दिक् अनुपात (1, 1, 2),(sqrt{3}-1, -sqrt{3}-1, | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि तीन रेखाओं के दिक् अनुपात $L_1 = (1, 1, 2)$,$L_2 = (\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1, 4)$ और $L_3 = (-\sqrt{3}-1, \sqrt{3}-1, 4)$ हैं।रेखाओं क

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समबाहु त्रिभुज

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(A) मान लीजिए कि तीन रेखाओं के दिक् अनुपात $L_1 = (1, 1, 2)$,$L_2 = (\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1, 4)$ और $L_3 = (-\sqrt{3}-1, \sqrt{3}-1, 4)$ हैं।रेखाओं के बीच के कोण ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\cos 	heta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$ का उपयोग करते हैं।सबसे पहले,परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें: $|L_1| = \sqrt{1^2+1^2+2^2} = \sqrt{6}$.$|L_2| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (-\sqrt{3}-1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3+1-2\sqrt{3}) + (3+1+2\sqrt{3}) + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.$|L_3| = \sqrt{(-\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3+1+2\sqrt{3}) + (3+1-2\sqrt{3}) + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.अब,अदिश गुणनफल (dot products) ज्ञात करें:$L_1 \cdot L_2 = 1(\sqrt{3}-1) + 1(-\sqrt{3}-1) + 2(4) = 6$.$L_1 \cdot L_3 = 1(-\sqrt{3}-1) + 1(\sqrt{3}-1) + 2(4) = 6$.$L_2 \cdot L_3 = (\sqrt{3}-1)(-\sqrt{3}-1) + (-\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1) + 4(4) = 12$.कोणों के लिए कोसाइन ज्ञात करें:$\cos 	heta_{12} = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \implies 	heta_{12} = 60^\circ$.$\cos 	heta_{13} = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \implies 	heta_{13} = 60^\circ$.$\cos 	heta_{23} = \frac{12}{2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \implies 	heta_{23} = 60^\circ$.चूँकि सभी कोण $60^\circ$ हैं,इसलिए ये रेखाएँ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं।

दिक् अनुपात $(1, 1, 2)$,$(\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1, 4)$ और $(-\sqrt{3}-1, \sqrt{3}-1, 4)$ वाली तीन रेखाएँ क्या दर्शाती हैं?

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उन रेखाओं के बीच का कोण क्या है जिनके दिक्-अनुपात $a, b, c$ और $b - c, c - a, a - b$ हैं ($^\circ$ में)?

दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक अनुपात $(l, m, n)$ समीकरणों $l+m-n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ को संतुष्ट करते हैं।

$P(2, 3, -1)$ और मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा के दिक्कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

$P(2, 3, -1)$ और मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा के दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

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