારા ગોલકીપરના હાથ પર લાગતું બળ $F$ ખૂબ જ વધી જાય છે.
આ મોટા બળને કારણે ગોલકીપરના હાથમાં ઈજા થાય છે.

(A) ગતિમાન પદાર્થની અસર તેના વેગમાન પર આધાર રાખે છે,જે તેના દળ $(m)$ અને વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર છે,જે $p = m \times v$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$1$. ટેબલ ટેનિસના દડાનું દળ ખૂબ જ ઓછું હોય છે,તેથી ઊંચી ઝડપે પણ તેનું વેગમાન પ્રમાણમાં ઓછું હોય છે,જેના કારણે તેની અસર નહિવત હોય છે.
$2$. ક્રિકેટના દડાનું દળ ટેબલ ટેનિસના દડાની સરખામણીમાં ઘણું વધારે હોય છે. જ્યારે તે ઊંચા વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનું વેગમાન $(p = mv)$ ખૂબ જ વધી જાય છે.
$3$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,અથડામણ દરમિયાન લાગતું બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દરના પ્રમાણમાં હોય છે. ક્રિકેટનો દડો ઘણું વધારે વેગમાન ધરાવતો હોવાથી,તે અથડામણ સમયે વધુ બળ લગાડે છે,જે ઈજાનું કારણ બની શકે છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ દળ $m$ અને પ્રવેગ $a$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે,એટલે કે $F = m \times a$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
દળ $m_1 = 2 \ kg$,પ્રવેગ $a_1 = 5 \ m s^{-2}$
બળ $F_1 = 2 \ kg \times 5 \ m s^{-2} = 10 \ N$.
બીજા કિસ્સા માટે:
દળ $m_2 = 5 \ kg$,પ્રવેગ $a_2 = 3 \ m s^{-2}$
બળ $F_2 = 5 \ kg \times 3 \ m s^{-2} = 15 \ N$.
બંને બળોની સરખામણી કરતા,$15 \ N > 10 \ N$.
તેથી,$5 \ kg$ ના દળને $3 \ m s^{-2}$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા માટે વધુ બળની જરૂર પડે છે.

(A) પદાર્થનું વેગમાન $p$ એ તેના દળ $m$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $p = mv$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે,જેનું દળ $m$ અને વેગ $v$ છે,તેનું વેગમાન $p_A = m \times v = mv$ થશે.
પદાર્થ $B$ માટે,જેનું દળ $4m$ અને વેગ $v$ છે,તેનું વેગમાન $p_B = 4m \times v = 4mv$ થશે.
પદાર્થ $A$ અને $B$ ના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_A}{p_B} = \frac{mv}{4mv} = \frac{1}{4}$ થાય.
તેથી,વેગમાનનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(N/A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,દડા દ્વારા લાગતું બળ $F = m \times a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a = \frac{v - u}{t}$ છે.
હાથને પાછળની તરફ ખેંચીને,ખેલાડી દડાને સ્થિર સ્થિતિમાં લાવવા માટે લાગતો સમય $(t)$ વધારે છે.
બળ એ સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(F \propto \frac{1}{t})$,સમય વધારવાથી દડા દ્વારા ખેલાડીના હાથ પર લાગતું આઘાતી બળ (impulsive force) ઘટે છે.
આનાથી ઈજા થતી અટકે છે અને દડો પકડવો સરળ બને છે.

(N/A) ધારો કે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર $t$ સમય માટે $F$ બળ લાગે છે અને તેનો વેગ $u$ થી બદલાઈને $v$ થાય છે.
પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન $= mu$
પદાર્થનું અંતિમ વેગમાન $= mv$
$t$ સમયમાં પદાર્થના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $= mv - mu = m(v - u)$
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $= \frac{\text{વેગમાનમાં ફેરફાર}}{\text{સમય}} = \frac{m(v - u)}{t}$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t}$ છે, તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
તેથી, વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $= m \times a = \text{દળ} \times \text{પ્રવેગ}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો આ દર લાગુ પાડેલા બળ $F$ જેટલો હોય છે.

(N/A) $1 \text{ N} = 1 \text{ kg} \times 1 \text{ m s}^{-2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$ અને $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$,તેથી આ કિંમતો મૂકતા:
$1 \text{ N} = 1000 \text{ g} \times 100 \text{ cm s}^{-2}$
$1 \text{ N} = 100,000 \text{ g cm s}^{-2}$
કારણ કે $1 \text{ dyne} = 1 \text{ g cm s}^{-2}$,તેથી:
$1 \text{ N} = 10^{5} \text{ dynes}$.

(N/A) જ્યારે કોઈ ફિલ્ડર ઝડપથી આવતા બોલને અચાનક રોકે છે,ત્યારે બોલનો વેગ ખૂબ જ ટૂંકા સમયગાળામાં ઘટીને $0$ થઈ જાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $F = \frac{m(v - u)}{t}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સમયગાળો $(t)$ ખૂબ જ નાનો હોવાથી,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર ખૂબ જ વધારે હોય છે.
આના કારણે ફિલ્ડરે બોલને રોકવા માટે ખૂબ જ વધારે બળ લગાડવું પડે છે.
પરિણામે,બોલ ફિલ્ડરના હાથ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે,જેના કારણે હથેળીમાં ઈજા થઈ શકે છે.

(C) પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = mv$ અને અંતિમ વેગમાન $p_f = 0$ છે. $m$ અને $v$ અચળ રહેતા હોવાથી,પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
$(b)$ વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = p_f - p_i = 0 - mv = -mv$ છે. ફેરફારનું મૂલ્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ પર આધારિત હોવાથી,તેમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
$(c)$ વેગમાનમાં ફેરફારનો દર $F = \frac{\Delta p}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો સમય $t$ અડધો $(t' = t/2)$ કરવામાં આવે,તો વેગમાનમાં ફેરફારનો નવો દર $F' = \frac{\Delta p}{t/2} = 2 \times \frac{\Delta p}{t} = 2F$ થાય. આમ,વેગમાનમાં ફેરફારનો દર બમણો થાય છે.

(N/A) ધારો કે $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે. તેનું પ્રારંભિક વેગમાન $p_{1} = m v$ છે.
$(i)$ જ્યારે વેગ બમણો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વેગ $2v$ થાય છે. નવું વેગમાન $p_{2} = m(2v) = 2mv = 2p_{1}$ થાય. તેથી,ગુણોત્તર $p_{1} : p_{2} = 1 : 2$ મળે.
$(ii)$ જ્યારે દળ અડધું કરવામાં આવે,ત્યારે નવું દળ $\frac{1}{2}m$ થાય છે. નવું વેગમાન $p_{3} = (\frac{1}{2}m)v = \frac{1}{2}mv = \frac{1}{2}p_{1}$ થાય. તેથી,ગુણોત્તર $p_{1} : p_{3} = 2 : 1$ મળે.
$(iii)$ જ્યારે દળ અને વેગ બંને ત્રણ ગણા કરવામાં આવે,ત્યારે નવું દળ $3m$ અને નવો વેગ $3v$ થાય છે. નવું વેગમાન $p_{4} = (3m)(3v) = 9mv = 9p_{1}$ થાય. તેથી,ગુણોત્તર $p_{1} : p_{4} = 1 : 9$ મળે.

(N/A) મુસાફરો સાથે કારનું દળ,$m = 1000 \, kg$.
પ્રારંભિક વેગ,$u = 108 \, km \, h^{-1} = \frac{108 \times 1000}{3600} \, m \, s^{-1} = 30 \, m \, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ,$v = 0 \, m \, s^{-1}$ (કાર અટકી જાય છે).
લાગતો સમય,$t = 4 \, s$.
પ્રવેગ,$a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 30}{4} = -7.5 \, m \, s^{-2}$.
બ્રેક દ્વારા લાગતું બળ,$F = m \times a = 1000 \, kg \times (-7.5 \, m \, s^{-2}) = -7500 \, N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
તેથી,બ્રેક દ્વારા લાગતા બળનું મૂલ્ય $7500 \, N$ છે.

માણસનું દળ,$m_{1} = 60 \, kg$.
માણસની પ્રારંભિક ઝડપ,$u_{1} = 18 \, km \, h^{-1} = \frac{18 \times 1000}{3600} \, m \, s^{-1} = 5 \, m \, s^{-1}$.
કારનું દળ,$m_{2} = 100 \, kg$.
કારની પ્રારંભિક ઝડપ,$u_{2} = 0 \, m \, s^{-1}$.
ધારો કે માણસ કારમાં કૂદ્યા પછી કારનો અંતિમ વેગ $v$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2} = (m_{1} + m_{2})v$.
કિંમતો મૂકતા:
$(60 \times 5) + (100 \times 0) = (60 + 100)v$.
$300 = 160v$.
$v = \frac{300}{160} \, m \, s^{-1} = 1.875 \, m \, s^{-1}$.
$km \, h^{-1}$ માં રૂપાંતર કરતા:
$v = 1.875 \times \frac{18}{5} \, km \, h^{-1} = 6.75 \, km \, h^{-1}$.

(N/A) સેલ્સમેનનો દાવો વૈજ્ઞાનિક રીતે અશક્ય છે. જો કાર તરત જ ઉભી રહી જાય,તો વેગમાં ફેરફાર માટે લાગતો સમય $(t)$ $0$ થાય. પ્રવેગ (અહીં પ્રતિપ્રવેગ) ની વ્યાખ્યા $a = \frac{v - u}{t}$ છે,તેથી જો $t = 0$ હોય,તો પ્રતિપ્રવેગ અનંત (infinite) થઈ જાય. અનંત પ્રતિપ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે અનંત બળની જરૂર પડે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
$(b)$ ચેતન તાર્કિક વિચારસરણી,વૈજ્ઞાનિક જાગૃતિ,પ્રામાણિકતા અને તેના પરિવારની સુખાકારી પ્રત્યે જવાબદારીની ભાવના દર્શાવે છે.

(B) $1$. બુલેટનું વેગમાન ગણો:
બુલેટનું દળ $(m_1)$ = $10 \, g = 0.01 \, kg$
બુલેટનો વેગ $(v_1)$ = $400 \, m s^{-1}$
વેગમાન $(p_1)$ = $m_1 \times v_1 = 0.01 \, kg \times 400 \, m s^{-1} = 4 \, kg \, m s^{-1}$
$2$. ક્રિકેટના દડાનું વેગમાન ગણો:
ક્રિકેટના દડાનું દળ $(m_2)$ = $400 \, g = 0.4 \, kg$
ક્રિકેટના દડાનો વેગ $(v_2)$ = $90 \, km h^{-1} = 90 \times (5/18) \, m s^{-1} = 25 \, m s^{-1}$
વેગમાન $(p_2)$ = $m_2 \times v_2 = 0.4 \, kg \times 25 \, m s^{-1} = 10 \, kg \, m s^{-1}$
$3$. સરખામણી:
કારણ કે $10 \, kg \, m s^{-1} > 4 \, kg \, m s^{-1}$,તેથી ક્રિકેટના દડાનું વેગમાન વધારે છે.

(N/A) ધારો કે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર $F$ જેટલું અસંતુલિત બળ લાગે છે, જે $u \, m s^{-1}$ ના પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરે છે। $t$ સેકન્ડ પછી તેનો વેગ બદલાઈને $v \, m s^{-1}$ થાય છે.
પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન $(p_1) = m \times u = mu$.
$t$ સેકન્ડ પછી પદાર્થનું અંતિમ વેગમાન $(p_2) = m \times v = mv$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $= p_2 - p_1 = mv - mu = m(v - u)$.
વેગમાનના ફેરફારનો દર $= \frac{m(v - u)}{t}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, વેગમાનના ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા બળ $F$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$F \propto \frac{m(v - u)}{t}$.
પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t}$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ:
$F \propto ma$.
$F = kma$, જ્યાં $k$ એ સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે.
બળના એકમને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરતા કે $1 \, kg$ દળના પદાર્થમાં $1 \, m s^{-2}$ નો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે $1 \, N$ બળની જરૂર પડે, તો $k = 1$ મળે છે.
તેથી, બળનું ગાણિતિક સૂત્ર $F = ma$ છે.

(N/A) બળ એ એક બાહ્ય એજન્ટ છે જે પદાર્થમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે અથવા ઉત્પન્ન કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે. બળની ત્રણ સંભવિત અસરો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ તે સ્થિર પદાર્થને ગતિમાં લાવી શકે છે.
$(ii)$ તે ગતિમાન પદાર્થને અટકાવી શકે છે.
$(iii)$ તે પદાર્થની ઝડપ અથવા ગતિની દિશા બદલી શકે છે.
$(b)$ આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 90 \, km \, h^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \, m \, s^{-1}$
અંતિમ વેગ $v = 0 \, m \, s^{-1}$
સમય $t = 5 \, s$
દળ $m = 200 \, kg$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 25 + a(5)$
$5a = -25$
$a = -5 \, m \, s^{-2}$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F = 200 \times (-5) = -1000 \, N$
આમ,બ્રેક દ્વારા લાગતું બળ $1000 \, N$ છે જે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.

(A) ગતિમાન પદાર્થને રોકવા માટે જરૂરી બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F = \frac{dp}{dt} = ma)$.
બંને વાહનો સમાન વેગ $(v)$ થી ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનું વેગમાન $(p = mv)$ વાહનના દળ $(m)$ પર આધાર રાખે છે.
ખાલી વાહનની સરખામણીમાં લોડ થયેલા વાહનનું દળ વધારે હોય છે.
તેથી,લોડ થયેલા વાહનનું વેગમાન વધારે હોય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સમાન સમયમાં વધુ દળ ધરાવતા પદાર્થના વેગમાનમાં ફેરફાર કરવા માટે વધુ બળની જરૂર પડે છે.
આમ,લોડ થયેલા વાહનને રોકવા માટે વધુ બળની જરૂર પડશે.

(B) વેગમાન $(p)$ એ દળ $(m)$ અને વેગ $(v)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર: $p = m \times v$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે:
દળ $(m_A)$ = $1 \ kg$
ઝડપ $(v_A)$ = $10 \ m s^{-1}$
વેગમાન $(p_A)$ = $1 \ kg \times 10 \ m s^{-1} = 10 \ kg \ m s^{-1}$.
પદાર્થ $B$ માટે:
દળ $(m_B)$ = $2 \ kg$
ઝડપ $(v_B)$ = $9 \ m s^{-1}$
વેગમાન $(p_B)$ = $2 \ kg \times 9 \ m s^{-1} = 18 \ kg \ m s^{-1}$.
બંને મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$18 \ kg \ m s^{-1} > 10 \ kg \ m s^{-1}$ છે.
તેથી,પદાર્થ $B$ નું વેગમાન વધારે છે.

(A) આપેલ છે: વેગમાન $(p)$ = $2000 \ kg \ m \ s^{-1}$,વેગ $(v)$ = $50 \ m \ s^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગમાન એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે,જેનું સૂત્ર: $p = m \times v$ છે.
દળ $(m)$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ: $m = \frac{p}{v}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{2000}{50} = 40 \ kg$.
તેથી,મિસાઇલનું દળ $40 \ kg$ છે.

(B) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે.
આપેલ છે: બળ $F = 40\, N$ અને પ્રવેગ $a = 5\, m s^{-2}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સંબંધ $F = m \times a$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $40 = m \times 5$ મળે છે.
તેથી,$m = \frac{40}{5} = 8\, kg$.
પદાર્થનું દળ $8\, kg$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 80 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \ m s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 25 \ m s^{-1}$ અને સમય $t = 2 \ s$.
સૌ પ્રથમ,પ્રવેગ $a$ ની ગણતરી નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો:
$a = \frac{v - u}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \ m s^{-2}$
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને બળ $F$ ની ગણતરી કરો:
$F = m \times a$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 80 \ kg \times 10 \ m s^{-2} = 800 \ N$
તેથી,જરૂરી બળ $800 \ N$ છે.

(D) આપેલ છે:
સમયગાળો, $t_1 = 1.2 \, s$
પ્રારંભિક ઝડપ, $u_1 = 1.8 \, m s^{-1}$
અંતિમ ઝડપ, $v_1 = 4.2 \, m s^{-1}$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રવેગ $(a)$ શોધીએ છીએ:
$a = \frac{v_1 - u_1}{t_1} = \frac{4.2 - 1.8}{1.2} = \frac{2.4}{1.2} = 2 \, m s^{-2}$
કારણ કે તે જ પદાર્થ પર સમાન બળ લગાડવામાં આવે છે, તેથી પ્રવેગ $a = 2 \, m s^{-2}$ અચળ રહેશે.
બીજા સમયગાળા માટે, $t_2 = 2 \, s$:
ઝડપમાં ફેરફાર $(\Delta v)$ એ $\Delta v = a \times t_2$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta v = 2 \, m s^{-2} \times 2 \, s = 4 \, m s^{-1}$.
આમ, ઝડપમાં $4 \, m s^{-1}$ જેટલો ફેરફાર થશે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $(u) = 5 \ m s^{-1}$,અંતિમ વેગ $(v) = 0$,સમય $(t) = 2 \ s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$:
$0 = 5 + a \times 2$
$2a = -5$
$a = -2.5 \ m s^{-2}$ (પ્રવેગ ઋણ હોવાથી તે પ્રતિપ્રવેગ છે).
કારને રોકવા માટે જરૂરી બળ $(m = 1000 \ kg)$:
$F_{car} = m \times a = 1000 \ kg \times (-2.5 \ m s^{-2}) = -2500 \ N$.
ટ્રકને રોકવા માટે જરૂરી બળ $(m = 10000 \ kg)$:
$F_{truck} = m \times a = 10000 \ kg \times (-2.5 \ m s^{-2}) = -25000 \ N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લગાડવામાં આવે છે (પ્રતિરોધક બળ).

(B) આપેલ છે:
દડાનો પ્રારંભિક વેગ $(u) = 0.5 \, m s^{-1}$
દડાનો અંતિમ વેગ $(v) = 0 \, m s^{-1}$
સમય $(t) = 0.5 \, s$
દડાનું દળ $(m) = 70 \, g = 0.07 \, kg$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $(F)$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે:
$F = \frac{m(v - u)}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{0.07 \times (0 - 0.5)}{0.5}$
$F = \frac{0.07 \times (-0.5)}{0.5}$
$F = -0.07 \, N$
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે ખેલાડી દ્વારા લગાડવામાં આવેલું બળ એ પ્રતિરોધક બળ (દડાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં) છે.

(A) આપેલ છે:
ગોળીનું દળ $(m) = 10\, g = 0.01\, kg$
ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $(u) = 0\, m s^{-1}$
ગોળીનો અંતિમ વેગ $(v) = 300\, m s^{-1}$
લાગતો સમય $(t) = 0.003\, s$
પગલું $1$: પ્રવેગ $(a)$ ની ગણતરી સૂત્ર $a = \frac{v - u}{t}$ નો ઉપયોગ કરીને કરો.
$a = \frac{300 - 0}{0.003} = \frac{300}{0.003} = 100,000\, m s^{-2}$.
પગલું $2$: ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = m \times a$ નો ઉપયોગ કરીને ગોળી પર લાગતું બળ $(F)$ શોધો.
$F = 0.01\, kg \times 100,000\, m s^{-2} = 1000\, N$.
આમ,રાઈફલ દ્વારા ગોળી પર લાગતું બળ $1000\, N$ છે.

(N/A) આપેલ છે: દળ $m = 50\, kg$,બળ $F = 80\, N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = m \times a$,તેથી પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = F / m = 80 / 50 = 1.6\, m/s^2$.
જો દળ બમણું કરવામાં આવે,તો નવું દળ $m' = 2 \times 50 = 100\, kg$ થાય.
નવો પ્રવેગ $a'$ નીચે મુજબ મળે:
$a' = F / m' = 80 / 100 = 0.8\, m/s^2$.

(N/A) આપેલ છે:
દડાનું દળ,$m = 20 \ g = 0.02 \ kg$.
વેગ-સમયના આલેખ પરથી:
પ્રારંભિક વેગ,$u = 20 \ m \ s^{-1}$ ($t = 0 \ s$ સમયે).
અંતિમ વેગ,$v = 0 \ m \ s^{-1}$ ($t = 10 \ s$ સમયે).
લાગતો સમય,$t = 10 \ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જમીન દ્વારા દડા પર લાગતું બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = m \times a = m \times \frac{(v - u)}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 0.02 \times \frac{(0 - 20)}{10}$
$F = 0.02 \times (-2) = -0.04 \ N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે જમીન દ્વારા લાગતું બળ (ઘર્ષણ બળ) દડાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. આમ,બળનું મૂલ્ય $0.04 \ N$ છે.