Mix Examples - GRAVITATION Questions in Hindi

(D) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम निम्नलिखित कारणों से महत्वपूर्ण है:
$1$. यह हमें पृथ्वी से बांधे रखता है।
$2$. यह पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की गति के लिए उत्तरदायी है।
$3$. यह सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति के लिए उत्तरदायी है।
$4$. यह चंद्रमा और सूर्य के कारण समुद्र में आने वाले ज्वार-भाटा के लिए उत्तरदायी है।

(N/A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,दो पिंडों के बीच आकर्षण बल $(F)$ उनके द्रव्यमान ($m_{1}$ और $m_{2}$) के गुणनफल के सीधे आनुपातिक और उनके बीच की दूरी $(d)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $F \propto m_{1} m_{2}$ और $F \propto \frac{1}{d^{2}}$.
यह परिकल्पना गलत है। मुक्त पतन (free-fall) की स्थिति में,गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में एक साथ बंधी हुई दो ईंटें एक अकेली ईंट की तरह ही समान गति से नीचे गिरेंगी। इसका कारण यह है कि गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ गिरने वाली वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है। चूंकि दोनों वस्तुएं समान त्वरण $(g \approx 9.8 \ m/s^{2})$ का अनुभव करती हैं,इसलिए वे एक ही समय में जमीन पर पहुंचेंगी।

(N/A) हाँ, यह कथन सत्य है। न्यूटन के गति के $\text{तीसरे}$ नियम के अनुसार, पृथ्वी सेब पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाती है और सेब पृथ्वी पर समान और विपरीत बल लगाता है। न्यूटन के गति के $\text{दूसरे}$ नियम $(F = ma)$ के अनुसार, उत्पन्न त्वरण वस्तु के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(a = F/m)$। चूंकि पृथ्वी का द्रव्यमान सेब के द्रव्यमान की तुलना में बहुत अधिक है, इसलिए पृथ्वी में उत्पन्न त्वरण नगण्य होता है और इसलिए यह दिखाई नहीं देता है।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ होता है।
$(i)$ यदि दूरी $r$ को आधा कर दिया जाए,अर्थात $r' = r/2$,तो नया बल $F'$ होगा:
$F' = G \frac{m_1 m_2}{(r/2)^2} = G \frac{m_1 m_2}{r^2 / 4} = 4 \left( G \frac{m_1 m_2}{r^2} \right) = 4F$।
अतः,बल मूल बल का $4$ गुना हो जाएगा।
$(ii)$ यदि एक वस्तु का द्रव्यमान चार गुना कर दिया जाए,अर्थात $m_1' = 4m_1$,तो नया बल $F''$ होगा:
$F'' = G \frac{(4m_1) m_2}{r^2} = 4 \left( G \frac{m_1 m_2}{r^2} \right) = 4F$।
अतः,बल मूल बल का $4$ गुना हो जाएगा।

(N/A) $(i)$ उपग्रह में भारहीनता इसलिए देखी जाती है क्योंकि उपग्रह और उसके अंदर की सभी वस्तुएं पृथ्वी की ओर मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होती हैं। चूंकि शरीर पर गुरुत्वाकर्षण का विरोध करने के लिए कोई बाहरी संपर्क बल (अभिलंब बल) कार्य नहीं कर रहा होता है,इसलिए आभासी भार शून्य हो जाता है।
$(ii)$ दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $(u) = 15 \, m s^{-1}$
अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $(v) = 0 \, m s^{-1}$
गुरुत्वीय त्वरण $(g) = -9.8 \, m s^{-2}$
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - u^2 = 2gh$
$0^2 - (15)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-225 = -19.6 \times h$
$h = \frac{225}{19.6} \approx 11.48 \, m$
अतः,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई लगभग $11.48 \, m$ है।

(N/A) ऐसा इसलिए है क्योंकि सूर्य और पृथ्वी के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी को उसकी कक्षीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$(b)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$,ऊँचाई $h = 5 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m s^{-2}$,प्रारंभिक वेग $u = 0$।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - u^2 = 2gh$
$v^2 - 0 = 2 \times 10 \times 5 = 100$
$v = \sqrt{100} = 10 \, m s^{-1}$
संवेग $p = m \times v$
$p = 0.5 \, kg \times 10 \, m s^{-1} = 5 \, kg \, m s^{-1}$।

(N/A) $(i)$ नहीं,मित्र सहमत नहीं होगा। भार वह बल है जिससे पृथ्वी किसी वस्तु को आकर्षित करती है,जिसे सूत्र $W = m \times g$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर अधिक होता है,इसलिए उसी सोने का भार भूमध्य रेखा पर ध्रुवों की तुलना में कम होगा।
$(ii)$ न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,चंद्रमा पृथ्वी पर समान और विपरीत बल लगाता है। हालाँकि,पृथ्वी चंद्रमा की ओर गति नहीं करती है क्योंकि पृथ्वी का द्रव्यमान चंद्रमा के द्रव्यमान की तुलना में बहुत अधिक है। न्यूटन के दूसरे नियम $(F = m \times a)$ के अनुसार,उत्पन्न त्वरण द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(a = F / m)$। अतः,पृथ्वी का त्वरण नगण्य है।

(A) $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है जिसका मान $6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ निश्चित है। यह ब्रह्मांड में हर जगह समान रहता है।
$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,जो स्थान के अनुसार बदलता रहता है। इसका $SI$ मात्रक $\text{m s}^{-2}$ है।
$(b)$ नहीं,पृथ्वी पर $g$ का मान हर जगह समान नहीं होता है। पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है। सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ के अनुसार,ध्रुवों पर त्रिज्या $R$ भूमध्य रेखा की तुलना में कम होती है। इसलिए,ध्रुवों पर $g$ का मान अधिक और भूमध्य रेखा पर कम होता है।
$(c)$ न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$F = \frac{G M m}{r^2}$,इसलिए $F \propto \frac{1}{r^2}$।
यदि दूरी $r$ को तीन गुना $(r' = 3r)$ कर दिया जाए,तो नया बल $F' = \frac{G M m}{(3r)^2} = \frac{G M m}{9r^2} = \frac{1}{9} F$ हो जाता है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल अपने मूल मान का नौवां भाग ($1$/$9$) हो जाएगा।

(B) लकड़ी के गुटके को खिसकाने के लिए आवश्यक बल को मापने के प्रयोग में,यह आवश्यक है कि स्प्रिंग बैलेंस द्वारा लगाया गया बल क्षैतिज हो ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि पूरा बल स्थैतिक घर्षण को दूर करने में योगदान देता है।
सेटअप $A$ में,धागे को क्षैतिज रूप से खींचा जाता है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि बल सदिश सतह के समानांतर है।
सेटअप $B$ में,धागा भी क्षैतिज है,लेकिन जुड़ाव सीधा और स्थिर है।
सेटअप $C$ में,कुंडलित स्प्रिंग का उपयोग बल के ऊर्ध्वाधर घटकों या दोलनों को पेश कर सकता है,जिससे अशुद्धियाँ हो सकती हैं।
सेटअप $A$ बल का सबसे सीधा और क्षैतिज अनुप्रयोग प्रदान करता है,जो संरेखण के कारण होने वाली त्रुटियों को कम करता है,इस प्रकार सबसे सटीक परिणाम देता है।

(N/A) मान लीजिए कि दो वस्तुओं के द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं।
मान लीजिए पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है और पृथ्वी के केंद्र से दूरी $d$ है।
न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,बल $F = \frac{GMm}{d^{2}}$ होता है।
दो वस्तुओं के लिए,$F_{1} = \frac{GMm_{1}}{d^{2}}$ और $F_{2} = \frac{GMm_{2}}{d^{2}}$ होगा।
दिया गया है कि $F_{1} = F_{2}$,इसलिए $\frac{GMm_{1}}{d^{2}} = \frac{GMm_{2}}{d^{2}}$।
दोनों पक्षों से समान पदों $\frac{GM}{d^{2}}$ को हटाने पर,हमें $m_{1} = m_{2}$ प्राप्त होता है।
$(b)$ पृथ्वी की सतह पर (त्रिज्या $R$) $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^{2}}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
$(c)$ $G$ को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक कहा जाता है क्योंकि इसका मान पूरे ब्रह्मांड में समान रहता है,चाहे स्थान या परस्पर क्रिया करने वाली वस्तुओं की प्रकृति कुछ भी हो।