Mass and Weight Questions in Gujarati

(N/A)

$S.No.$	દળ અને વજન વચ્ચેનો તફાવત
$I.$	દળ એટલે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો; વજન એટલે પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ.
$II.$	દળ એ પદાર્થની જડત્વનું માપ છે; વજન એ ગુરુત્વાકર્ષણનું માપ છે.
$III.$	દળ એક અચળ રાશિ છે; વજન અચળ નથી અને તે અલગ-અલગ સ્થાનો પર બદલાય છે.
$IV.$	દળ એ અદિશ રાશિ છે (માત્ર મૂલ્ય); વજન એ સદિશ રાશિ છે (મૂલ્ય અને દિશા બંને).
$V.$	દળનો $SI$ એકમ કિલોગ્રામ $(kg)$ છે; વજનનો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે.

(N/A) ધારો કે $M_E$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $m$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર રહેલી વસ્તુનું દળ છે. ધારો કે $R_E$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પર વસ્તુનું વજન $W_E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$W_E = \frac{G M_E m}{R_E^2}$
ધારો કે $M_M$ અને $R_M$ એ ચંદ્રનું દળ અને ત્રિજ્યા છે. તો,ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ મુજબ,ચંદ્રની સપાટી પર વસ્તુનું વજન $W_M$ નીચે મુજબ મળે છે:
$W_M = \frac{G M_M m}{R_M^2}$
હવે,બંને વજનનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{W_M}{W_E} = \frac{M_M R_E^2}{M_E R_M^2}$
આપેલ મૂલ્યો:
$M_E = 5.98 \times 10^{24} \text{ kg}$
$M_M = 7.36 \times 10^{22} \text{ kg}$
$R_E = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$
$R_M = 1.74 \times 10^6 \text{ m}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{W_M}{W_E} = \frac{7.36 \times 10^{22} \times (6.4 \times 10^6)^2}{5.98 \times 10^{24} \times (1.74 \times 10^6)^2} \approx 0.165 \approx \frac{1}{6}$
તેથી,ચંદ્ર પર કોઈ વસ્તુનું વજન પૃથ્વી પરના તેના વજનના $\frac{1}{6}$ ભાગનું હોય છે.

(A) જ્યારે તમે વજન કાંટા પર ઊભા રહો છો,ત્યારે કાંટો તમારા શરીર દ્વારા તેના પર લાગતા લંબબળ (normal force) ને માપે છે.
હવાની હાજરીને કારણે,તમારા શરીર પર ઉપરની દિશામાં ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) લાગે છે.
આ ઉત્પ્લાવક બળ વજન કાંટા પર તમારા શરીર દ્વારા લાગતા કુલ અધોગામી બળને ઘટાડે છે.
તેથી,વજન કાંટા દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલ રીડિંગ તમારા વાસ્તવિક દળ કરતા થોડું ઓછું હોય છે.
આમ,તમારું વાસ્તવિક દળ $42\, kg$ કરતા વધારે છે.

(N/A) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પૃથ્વી અને ચંદ્ર એકબીજા પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
જોકે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ તેના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(a = F/m)$.
પૃથ્વીનું દળ ચંદ્રના દળ કરતા ઘણું વધારે છે.
દળમાં રહેલા આ મોટા તફાવતને કારણે,પૃથ્વીમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ ચંદ્રમાં ઉત્પન્ન થતા પ્રવેગની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય છે.
તેથી,પૃથ્વી ચંદ્ર તરફ કોઈ નોંધપાત્ર ગતિ દર્શાવતી નથી.

(B) પૃથ્વી દ્વારા કોઈ પદાર્થ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને તે પદાર્થનું વજન કહેવામાં આવે છે.
તેની ગણતરી $W = m \times g$ સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.

(B) પૃથ્વી પર પદાર્થનું વજન $W = mg$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યાં:
$m$ = પદાર્થનું દળ.
$g$ = ગુરુત્વીય પ્રવેગ.
પૃથ્વી ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર વધારે હોય છે.
$W = mg$ હોવાથી,સમાન દળના સોનાનું વજન ધ્રુવો પર વધારે અને વિષુવવૃત્ત પર ઓછું હશે.
તેથી,અમિતનો મિત્ર ખરીદેલા સોનાના વજન સાથે સહમત થશે નહીં કારણ કે જ્યારે સોનાને ધ્રુવોથી વિષુવવૃત્ત પર લઈ જવામાં આવે છે ત્યારે તેનું વજન ઘટે છે.

(C) પૃથ્વી પર પદાર્થનું વજન આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $W_e = m \times g$,જ્યાં $m = 10\, kg$ અને $g = 9.8\, m/s^2$ છે.
તેથી,$W_e = 10\, kg \times 9.8\, m/s^2 = 98\, N$.
ચંદ્ર પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતાં $\frac{1}{6}$ ગણું છે.
તેથી,ચંદ્ર પર પદાર્થનું વજન: $W_m = \frac{1}{6} \times W_e$.
$W_m = \frac{1}{6} \times 98\, N \approx 16.3\, N$.
આમ,ચંદ્ર પર વજન $16.3\, N$ અને પૃથ્વી પર વજન $98\, N$ છે.

(D) ચંદ્ર પર કોઈપણ પદાર્થનું વજન પૃથ્વી પરના તેના વજનના $1/6$ ગણું હોય છે કારણ કે ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_m)$ એ પૃથ્વી પરના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_e)$ ના $1/6$ ગણો છે.
વ્યક્તિ દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ સમાન રહેતું હોવાથી,દળ $(m)$ અને બળ $(F)$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = m \times g$ છે.
પૃથ્વી પર: $F = 15\, kg \times g_e$.
ચંદ્ર પર: $F = m_{moon} \times g_m = m_{moon} \times (g_e / 6)$.
બળોને સરખાવતા: $15 \times g_e = m_{moon} \times (g_e / 6)$.
$m_{moon}$ માટે ઉકેલતા: $m_{moon} = 15 \times 6 = 90\, kg$.
તેથી,તે વ્યક્તિ ચંદ્ર પર મહત્તમ $90\, kg$ દળ ઉઠાવી શકે છે.

(N/A) પદાર્થનું વજન પૃથ્વીના દળ $(M)$ ના સમપ્રમાણમાં અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
પદાર્થનું વજન $\propto \frac{M}{R^2}$.
મૂળ વજન $W_0 = mg = G \frac{Mm}{R^2}$ છે.
કાલ્પનિક કિસ્સામાં,નવું દળ $M' = 4M$ અને નવી ત્રિજ્યા $R' = \frac{R}{2}$ છે (વ્યાસ અડધો થવાથી ત્રિજ્યા પણ અડધી થાય છે).
નવું વજન $W_n$ નીચે મુજબ મળે છે:
$W_n = G \frac{M'm}{(R')^2} = G \frac{(4M)m}{(\frac{R}{2})^2} = G \frac{4Mm}{\frac{R^2}{4}} = 16 \times (G \frac{Mm}{R^2}) = 16 W_0$.
તેથી,પદાર્થનું વજન તેના મૂળ મૂલ્ય કરતા $16$ ગણું થઈ જશે.

(C) દળ એટલે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો.
તે પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે સ્થાન,ઊંચાઈ કે ઊંડાઈ સાથે બદલાતો નથી.
તેથી,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર પદાર્થનું દળ પૃથ્વી પરના અન્ય કોઈપણ સ્થાન જેટલું જ રહે છે.

(C) જડત્વનું દળ (inertial mass) એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે જે બળ લગાડવામાં આવે ત્યારે પ્રવેગ સામેના તેના અવરોધને માપે છે. ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં સમાનતાના સિદ્ધાંત (principle of equivalence) મુજબ,જડત્વનું દળ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય દળને સમાન હોય છે,પરંતુ ગુરુત્વાકર્ષણ પોતે પદાર્થના જડત્વના દળના મૂલ્યને બદલતું કે પ્રભાવિત કરતું નથી. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણની જડત્વના દળ પર કોઈ અસર થતી નથી.

(B) સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ એ $PE = mgh$ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ સંદર્ભ સપાટીથી પદાર્થની ઊંચાઈ છે.
કાર સમતલ રસ્તા પર ગતિ કરી રહી હોવાથી,ગતિ દરમિયાન ઊંચાઈ $(h)$ અચળ રહે છે.
$m$,$g$,અને $h$ બદલાતા ન હોવાથી,કારની સ્થિતિઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,સ્થિતિઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(D) વ્યક્તિનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે.
ગ્રહ $A$ પર વજન પૃથ્વી કરતા અડધું હોવાથી,ગ્રહ $A$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_A)$ એ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_E)$ કરતા અડધો હશે,એટલે કે $g_A = \frac{1}{2} g_E$.
જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ કૂદકો મારે છે,ત્યારે તેના સ્નાયુઓ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય સ્થિતિ ઊર્જા $(PE = mgh)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે. જો સ્નાયુબદ્ધ બળ અને કરવામાં આવેલું કાર્ય સમાન રહે,તો મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,$m g_E h_E = m g_A h_A$.
કિંમતો મૂકતા: $g_E \times 0.4 = (\frac{1}{2} g_E) \times h_A$.
$0.4 = \frac{1}{2} h_A$.
$h_A = 0.4 \times 2 = 0.8 \, m$.
આમ,વ્યક્તિ ગ્રહ $A$ પર $0.8 \, m$ ની ઊંચાઈ સુધી કૂદી શકે છે.

(N/A) $1\, kg$ વજન એટલે પૃથ્વી દ્વારા $1\, kg$ દળ ધરાવતી વસ્તુ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ.
તેની ગણતરી $F = m \times g$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે,જ્યાં $m = 1\, kg$ અને $g \approx 9.8\, m/s^2$ છે.
તેથી,$1\, kg\, wt = 1\, kg \times 9.8\, m/s^2 = 9.8\, N$ થાય છે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ એ $g = GM/R^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી પરંતુ ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી હોવાથી,ધ્રુવો પરની ત્રિજ્યા $(R_p)$ એ વિષુવવૃત્તની ત્રિજ્યા $(R_e)$ કરતા ઓછી હોય છે.
$g$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(g \propto 1/R^2)$,ધ્રુવો પર ઓછી ત્રિજ્યા હોવાને કારણે $g$ નું મૂલ્ય વધારે મળે છે $(g_p > g_e)$.
વજનની વ્યાખ્યા $W = mg$ છે. પદાર્થનું દળ $(m)$ અચળ રહેતું હોવાથી અને $g_p > g_e$ હોવાથી,$mg_p > mg_e$ સાબિત થાય છે.
તેથી,વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર પદાર્થનું વજન વધારે હોય છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - d/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન અંતર $h = d = 1 \, km$ માટે,આપણે ગુરુત્વપ્રવેગમાં થતા ઘટાડાની સરખામણી કરીએ છીએ.
ઊંચાઈ $h$ પર,ઘટાડો $2h/R$ છે,જ્યારે ઊંડાઈ $d$ પર,ઘટાડો $d/R$ છે.
જેથી $2h/R > d/R$ હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ પર $g$ નું મૂલ્ય ઊંડાઈ $d$ કરતા વધારે ઘટે છે.
તેથી,પદાર્થનું વજન પૃથ્વીની સપાટીથી $1 \, km$ નીચે વધારે હશે.

(C) પદાર્થનું વજન પૃથ્વી દ્વારા તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(W = mg)$ દ્વારા નક્કી થાય છે. સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ એ એક કક્ષીય ગતિ છે,જે પૃથ્વીની સપાટી પર રહેલી વસ્તુઓ પર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં કોઈ ફેરફાર કરતી નથી. તેથી,પૃથ્વીના પરિભ્રમણની પદાર્થના વજન પર કોઈ અસર થતી નથી.

(A) પૃથ્વી દ્વારા કોઈપણ પદાર્થ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને તે પદાર્થનું વજન કહેવામાં આવે છે. તેને તે બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના દ્વારા પૃથ્વી કોઈપણ પદાર્થને તેના કેન્દ્ર તરફ આકર્ષે છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થનું દળ એટલે તેમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો.
દળ એ અદિશ રાશિ છે અને તે બ્રહ્માંડમાં પદાર્થના સ્થાનથી સ્વતંત્ર છે,એટલે કે તે હંમેશા અચળ રહે છે.
વજનથી વિપરીત,જે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $(g)$ પર આધાર રાખે છે,દળ સ્થાન સાથે બદલાતું નથી.
તેથી,જો પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું દળ $10 \,kg$ હોય,તો પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર પણ તેનું દળ $10 \,kg$ જ રહેશે.

(N/A) $(i)$ મંગળ પરનું વજન એ પૃથ્વી પરના વજનના $38 \%$ છે.
મંગળ પર વજન $= 0.38 \times 750 \, N = 285 \, N$.
$(ii)$ વજન $(W)$,દળ $(m)$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ વચ્ચેનો સંબંધ $W = m \times g$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં $W = 750 \, N$ અને $g = 10 \, m s^{-2}$ આપેલ છે.
દળ $m = W / g = 750 / 10 = 75 \, kg$.
તેથી,પૃથ્વી પર મોનાનું દળ $75 \, kg$ છે.

(N/A) દળ એટલે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો,જે એક આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે સ્થાન બદલાવા છતાં અચળ રહે છે.
વજન એટલે પદાર્થ પર લાગતું પૃથ્વી કે અન્ય અવકાશી પદાર્થનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,જેનું સૂત્ર $W = m \times g$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય દરેક સ્થળે અલગ-અલગ હોય છે (દા.ત.,પૃથ્વીની સપાટી અને ચંદ્ર પર $g$ નું મૂલ્ય અલગ હોય છે),તેથી પદાર્થનું દળ અચળ હોવા છતાં તેનું વજન બદલાય છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર માણસનું વજન $W_{E} = 600\, N$ છે.
માણસનું દળ $m = \frac{W_{E}}{g_{E}} = \frac{600\, N}{10\, m s^{-2}} = 60\, kg$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
દળ એ અચળ રાશિ છે અને તે સ્થળ સાથે બદલાતું નથી,તેથી ચંદ્ર પર પણ દળ $60\, kg$ જ રહેશે.
ચંદ્રની સપાટી પર માણસનું વજન $W_{M} = \frac{W_{E}}{6}$ થાય છે,કારણ કે ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ પૃથ્વીના પ્રવેગ કરતા $\frac{1}{6}$ ગણો હોય છે.
તેથી,$W_{M} = \frac{600\, N}{6} = 100\, N$.

(B) કોઈપણ પદાર્થનું વજન એ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જે પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ આકર્ષાય છે,જેની ગણતરી $W = m \times g$ સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે.
માણસનું દળ $(m)$ દરેક જગ્યાએ સમાન રહેતું હોવાથી,તેનું વજન ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $(g)$ પર આધાર રાખે છે.
ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગના લગભગ છઠ્ઠા ભાગનો $(1/6)$ હોય છે.
તેથી,પૃથ્વીની સરખામણીમાં ચંદ્રની સપાટી પર માણસનું વજન ઘટશે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $(g')$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે,જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીનો કોણીય વેગ છે,$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $\lambda$ એ અક્ષાંશ છે.
જો પૃથ્વી ફરતી બંધ થઈ જાય,તો $\omega = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે પદ $\omega^2 R \cos^2 \lambda$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
પરિણામે,ધ્રુવો સિવાયના તમામ બિંદુઓ પર અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $(g')$ વધે છે (જ્યાં $\lambda = 90^\circ$ અને $\cos 90^\circ = 0$ હોય છે).
વજન $(W = mg)$ એ અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,પૃથ્વીની સપાટી પરના તમામ સ્થાનો પર પદાર્થનું વજન વધશે,સિવાય કે ધ્રુવો પર,જ્યાં તે અપરિવર્તિત રહેશે.

(B) વસ્તુનું વજન એ તેને ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ ઊંચકવા માટે જરૂરી બળ છે.
આપેલ દળ $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$.
પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g \approx 10 \,m/s^2$.
જરૂરી બળ $F$ એ વજન $W = m \times g$ જેટલું હોય છે.
$F = 0.1 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 1 \,N$.
તેથી,વસ્તુને ઊંચકવા માટે ઓછામાં ઓછા $1 \,N$ બળની જરૂર પડે છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થનું વજન $W = mg$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
$g$ નું મૂલ્ય પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ પર આધાર રાખે છે,જે $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પર સહેજ ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી છે. તેથી,વિષુવવૃત્ત પર પૃથ્વીની ત્રિજ્યા ધ્રુવોની ત્રિજ્યા કરતા વધારે હોય છે.
જેમ કે $g$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(g \propto \frac{1}{R^2})$,તેથી $g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત પર ઓછું અને ધ્રુવો (જેમ કે એન્ટાર્કટિકા) પર વધારે હોય છે.
પરિણામે,ખાંડની થેલીનું વજન વિષુવવૃત્તની સરખામણીમાં એન્ટાર્કટિકા લઈ જતી વખતે વધારે હશે.

(N/A)

ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$	સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $(G)$
$(i)$ તે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે પદાર્થમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે.	$(i)$ તે $1\, kg$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચે લાગતા આકર્ષણ બળ જેટલું મૂલ્ય છે,જ્યારે તેઓ $1\, m$ ના અંતરે હોય.
$(ii)$ $g$ નું મૂલ્ય પૃથ્વીની સપાટી પર અલગ-અલગ જગ્યાએ અલગ હોય છે અને એક અવકાશી પદાર્થથી બીજા પદાર્થ પર બદલાય છે.	$(ii)$ $G$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે,એટલે કે તેનું મૂલ્ય બ્રહ્માંડમાં દરેક જગ્યાએ સમાન $(6.67 \times 10^{-11}\, Nm^2 kg^{-2})$ રહે છે.
$(iii)$ તે સદિશ રાશિ છે.	$(iii)$ તે અદિશ રાશિ છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું મૂલ્ય $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 20 \, N$ છે.
સપાટીથી $h = 6400 \, km$ ની ઊંચાઈએ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + R = 2R$ થાય છે.
આ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h$ નું મૂલ્ય $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2} = \frac{1}{4} g$ થાય છે.
તેથી,આ ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W_h = m \cdot g_h = m \cdot (\frac{1}{4} g) = \frac{1}{4} (mg)$ થશે.
$W = 20 \, N$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $W_h = \frac{1}{4} \times 20 \, N = 5 \, N$ મળે છે.

(N/A) દળ અને વજન વચ્ચેનો તફાવત નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:

દળ	વજન
$1.$ તે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો છે।	$1.$ તે ગ્રહ દ્વારા લગાડવામાં આવતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું બળ છે।
$2.$ તે અચળ રાશિ છે અને સ્થાન બદલાતા બદલાતી નથી।	$2.$ તે ચલ રાશિ છે અને સ્થાનના ગુરુત્વપ્રવેગ સાથે બદલાય છે।
$3.$ પદાર્થનું દળ ક્યારેય શૂન્ય હોઈ શકે નહીં।	$3.$ મુક્ત પતન દરમિયાન પદાર્થનું વજન શૂન્ય હોઈ શકે છે।
$4.$ તે ભૌતિક ત્રાજવા વડે માપવામાં આવે છે।	$4.$ તે સ્પ્રિંગ કાંટા વડે માપવામાં આવે છે।
$5.$ તે અદિશ રાશિ છે।	$5.$ તે સદિશ રાશિ છે।
$6.$ તે કિલોગ્રામ $(kg)$ માં માપવામાં આવે છે।	$6.$ તે ન્યૂટન $(N)$ માં માપવામાં આવે છે।

જ્યારે કોઈ પદાર્થને વિષુવવૃત્તથી ધ્રુવો તરફ લઈ જવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું વજન વધે છે કારણ કે ધ્રુવો પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા વધારે હોય છે。
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર અથવા જ્યારે પદાર્થ મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં હોય ત્યારે તેનું વજન શૂન્ય થઈ જાય છે।

(N/A) ધારો કે કોઈ વસ્તુનું દળ $m$ છે. ધારો કે ચંદ્ર પર તેનું વજન $W_{m}$ છે અને પૃથ્વી પર તેનું વજન $W_{E}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ચંદ્ર પર વસ્તુનું વજન $W_{m} = \frac{GM_{m}m}{R_{m}^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M_{m}$ એ ચંદ્રનું દળ છે અને $R_{m}$ તેની ત્રિજ્યા છે.
તે જ રીતે,પૃથ્વી પર વસ્તુનું વજન $W_{E} = \frac{GM_{E}m}{R_{E}^{2}}$ છે,જ્યાં $M_{E}$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R_{E}$ તેની ત્રિજ્યા છે.
બંને વજનનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{W_{m}}{W_{E}} = \frac{GM_{m}m}{R_{m}^{2}} \times \frac{R_{E}^{2}}{GM_{E}m} = \frac{M_{m}}{M_{E}} \times \left( \frac{R_{E}}{R_{m}} \right)^{2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{W_{m}}{W_{E}} = \frac{7.36 \times 10^{22}}{5.98 \times 10^{24}} \times \left( \frac{6.37 \times 10^{6}}{1.74 \times 10^{6}} \right)^{2}$
$\frac{W_{m}}{W_{E}} \approx 0.0123 \times (3.66)^{2} \approx 0.0123 \times 13.4 = 0.165 \approx \frac{1}{6}$
આમ,ચંદ્ર પર વસ્તુનું વજન પૃથ્વી પરના તેના વજન કરતા છઠ્ઠા ભાગનું હોય છે.

(N/A) દળ એટલે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો. દળનો $SI$ એકમ $kg$ છે.
વજન એટલે પૃથ્વી કે અન્ય કોઈ અવકાશી પદાર્થ દ્વારા પદાર્થને પોતાના કેન્દ્ર તરફ ખેંચતું બળ. વજનનો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે.
દળ એ પદાર્થનો અચળ ગુણધર્મ હોવાથી તે સ્થળ બદલાતા બદલાતું નથી,તેથી ચંદ્ર પર પદાર્થનું દળ $20 \, kg$ જ રહેશે.
ચંદ્ર પર પદાર્થનું વજન શોધવા માટેનું સૂત્ર $W = m \times g$ છે,જ્યાં $m = 20 \, kg$ અને $g = 1.6 \, m s^{-2}$ છે.
$W = 20 \times 1.6 = 32 \, N$.
આમ,ચંદ્ર પર પદાર્થનું દળ $20 \, kg$ અને વજન $32 \, N$ હશે.

(A) પૃથ્વી પર પદાર્થનું વજન $W = m \times g$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે $(g \approx 10\, m/s^2)$.
પૃથ્વી પર વજન: $W = 50\, kg \times 10\, m/s^2 = 500\, N$.
ચંદ્ર પર,પદાર્થનું દળ અચળ રહે છે કારણ કે તે પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
જોકે,ચંદ્ર પર વજન બદલાય છે કારણ કે ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ પૃથ્વીના પ્રવેગ કરતા આશરે $1/6$ ગણો હોય છે. તેથી,ચંદ્ર પર તેનું વજન $500/6 \approx 83.33\, N$ થશે.

(B) પદાર્થનું વજન $W = m \times g$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વીય પ્રવેગ છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી છે.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા વિષુવવૃત્તની સરખામણીમાં ધ્રુવો પર ઓછી હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય ધ્રુવો પર વધારે હોય છે.
જેহেতু $W$ એ $g$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી પદાર્થનું વજન વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર વધારે હશે.

(D) ધારો કે $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતી વસ્તુનું વજન $W = mg = \frac{GMm}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો વ્યાસ બમણો થાય,તો ત્રિજ્યા $R$ પણ બમણી થાય,એટલે કે $R' = 2R$.
નવું વજન $W'$ એ $W' = \frac{GMm}{(R')^2} = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2}$ થશે.
આમ,$W' = \frac{1}{4} W$.
તેથી,વસ્તુનું વજન તેના મૂળ મૂલ્યના ચોથા ભાગનું થઈ જશે.

(97.2 N) પૃથ્વી પર વજન $(W) = 450 N$
પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g) = 10 m s^{-2}$
તેથી,પદાર્થનું દળ $(m) = \frac{W}{g} = \frac{450}{10} = 45 kg$.
હવે,મંગળની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_{m})$ ની ગણતરી $g_{m} = \frac{GM_{m}}{R_{m}^{2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $g_{m} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{23}}{(4.3 \times 10^{6})^{2}}$.
$g_{m} = \frac{40.02 \times 10^{12}}{18.49 \times 10^{12}} \approx 2.16 m s^{-2}$.
તેથી,મંગળ પર વજન $= m \times g_{m} = 45 \times 2.16 = 97.2 N$.

(A) આપેલ છે: પૃથ્વી પર વજન $W_{E} = 600\,N$,ચંદ્ર પર વજન $W_{M} = 100\,N$,પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m s^{-2}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે માણસનું દળ $(m)$ $W = m \times g$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ:
$m = \frac{W_{E}}{g} = \frac{600}{10} = 60\,kg$.
દળ દરેક જગ્યાએ અચળ રહેતું હોવાથી,ચંદ્ર પર માણસનું દળ પણ $60\,kg$ જ રહેશે.
હવે,આપણે ચંદ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_{m})$ $W_{M} = m \times g_{m}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ:
$g_{m} = \frac{W_{M}}{m} = \frac{100}{60} = 1.67\,m s^{-2}$.

(N/A) આપેલ છે: વજન $(W) = 392 \, N$,ગુરુત્વપ્રવેગ $(g) = 9.8 \, m s^{-2}$.
દળ $(m) = W / g = 392 / 9.8 = 40 \, kg$.
$(b)$ $(i)$ પદાર્થનું દળ કોઈપણ સ્થળે બદલાતું નથી. તેથી,ચંદ્ર પર તેનું દળ $40 \, kg$ જ રહેશે.
$(ii)$ ચંદ્ર પર પદાર્થનું વજન પૃથ્વી પરના તેના વજનના $1/6$ ભાગનું હોય છે. તેથી,ચંદ્ર પર વજન $= 392 / 6 \approx 65.33 \, N$.
$(iii)$ ચંદ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_m) = \text{ચંદ્ર પર વજન} / \text{દળ} = 65.33 / 40 \approx 1.63 \, m s^{-2}$.

(N/A) આપેલ છે: દળ $(m) = 30 \ kg$,$g_{earth} = 10 \ m/s^2$.
$(i)$ ચંદ્ર પર વજન $(W_m)$:
$g_{moon} = 1/6 \times g_{earth} = 1/6 \times 10 = 5/3 \ m/s^2$.
$W_m = m \times g_{moon} = 30 \times (5/3) = 50 \ N$.
$(ii)$ ગ્રહ પર વજન $(W_p)$:
$g_{planet} = 3 \times g_{earth} = 3 \times 10 = 30 \ m/s^2$.
$W_p = m \times g_{planet} = 30 \times 30 = 900 \ N$.

(N/A) આપેલ છે: માણસનું દળ $M = 80\, kg$,$g_{e} = 9.8\, m s^{-2}$,$g_{m} = 1.63\, m s^{-2}$.
વજનની ગણતરી $W = m \times g$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
ચંદ્ર પર વજન $(W_{m})$ = $M \times g_{m} = 80 \times 1.63 = 130.40\, N$.
દળ એ પદાર્થનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે અને તે સ્થાન બદલાવા છતાં અચળ રહે છે.
તેથી,પૃથ્વી પર માણસનું દળ $80\, kg$ છે અને ચંદ્ર પર પણ તેનું દળ $80\, kg$ જ રહેશે.

(C) પદાર્થનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
ધ્રુવો પર $g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા વધારે હોવાથી,પદાર્થનું વજન ધ્રુવો પર વધારે હોય છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ પદાર્થનું વજન $(W)$ માપે છે,જે $g$ માં ફેરફારને કારણે સ્થાન સાથે બદલાય છે.
જો તમે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનો ઉપયોગ કરીને વિષુવવૃત્ત પર માલ ખરીદો છો,તો તમને ચોક્કસ વજનના માપન માટે ચોક્કસ દળ મળે છે.
જ્યારે તમે આ માલને ધ્રુવો પર લઈ જાઓ છો,ત્યારે તે જ દળ સ્પ્રિંગ બેલેન્સ પર વધુ વજન દર્શાવશે.
જો કે,બીમ બેલેન્સ (ત્રાજવું) પદાર્થના દળની સરખામણી પ્રમાણિત દળ (કાટલા) સાથે કરે છે,જે $g$ ના ફેરફારથી પ્રભાવિત થતું નથી કારણ કે $g$ ત્રાજવાની બંને બાજુએ સમાન રીતે કાર્ય કરે છે.
તેથી,ફાયદો મેળવવા માટે,વિષુવવૃત્ત પર વજન માપવા માટે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ અને તેને ધ્રુવો પર વેચવું જોઈએ,કારણ કે સ્પ્રિંગ બેલેન્સ સમાન દળ માટે ધ્રુવો પર વધુ મૂલ્ય દર્શાવશે.

(D) કોઈ વસ્તુનું વજન એટલે પૃથ્વી જે બળથી તે વસ્તુને તેના કેન્દ્ર તરફ આકર્ષે છે તે બળ.
ગાણિતિક રીતે,તે $W = m \times g$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ વસ્તુનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વીય પ્રવેગ છે.
દળ,જે વસ્તુમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો છે અને તે અચળ રહે છે,તેનાથી વિપરીત,વજન એ એક બળ છે જે ચોક્કસ સ્થાન પર $g$ ના મૂલ્યના આધારે બદલાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચી વ્યાખ્યા છે.

(TRUE) ખરું.
નાના પદાર્થ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર તેના સમગ્ર કદમાં સમાન ગણવામાં આવે છે.
સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (જે બિંદુ પર કુલ દળ કેન્દ્રિત થયેલું હોય છે) અને ગુરુત્વકેન્દ્ર (જે બિંદુ પર કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે) એક જ સ્થાને સંપાત થાય છે.