एक पक्षपाती सिक्के में चित (head) आने की प्रा | vedclass

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Question

(B) माना $q = 1-p$ पट (tail) आने की प्रायिकता है। पहली बार चित सम उछाल पर आने का अर्थ है कि परिणामों का क्रम $(T, H), (T, T, T, H), (T, T, T, T, T, H)

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$\frac{1}{3}$

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(B) माना $q = 1-p$ पट (tail) आने की प्रायिकता है। पहली बार चित सम उछाल पर आने का अर्थ है कि परिणामों का क्रम $(T, H), (T, T, T, H), (T, T, T, T, T, H), \dots$ है। इस घटना की प्रायिकता $P = qp + q^3p + q^5p + \dots$ है। यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp$ और सार्व अनुपात $r = q^2$ है। चूंकि $0 श्रेणी का योग $P = \frac{a}{1-r} = \frac{qp}{1-q^2}$ है। दिया गया है कि $P = \frac{2}{5}$, अतः $\frac{qp}{1-q^2} = \frac{2}{5}$। $q = 1-p$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^2} = \frac{2}{5}$। हर का सरलीकरण करने पर: $1 - (1 - 2p + p^2) = 2p - p^2 = p(2-p)$। अतः, $\frac{p(1-p)}{p(2-p)} = \frac{2}{5}$। $p$ को काटने पर (चूंकि $p 
eq 0$), हमें प्राप्त होता है $\frac{1-p}{2-p} = \frac{2}{5}$। वज्र-गुणन करने पर: $5(1-p) = 2(2-p) \Rightarrow 5 - 5p = 4 - 2p$। $1 = 3p \Rightarrow p = \frac{1}{3}$।

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$P(X)$	$0$	$k$	$2k$	$2k$	$3k$	$k^2$	$2k^2$	$7k^2+k$

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एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है:

$X$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$

$P(X)$ $0$ $k$ $2k$ $2k$ $3k$ $k^2$ $2k^2$ $7k^2+k$

$k$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक सतत यादृच्छिक चर $X$ का संचयी वितरण फलन $F(x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ है,जहाँ $0 \leq x \leq 4$ है। तो $P[X > 1]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $X$ एक पॉइसन चर (Poisson variate) है,इस प्रकार कि $P(X=2)=P(X=3)$,तो $e^3 P(X=4)$ का मान क्या है?

एक पॉइसन वितरण में, यदि $P(X = 2)$, $P(X = 1)$ का दोगुना है, तो वितरण का मानक विचलन क्या है?

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