$a$ ની કઈ કિંમત માટે પદાવલિ $x^2 - ax + 1 - 2a^2$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે હંમેશા ધન રહે?

સમીકરણ $x^2+x-n = 0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $n \in N$ અને $n \in [5, 100]$ છે. તો $n$ ના એવા ભિન્ન મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા શોધો કે જેથી આપેલ સમીકરણના બીજ પૂર્ણાંક હોય:

જો સમીકરણ $(p-3)x^2 + 2(p-3)x + 2p-5 = 0$ ના બીજ $\alpha < p < \beta$ માટે વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોય અને $(\beta - \alpha)$ મહત્તમ હોય,તો દ્વિઘાત પદાવલિ $-(\alpha + \beta)x^2 + \alpha \beta x + (\alpha - \beta)$ નું અંતિમ મૂલ્ય શોધો.

પૂર્ણાંક સંખ્યાઓની એવી ક્રમિત જોડીઓ $(a, b)$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી $1 \leq a, b \leq 2021$ હોય અને સમીકરણો $x^2 - ax + b = 0$ અને $x^3 - ax^2 + bx + a - b = 0$ નું એક સામાન્ય વાસ્તવિક બીજ હોય.

જો $A$ અને $G$ એ સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યક હોય અને ${x^2} - 2Ax + {G^2} = 0$ હોય,તો

સમીકરણ $|x^2-x-6|=x+2$ ના બીજ શોધો.