Mix Examples - GRAVITATION Questions in Gujarati

(D) ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ નીચે મુજબ મહત્વનો છે:
$1$. તે આપણને પૃથ્વી સાથે જકડી રાખે છે.
$2$. તે પૃથ્વીની આસપાસ ચંદ્રની ગતિ માટે જવાબદાર છે.
$3$. તે સૂર્યની આસપાસ ગ્રહોની ગતિ માટે જવાબદાર છે.
$4$. તે ચંદ્ર અને સૂર્યને કારણે સમુદ્રમાં આવતી ભરતી માટે જવાબદાર છે.

(N/A) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બે પદાર્થો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $(F)$ તેમના દળ ($m_{1}$ અને $m_{2}$) ના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતર $(d)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $F \propto m_{1} m_{2}$ અને $F \propto \frac{1}{d^{2}}$.
આ ધારણા ખોટી છે. મુક્ત પતન (free-fall) દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ એકસાથે બાંધેલી બે ઈંટો એક જ ઈંટ જેટલી જ ઝડપે નીચે પડશે. આનું કારણ એ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ એ પડતા પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે. બંને પદાર્થો સમાન પ્રવેગ $(g \approx 9.8 \ m/s^{2})$ અનુભવતા હોવાથી,તેઓ એક જ સમયે જમીન પર પહોંચશે.

(N/A) હા, આ વિધાન સાચું છે. ન્યૂટનના ગતિના $\text{ત્રીજા}$ નિયમ મુજબ, પૃથ્વી સફરજન પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે અને સફરજન પૃથ્વી પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે. ન્યૂટનના ગતિના $\text{બીજા}$ નિયમ $(F = ma)$ મુજબ, ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ એ પદાર્થના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(a = F/m)$. પૃથ્વીનું દળ સફરજનના દળની સરખામણીમાં અત્યંત વિશાળ હોવાથી, પૃથ્વીમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ નહિવત હોય છે અને તેથી તે જોઈ શકાતો નથી.

(A) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$.
$(i)$ જો અંતર $r$ અડધું કરવામાં આવે,એટલે કે $r' = r/2$,તો નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે:
$F' = G \frac{m_1 m_2}{(r/2)^2} = G \frac{m_1 m_2}{r^2 / 4} = 4 \left( G \frac{m_1 m_2}{r^2} \right) = 4F$.
આમ,બળ મૂળ બળ કરતાં $4$ ગણું થશે.
$(ii)$ જો એક પદાર્થનું દળ ચાર ગણું કરવામાં આવે,એટલે કે $m_1' = 4m_1$,તો નવું બળ $F''$ નીચે મુજબ મળે:
$F'' = G \frac{(4m_1) m_2}{r^2} = 4 \left( G \frac{m_1 m_2}{r^2} \right) = 4F$.
આમ,બળ મૂળ બળ કરતાં $4$ ગણું થશે.

(N/A) $(i)$ ઉપગ્રહમાં ભારહીનતા જોવા મળે છે કારણ કે ઉપગ્રહ અને તેની અંદરની તમામ વસ્તુઓ પૃથ્વી તરફ મુક્ત પતન (free fall) ની સ્થિતિમાં હોય છે. શરીર પર ગુરુત્વાકર્ષણનો વિરોધ કરવા માટે કોઈ બાહ્ય સંપર્ક બળ (લંબ બળ) કાર્ય કરતું ન હોવાથી,આભાસી વજન શૂન્ય થઈ જાય છે.
$(ii)$ આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $(u) = 15 \, m s^{-1}$
મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $(v) = 0 \, m s^{-1}$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $(g) = -9.8 \, m s^{-2}$
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2gh$
$0^2 - (15)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-225 = -19.6 \times h$
$h = \frac{225}{19.6} \approx 11.48 \, m$
આમ,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ આશરે $11.48 \, m$ છે.

(N/A) આનું કારણ એ છે કે સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પૃથ્વીને તેની કક્ષીય ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$(b)$ આપેલ છે: દળ $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$,ઊંચાઈ $h = 5 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m s^{-2}$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2gh$
$v^2 - 0 = 2 \times 10 \times 5 = 100$
$v = \sqrt{100} = 10 \, m s^{-1}$
વેગમાન $p = m \times v$
$p = 0.5 \, kg \times 10 \, m s^{-1} = 5 \, kg \, m s^{-1}$.

(N/A) $(i)$ ના,મિત્ર સહમત થશે નહીં. વજન એ બળ છે જેના દ્વારા પૃથ્વી પદાર્થને આકર્ષે છે,જે સૂત્ર $W = m \times g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર વધારે હોય છે,તેથી તેટલા જ સોનાનું વજન વિષુવવૃત્ત પર ધ્રુવોની સરખામણીમાં ઓછું હશે.
$(ii)$ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ચંદ્ર પૃથ્વી પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે. જો કે,પૃથ્વી ચંદ્ર તરફ ગતિ કરતી નથી કારણ કે પૃથ્વીનું દળ ચંદ્રના દળની સરખામણીમાં ખૂબ જ વધારે છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ $(F = m \times a)$ મુજબ,ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(a = F / m)$. તેથી,પૃથ્વીનો પ્રવેગ નગણ્ય છે.

(A) $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે જેનું મૂલ્ય $6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ નિશ્ચિત છે. તે બ્રહ્માંડમાં દરેક જગ્યાએ સમાન રહે છે.
$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,જે સ્થાન પ્રમાણે બદલાય છે. તેનો $SI$ એકમ $\text{m s}^{-2}$ છે.
$(b)$ ના,પૃથ્વી પર $g$ નું મૂલ્ય દરેક જગ્યાએ સમાન હોતું નથી. પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી છે. સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ મુજબ,ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા $R$ વિષુવવૃત્તની સરખામણીમાં ઓછી હોય છે. તેથી,ધ્રુવો પર $g$ નું મૂલ્ય વધારે અને વિષુવવૃત્ત પર ઓછું હોય છે.
$(c)$ ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$F = \frac{G M m}{r^2}$,તેથી $F \propto \frac{1}{r^2}$.
જો અંતર $r$ ને ત્રણ ગણું $(r' = 3r)$ કરવામાં આવે,તો નવું બળ $F' = \frac{G M m}{(3r)^2} = \frac{G M m}{9r^2} = \frac{1}{9} F$ થાય.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેના મૂળ મૂલ્યના નવમા ભાગનું ($1$/$9$) થઈ જશે.

(B) લાકડાના બ્લોકને ખસેડવા માટે જરૂરી બળ માપવાના પ્રયોગમાં,તે આવશ્યક છે કે સ્પ્રિંગ બેલેન્સ દ્વારા લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ સમક્ષિતિજ હોય,જેથી ખાતરી કરી શકાય કે સમગ્ર બળ સ્થિર ઘર્ષણને દૂર કરવામાં મદદ કરે છે.
સેટઅપ $A$ માં,દોરીને સમક્ષિતિજ રીતે ખેંચવામાં આવે છે,જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે બળ સદિશ સપાટીને સમાંતર છે.
સેટઅપ $B$ માં,દોરી પણ સમક્ષિતિજ છે,પરંતુ જોડાણ સીધું અને સ્થિર છે.
સેટઅપ $C$ માં,ગૂંચળાદાર સ્પ્રિંગનો ઉપયોગ બળના ઊભી ઘટકો અથવા દોલનો રજૂ કરી શકે છે,જે અચોક્કસતા તરફ દોરી જાય છે.
સેટઅપ $A$ બળનો સૌથી સીધો અને સમક્ષિતિજ ઉપયોગ પૂરો પાડે છે,જે ગોઠવણીને કારણે થતી ભૂલોને ઘટાડે છે,આમ સૌથી સચોટ પરિણામ આપે છે.

(N/A) ધારો કે બે વસ્તુઓના દળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M$ છે અને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $d$ છે.
ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બળ $F = \frac{GMm}{d^{2}}$ છે.
બે વસ્તુઓ માટે,$F_{1} = \frac{GMm_{1}}{d^{2}}$ અને $F_{2} = \frac{GMm_{2}}{d^{2}}$ થાય.
આપેલ છે કે $F_{1} = F_{2}$,તેથી $\frac{GMm_{1}}{d^{2}} = \frac{GMm_{2}}{d^{2}}$.
બંને બાજુથી સમાન પદો $\frac{GM}{d^{2}}$ ને દૂર કરતા,આપણને $m_{1} = m_{2}$ મળે છે.
$(b)$ પૃથ્વીની સપાટી પર (ત્રિજ્યા $R$) $m$ દળ ધરાવતી વસ્તુ માટે ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^{2}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$(c)$ $G$ ને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેનું મૂલ્ય સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં સમાન રહે છે,સ્થાન અથવા આંતરક્રિયા કરતી વસ્તુઓના સ્વભાવને ધ્યાનમાં લીધા વગર.