A=begin{bmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{bmatrix} और | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ है। बाएं पक्ष का विस्तार करने पर, हमें $A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि

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$3$

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(A) दिया गया है कि $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ है। बाएं पक्ष का विस्तार करने पर, हमें $A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि $-AB + BA = 0$, अर्थात $AB = BA$ है। $AB$ की गणना करने पर: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2 & y+4 \ 2x+1 & 2y+2 \end{bmatrix}$। $BA$ की गणना करने पर: $\begin{bmatrix} x & y \ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2y & 2x+y \ 5 & 4 \end{bmatrix}$। दोनों आव्यूहों की तुलना करने पर: $2x+1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$। $2y+2 = 4 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$। दिया गया है कि $C = \begin{bmatrix} x & 2 \ 1 & y \end{bmatrix}$, इसलिए $C$ का ट्रेस उसके विकर्ण तत्वों का योग है: $\operatorname{Trace}(C) = x + y = 2 + 1 = 3$।

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